சார்பு f-ன் வரையறைப்படி சார்பகம் மூடிய இடைவெளி [-1,1]ஆகும்.
(1-x2≥0 ஆக இருக்கும்போது f வரையறுக்கப்படுகிறது.) 
c ∈(-1,1) என்ற ஏதேனும் ஒரு புள்ளிக்கு 

\(\underset { x\rightarrow c }{ lim } f(x)=\underset { x\rightarrow c }{ lim } \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } ={ \left[ \underset { x\rightarrow c }{ lim } (1-{ x }^{ 2 }) \right] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\)
\(={ (1-{ c }^{ 2 }) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }f(c).\)
\(\underset { x\rightarrow { -1 }^{ + } }{ lim } f(x)=\underset { x\rightarrow { -1 }^{ + } }{ lim } { (1-{ x }^{ 2 }) }^{ ^{ \frac { 1 }{ 2 } } }=0=f(1)\)
\(\underset { x\rightarrow 1^{ - } }{ lim } f(x)=\left[ \underset { x\rightarrow 1^{ 1 } }{ lim } \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right] =0=f\left( -1 \right) \)
இவ்வாறாக f என்ற சார்பு [-1.1] இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானது. இந்தக் கணக்கினை சார்புகளின் சேர்ப்புத் தேற்றம் மூலமும் தீர்க்கலாம்.

கொடுக்கப்பட்டது \(\overset { \rightarrow }{ a } =2\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } \)
\(\\ |\overset { \rightarrow }{ a } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+{ (-2) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 4+1+4 } =\sqrt { 9 } =3\)
\(\overset { \rightarrow }{ b } =\hat { i } +\hat { j } \)
\(|\overset { \rightarrow }{ b } |=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 2 } \)
\(|\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } |2\sqrt { 2 } \)
\({ |\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } | }^{ 2 }={ (2\sqrt { 2 } ) }^{ 2 }\)
\(\therefore { |\overset { \rightarrow }{ c } | }^{ 2 }+{ |\overset { \rightarrow }{ a } | }^{ 2 }-2(\overset { \rightarrow }{ c } .\overset { \rightarrow }{ a } )=8\)
\({ |\overset { \rightarrow }{ c } | }^{ 2 }+9-2{ |\overset { \rightarrow }{ c } | }=8[\because |\overset { \rightarrow }{ a } |=3,\overset { \rightarrow }{ c } .\overset { \rightarrow }{ a } =|\overset { \rightarrow }{ c } |]\)
\(\left| \vec { c } \right| ^{ 2 }-2\left| \vec { c } \right| +1=0\)
\(\left[ \left| \vec { c } -1 \right| \right] ^{ 2 }=0\)
\(\left| \vec { c } \right| -1=0\)
\(\left| \vec { c } \right| =1\)
Also \(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} \right| \)
=\(\hat { i } (0+2)-\hat { j } (0+2)+\hat { k } (2-1)\)
\(=2\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \)
\(=\left| \vec { a } \times \vec { b } \right| =\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-2)^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } \)
\(\sqrt { 4+4+1 } =\sqrt { 9 } =3\)
\(\therefore \left| \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \vec { c } \right| =\left| \vec { a } \times \vec { b } \right| \left| \vec { c } \right| sin30\)
[\(\therefore \vec { a } \times \vec { b }\) மற்றும் \( \vec { c } \) இவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணம் 30^o]  
\(= 3(1)\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) =\left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) \)

A=\(\left| \begin{matrix} -2a & a+b & c+a \\ a+b & -2b & b+c \\ c+a & c+b & -2c \end{matrix} \right| \)
a=-bஎன்க 
\(\left| \begin{matrix} 2b & 0 & c-b \\ 0 & -2b & b+c \\ c-b & c+b & -2c \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 2b & 0 & c-b \\ 2b & -2b & b+c \\ b+c & l+c & -(b+c) \end{matrix} \right| \)
\({ R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 1 }\)
\({ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 1 }\)
\(=2b(b+c)\left| \begin{matrix} 2b & 0 & c-b \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (a+b) ஒரு காரணி 
அதே போல் (b+c) காரணிகள் 
(∴ |A| என்பது a,b,c யில் வட்ட சமச்சீரானது)
|A|-ன் படி 3கிடைக்கப் பெற்ற காரணிகளின் பெற்ற தொகை படி 3.
∴ |A|=k(a+b)(b+c)(c+a)
மதிப்புகள் பிரதியிட k=4
\(\therefore \left| \begin{matrix} -2a & a+b & c+a \\ a+b & -2b & b+c \\ c+a & c+b & -2c \end{matrix} \right| =4(a+b)(b+c)(c+a)\)

