\(I=\int { 27{ x }^{ 2 }{ e }^{ 3x }dx } \)
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
\(\int { udv=uv-u'{ v }_{ 1 }+u''{ v }_{ 2^{ ... } } } \)
\(\therefore \int { 27{ x }^{ 2 }{ e }^{ 3x }dx } ={ x }^{ 2 }.9.{ e }^{ 3x }-2x(3e^{ 3x })+2({ e }^{ 3x })+c\)
\(={ 9x }^{ 2 }e^{ 3x }-{ 6xe }^{ 3x }+2e^{ 3x }+c\)
\(={ e }^{ 3x }({ 9x }^{ 2 }-6x+2)+c\)

f'(x)=4x+3
f'(0)=3
f'(0)=3
f'(-1)=-1
∴ f'(0)+3f(-1)=3+3(-1)=3-3=0

\(I=\int { \frac { { 8 }^{ 1+x }+{ 4 }^{ 1-x } }{ { 2 }^{ x } } dx } \) என்க
\(=\int { \frac { { (2 }^{ 3 })^{ 1+x }+{ (2 }^{ 2 })^{ 1-x } }{ { 2 }^{ x } } } dx=\int { \frac { { 2 }^{ 3+3x }+{ 2 }^{ 2-2x } }{ { 2 }^{ x } } dx } \)
\(=\int { \frac { 2^{ 3+3x } }{ { 2 }^{ x } } dx+\int { \frac { { 2 }^{ 2-2x } }{ { 2 }^{ x } } dx } } \)
\(=\int { { 2 }^{ 3+3x-x }dx+\int { 2^{ 2-2x-x }dx } } \)
\(=\int { 2^{ 3+2x }dx+\int { { 2 }^{ 2-3x }dx } } \)
\(=\frac { 2^{ 3+2x } }{ log2 } -\frac { { 2 }^{ 2-3x } }{ -3log2 } +c=\frac { { 2 }^{ 3+2x } }{ log2 } -\frac { { 2 }^{ 2-3x } }{ 3log2 } +c\)

\(\int { \frac { { sin }^{ 2 }x }{ 1+cosx } dx } =\int { \frac { (1-{ cos }^{ 2 }x) }{ 1+cosx } dx } [\because { sin }^{ 2 }x+{ cos }^{ 2 }x=1]\)
\(=2\frac { (1+cosx)(1-cosx) }{ 1+cosx } dx=\int { (1-cosx)dx } \)
\(=\int { dx } -\int { \cos xdx=x-\sin x+c } \)

\(u=​​\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { 2x }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) } ,v=\tan ^{ -1 }{ x } \)
\(u=​​\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { 2x }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) } \)
\(x=\tan\theta \)என்க 
\(\Rightarrow \theta =\tan ^{ -1 }{ x } \)
\(\therefore u=\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { 2tan\theta }{ 1+{ tan }^{ 2 }\theta } \right) } \)
\(=\sin ^{ -1 } (sin2\theta )=2\theta \)
\(=2\tan ^{ -1 }{ x } \)
\(\therefore \frac { du }{ dx } =\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \)மற்றும்\(\frac { dv }{ dx } =\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \)
\(\therefore \frac { du }{ dx } =\frac { \frac { du }{ dx } }{ \frac { dv }{ dx } } =\frac { \frac { 2 }{ 1+{ x }^{ 2 } } }{ \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } } \)
\(\frac { du }{ dx } =\frac { 2 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \times \frac { 1+{ x }^{ 2 } }{ 1 } =2\)
\(\therefore \frac { du }{ dx } =2\)

\(\lim _{ x\rightarrow 3 }{ ({ x }^{ 2 }-6x+5) } ={ 3 }^{ 3 }-6\times 3+5=-4\)
\(\lim _{ x\rightarrow 3 }{ ({ x }^{ 3 }-8x+7) } ={ 3 }^{ 3 }-8\times 3+7=10\neq 0 \)
எனவே \(\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \frac { ({ x }^{ 2 }-6x+5) }{ { x }^{ 3 }-8x+7 } } =\frac { \quad \quad \lim _{ x\rightarrow 3 }{ ({ x }^{ 2 }-6x+5) } }{ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ ({ x }^{ 3 }-8x+7) } } =\frac { -4 }{ 10 } =-\frac { 2 }{ 5 } .\)

