கணக்கீடு முழுமைக்கு இரண்டு கனச் செவ்வகப் பொருட்களுக்கும் வெவ்வேறு குறிப்பாயங்களைப் பயன்படுத்தினால் தீர்வு காண்பது எளிமையாக்கும். 
கனச் செவ்வகப் பொருள் 1ஐப் பொருத்த வரை சாய்தளத்திற்கு இணையாக மேல் நோக்கிச் செல்லும் இயக்கத்தை நேர்குறி X அச்சுத் திசையிலும் சாய்தளத்திற்கு செங்குத்தாக மேல் நோக்கிச் செல்லும் இயக்கத்தை நேர்குறி y அச்சுத் திசையிலும் கருத வேண்டும். மேலும் கனச் செவ்வகப் பொருள் 2ஐப் பொறுத்தவரை அதன் கீழ் நோக்கிய இயக்கத்தை நேர்குறி y அச்சுத் திசையாகக் கருத வேண்டும்.
கனச் செவ்வகப் பொருள் 1 றிற்கும் சாய்தளத்திற்கும் இடையேயான தொடுவிசையின் செங்குத்துக்கூறு N பின்வருமாறு 
N = m₁g cos\(\theta \)   (1)
கனச் செவ்வகப் பொருள் 1 இன் மீது செயல்படும் தொகுபயன்விசையின் x கூறு 
F_1x = T− f_friction − m₁ g sin\(\theta \)  (2)
இங்கு T என்பது மெல்லிய கயிற்றின் இழு விசை சற்றே சறுக்கும் நிபந்தனையில், உராய்வு விசையின் எண் மதிப்பு 
f_friction = \(\mu\)_sN = \(\mu\)_s m1g cos\(\theta \)  (3)
தொங்கிக் கொண்டிருக்கும் நிறையின் ஈர்ப்பு விசை கயிற்றின் இழு விசையாகச் செயல்படும் 
T = m₂ g (4)
சற்றே சறுக்கும் நிபந்தனையில் கனச் செவ்வகப் பொருள் 1 இன் மீது செயல்படும் தொகுப்பயன் விசை சுழியாகும். 
சமன்பாடுகள் (2),(3) மற்றும் (4) ஆகியவற்றிலிருந்து 
0 = m₂g- \(\mu\)s m₁gcos θ – m₁g sin θ
m₂=m₁( \(\mu\)s cos θ + sin θ)

1) புத்தகத்தின் மீது இரண்டு விசைகள் செயல்படுகின்றன. அவை
i. கீழ்நோக்கிச் செயல்படும் புவிஈர்ப்பு விசை (mg).
ii. புத்தகத்தின் மீது மேசையின் பரப்பு ஏற்படுததும் செங்குத்து விசை (N). இது மேல் நோக்கியத் திசையில் செயல்படும்.

2) நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிப்படி, புத்தகம் இரண்டு எதிர்விசைகளைத் தருகிறது.
i. புவியீர்ப்பு விசை (mg) க்கு எதிராக புத்தகம் புவியின்மீது செலுத்தும் விசை. இது மேல்நோக்கிச் செயல்படும்.
ii. மேசையின் பரப்புமீது, செங்குத்து விசை (N) க்கு எதிராக புத்தகம் செலுத்தும் விசை. இவ்விசை கீழ்நோக்கி செயல்படும்.
3) புத்தகத்தின் தனித்த பொருள் விசைப்படம் மேலே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

பந்தின் நிறை m =\(\frac {35}{1000}\)=0.035kg.
பந்தானது ஸ்டம்பைத் தாக்கும்போது 
உண்டாக்கும் கோணம் (\(\theta _ {1}\)=30^o) 
பந்து திரும்ப அனுப்பப்படும் கோணம் \(\theta _ {2}\)=60^o 
கிடைமட்டத் திசையில் உந்த மாறுபாடு 
= -mu cos30° - (mu cos30° )
= -2 mu cos30°
= -2 x 0.035 x 20 x cos30°
=-2 x 0.035 x 20 x \(\sqrt { \frac { 3 }{ 2 } } \) \(\left[ \therefore cos{ 30 }^{ o }=\sqrt { \frac { 3 }{ 2 } } \right] \)
=-1.4x \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)= 1.21kg ms^-1
பந்தினால் பெறப்பட்ட கணத்தாக்கு விசை 
J =1.2 kg ms^-1

m =75 kg 
கீழ்நோக்கி முடுக்கம் a =5ms^-2; g =9.8 ms^-2
நபரின் தோற்ற எடை R=m(g-a)
=75 x (9.8-5)
=75 x (4.8)
R=360 N 
எடையின் அளவின்  அளவீடு =\(\frac {R}{g}=\frac {360}{9.8}\)=36.73