கொடுத்துள்ள தொடரை \(\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 5 }{ n(n+2) } } \)
nவது உறுப்பு ∴ an\(=\frac{5}{n(n+2)}\)
பகுதி பின்னத்தின் மூலமாக, 
\(\frac { 5 }{ n(n+2) } =\frac { 5 }{ 2n } -\frac { 5 }{ n(n+2) } \)
n உறுப்புகளின் கூடுதல் S_n என்க.
∴ S_n=a₂+a₂+...+a_n
\(=\left( \frac { 5 }{ 2 } -\frac { 5 }{ 6 } \right) +\left( \frac { 5 }{ 4 } -\frac { 5 }{ 8 } \right) +\left( \frac { 5 }{ 6 } -\frac { 5 }{ 10 } \right) +...+\left( \frac { 5 }{ 2(n-1) } -\frac { 5 }{ 2(n+1) } \right) +\left( \frac { 5 }{ 2n } -\frac { 5 }{ 2(n+2) } \right) \)
\(=\frac { 5 }{ 2 } +\frac { 5 }{ 4 } -\frac { 5 }{ 2(n+1) } -\frac { 5 }{ 2(n+2) } \)
n முடிவிலியை நோக்கிச் செல்ல,\(\frac{5}{2(n+1)}\)மற்றும் \(\frac { 5 }{ 2(n+2) } \frac { 5 }{ 2 } =\frac { 5 }{ 4 } -\frac { 5 }{ 2(n+1) } -\frac { 5 }{ 2(n+1) } \) ஆனது \(\frac { 5 }{ 2 } +\frac { 5 }{ 4 } =\frac { 15 }{ 4 } \)அடைகிறது. அல்லது \({ S }_{ n }\rightarrow \frac { 15 }{ 4 } \)அதாவது, \(\\ \\ \frac { 5 }{ 1\times 3 } +\frac { 5 }{ 2\times 4 } +\frac { 5 }{ 3\times 5 } +...=\frac { 15 }{ 4 } \)

ஆங்கில எழுத்துகளின் வரிசைப்படி A,E,L,P,P,P என்ற எழுத்து இரு முறை வருகிறது.
AE என தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac{3!}{2}=3\)
AL தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac{3!}{2}=3\)
APE என தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை 
=2!=2
APPEL=1
APPLE=1
APPLE என்ற வார்த்தை தரம் 
=3+3+2+2+1+1=12 நிரூபிக்கப்பட்டது.

ஒரு மூலம்  x=1என தரப்பட்டால் 
வகுத்த மூலம் கிடைப்பது,
(x-1)(x-2)(x-3)=0
பிற மூலங்கள் 2,3
∴ x=1,2,3

f(4)=3(4)-2=10
f(-4)=2(-4)+1=-7
f(0)=0²-2=-2
f(-7)=2(-7)+1=-13

(i) காலி இடங்களை 4 எழுத்துக்களைக் கொண்டு எத்தனை வழிகளில் நிரப்பலாமோ அத்தனை 4 எழுத்துக் சரங்கள் இருக்கும். இதில் எழுத்துக்கள் திரும்பவரக்கூடாது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். முதல் இடத்தை B, I, R, D என்ற எழுத்துக்களில் ஒன்றினைக் கொண்டு 4 வெவ்வேறான வழிகளில் நிரப்பலாம். இதே போல, இரண்டாவது இடத்தை மீதமுள்ள 3 எழுத்துக்களைக் கொண்டு 3 வெவ்வேறான வழிகளிலும், மூன்றாவது இடத்தை 2 வழியிலும் நிரப்பலாம், நான்காவது இடத்தை 1 வழியிலும், மூன்றாவது இடத்தை 2 வழியிலும் நிரப்பலாம், நான்காவது இடத்தை 1 வழியிலும் நிரப்பலாம்.
ஆகவே, 4 இடங்களை நிரப்பும் வழிகளின் எண்ணிக்கை பெருக்கல் விதிப் படி 4 × 3 × 2 × 1 = 24. எனவே தேவையான எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 24 ஆகும்
(ii) இங்கு 5 இடங்களை நிரப்ப 5 வெவ்வேறான எழுத்துக்கள் உள்ளன. முதல் இடத்தை P,R,I,M,E என்ற எழுத்துக்களில் ஏதேனும் ஒன்றைக் கொண்டு 5 வழிகளில் நிரப்பலாம். முதல் இடத்தை 5 எழுத்துக்களில் ஏதேனும் ஒன்றைக் கொண்டு நிரப்பிய பின்பு, மீதமுள்ள 4 எழுத்துக்களைக் கொண்டு இரண்டாவது இடத்தையும், மூன்றாம் இடத்தை நிரப்பிய மீதமுள்ள கடைசி எழுத்தை ஐந்தாம் இடத்தில் நிரப்பலாம்.
எனவே, ஐந்து இடங்களை நிரப்பும் வகைகளின் எண்ணிக்கை 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

