சார்பு f-ன் வரையறைப்படி சார்பகம் மூடிய இடைவெளி [-1,1]ஆகும்.
(1-x2≥0 ஆக இருக்கும்போது f வரையறுக்கப்படுகிறது.) 
c ∈(-1,1) என்ற ஏதேனும் ஒரு புள்ளிக்கு 

\(\underset { x\rightarrow c }{ lim } f(x)=\underset { x\rightarrow c }{ lim } \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } ={ \left[ \underset { x\rightarrow c }{ lim } (1-{ x }^{ 2 }) \right] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\)
\(={ (1-{ c }^{ 2 }) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }f(c).\)
\(\underset { x\rightarrow { -1 }^{ + } }{ lim } f(x)=\underset { x\rightarrow { -1 }^{ + } }{ lim } { (1-{ x }^{ 2 }) }^{ ^{ \frac { 1 }{ 2 } } }=0=f(1)\)
\(\underset { x\rightarrow 1^{ - } }{ lim } f(x)=\left[ \underset { x\rightarrow 1^{ 1 } }{ lim } \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right] =0=f\left( -1 \right) \)
இவ்வாறாக f என்ற சார்பு [-1.1] இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானது. இந்தக் கணக்கினை சார்புகளின் சேர்ப்புத் தேற்றம் மூலமும் தீர்க்கலாம்.

1) R ஒரு தற்சுட்டு ஆக இருக்க (2,2),(3,3) மற்றும் (5,5) R-ல் சேர்க்கப்பட வேண்டும்.
2) ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு ஆக இருக்க வேண்டும்.
3) R ஒரு கடப்புத் தொடர்பு 
R-ல் இருக்க வேண்டிய குறைந்த பட்ச உறுப்புகள் (5,2),(2,2),(3,3)(5,5) 

I = \(\int { { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) dx } \)
= tan \(\theta\) \(\Rightarrow\) dx = sec² \(\theta\)d\(\theta\)
I = \(\int { { tan }^{ -1 } } \left( \frac { 2tan\theta }{ 1-{ tan }^{ 2 }\theta } \right) { sec }^{ 2 }\theta d\theta \)
= \(\int { { tan }^{ -1 } } \left( tan2\theta \right) { sec }^{ 2 }\) \(\theta\) d \(\theta\)
= \(\int { 2 } \theta { sec }^{ 2 }\) \(\theta\) d \(\theta\)
= \(2\int { \left( \theta \right) \left( { sec }^{ 2 }\theta d\theta \right) } \)
பகுதித் தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்த
I = \(2\left[ \theta tan\theta -\int { tan } \theta d\theta \right] \)
= \(2\left( \theta tan\theta -log\left| sec\theta \right| \right) +c\)
\(\int { { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) dx } \) = 2x tan^-1 x - 2log |\(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } \)| +c

tan θ = x 
sec θ = \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } \)

காலம் t-ஐ பொறுத்து உயரம் h -ன் மாறு வீதம் எனபது காலம் t -ஐ பொறுத்து h-ஐ வகையீடு செய்வதாகும்.
எனவே, \(\frac{dh}{dt}=\frac{18}{\sqrt{t}}=18t^{-\frac{1}{2}}\) 
எனவே உயரத்தினை பொது வடிவம் பெறுவதற்கு மேலே உள்ள சமன்பாட்டைத் தொகையிட வேண்டும்.
\(h=\int{18t^{-\frac{1}{2}}dt=18(2t^{\frac{1}{2}})}+c=36\sqrt{t}+c\)
t = 0 என இருக்கும்போது உயரம் 5செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
5=0+c ⇒ c=5
\(h=36\sqrt{t}+5\).
(i) நான்கு ஆண்டிற்குப் பிறகு மரத்தின் உயரத்தை நாம் காண வேண்டும்.
t=4 எனில்,
\(h=36\sqrt{t}+5 \Rightarrow h=36\sqrt{4}+5=77\)
நான்கு ஆண்டிற்குப் பிறகு மரத்தின் உயரம் 77 செ.மீ ஆக இருக்கும்.
(ii) h=149 செ.மீ எனில்,t-ஐ காண வேண்டும்.
\(h=36\sqrt{t}+5 \Rightarrow 149=36\sqrt{t}+5\)
\(\sqrt{t}=\frac{149-5}{36}=4 \Rightarrow t=16\)
எனவே உயரம் 149செ.மீ வளர,மரம் 16 ஆண்டுகள் எடுத்துக்கொள்கிறது.                     

