\(\sin { \theta } +\sqrt { 3 } \cos { \theta } =1\)
\(a=1,b=\sqrt { 3 } ,\quad \sqrt { 1+{ \sqrt { 3 } }^{ 2 } } =\sqrt { 1+3 } =\sqrt { 4 } =2\)
முழுவதையும் \(\sqrt { 1+{ \sqrt { 3 } }^{ 2 } } \) ஆல் வகுக்க 
\(\cfrac { 1 }{ 2 } sin\theta +\cfrac { \sqrt { 3 } }{ 2 } cos\theta =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\(sin\cfrac { \pi }{ 6 } sin\theta +cos\cfrac { \pi }{ 6 } cos\theta =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow cos\left( \theta -\cfrac { \pi }{ 6 } \right) =\cfrac { 1 }{ 2 } =cos\cfrac { \pi }{ 3 } \)
\(\Rightarrow \left( \theta -\cfrac { \pi }{ 6 } \right) =2n\pi ,n\varepsilon Z\) \(\left[ \because \cos A \cos\ B +\sin A.\sin B=\cos (A-B) \right] \)
\(\Rightarrow \theta =2n\pi \pm \cfrac { \pi }{ 3 } +\cfrac { \pi }{ 6 } ,n\varepsilon Z\)
\(\Rightarrow 2n\pi +\cfrac { \pi }{ 3 } +\cfrac { \pi }{ 6 } \) அல்லது \(2n\pi -\cfrac { \pi }{ 3 } +\cfrac { \pi }{ 6 } \)
\(\Rightarrow \theta =2n\pi +\pi \) அல்லது \(2n\pi -\cfrac { \pi }{ 6 } ,n\epsilon Z\)

L.H.S = \(cos\frac { \pi }{ 15 } cos\frac { 2\pi }{ 15 } cos\frac { 3\pi }{ 15 } cos\frac { 4\pi }{ 15 } cos\frac { 5\pi }{ 15 } cos\frac { 6\pi }{ 15 } cos\frac { 7\pi }{ 15 } =\frac { 1 }{ 128 } \)
= \(\left( cos\cfrac { \pi }{ 15 } .cos\cfrac { 2\pi }{ 15 } .cos\cfrac { 4\pi }{ 15 } cos{ \cfrac { 7\pi }{ 15 } } \right) \left( cos\cfrac { 3\pi }{ 15 } cos\cfrac { 6\pi }{ 15 } \right) .cos\cfrac { 5\pi }{ 15 } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left\{ cos\cfrac { \pi }{ 15 } .cos\cfrac { 2\pi }{ 15 } .cos\cfrac { 4\pi }{ 15 } .cos\cfrac { 8\pi }{ 15 } \right\} \left\{ \quad cos\cfrac { 3\pi }{ 15 } cos\cfrac { 6\pi }{ 15 } \right\} \)\(\left( \because cos\cfrac { 5\pi }{ 15 } =cos\cfrac { \pi }{ 3 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \right) \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left\{ cos\cfrac { \pi }{ 15 } cos\cfrac { 2\pi }{ 15 } cos\cfrac { 4\pi }{ 15 } cos\cfrac { 8\pi }{ 15 } \right\} \left\{ \quad cos\cfrac { 3\pi }{ 15 } cos\cfrac { 6\pi }{ 15 } \right\} \)\(\left\{ \because cos\cfrac { 7\pi }{ 15 } =cos\left( \pi -\cfrac { 8\pi }{ 15 } \right) =-cos\cfrac { 8\pi }{ 15 } \right\} \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left\{ \cfrac { { sin2 }^{ 4 }\cfrac { \pi }{ 15 } }{ { 2 }^{ 4 }sin\cfrac { 4 }{ 15 } } \right\} \times \left\{ \cfrac { { sin2 }^{ 2 }\times \cfrac { 3\pi }{ 15 } }{ { 2 }^{ 2 }.sin\cfrac { 3\pi }{ 15 } } \right\} \)  \(\left[ \because \quad cosA.cos2A.cos{ 2 }^{ n-1 }\quad A=\cfrac { sin2"A }{ 2",sinA } \right] \)
= \(\cfrac { -1 }{ 2 } \left\{ \cfrac { sin\cfrac { 16\pi }{ 15 } }{ 16sin\cfrac { \pi }{ 15 } } \right\} \left\{ \cfrac { sin\cfrac { 12\pi }{ 15 } }{ 4sin\cfrac { 3\pi }{ 15 } } \right\} \)=\(\cfrac { -1 }{ 2 } \left\{ \cfrac { sin\left( \pi +\cfrac { \pi }{ 15 } \right) }{ 16sin\cfrac { \pi }{ 15 } } \right\} \left\{ \cfrac { sin\left( \pi -\cfrac { 3\pi }{ 15 } \right) }{ 4sin{ \cfrac { 3\pi }{ 15 } } } \right\} \)
=\(\cfrac { -1 }{ 2 } \left\{ \cfrac { -sin\cfrac { \pi }{ 15 } }{ 16sin\cfrac { \pi }{ 15 } } \right\} \left\{ \cfrac { sin\cfrac { 3\pi }{ 15 } }{ 4sin\cfrac { 3\pi }{ 15 } } \right\} \)
= \(\cfrac { -1 }{ 2 } \times \cfrac { -1 }{ 16 } \times \cfrac { 1 }{ 4 } =\cfrac { 1 }{ 128 } =R.H.S\)