\(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-2x-8 }{ x+2 } ,{ x }_{ 0 }=-2\)
f(x) ஆனது x = -2 - ல் அமையாது.
\(\therefore\) இதற்கு x = -2-ல் நீக்கக் கூடிய தொடர்ச்சியற்ற தன்மை உள்ளது.
\(\lim _{ x\rightarrow -2 }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow -2 }{ \frac { { x }^{ 2 }-2x-8 }{ x+2 } } } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow -2 }{ x-4=-2-4=-6 } \)
\(\therefore \) g(x) ஓர் தொடர்ச்சியான சார்பு
\(g(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-2x-8 }{ x+2 } ,x\neq -2 \\ -6,\quad x=-2\quad \quad \end{cases}\)என எழுதலாம்.

A  = \(\left| \begin{matrix} 0 & cos\theta & sin\theta \\ cos\theta & sin\theta & 0 \\ sin\theta & 0 & cos\theta \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} 0 & cos\theta & sin\theta \\ cos\theta & sin\theta & 0 \\ sin\theta & 0 & cos\theta \end{matrix} \right| \) என்க.  
cos 2\(\theta\) = 2cos² \(\theta\) - 1 = 0
2cos² \(\theta\) = 1
cos² \(\theta\) = 1/2
cos \(\theta\) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), sin \(\theta\) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
 = \(\left| \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \end{matrix} \right| \)
\(\therefore \)  \(\triangle \) = \(\left| \begin{matrix} 0+\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) +\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) & \left( 0+\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( 0+0+\frac { 1 }{ 2 } \right) \\ \left( 0+\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+0 \right) \\ \left( 0+0+\frac { 1 }{ 2 } \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+\frac { 1 }{ 2 } \right) \end{matrix} \right| \)
= \(\left| \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 2 } & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & 1 & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & \frac { 1 }{ 2 } & 1 \end{matrix} \right| \) 
= \(1\left( 1-\frac { 1 }{ 4 } \right) -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } \right) \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2 } \right) \)
= \(\frac { 3 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 8 } -\frac { 1 }{ 8 } =\frac { 6-2 }{ 8 } =\frac { 4 }{ 8 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
 தீர்வு = \(\frac { 1 }{ 2 } \)

P₁=(0,0) விலிருந்து x secθ +y cosθ = 2aθ  ற்கு இடைப்பட்ட செங்குத்துத் நீளம் என்க.
P₁=\(\pm \left( \frac { x(0)+y(0)-2a }{ \sqrt { { sec }^{ 2 }\theta +cosec\theta } } \right) \)
=\(\frac { 2a }{ \sqrt { \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }\theta } \_ \frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }\theta } } } =\frac { 2a }{ \sqrt { \frac { { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta }{ { cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta } } } \) [\(\therefore \)sin²θ +cos²θ=1]
P₁=\(\frac { 2a }{ \sqrt { \frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }\theta .{ cos }^{ 2 }\theta } } } \)=2a sinθ cosθ -----(1)
P₂=(0, 0) விலிருந்து x cosθ -y sinθ -a cosθ 2 செங்குத்துத் தொலைவு என்க.
=\(\pm \left( \frac { x(0)+y(0)-acos2\theta }{ \sqrt { { sin }^{ 2 }\theta +{ (-{ cos }^{ 2 }\theta ) }^{ 2 } } } \right) \)
=\(\frac { acos2\theta }{ \sqrt { 1 } } \)
=a.cos²θ  [sin²θ+cos²θ=1] -----(2)
(1), (2)-ஐ வர்க்கப்படுத்தி கூட்டினால் கிடைப்பது 
P₁²+P₂²=(2asinθ cosθ)²+(a.cos²2θ)² 
=(a.sin2θ)²+(a.cos2θ)² [\(\therefore \)sin 2θ=2cosθ sinθ]
=a²sin²2θ+a²cos²2θ=a²+cos²2θ)
=a²(1)  \(\therefore \)P₁²+P₂²=a², எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது. 