\(\lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ (m) } =\lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ \frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } = } \frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { \lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ \left( 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) } } } \)
h >0 எனில், c-h < v < c இதன் மூலம் \({ (c-h) }^{ 2 }<{ v }^{ 2 }<{ c }^{ 2 }\)
அதாவது \(\frac { { (c-h) }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } <\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } <1\quad \Rightarrow \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { (c-h) }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <\lim _{ h\rightarrow 0 }{ 1 }\)
\( \Rightarrow 1<\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <1\Rightarrow \lim _{ h\rightarrow 0 }{ (m)\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <1 \Rightarrow 1<\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <1\)
இடையீட்டுத் தேற்றத்தின்படி,\(\lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ \frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } =1 } \)
எனவே \(\lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ (m) } =\infty \)
ஆகவே, \(v\rightarrow { c }^{ - }\)  எனில் நிறை  மிக மிகப்பெரியதாக (முடிவிலி) அமைகிறது.
இடப்புற எல்லை தேவையானதாக உள்ளது. வலப்புற எல்லை எடுப்பின் \(v\rightarrow { c }^{ + }\) எனில்  \(1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } <0\)ஆக  அமையும்.எனவே நிறை காண இயலாது.

a =ar^p-1; b = ar^q-1; c = ar^r-1
\(\Rightarrow\)  \(\left| \begin{matrix} \log { a{ r }^{ p-1 } } & p & 1 \\ \log { b{ r }^{ q-1 } } & q & 1 \\ \log { c{ r }^{ r-1 } } & r & 1 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} \left( p-1 \right) logar & p & 1 \\ \left( q-1 \right) logar & q & 1 \\ \left( r-1 \right) logar & r & 1 \end{matrix} \right| \)
 = log ar \(\left| \begin{matrix} p-1 & p & 1 \\ q-1 & q & 1 \\ r-1 & r & 1 \end{matrix} \right| \) =log ar \(\left| \begin{matrix} \left( p-1+1 \right) & p & 1 \\ \left( q-1+1 \right) & q & 1 \\ \left( r-1+1 \right) & r & 1 \end{matrix} \right| \)
= log ar \(\left| \begin{matrix} p & p & 1 \\ q & q & 1 \\ r & r & 1 \end{matrix} \right| \) = log ar (0) = 0 (\(\therefore\)C₁ = C₂)

LHS  = n x ^{(n - 1)}C_r-1 = \(n\times \frac { \left( n-1 \right) ! }{ \left( r-1 \right) !\left( n-1-r+1 \right) ! } \)
= \(n\times \frac { \left( n-1 \right) ! }{ \left( r-1 \right) !(n-r)! } =n\times \frac { \left( n-1 \right) !(n-r+1) }{ \left( n-r+1 \right) \left( r-1 \right) \left( n-r \right) ! } \)  (n- r + 1) ஆல் பெருக்கி வகுக்க )
= \(\frac { n!\left( n-r+1 \right) }{ \left( n-r+1 \right) !\left( r-1 \right) ! } \)  [ \(\because\) n (n- 1)! = n! (n -r + 1) (n - r)! = (n - r + 1)! ]
= (n - r + 1) \(\frac { n! }{ \left( r-1 \right) !\left( n-r+1 \right) ! } \)
= (n - r + 1) x ⁿC_r-1 = RHS  \(\left[ \because { n }C_{ r }=\frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } \right] \) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.    

