x =x₀ - ல் f(x) - ன் எல்லை அமையாது.

\({ a }_{ ij }=\frac { \left| 3i-4j \right| }{ 4 } \) m=3, n =4 
\(A=\left( \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } & { a }_{ 14 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } & { a }_{ 24 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 33 } & { a }_{ 34 } \end{matrix} \right) \)
\({ a }_{ 11 }=\frac { \left| 3\times 1-4\times 1 \right| }{ 4 } =\frac { \left| 3-4 \right| }{ 4 } =\frac { \left| -1 \right| }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 } \)
\({ a }_{ 12 }=\frac { \left| 3\times 1-4\times 2 \right| }{ 4 } =\frac { \left| 3-8 \right| }{ 4 } =\frac { \left| -5 \right| }{ 4 } =\frac { 5 }{ 4 } \)
\({ a }_{ 13 }=\frac { \left| 3\times 1-4\times 3 \right| }{ 4 } =\frac { \left| 3-12 \right| }{ 4 } =\frac { \left| -9 \right| }{ 4 } =\frac { 9 }{ 4 } \)
\({ a }_{ 14 }=\frac { \left| 3\times 1-4\times 4 \right| }{ 4 } =\frac { \left| 3-16 \right| }{ 4 } =\frac { \left| -13 \right| }{ 4 } =\frac { 13 }{ 4 } \)
\({ a }_{ 21 }=\frac { \left| 3\times 2-4\times 1 \right| }{ 4 } =\frac { \left| 6-4 \right| }{ 4 } =\frac { \left| -2 \right| }{ 4 } =\frac { 2 }{ 4 } \)
\({ a }_{ 22 }=\frac { \left| 3\times 2-4\times 2 \right| }{ 4 } =\frac { \left| 6-8 \right| }{ 4 } =\frac { \left| -2 \right| }{ 4 } =\frac { 2 }{ 4 } \)
\({ a }_{ 23 }=\frac { \left| 3\times 2-4\times 3 \right| }{ 4 } =\frac { \left| 6-12 \right| }{ 4 } =\frac { \left| -6 \right| }{ 4 } =\frac { 6 }{ 4 } \)
\({ a }_{ 24 }=\frac { \left| 3\times 2-4\times 4 \right| }{ 4 } =\frac { \left| 6-16 \right| }{ 4 } =\frac { \left| -10 \right| }{ 4 } =\frac { 10 }{ 4 } \)
\({ a }_{ 31 }=\frac { \left| 3\times 3-4\times 1 \right| }{ 4 } =\frac { \left| 9-4 \right| }{ 4 } =\frac { \left| 5 \right| }{ 4 } =\frac { 5 }{ 4 } \)
\({ a }_{ 32 }=\frac { \left| 3\times 3-4\times 2 \right| }{ 4 } =\frac { \left| 9-8 \right| }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 } \)
\({ a }_{ 33 }=\frac { \left| 3\times 3-4\times 3 \right| }{ 4 } =\frac { \left| 9-12 \right| }{ 4 } =\frac { \left| -3 \right| }{ 4 } =\frac { 3 }{ 4 } \)
\({ a }_{ 34 }=\frac { \left| 3\times 3-4\times 4 \right| }{ 4 } =\frac { \left| 9-16 \right| }{ 4 } =\frac { \left| -7 \right| }{ 4 } =\frac { 7 }{ 4 } \)
\(\therefore\) \(A=\left[ { a }_{ ij } \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 4 } & \frac { 5 }{ 4 } & \frac { 9 }{ 4 } & \frac { 13 }{ 4 } \\ \frac { 2 }{ 4 } & \frac { 2 }{ 4 } & \frac { 6 }{ 4 } & \frac { 10 }{ 4 } \\ \frac { 5 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 4 } & \frac { 3 }{ 4 } & \frac { 7 }{ 4 } \end{matrix} \right] \)
=  \(\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 9 & 13 \\ 2 & 2 & 6 & 10 \\ 5 & 1 & 3 & 7 \end{matrix} \right] \)

4x-3y+l=0; l ∈ R

(x-2) (x+3)2<0 மாறுநிலை எண்கள் 2, -3
மூன்று இடைவெளிகள் (-∞, -3), (-3,2),(2,∞) உள்ளன. 