P(n)=\(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{n.(n+1).(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\) என்க.
படி (1)
⇒ n =1 என்க
\(\frac { 1 }{ 1.2.3 } =\frac { 1(1+3) }{ 4(1+1)(+2) } \Rightarrow \frac { 1 }{ 6 } =\frac { 4 }{ 4(2)(3) } =\frac { 1 }{ 6 } \)
P(1) என்பது உண்மை.
படி (2)
P(k)-ம் உண்மை எனக் கொள்வோம்.
∴ \(\frac { 1 }{ 1.2.3 } +\frac { 1 }{ 2.3.4 } +..+\frac { 1 }{ k(k+1)(k+2) } =\frac { k(k+3) }{ 4(k+1)(k+2) } \)  ...(i)
படி (3)
⇒ P(k+1)-ம் உண்மை என நிரூபிப்போம்.
\(\frac { 1 }{ 1.2.3 } +\frac { 1 }{ 2.3.4 } +...+\frac { 1 }{ k(k+1)(k+2) } =\frac { (k+1)(k+4) }{ 4(k+2)(k+3) } \)
LHS =\(\frac { 1 }{ 1.2.3 } +\frac { 1 }{ 2.3.4 } +...+\frac { 1 }{ k(k+1)(k+2) } +\frac { 1 }{ (k+1)(k+2)(k+3) } \)
=\(\frac { k(k+3) }{ 4(k+1)(k+2) } +\frac { 1 }{ (k+1)(k+2)(k+3) } =\frac { 1 }{ (k+2)(k+1) } \left[ \frac { k(k+3) }{ 4 } +\frac { 1 }{ (k+3) } \right] \)
=\(\frac { 1 }{ (k+2)(k+1) } \left[ \frac { k(k+3)^{ 2 }+4 }{ 4(k+3) } \right] =\frac { 1 }{ 4(k+1)(k+2)(k+3) } \)[k(k2+6k+9)+40
=\(\frac { 1 }{ 4(k+1)(k+2)(k+3) } \)[k³+6k²+9k+4]
=\(\frac { 1 }{ 4(k+1)(k+2)(k+3) } \)[(k+1)(k+1)(k+4)]=(k+1)(k+1)(k+4)
∴ P(k+1) என்பது உண்மையாகும்.
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

ஒரு கூட்டுத் தொடர் முறையானது ஒரு நேரிய சார்பு ஆகும். x என்பது உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் y என்பது அந்த உறுப்பின் மதிப்பு என்க
(x₁, y₁) மற்றும் (x₂, y₂) முறையே (7, 30) மற்றும் (10, 21) என்க.
y-y₁=m(x-x₁) என்ற சமன்பாட்டிலிருந்து
y-y₁=\(\frac { ({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }) }{ ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 }) } (x-x_ 1)\) 
y-30=\(\frac { (21-30) }{ (10-7) } (x -7)\)
y=-3x+51      ....(6.14)
(i) x = 1, 2 மற்றும் 3 எனச் சமன்பாடு (6.14) -ல் பிரதியிட A.P. -ன் முதல் மூன்று உறுப்புகள் முறையே 48, 45 மற்றும் 42 ஆகும்
(ii) y = 0 எனச் சமன்பாடு (6.14) -ல் பிரதியிட
0=-3x+51 ⇒ x=17
அதாவது, கூட்டுத்தொடர் முறையில் பதினேழாவது உறுப்பு பூச்சியமாகும்.
(iii) இந்நேர்கோட்டின் சாய்வு -3, கூட்டுத் தொடரின் பொது வித்தியாசத்திற்குச் சமம் என்பது தெளிவாகியது.(கூட்டுத்தொடரின் பொது வித்தியாசமும், அதன் கோட்டின் சாய்வும் ஒன்றே என நிரூபிக்க முயற்சிக்கவும்).