L.H.S = \(cos\frac { \pi }{ 15 } cos\frac { 2\pi }{ 15 } cos\frac { 3\pi }{ 15 } cos\frac { 4\pi }{ 15 } cos\frac { 5\pi }{ 15 } cos\frac { 6\pi }{ 15 } cos\frac { 7\pi }{ 15 } =\frac { 1 }{ 128 } \)
= \(\left( cos\cfrac { \pi }{ 15 } .cos\cfrac { 2\pi }{ 15 } .cos\cfrac { 4\pi }{ 15 } cos{ \cfrac { 7\pi }{ 15 } } \right) \left( cos\cfrac { 3\pi }{ 15 } cos\cfrac { 6\pi }{ 15 } \right) .cos\cfrac { 5\pi }{ 15 } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left\{ cos\cfrac { \pi }{ 15 } .cos\cfrac { 2\pi }{ 15 } .cos\cfrac { 4\pi }{ 15 } .cos\cfrac { 8\pi }{ 15 } \right\} \left\{ \quad cos\cfrac { 3\pi }{ 15 } cos\cfrac { 6\pi }{ 15 } \right\} \)\(\left( \because cos\cfrac { 5\pi }{ 15 } =cos\cfrac { \pi }{ 3 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \right) \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left\{ cos\cfrac { \pi }{ 15 } cos\cfrac { 2\pi }{ 15 } cos\cfrac { 4\pi }{ 15 } cos\cfrac { 8\pi }{ 15 } \right\} \left\{ \quad cos\cfrac { 3\pi }{ 15 } cos\cfrac { 6\pi }{ 15 } \right\} \)\(\left\{ \because cos\cfrac { 7\pi }{ 15 } =cos\left( \pi -\cfrac { 8\pi }{ 15 } \right) =-cos\cfrac { 8\pi }{ 15 } \right\} \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left\{ \cfrac { { sin2 }^{ 4 }\cfrac { \pi }{ 15 } }{ { 2 }^{ 4 }sin\cfrac { 4 }{ 15 } } \right\} \times \left\{ \cfrac { { sin2 }^{ 2 }\times \cfrac { 3\pi }{ 15 } }{ { 2 }^{ 2 }.sin\cfrac { 3\pi }{ 15 } } \right\} \)  \(\left[ \because \quad cosA.cos2A.cos{ 2 }^{ n-1 }\quad A=\cfrac { sin2"A }{ 2",sinA } \right] \)
= \(\cfrac { -1 }{ 2 } \left\{ \cfrac { sin\cfrac { 16\pi }{ 15 } }{ 16sin\cfrac { \pi }{ 15 } } \right\} \left\{ \cfrac { sin\cfrac { 12\pi }{ 15 } }{ 4sin\cfrac { 3\pi }{ 15 } } \right\} \)=\(\cfrac { -1 }{ 2 } \left\{ \cfrac { sin\left( \pi +\cfrac { \pi }{ 15 } \right) }{ 16sin\cfrac { \pi }{ 15 } } \right\} \left\{ \cfrac { sin\left( \pi -\cfrac { 3\pi }{ 15 } \right) }{ 4sin{ \cfrac { 3\pi }{ 15 } } } \right\} \)
=\(\cfrac { -1 }{ 2 } \left\{ \cfrac { -sin\cfrac { \pi }{ 15 } }{ 16sin\cfrac { \pi }{ 15 } } \right\} \left\{ \cfrac { sin\cfrac { 3\pi }{ 15 } }{ 4sin\cfrac { 3\pi }{ 15 } } \right\} \)
= \(\cfrac { -1 }{ 2 } \times \cfrac { -1 }{ 16 } \times \cfrac { 1 }{ 4 } =\cfrac { 1 }{ 128 } =R.H.S\)

கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோடுகள்
y = mx - 3
\(\Rightarrow\)         mx - y = 3  .....(1)
மற்றும்  x - y = 6  ......(2)
(1), (2) ஐ தீர்க்க
(1)  \(\Rightarrow\)    mx - y = 3
(2)  \(\Rightarrow\)       x - y = 6
        _____________
(1)-(2)\(\Rightarrow\) x(m-1) = -3
\(\Rightarrow x=\frac { -3 }{ m-1 } =\frac { 3 }{ 1-3 } \)
\((x=\frac { 3 }{ 1-m } \)ஐ (2) ல் பிரதியிட)
\(\frac { -3 }{ m-1 } -y=6\Rightarrow \frac { 3 }{ 1-m } -6=y\)
\(\Rightarrow y=\frac { 3-6+6m }{ 1-m } \Rightarrow y=\frac { 6m-3 }{ 1-m } \)
\(\therefore\) கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி = \(\left( \frac { 3 }{ 1-m } ,\frac { 6m-3 }{ 1-m } \right) \)
சாய்வு m மற்றும் x அச்சுத் தொலைவுகள் முழுக்கள் என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\therefore \frac { 3 }{ 1-m } \) ஒரு முழு \(\Rightarrow\) (1-m) ஆனது 3 ஆல் வகுபடும்.
 \(\Rightarrow\) 1-m = \(\pm \)1, 1 - m = \(\pm \)3,m ஒரு முழு
\(\Rightarrow\) 1 -m =1 (அ) 1 - m =-3 \(\Rightarrow\) -m =0 (அ) m = -2
 1 - m =3 1 - m = -3 \(\Rightarrow\) m = +2 (அ) m = 2
\(\therefore\) சமன்பாடுகள்
 y = 0(x) - 3   (\(\because\) y = mx - 3)
\(\Rightarrow\) y = -2x - 3, y = 2x - 3
\(\Rightarrow\) y = -3, y = -2x - 3 மற்றும் y = 2x - 3
\(\Rightarrow\) y + 3 = 0, (அ) 2x + y +3 = 0 (அ) 2x - y - 3 = 0.

GP=\(\frac{a}{r}\),a,ar என்க.
\(\frac{a}{r}\)-a.a=5832 என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
⇒ a³=5832=18³ 
⇒ a=18
\(\frac{a}{r}\), a+b, ar+9  ஒரு A.P.
∴  a+6-\(\frac{a}{r}\),=ar+9-a-6
⇒ 18+6-\(\frac{18}{r}\)=18r+9-18-6
⇒ 24-\(\frac{18}{r}\)=18r-15
⇒ 18r+\(\frac{18}{r}\)=39
⇒ 18r²-39r+18=0
⇒ (2r-3)(3r-2)=0
⇒ r=\(\frac { 3 }{ 2 } ,\frac { 2 }{ 3 } \)

வகை I
a=18, r=\(\\ \frac { 3 }{ 2 } \)  ∴ GP=\(\frac { 18 }{ \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) } ,18,18\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) \)⇒ 12,18,27
வகை II
a=18, r=\(\\ \frac { 2 }{ 3 } \)  ∴ G.P=\(\frac { 18 }{ \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) } ,18,18\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \) ⇒ 27,18,12

i) விளைவுகளை காட்டும் வரைபடம்

ii) சுருள் வளை கம்பியின் நீளம் மற்றும் எடைக்கு உள்ள தொடர்புடைய சமன்பாடு.
\(\left[ \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { y }_{ 1 } \\ 2, & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} { x }_{ 2 } & { y }_{ 2 } \\ 4, & 4 \end{matrix} \right] \)
இருபுள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டால் சமன்பாடு
\(\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \)
\(\Rightarrow \frac { y-3 }{ 4-3 } =\frac { x-2 }{ 4-2 } \)
\(\Rightarrow \frac { y-3 }{ 1 } =\frac { x-2 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow\) 2y - 6 = x - 2
 \(\Rightarrow\) x - 2y + 4 = 0    .....(1) 
iii) சுருள் வளைக் கம்பியின் உண்மையான நீளம்
x = 0 என்க
\(\Rightarrow \) -2y = -4
\(\Rightarrow \) y = 2 செ.மீ.
iv) சுருள் வளை கம்பி 9 செ.மீ. நீளம் அடைய வேண்டும் எனில் எவ்வளவு எடை இணைக்க வேண்டும்?
y = 9 என (x - 2y + 4 = 0)-ல் பிரதியிட
x - 2(9) + 4 = 0
x = 18 - 4 = 14 கி.கி.
v) 6 கி.கி. எடையை இணைக்க சுருள்வளைக் கம்பியின் நீளம் என்ன?
x = 6 என (x -2y +4 = 0)-ல் பிரதியிட
\(\Rightarrow\) 6 -2ய + 4 = 0
- 2y = - 10
y = 5 செ.மீ.
6 கி.கி. எடையை இணைக்க சுருள் வளைக் கம்பியின் நீளம் = 5 செ.மீ.