பச்சை விளக்கின் விட்டம் DC =a என்க
∠CBD=α
DA=b
AB=x சாலையின் விட்டம் என்க.
ㄥDBA =β என்க
ΔABD-ல்
β=tan^-1\(\left( \frac { b }{ x } \right) \)
ΔABC-ல்
tan(α+β)=\(\frac { AC }{ AB } =\frac { a+b }{ x } \)
α+β=tan^-1\(\left( \frac { a+b }{ x } \right) \)
⇒ α=tan^-1\(\left( \frac { a+b }{ x } \right) \)-β
(1)-ஐ பயன்படுத்தி
α=tan^-1\(\left( \frac { a+b }{ x } \right) -tan^{ -1 }\left( \frac { b }{ x } \right) \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

C என்பது இலக்கின் புள்ளி A,B என்பன விமானியின் இருப்பிடம் என்க.
ㄥBAC=30⁰, ㄥABC=45⁰
∴ ㄥC=180-(30+45)=180⁰-75⁰=105⁰
AB=100 கி.மீ
\(\frac { a }{ sinA } =\frac { c }{ sinC } \)
⇒ \(\frac { a }{ sin{ 30 }^{ 0 } } =\frac { 100 }{ sin{ 105 }^{ 0 } } \)
⇒ \(\frac { a }{ \frac { 1 }{ 2 } } =\frac { 100 }{ sin{ 105 }^{ 0 } } \Rightarrow 2a=\frac { 100 }{ sin{ 105 }^{ 0 } } \)
⇒ a=\(\frac { 50 }{ sin{ 105 }^{ 0 } } \)  .....(1)
sin105⁰=sin(60⁰+45⁰)=sin 60 cos 45 + cos 60.sin 45
=\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } =\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2\sqrt { 2 } } \)   .....(2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட
a =\(\frac { 50 }{ \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2\sqrt { 2 } } } \Rightarrow a=\frac { 50(2\sqrt { 2 } ) }{ \sqrt { 3 } +1 } =\frac { 100\sqrt { 2 } \times \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } +1\times \sqrt { 3 } -1 } \)
=\(\frac { 100(\sqrt { 6 } -\sqrt { 2 } ) }{ 3-1 } =50(\sqrt { 6 } -\sqrt { 2 } )\) கி.மீ.