30 விழுக்காடு அமிலம் கலந்த கரைசல் = x லிட்டர் என்க.
\(\therefore \) மொத்த கரைசல் = (600+x)
30% x + 12% 600 > 15% (600+x)
\(\Rightarrow \frac { 30x }{ 100 } +\frac { 12 }{ 100 } \times 600>\frac { 15 }{ 100 } (600+x)\)
\(\Rightarrow 30x+7200>9000+15x\) (100 ஆல் பெருக்க) 
\(\Rightarrow 15x+7200>9000\)
\(\Rightarrow 15x>9000-7200\)
\(\Rightarrow 15x>1800\)
\(\Rightarrow x>120...(1)\)
\(30\) % of x + 12% of 600 < \(\frac { 18 }{ 100 } (600+x)\)
\(\Rightarrow \frac { 30x }{ 100 } +\frac { 12 }{ 100 } \times 600<\frac { 18 }{ 100 } (600+x)\)
\(\Rightarrow 30x+7200>18(600+x)\)
\(\Rightarrow 30x+7200>10800+18x\)
\(\Rightarrow 12x>10800-7200\)
\(\Rightarrow 12x>3600\)
\(\Rightarrow x<\frac { 3600 }{ 12 } \)
\(\Rightarrow x<300.....(2)\)
(1), (2) லிருந்து 120 < x <300
\(\therefore \) 30% அமிலம் கலந்த கரைசல் 120 லிட்டரை விட அதிகமாகவும் மற்றும் 300 லிட்டரை விட குறைவாகவும் கிடைக்கிறது.

2 |x+1| -6 ≤ 7
\(\Rightarrow 2\left| x+1 \right| \le 7+6\Rightarrow 2\left| x+1 \right| \le 13\)
\(\Rightarrow \left| x+1 \right| \le \frac { 13 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { -13 }{ 2 } \le x+1\le \frac { 13 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { -13 }{ 2 } -1\le x\le \frac { 13 }{ 2 } -1\Rightarrow \frac { -15 }{ 2 } \ge x\ge \frac { 11 }{ 2 } \)
\(\therefore \) தீர்வுகணம் \(\left[ \frac { -15 }{ 2 } ,\frac { 11 }{ 2 } \right] \)

\({ lim }_{ x\rightarrow x }\frac { { e }^{ 5x }-1 }{ x } =\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { { e }^{ 5x }-1 }{ x } .5\)
=5(1)=5

4x-3y+l=0; l ∈ R

sin100^o+cos100^o=sin 100^o+cos(90^o+10^o)
=sin 100^o-sin 10^o
=2cos 55^o sin 45^o
=√2 cos 55^o

(x-2) (x+3)2<0 மாறுநிலை எண்கள் 2, -3
மூன்று இடைவெளிகள் (-∞, -3), (-3,2),(2,∞) உள்ளன. 

அசமன்பாடானது (-\(\infty \),-3)∪(-3,2) என்ற இடைவெளியில் நிறைவு செய்யப்படுகிறது.
தீர்வு கணம் (-\(\infty \),-3)∪(-3,2) 

As m-m=0 மற்றும் 0=0x 12, ஆகையால் mRm R ஆனது தற்சுட்டு தொடர்பு
mRn என்க. ஆகையால் m-n =12k, k ஒரு முழு; 
எனவே 
n-m =12(-k) ஆகையால் nRm 
எனவே E ஆனது சமச்சீர் என்க; எனவே 
m-n =12k 
மற்றும் n-p =12l இங்கு k மற்றும் l முழுக்கள்.
ஆகையால் m-p =12(k+l)மற்றும் mRp.
இது R ஒரு கடப்புத் தொடர்பு என காட்டுகிறது.