P(n )  = 2 + 4 + 6 + ....+ 2n  = n² + ன் என்க 
படி (1)
\(\Rightarrow \)  n  = 1 என்க 
\(\therefore \) P(1) = 1² + 1 = 2  
\(\therefore \) (P) (1) உண்மை 
படி (2)
P(k) உண்மை எனக் கொள்வோம் 
2 + 4 + 6 + ....  +2k  = k² + k  ..... (1)
படி (3) 
p (k  +1) உண்மை என நிரூபிப்போம் 
நிரூபிக்க 2 + 4 + 6 + .... 2k  +2 (k  + 1)
= (k  + 1)² + (k  +1) = (k  + 1) (k + 1 + 1) = (k + 1) (k + 2)
LHS = 2 + 4 + 6 + ...2k + 2 (k + 1)
= k² + k + 2k + 2 [பயன்படுத்தவும் (1) ]
= k² + 3k  + 2 = (k  +1) (k  +2) = RHS 

\(\therefore \) P (k  + 1)  என்பது உண்மை 
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல்  கொள்கையின் படி n -ன் எல்லா மதிப்புகளும் P (n ) உண்மையாகும்  என நிரூபிக்கப்பட்டது             

\(=\frac { { x }^{ 2 }+x+1 }{ \left( x-3 \right) \left( x-2 \right) } \)
தொகுதி,பகுதிகளின் படி சமம் என்பதால் தொகுதியை பகுதியில் வகுப்போம்.

\(\frac { 6x-5 }{ \left( x-3 \right) \left( x-2 \right) } =\frac { A }{ x-3 } +\frac { B }{ (x-2) } \therefore { x }^{ 2 }-5x+6=1+\frac { 6x-5 }{ { x }^{ 2 }-5x+6 } ...(1)\)
\(\frac { 6x-5 }{ \left( x-3 \right) \left( x-2 \right) } =\frac { AS\left( x-2 \right) +B\left( x-3 \right) }{ \left( x-3 \right) \left( x-2 \right) } \)
\(\Rightarrow 6x-5=A(x-2+B(x-3)\)
x = 2 என (2) -ல் பிரதியிட 
7 = B (-1) \(\Rightarrow \) B =-7
x = 3 என (2) -ல் பிரதியிட
13 = A  (1) \(\Rightarrow \) A = 13
\(\therefore \frac { 6x-5 }{ { x }^{ 2 }-5x+6 } =\frac { 13 }{ x-3 } -\frac { 7 }{ x-2 } \)
இதை (1)-ல் பிரதியிட 
\(\frac { { x }^{ 2 }+x+1 }{ { x }^{ 2 }-5x+6 } =1+\frac { 13 }{ x-3 } -\frac { 7 }{ x-2 } \)