அசமன்பாடானது (-\(\infty \),-3)∪(-3,2) என்ற இடைவெளியில் நிறைவு செய்யப்படுகிறது.
தீர்வு கணம் (-\(\infty \),-3)∪(-3,2) 

n(A∆B)=n(A∪B)-n(A⋂B)
n(A∆B)=10-3=7
n(P(A∆B))=2⁷=128

\(f(x)=x-3\sin { x } \)
\(f'(x)=\frac { d }{ dx } (x)-3\frac { d }{ dx } (\sin x)=1-3 \cos x\).

கொடுக்கப்பட்ட சார்பிற்கு எல்லை மதிப்பு உள்ளது.
x \(\rightarrow\) 8 என்பது x ஆனது 8 ஐ நெருக்கும்பொழுது சார்பின் மதிப்பு 25ஐ பெறுகிறது.
சார்பின் கீழ் (இடது எல்லை) மதிப்பு  = வலது பக்க எல்லை மதிப்பு.
அதாவது
\(\lim _{ x\rightarrow { 8 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 8 }^{ + } }{ f(x)=25 } } \)
\(\therefore f({ 8 }^{ - })=f({ 8 }^{ + })=-25\) ஆகும்.

x = 1 எனும் பொழுது
y = 1² + 2 = 3
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow 1 }{ f(x)=3 } \)

(i) (n + 1)! = 20 (n - 1)! கொடுக்கப்பட்டுள்ளது   
\(\Rightarrow \)  (n + 1) (n) (n - 1)! = 20 (n - 1)!
\(\Rightarrow \) (n + 1) (n) = 20
\(\Rightarrow \) n² + n - 20 = 0
\(\Rightarrow \) (n  + 5) (n - 4) = 0
n = -5  ஆக இருக்க முடியாது 
\(\therefore \)  n  = 4

X={x,y,z} , f= {(x,y), (x,z),(z,x)}; (f:X ⟶X)

f ஒரு சார்பு அல்ல.
ஏனென்றால் x ∈ X ற்கு இரண்டு நிழல் உறுப்புக்கள் உள்ளன (x,y)(x,z).

2 sin 10\(\theta\)  cos2 = \(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \sin\left( 10\theta +2\theta \right) +\sin\left( 10\theta -2\theta \right) \right] \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \sin12\theta +\sin 8\theta \right) \)

\([(256^{ \frac { -1 }{ 2 } })^{ \frac { -1 }{ 4 } }]^{ 3 }\) \(=[256]^{ \frac { -1 }{ 2 } \times \frac { -1 }{ 4 } \times 3 }=[256]^{ \frac { 3 }{ 8 } }=[2^{ 8 }]^{ \frac { 3 }{ 8 } }=2^{ 8\times \frac { 3 }{ 8 } }={ 2 }^{ 3 }=8\)

135⁰ = 135 x \(\frac { \pi }{ 180 } =\frac { 3\pi }{ 4 } \)  ஆரையன்கள்

E = {x ∈ N : x என்பது ஒரு விகிதமுறு எண்}.
\(\Rightarrow E=\{{1\over1},{2\over1},{3\over1},{4\over1}......... \}\)
\(\Rightarrow E\) ஒரு முடிவுறா கணம்.

A={ x ∈ N,x என்பது ஒரு இரட்டைப்படை பகா எண்}என்க,
\(\Rightarrow\)A = {2}\(\Rightarrow\) A ஒரு முடிவுறு கணம்

-x² + 3x + 1 = 0 
a = -1, b = 3, c = 1.
D = b² - 4ac
 = 32 - 4 x -1 x 1 
= 9 + 4 = 13.
D > 0 \(\therefore \) மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றது.