A, B  பைலட்களின் இருப்பிடம் C படகின் இருப்பிடம்
கொசைன் விதிப்படி c²=a²+b2-2ab cosC
⇒ 10²=a²+6²-2a(6)cos60⁰
⇒ 100=a²+36-12 x \(\frac{1}{2}\)a
⇒ 100=a²+36-6a
⇒ a²-6a-64=0
⇒ a=\(\frac { 6\pm \sqrt { -{ 6 }^{ 2 }-4(1)(-64) } }{ 2\times 1 } \)    
=\(\frac { 6\pm \sqrt { 36+256 } }{ 2 } \)                 
a=\(\frac { 6\pm \sqrt { 292 } }{ 2 } \)                    
a=3±\(\sqrt { 73 } \)                     
a=(3±\(\sqrt { 73 } \)) கி.மீ
\(\left( \because x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \right) \)
a=1, b=-6, c=-64
\(\sqrt { 292 } =\sqrt { 2\times 146 } \)
=\(\sqrt { 2\times 2\times 73 } \)=\(2\sqrt { 73 } \)
(∵ 3-\(\sqrt { 73 } \) குறை எண்)

LHS = \(\sin { \left( B+C-A \right) } +\sin { \left( C+A-B \right) } +\sin { \left( A+B-C \right) }\)
= sin (180-A-A)+sin(180-B-B)+sin(180-C-C)
= sin(180-2A)+sin(180-2B)+sin(180-2C)
= sin2A+sin2B+sin2C
= \(2sin\left( \cfrac { 2A+2B }{ 2 } \right) cos\left( \cfrac { 2A-2B }{ 2 } \right) +2sinCcosC\)
= 2sin(A+B).cos(A-B)+2sinC cosC
= 2sinC[cos(A-B)+cosC] \(\left( \therefore A+B+C=180^{ 0 } \right) \)
= 2sin C[cos(A-B)+cos(180⁰-(A+B)
= 2sinC[cos(A-B)-cos(A+B)]
= 2sin C 2sinA sin B
= 4sin A sin B sin C

A+B+C=180
A+B=180-C
\(\Rightarrow \cfrac { A }{ 2 } +\cfrac { B }{ 2 } =90-\cfrac { C }{ 2 } \)
\(= \tan\left( \cfrac { A }{ 2 } +\cfrac { B }{ 2 } \right) =\tan\left( 90-\cfrac { C }{ 2 } \right) =\cot\cfrac { C }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \cfrac { tan\cfrac { A }{ 2 } +tan\cfrac { B }{ 2 } }{ 1-tan\cfrac { A }{ 2 } .tan\cfrac { B }{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ tan\cfrac { C }{ 2 } } \)
\(\Rightarrow tan\cfrac { A }{ 2 } .tan\cfrac { C }{ 2 } +tan\cfrac { B }{ 2 } .tan\cfrac { C }{ 2 } =1-tan\cfrac { A }{ 2 } .tan\cfrac { B }{ 2 } \)
\(\Rightarrow tan\cfrac { A }{ 2 } .tan\cfrac { C }{ 2 } +tan\cfrac { B }{ 2 } .tan\cfrac { C }{ 2 } +tan\cfrac { A }{ 2 } .tan\cfrac { B }{ 2 } =1\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

a secθ - c tanθ = b   ....(1)
b secθ + d tanθ = c  ......(2)
(1) x b ⇒ ab secθ - bc tanθ = b²   ...(3)
(2) x a ⇒ ab secθ + ad tanθ = ac    .....(4)
 _____________________
(3) - (4)  ⇒ tanθ [bc + ad] = b² - ac
- tanθ = \(\frac { { b }^{ 2 }-ac }{ bc+ad } \)
tanθ = \(\frac { ac-{ b }^{ 2 } }{ bc+ad } \)
(1) x d ⇒ ad secθ  - cd tanθ = bd    .....(5)
(2) x c ⇒ bc secθ + cd tanθ = c²   .....(6)
_______________________________
(5) - (6) = (ad + bc) secθ = bd + c²
sec θ = \(\frac { bd+{ c }^{ 2 } }{ ad+bc } \)
sec²θ - tan²θ = 1
⇒\({ \left( \frac { bd+{ c }^{ 2 } }{ ad+bc } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { ac-{ b }^{ 2 } }{ bc+ad } \right) }^{ 2 }\) = 1
⇒ \(\frac { { \left( bd+{ c }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( ad+bc \right) }^{ 2 } } -\frac { { \left( ac-{ b }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( bc+ad \right) }^{ 2 } } \) = 1
⇒ \(\frac { { \left( bd+{ c }^{ 2 } \right) }^{ 2 }-{ \left( ac-{ b }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( ad+bc \right) }^{ 2 } } \) = 1
(bd + c²) - (ac - b²)² = (ad + bc)²
⇒ (c² + bd)² = (ad + bc)² + (ac - b²)²
எனவே θ நீக்கப்பட்டுள்ளது.