1. y=-x³

x	0	1	-1	2	-2
y	0	-1	1	-8	8

y=f(x)=x³
y=-f(x)=-x³ இது y=f(x)-ன் x ஐப் பொறுத்து நேர்மாறு வரைபடம் ஆகும்  
2. y=x³+1

x	0	1	-1	2	-2
y	1	2	0	9	-7

f(x)=x³
y=f(x)+1
இது f(x)-ன் வரைபடத்தில் ஓரலகு மேல்நோக்கி நகர்வால் கிடைப்பது ஆகும்.
3. y=x³+1

x	0	1	-1	2	-2
y	-1	0	-2	7	-9

f(x)=x³
y=f(x)-1
இது வரைபடம்  f(x)-ன் வரைபடத்தில் ஓரலகு கீழ்நோக்கி நகர்வால் கிடைப்பது ஆகும்.
4. y=(x+1)³

x	0	1	-1	2	-2
y	1	8	0	27	-1

f(x)=x³
y=(x+1)³ இதன் வரைபடம் f (x) வரைபடத்தை ஓரலகு இடப்பக்க நகர்வால் கிடைக்கப் பெறுவது ஆகும்.

LHS = \(\cos { A } +\cos { B } -\cos { C } \)
= \(2cos\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) -\left( 1-2{ sin }^{ 2 }\cfrac { C }{ 2 } \right) \)
\(A+B+C={ 180 }^{ 0 }\Rightarrow A+B=180-C\Rightarrow \cfrac { A+B }{ 2 } =90-\cfrac { C }{ 2 } \)
\(\therefore cos\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) =cos\left( 90-\cfrac { C }{ 2 } \right) =sin\cfrac { C }{ 2 } \)
LHS = \(2sin\cfrac { C }{ 2 } cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) -1+2sin\cfrac { C }{ 2 } \)
= \(2sin\cfrac { C }{ 2 } \left[ cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) +sin\cfrac { C }{ 2 } \right] -1\)
= \(-1+2sin\cfrac { C }{ 2 } \left[ cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) +cos\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) \right] \)
= \(-1+2sin\cfrac { C }{ 2 } \left[ 2cos\cfrac { A }{ 2 } .cos\cfrac { B }{ 2 } \right] \)
= \(-1+4cos\cfrac { A }{ 2 } .cos\cfrac { B }{ 2 } .sin\cfrac { C }{ 2 } \)  \(\left( \because cosC=1-2{ \sin }^{ 2 }\cfrac { C }{ 2 } =90-\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) \right) \)
= RHS. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. 

\(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ 1.2 } +\frac { 1 }{ 2.3 } +\frac { 1 }{ 3.4 } +...+\frac { 1 }{ n(n+1) } =1 } \)
LHS = \(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ 1.2 } +\frac { 1 }{ 2.3 } +\frac { 1 }{ 3.4 } +...+\frac { 1 }{ n(n+1) } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum { \frac { 1 }{ n(n+1) } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 }+n } } } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ \frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } +\frac { n(n+1) }{2 } } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 6 }{ n(n+1)(2n+1)+3n(n+1) } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 6 }{ n(n+1)(2n+1+3) } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 6 }{ n(n+1)(2n+4) } } \)

\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 3 }{ n(n+1)(n+2) } } \)
\(=\lim _{ \frac { 1 }{ n } \rightarrow 0 }{ \frac { 3 }{ { n }^{ 3 }\left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) \left( 1+\frac { 2 }{ n } \right) } =\frac { 3 }{ { n }^{ 3 }(1+0)(1+0) } } \)
\(=\frac { 3 }{ (1+0)(1+0) } \times \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } =1\)=R.H.S

\(I=\int { { x }^{ 5 }{ e }^{ { x }^{ 2 } } } dx\)
\(=\int { { x }^{ 2 }.{ x }^{ 2 }.{ x }^{ 1 }.{ e }^{ { x }^{ 2 } }dx } \)
\({ x }^{ 2 }=t\Rightarrow 2xdx=dt\Rightarrow xxdx=\frac { dt }{ 2 } \)
\(\therefore I=\int { t.t.{ e }^{ t }\frac { dt }{ 2 } } =\int { { t }^{ 2 }{ e }^{ t } } \frac { dt }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \int { { t }^{ 2 }.{ e }^{ t }dt } \)
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தின் படி
\(\int { udv=uv-u'{ v }_{ 1 }+{ u''v }_{ 2 }.... } \)
\(\int { { t }^{ 2 }{ e }^{ t }dt={ t }^{ 2 }{ e }^{ t }-{ 2te }^{ t }+{ 2e }^{ t }+c } \)
\(={ e }^{ t }({ t }^{ 2 }-2t+2)+c\)
\(={ e }^{ { x }^{ 2 } }({ x }^{ 4 }-{ 2x }^{ 2 }+2)+c[\because t={ x }^{ 2 })\)