இருபக்கமும் மடக்கையை எடுக்க,
\(\log { y } =\frac { 1 }{ 2 } \log { ({ x }^{ 2 }+4) } +2\log { (\sin { x } ) } +x\log { (2) } \) எனக் கிடைக்கிறது.
இதிலிருந்து  \(\frac { { y }^{ ' } }{ y } =\frac { 1 }{ 2 } \frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+4 } +2.\frac { \cos { x } }{ \sin { x } } +\log { 2 } \)
\(=\frac { x }{ { x }^{ 2 }+4 } +2\cot { x } +\log { 2 } \)
எனவே, \({ y }^{ ' }=\frac { dy }{ dx } =y\left( \frac { x }{ { x }^{ 2 }+4 } +2\cot { x } +\log { 2 } \right) .\)

 x - ஆல்  வகுக்க 
\(\frac { { 1-x }^{ 3 } }{ 3x+2 } =\frac { \frac { 1 }{ x } -{ x }^{ 2 } }{ 3+\frac { 2 }{ x } } .x\rightarrow \infty \)எனில் \(\frac { { 1-x }^{ 3 } }{ 3x+2 } \rightarrow -\infty \)
ஆதலால் எல்லை மதிப்பு இல்லை.

\(A=\left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow \)  A⁴   = AAAA 
= \(\left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
A² = \(\left( \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \)
= \(\left[ \begin{matrix} \left( 1\times 1+a\times 0 \right) & \left( 1\times a+a\times 1 \right) \\ \left( 0\times 1+1\times 0 \right) & \left( 0\times a+1\times 1 \right) \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} \left( 1+0 \right) & \left( a+a \right) \\ \left( 0+0 \right) & \left( 0+1 \right) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
A⁴ = A²A² = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} \left( \left( 1\times 1 \right) +\left( 2a\times 0 \right) \right) & \left( 2a+2a \right) \\ \left( 0+0 \right) & \left( 0+1 \right) \end{matrix} \right] \)
 \(\therefore \)   A⁴ = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 4a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)

\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 4 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{matrix} \right| =\hat { i } (2-3)-\hat { j } (-8+6)+\hat { k } (4-2)=-\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \) க்கு செங்குத்தாக உள்ள வெக்டர்கள் \(\pm \frac { (\vec { a } \times \vec { b } ) }{ \left| \vec { a } \times \vec { b } \right| } =\pm \left[ \frac { -\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } }{ 3 } \right] \)
 \(\vec { a } \)மற்றும் \(\vec { b } \) க்கு செங்குத்தாக எண்ணளவு 6 உடைய வெக்டர்கள் \(\pm 2(-\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } ).\)

a₁=1
a₂=2
a₃=3
a₄=2+3=5
a₅=3+5=8
a₆=5+8=13
∴ முதல் 6 உறுப்புகள் 1,2,3,5,8,13, .....

135⁰ = 135 x \(\frac { \pi }{ 180 } =\frac { 3\pi }{ 4 } \)  ஆரையன்கள்

A = {x ∈ N : x² < 121 மற்றும் x ஒரு பகா எண்}என்க.
A = {2,3,5,7}.

\(tan\frac { A }{ 2 } =\sqrt { \frac { (s-b)(s-c) }{ s(s-a) } } ...(1)\)
\(tan\frac { C }{ 2 } =\sqrt { \frac { (s-a)(s-b) }{ s(s-c) } } ...(2)\)

\(=\frac{s-b}{s}\)

\(\therefore \frac { s-b }{ s } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow 3s-3b=s\)

a+b+c=3b
a+v=2b
\(\therefore\) a,b,c A.P ல் உள்ளன 

மாறுநிலை புள்ளிகள் -3,-1,1,3
இடைவெளிகள் (-\(\infty\),-3),(-3,-1),[1,1],(1,2),(3,\(\infty\))
தீர்வுக்கணம் (-\(\infty\),-3),[-1,1],(3,\(\infty\))

சேர்ப்பு முறையாக வரையறுக்கட்டுள்ளதா எனச் சோதிக்க இச்சார்புகளின் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகத்தைக் கண்டறிவோம்.
f-ன் சார்பகம் ={1,3,4}
f-ன் சார்பகம் ={2,5}
g-ன் சார்பகம் ={1,2,5}
g-ன் வீச்சகம் ={1,3}
g-ன் சர்பகத்தினுள் f-ன் வீச்சகம் இருப்பதால் gof-ஐ வரையறுக்க இயலும். எனவே gof -ன் கீழ் 1-ன் பிம்பத்தைக் காண முதலில் f -ன் கீழ் 1-ன் பிம்பத்தையும் பிறகு கிடைக்கப்பெற்ற பிம்பத்தை g-ன் கீழும் காண வேண்டும். f-ன் கீழ் 1-ன் பிம்பம் 3 மற்றும் g-ன் கீழ் 3-ன் பிம்பம் 1.
எனவே (gof)(1)=g(f(1))=g(2)=1. 