புவியிலிருந்து தொலைவு (r)=10000 km=107 m
நிறை =3000 kg
வேகம் v=4500 ms-1 = \(4.5\times 10^{3}ms^{-1}\)
மைய நோக்கு விசை \(F=\frac{mv^{2}}{r}\)
\(F=\frac{3000\times (4.5 \times 10^{3})^{2}}{10^{7}}\)
=\(\frac{3000 \times 20.25 \times 10^{6}}{10^{7}}\)
=\(\frac{300\times 20.25 \times 10^{7}}{10^{7}}\)
=\(300 \times20.25 \times10^{7}\times10^{7}\)
=\(300\times20.25\)
மைய நோக்கு விசை F=6075 N.

\(\vec { F } =\left( 4\vec { i } -8\vec { j } +8\vec { k } \right) \)
\(\left| \vec { F } \right| =\sqrt { { 4 }^{ 2 }+\left( -8 \right) ^{ 2 }+{ 8 }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 16+64+64 } \)
= \(\sqrt { 144 } \)
= 12 kg 
பொருளின் நிறை \(\frac { \left| \vec { F } \right| }{ a } =\frac { 12 }{ 2 } \)= 6kg

m  = 1000 kg 
தொடக்க திசைவேகம்  u  = 90 Kmh^-1 = 25 m/s 
இறுதி திசைவேகம்  v  = 0 
நேரம் t 
கணத்தாக்கு விசை  = உந்தமாற்றம்  = m (v  - u )
Impulse  = 1000 (0 - 25)  = -25 x 10³    

இடப்பெயர்ச்சி \((\vec { s } )=(\hat { i } +2\hat { j } +6\hat { k } )m\)
அளிக்கப்பட்ட விசை \((\overrightarrow { F } )=(2\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } )N\)
கோணம் (\(\theta \)) = 60°
ஒரு துகளை இயக்க செய்யப்பட்ட வேலை,
\(W=\overrightarrow { F } .\overrightarrow { s } cos\theta °\)
\(=(2\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } ).(\hat { i } +2\hat { j } +6\hat { k } )cos60°\)
\(=(\hat { i } .\hat { j } .\hat { k } ).(2+6+30)cos60°\)
\(\\ W=38\times cos60°\)
\(=38\times \frac { 1 }{ 2 } =19J\)
W=19J.

முழு மீட்சியற்ற மோதலில் ஏற்படும் இயக்க ஆற்றல் இழப்பினை ஒலி, வெப்பம், ஒளி போன்ற வேறு வகையான ஆற்றலாக மாற்றப்படுகிறது. மோதலுக்கு முன் மொத்த இயக்க ஆற்றல் KE_i மற்றும் மோதலுக்கு முன் மொத்த இயக்க ஆற்றல் KE_f எனக் கொள்க.
மோதலுக்கு முன் மொத்த இயக்க ஆற்றல்
KE_i =\(\frac { 1 }{ 2 } { m }_{ 1 }{ u }_{ 1 }^{ 2 }+{ m }_{ 2 }{ u }_{ 2 }^{ 2 }\)
மோதலுக்குப்பின் மொத்த இயக்க ஆற்றல்
KE_f =\(\frac { 1 }{ 2 } ({ m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }){ v }^{ 2 }\)
எனவே இயக்க ஆற்றலில் ஏற்படும் இழப்பு
ஃQ=KE_i -KE_f 
=\(\frac { 1 }{ 2 } { m }_{ 1 }{ u }_{ 1 }^{ 2 }+{ m }_{ 2 }{ u }_{ 2 }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } ({ m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }){ v }^{ 2 }\)
சமன்பாடு பிரதியிட்டு (a+b)² =a²+b²+2ab என்ற இயற்கணித சமன்பாட்டை பயன்படுத்தி, சுருக்க நாம் பெறுவது. இயக்க ஆற்றலில் ஏற்படும் இழப்பு 
\(\triangle Q=\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { { m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \right) ({ u }_{ 1 }-{ { u }_{ 2 }) }^{ 2 }\)