(A - 2I) = \(\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & x \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\)
= \(\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & x \end{pmatrix}-\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -1 & x-2 \end{bmatrix}\)
(A - 3I) = \(\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & x \end{pmatrix}-3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
= \(\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & x \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & x-3 \end{pmatrix}\)
(A-2I) (A-3I) = \(\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & x-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & x-3 \end{pmatrix}\)= 0 என தரப்பட்டுள்ளது.   
\(\begin{bmatrix} \left( 2-2 \right) & 4+\left( 2x-6 \right) \\ 1-\left( x-2 \right) & 2+\left( x-2 \right) \left( x-3 \right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
4 + 2x - 6 = 0
2x  - 2 = 0
2x  = 2
x  = 1

கொசைன் விதியின்படி,
\(\cos { A } =\frac { { b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } }{ 2bc } =\frac { { 5 }^{ 2 }+{ 7 }^{ 2 }-{ 3 }^{ 2 } }{ 2(5)(7) } =\frac { 13 }{ 14 } \)
இதே போன்று, \(\cos { B } =\frac { 11 }{ 14 } ,\cos { C } =-\frac { 1 }{ 2 } \)

ⁿP_r = 720, ⁿC_r = 120  என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 
\(\frac { n! }{ \left( n-r \right) ! } \) = 720 ......(1)
\(\frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } \) = 120 ........(2)
\(\frac { \frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } }{ \frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } } \) = \(\frac { 720 }{ 120 } \) (1) மற்றும்  (2) னை வகுக்க )
\(\frac { n! }{ \left( n-r \right) ! } \times \frac { r!\left( n-r \right) ! }{ n! } =6\)
\(\Rightarrow \)  r! = 6 \(\Rightarrow \) r! = 3 x  2 x  1 = 3!
r  = 3
r  = 3 என்பதை  (1) ல் பிரதியிட 
\(\frac { n! }{ \left( n-r \right) ! } =\frac { n! }{ \left( n-r \right) ! } \) = 720 \(\Rightarrow \) \(\frac { n! }{ r!\left( n-3 \right) ! } \) = 720
\(\Rightarrow \) \(\frac { n\left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \left( n-3 \right) ! }{ \left( n-3 \right) ! } \) = 720  \(\Rightarrow \) n(n-1) (n-2) = 720
\(\Rightarrow \)  n (n - 1) (n-2) = 10 x 9 x 8
\(\Rightarrow \) n = 10    

வானூர்திக் கட்டணம்
C(m)=0.4m+50
எரிபொருள் கட்டனாம் S(m)=0.03m
வானூர்தி பயணக் கட்டணம் =C(m)+S(m)
\(\therefore f(x)=0.4m+50+0.03m\)
\(=0.43m+50\)
m=1600 மைல்கள் 
\(\therefore 1600\) மைல்கல் வான்தொலைவு பயணச்சீட்டின் கட்டணம் =0.43 x 1600+50=Rs. 738.

மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி,
\(\log\frac { 75 }{ 16 } -2\log\frac { 5 }{ 9 } +\log\frac { 32 }{ 243 } \)= log 75 - log 16 - 2 log 5 + 2 log 9 + log 32 - log 243
(வகுத்தல் விதியின்படி)
= log 3 + log 25 - log 16 - log 25 + log 81 + log 16 + log 2 - log 81 - log 3
= log 2

தேவையான கோட்டின் சமன்பாடு \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) இது x அச்சை A என்ற புள்ளியிலும் y அச்சை B-யிலும் சந்திக்கிறது.
P(1,5) என்ற புள்ளி AB ஐ 3:10 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது எனில் P -ன் அச்சுத் தொலைவு
\(\frac { x }{ 3k } +\frac { y }{ 10k } =1\)
(1, 5) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்வது
\(\therefore \frac { 1 }{ 3k } +\frac { 5 }{ 10k } =1\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3k } +\frac { 5 }{ 2k } =1\Rightarrow \frac { 2+3 }{ 6k } =1\)
\(\Rightarrow \frac { 5 }{ 6k } =1\Rightarrow k\frac { 5 }{ 6 } \)
\(\therefore\) சமன்பாடு \(\frac { x }{ 3\left( \frac { 5 }{ 6 } \right) } +\frac { y }{ 10\left( \frac { 5 }{ 6 } \right) } =1\)
\(\Rightarrow \frac { 2x }{ 5 } +\frac { 3y }{ 25 } =1\)