ஒரே நேரத்தில் பத்து நாணயங்களைச் சுண்டுவதும், ஒரே நாணயத்தைப் பத்துமுறை சுண்டுவதும் ஒரே கூறுவெளியைக் கொடுக்கும்.
S என்பது கூறுவெளி என்க 
அதாவது 
A என்பது சரியாக இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி 
B என்பது அதிகபட்சமாக இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி மற்றும்
C என்பது குறைந்த பட்சம் இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
பத்து நாணயங்கள் சுண்டப்படும்போது கூறுவெளியின் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 2ⁿ =2¹⁰=1024

n( S) = 1024
 n(A)=¹⁰C₂ =45
n(B)=¹⁰C₀+¹⁰C₁+ ¹⁰C₂=1+10 +45 =56
n(C)=¹⁰C₂+ ¹⁰C₃+¹⁰C₄+.......+¹⁰C₁₀
=n(S)−(¹⁰C₀+ ¹⁰C₁)= 1024-11=1013
தேவையான நிகழ்தகவுகள் 
(i) \(P(A)={n(A)\over n(S)}={45\over 1024}\)
(ii)\(P(B)={n(B)\over n(S)}={56\over 1024}={7\over 128}\)
(iii) \(P(C)={n(C)\over n(S)}={1013\over 1024}\)

\(x=\tan { \theta } \) என்க 
எனவே, \(\frac { 1+x }{ 1-x } =\frac { 1+\tan { \theta } }{ 1-\tan { \theta } } =\tan { \left( \frac { \pi }{ 4 } +\theta \right) } \)
\(\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+x }{ 1-x } \right) } =\tan ^{ -1 }{ \left[ \tan { \left( \frac { \pi }{ 4 } +\theta \right) } \right] } =\frac { \pi }{ 4 } +\theta =\frac { \pi }{ 4 } +\tan ^{ -1 }{ x } \)
\(y=\frac { \pi }{ 4 } +\tan ^{ -1 }{ x } \)
\({ y }^{ ' }=\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \)

(1) n(S) = 2⁸ = 256
(i) A - சரியாக 2 பூக்கள் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி 
⇒ ∴ n(A) = ⁸C₂ = \(\frac { 8\times 7 }{ 2\times 1 } \) = 4 x 7
∴ P(S) = \(\frac { n\left( A \right) }{ n\left( S \right) } =\frac { 4\times 7 }{ { 2 }^{ 8 } } =\frac { { 2 }^{ 2 }\times 7 }{ { 2 }^{ 8 } } =\frac { 7 }{ { 2 }^{ 6 } } =\frac { 7 }{ 64 } \)
(ii) B - குறைந்தபட்சம் 2 பூக்கள் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி 
n(B) = ⁸C₂ + ⁸C₃ + ⁸C₄ + ⁸C₅ + ⁸C₆ + ⁸C₇ + ⁸C₈
= n(S) = [⁸C₀ + ⁸C₁] = 2⁸ - [1 + 8]
= 2⁸ - 9 = 256 - 9 = 247
∴ P(B) = \(\frac { n\left( B \right) }{ n\left( S \right) } =\frac { 247 }{ 256 } \)
(iii) C - அதிகபட்சமாக 2 பூக்கள் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி 
∴ n(C) = ⁸C₀ + ⁸C₁ + ⁸C₂ 
= 1 + 8 + \(\frac { 8\times 7 }{ 2\times 1 } \) = 9 + 28 = 37
∴ P(C) = \(\frac { n\left( C \right) }{ n\left( S \right) } =\frac { 37 }{ 256 } \)