secθ + tanθ = p   .....(1)
sec²θ - tan²θ = 1 
(sec θ + tanθ) (secθ - tanθ) = 1
p(secθ - tanθ) = 1
secθ - tanθ =\(\frac { 1 }{ p } \)   ......(2)
(1) + (2) (secθ + tanθ) (secθ - tanθ) = \(p+\frac { 1 }{ p } \)
2 secθ = \(\frac { { p }^{ 2 }+1 }{ p } \)
secθ = \(\frac { { p }^{ 2 }+1 }{2 p } \) .......(3)
(1) - (2)  (secθ + tanθ) - (secθ - tanθ) = \(p-\frac { 1 }{ p } \)
2 tanθ = \(\frac { { p }^{ 2 }-1 }{ p } \)
tan θ = \(\frac { { p }^{ 2 }-1 }{2 p } \)    ......(4)
(4) \(\div \) (3) ⇒ \(\frac { \tan { \theta } }{ \sec { \theta } } =\frac { { p }^{ 2 }-1 }{ 2p } \div \frac { { p }^{ 2 }+1 }{ 2p } \)
\(\frac { \frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } }{ \frac { 1 }{ \cos { \theta } } } =\frac { { p }^{ 2 }-1 }{ 2p } \times \frac { 2p }{ { p }^{ 2 }+1 } \)
sinθ = \(\frac { { p }^{ 2 }-1 }{ { p }^{ 2 }+1 } \) .......(5)
(3), (4), (5) - லிருந்து தீர்வு பெறப்பட்டது.

நேப்பியரின் சூத்திரத்தின் படி
\(\tan { \left( \frac { A-B }{ 2 } \right) } =\frac { a-b }{ b-c } \cot { \frac { C }{ 2 } } =\frac { \left( \sqrt { 3 } +1 \right) -\left( \sqrt { 3 } -1 \right) }{ \left( \sqrt { 3 } +1 \right) +\left( \sqrt { 3 } +1 \right) } \cot { \frac { { 60 }^{ 0 } }{ 2 } } \)
= \(\frac { 2 }{ 2\sqrt { 3 } } \cot { { 30 }^{ 0 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \times \sqrt { 3 } \)  = 1
∴ \(\frac { A-B }{ 2 } \) = 45⁰ ⇒ A  - B = 90⁰  .....(1)
A + B = 180⁰ - C = 180⁰ - 60⁰ = 120⁰ .....(2)
(1) + (2)லிருந்து   ⇒ A - B = 90
                                   A + B = 120
                                  ___________
                                  2A = 210 ⇒ 0
0 என (2) ல் பிரதியிட 
B = 120 - 105 = 15⁰
சைன் விதிப்படி
\(\frac { C }{ \sin { C } } =\frac { a }{ \sin { A } } \Rightarrow C=\frac { a\sin { C } }{ \sin { A } } \)
C = \(\frac { \left( \sqrt { 3 } +1 \right) \sin { { 60 }^{ 0 } } }{ \sin { { 105 }^{ 0 } } } =\frac { \left( \sqrt { 3 } +1 \right) \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2\sqrt { 2 } } } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \times 2\sqrt { 2 } \)
∴ 0, 0, C = \(\sqrt { 6 } \)