f(x)=|x|-1 என்ற வளைவரை, f(x)=|x| என்ற வளைவரையை ஒரு அலகு கீழ்நோக்கி நகர்த்திக் கிடைக்கப் பெறுவது ஆகும்.
f(x)=|x|+1 என்ற வளைவரை, f(x)=|x| என்ற வளைவரையை ஒரு அலகு மேல்நோக்கி நகர்த்திக் கிடைக்கப் பெறுவது ஆகும்.

A∩B'∩C' ⊆ A ⊆ A U B' U C என்பது தெளிவு 
எனவே (A U B' U C) ∩ (A ∩ B' ∩ C') = A ∩ B' ∩ C'
மேலும் B'∩C'⊆ C'⊆ A U B U C'
எனவே (A U B U C') ∩ (B' ∩ C') = B'∩C' மேலும் A ∩ B' ∩ C' ⊆ B' ∩ C'
எனவே  ((A U B' U C)∩(A ∩ B' ∩ C')) U ((A U B' U C') ∩ (B' ∩ C')) = B'∩C'

S என்பது கூறுவெளி என்க 
A என்பது சிறிய நிலை (3வது நிலை )சிவப்பு வர்ணம் பூசும் நிகழ்ச்சி என்க 
n(S) = 6P₃= 6 x 5 x 4=120
n(A)=5×4= 20

\(P(A)={n(A)\over n(S)}={20\over 120}={1\over 6}\)

a+b\(\le\) 6,a,b ∈ N ; a R b 
\(a+b\le6\Rightarrow a\le6-b\)

வரிசை ஜோடிகள் (5,1),(4,2),(3,3),(2,4),(1,5)
சமச்சீர் தொடர்பு:
\((5,1)\in R\)
\((1,5)\in R\)
\((2,4)\in R\)
\((4,2)\in R\)
\(\therefore R\) ஒரு சமச்சீர். 

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A\(\cap\)B)
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A).P(B)(A மற்றும் B சார்பில் நிகழ்ச்சிகள்)
அதாவது 0.9=0.4+P(B)-(0.4)P(B)
=0.9-0.4=(1-0.4)P(B)
P(B)=\({5\over 6}\).

\(I=\int { \frac { \sin\sqrt { x } }{ \sqrt { x } } dx } \) எனக் 
\(\sqrt { x } =u\Rightarrow \frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } dx=du\Rightarrow \frac { dx }{ \sqrt { x } } =2du\)
\(\therefore I=2\int { \sin u.du=2\int { \sin udu } } \)
\(=-2\cos u+c=-2\cos\sqrt { x } +c\)

\(y=\cos { (\tan { x } ) } \)
\(u=tanx\Rightarrow y=cosu\)என்க.
\(\frac { du }{ dx } =sec^{ 3 } \) மற்றும் \(\frac { dy }{ du } =-sinu\)
\(\therefore \frac { dy }{ du } =\frac { dy }{ du } \times \frac { du }{ dx } \)
\(=-\sin u\times sec^{ 2 }x\)
\(=-\sin(\tan x)\times \sec^{ 2 }x[\because u=\tan x]\)

\(f(x)=x|x|=\{ \begin{matrix} { x }^{ 2 }, & x\ge 0 \\ -{ x }^{ 2 }, & x<0 \end{matrix}\)
\(f'({ 0 }^{ - })={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }\frac { f(x)-f(0) }{ x-0 } \)
\(={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }\frac { { -x }^{ 2 }-0 }{ x-0 } \)
\(={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }\frac { { -x }^{ 2 } }{ x } ={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }(-x)=0\).....(1)
\(\therefore f'({ 0 }^{ + })={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }\frac { f(x)-f(0) }{ x-0 } \)
\(={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }\frac { { x }^{ 2 }-0 }{ x-0 } \)
\(={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }\frac { { x }^{ 2 } }{ x } ={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }x=0\).....(2)
\((1),(2)\Rightarrow f'({ 0 }^{ - })=f'({ 0 }^{ + })\)
f(x) = x|x|-க்கு x = 0 வகைமை உள்ளது