\(y=\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+x }{ 1-x } \right) } \)
\(\frac { 1+x }{ 1-x } =t\) என்க 
எனவே, \(y=\tan ^{ -1 }{ t } \)
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { d }{ dt } (\tan ^{ -1 }{ t } ).\frac { dt }{ dx } \) 
\(=\frac { 1 }{ 1+{ t }^{ 2 } } .\frac { (1-x)+(1+x)(-1) }{ (1-x{ ) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 1+{ \left( \frac { 1+x }{ 1-x } \right) }^{ 2 } } .\frac { (1-x)+(1+x) }{ (1-x{ ) }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } .\)

\(\left[ \begin{matrix} 0 & \sin { \alpha } & \cos { \alpha } \\ \sin { \alpha } & 0 & \sin { \beta } \\ \cos { \alpha } & -\sin { \beta } & 0 \end{matrix} \right] =0{ M }_{ 11 }-\sin { \alpha } { M }_{ 12 }+\cos { \alpha } { M }_{ 13 }\)
\(=0-\sin { \alpha } (0-\cos { \alpha } \sin { \beta } )+\cos { \alpha } (-\sin { \alpha \sin { \beta } -0)=0. } \)

\(\sin ^{ 4 }{ x } =\sin ^{ 2 }{ x } \)
\(\Rightarrow \) sin4x-sin2x=0
\(\Rightarrow \) sin2x(sin2x-1)=0
\(\Rightarrow \) sin2x = 0 அல்லது sin ²x-1=0
\(\Rightarrow \) sin x=  0 அல்லது sin²x =1
\(\Rightarrow \) \(sinx=0,\pm 1\Rightarrow 0,\pi \pi \)
\(\Rightarrow \) sinx = sin 90⁰
\(\Rightarrow \) sin x =-1
\(\Rightarrow \) \(sinx=sin\left( \pi +\cfrac { \pi }{ 2 } \right) \) (sin மதிப்பு III ம் கால் பகுதி குறையாகும்)
\(\Rightarrow sinx=sin\cfrac { 3\pi }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x=\cfrac { 3\pi }{ 2 } \)
(1),(2),(3) லிருந்து \(x=0,\cfrac { \pi }{ 2 } ,\cfrac { 3\pi }{ 2 } ,\pi \)

\((1+x)^{ \frac { p }{ q } }=\left[ 1+\frac { p }{ q } x+\frac { \frac { p }{ q } \left( \frac { p }{ q } -1 \right) }{ 2! } { x }^{ 2 }+\frac { \left( \frac { p }{ q } \right) \left( \frac { p }{ q } -1 \right) \left( \frac { p }{ q } -2 \right) }{ 3! } { x }^{ 2 }+... \right] \)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left( 1+\frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right) ^{ \frac { 2 }{ 3 } }\)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left( 1+\frac { 2 }{ 3 } \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right) +\frac { \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \left( \frac { 2 }{ 3 } -1 \right) }{ 2! } \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right) ^{ 2 }+\frac { \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \left( \frac { 2 }{ 3 } -1 \right) \left( \frac { 2 }{ 3 } -2 \right) }{ 3! } \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right) ^{ 3 }+... \right) \)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left[ 1+\frac { 2x^{ 2 } }{ 15 } +\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \left( \frac { -1 }{ 3 } \right) .\frac { { x }^{ 4 } }{ 50 } +\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \left( \frac { -1 }{ 3 } \right) \left( \frac { -2 }{ 3 } \right) \frac { { x }^{ 6 } }{ 125\times 6 } +.... \right] \)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left[ 1+\frac { 2x^{ 2 } }{ 5 } -\frac { 2x^{ 2 } }{ 9\times 50 } +\frac { 4 }{ 3\times 3\times 3 } \frac { { x }^{ 6 } }{ 125\times 6 } .... \right] \)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left[ 1+\frac { 2x^{ 2 } }{ 5 } -\frac { { x }^{ 4 } }{ 225 } +\frac { 2x^{ 6 } }{ 10125 } ..... \right] \).
இந்த விரிவு ஏற்புடையதாக இருக்க வேண்டுமெனில் \(\left| \frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right| \)<1 ⇒ x²<5 இருக்க வேண்டும்.