l,m,n \(\in\) p என்க.
தற்சுட்டு:
ஆனதிற்கு செங்குத்தாக இருக்க முடியாது.
ஒரு தற்சுட்டு தொடர்பு அல்ல.
சமச்சீர் தொடர்பு:
lRm=mRl
l ஆனது m ற்குச் செங்குத்து 
m ஆனது l ற்குச் செங்குத்து 
\(\therefore R\) என்பது ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு.
கடப்புத் தொடர்பு:
l R m மேலும் m R n\(\neq\)l R n
l ஆனது m ற்குச் செங்குத்து 
m ஆனது n ற்குச் செங்குத்து
ஆனால் l ஆனது  n ற்குச் செங்குத்து ஆக இருக்க முடியாது 
\(\therefore R\) ஆனது ஒரு கடப்புத் தொடர்பு அல்ல. 
\(\Rightarrow R\) என்பது ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு மட்டுமே.

தேவையான நியமப்பாதையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி P(h,k)என்க.
கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களிலிருந்து, h = ct மற்றும் \(k=\frac { c }{ t } \)  ஆகும்.
இவ்விரு சமன்பாடுகளைப் பெருக்கி t-ஐ நீக்கலாம்.
(h)(k) = ct\(\left( \frac { c }{ t } \right) \)  ⇒ hk = c², h = x மற்றும் k = y எனப் பிரதியிட
∴ தேவையான நியமப்பாதையின் சமன்பாடு xy=c²

\(\Rightarrow 4\left| x-\frac { 5 }{ 4 } \right| \ge 2\Rightarrow \left| x-\frac { 5 }{ 4 } \right| \ge -\frac { 2 }{ 4 } \)

A = {x : x = 4n + 1, n = 2,3,4,5} = {9,13,17,21} எனவே (n)A = 4 = n(p(A)) = 2⁴ = 16

\(f(x)=\left| x-4 \right| =\begin{cases} -(x-4);\quad x<4 \\ (x-4)\quad ;\quad x\ge 4 \end{cases}\\ \)
\({ f }^{ ' }(x)=\begin{cases} -1,\quad x<4 \\ +1,\quad x\ge 4 \end{cases}\)
எனவே\({ f }^{ ' }(3)=-1,\ { f }^{ ' }(5)=1\)

 \(\int { { \sec }^{ 2 }(\frac { x }{ 5 } )dx=\frac { tan(\frac { x }{ 5 } ) }{ \frac { 1 }{ 5 } } } +c\)
\(= 5\tan(\frac { x }{ 5 } )+c\) 

p ஒரு தளத்திலுள்ள அனைத்து முக்கோணங்களின் கணம் என்க.
p-ல் R என்ற தொடர்பானது "a ஆனது b-ன் வடிவொத்தவையாக இருப்பின் aRb " என வரையறுக்கப்படுகிறது.
a,b,c\(\in \)P என்க.
தற்சுட்டு:
a R a\(\Rightarrow \)a ஆனது a க்கு வடிவொத்தது. a\(\in \)P
∴R ஒரு தற்சுட்டு.
சமச்சீர் தொடர்பு:
a R b \(\Rightarrow \)b R a 
a ஆனது b க்கு வடிவொத்தது.
b ஆனது a க்கு வடிவொத்தது. a,b \(\in \)P
∴R ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு.
கடப்புத்  தொடர்பு: 
a R b, b R a \(\Rightarrow \) a R c
a ஆனது b க்கு வடிவொத்தது.
b ஆனது c க்கு வடிவொத்தது.
\(\therefore\) a ஆனது c க்கு வடிவொத்தது.
a,b,c \(\in \)P∴ R ஒரு கடப்புத் தொடர்பு 
∴ R ஒரு சமானத் தொடர்பு ஆகும்.

-3 |x| + 5 ≤ - 2
\(\Rightarrow -3\left| x \right| \le -7\)
\(\Rightarrow \left| x \right| \ge \frac { 7 }{ 3 } \)
\(\Rightarrow \frac { -7 }{ 3 } \ge \left| x \right| \ge \frac { 7 }{ 3 } \)
தீர்வுக்கணம் \((-\infty,{-7\over 3}]\cup [{7\over 3},\infty)\)