(i) அனைத்து மோதல் செயல்முறைகளிலும் நேர்க்கோட்டு உந்தம் மாறாது. இரு பொருட்கள் மோதலுற்றால் அவற்றிற்கிடையே செயல்படும் சமமான கணத்தாக்கு விசைகள் \(\triangle \)t என்ற மோதலுறும் நேரத்தில் அவற்றின் விந்தங்களில் மாற்றத்தை ஏற்படுத்துகிறது.
(ii) அதாவது முதல் பொருள் \(​​​​\vec{F_ {12}}\) என்ற விசையை இரண்டாவது பொருளின் மீது செலுத்துகிறது. அதே போல் நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிப்படி, இரண்டாவது பொருளானது முதல் பொருளின் மீது \(\vec {F_{21}}\)  என்ற விசையை செலுத்துகிறது. இவை முதல் மற்றும் இரண்டாவது பொருட்களின் உந்தத்தில் முறையே  \(\triangle { \vec { p } }_{ 1 }\)மற்றும் \(\triangle { \vec { p } }_{ 2 }\) என்ற மாற்றத்தை ஏற்படுத்துகிறது.  தற்போது இதன் தொடர்புகளை கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.
\(\triangle { \vec { p } }_{ 1 }={ \vec { F } }_{ 12 }\triangle t\) ----------------(1)
\(\triangle { \vec { p } }_{ 2 }={ \vec { F } }_{ 21 }\triangle t\)  ----------------(2)
(iii) சமன்பாடு (1) மற்றும் (2), இரண்டையும் கூட்ட
\(\triangle { \vec { p } }_{ 1 }={ \vec { F } }_{ 12 }\triangle t=\triangle { \vec { p } }_{ 2 }={ \vec { F } }_{ 21 }\triangle t\quad =\left( { \vec { F } }_{ 12 }+{ \vec { F } }_{ 21 } \right) \triangle t\)
நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிப்படி \({ \vec { F } }_{ 12 }-{ \vec { F } }_{ 21 }\)
\(\triangle { \vec { p } }_{ 1 }+\triangle { \vec { p } }_{ 2 }=0\)
\(\triangle ({ \vec { p } }_{ 1 }+{ \vec { p } }_{ 2 })=0\)
(iv) இருபுறமும் \(\triangle \)t ஆல் வகுக்க மற்றும் எல்லை \(\triangle t\rightarrow o\) எனக் கொள்ள நாம் பெறுவது. 
\(\lim _{ \triangle t\rightarrow 0 }{ \frac { \triangle ({ \vec { p } }_{ 1 }+{ \vec { p } }_{ 2 }) }{ \triangle t } } =\frac { \triangle ({ \vec { p } }_{ 1 }+{ \vec { p } }_{ 2 }) }{ dt } =0\)
\(\therefore \)P₁+P₂=consatant.
(v) மேற்கண்ட சன்மன்பாடு மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம் ஒரு மாறா அளவு என்பதைக் குறிக்கிறது.
குறிப்பு: உந்தம் ஒரு வெக்டர் அளவாகும். எனவே மோதலின்போது தனித்தனி பொருட்களின் உந்தத்தைகக் காண வெக்டர் கூடுதல் பின்பற்றப்பட வேண்டும்.

ஒரு அமுக்கப்பட்டு அல்லது நீட்டப்பட்ட சுருள் வில் தன்னுள் சேமிக்கப்பட்ட நிலை ஆற்றலை அதனுடன் இணைக்கப்பட்ட நிறையின் இயக்க ஆற்றலாக மாற்றுகிறது. நிலை ஆற்றல்-இடப்பெயர்ச்சி வரைபடம் காட்டப்பட்டுள்ளது.

உராய்வற்ற சூழலில், ஆற்றலானது அமைப்பின் மொத்த ஆற்றல் மாறாதவாறு இயக்க ஆற்றலில் இருந்து நிலை ஆற்றலாகவும் மற்றும் நிலை ஆற்றலில் இருந்து இயக்க ஆற்றலாகவும் மீண்டும் மீண்டும் மாற்றமடைகிறது. சமநிலையில் 
\(\triangle \)KE=\(\triangle \)U 

விசையும் இடப்பெயர்ச்சியும் என்ற நேர்விகிதத் தொடர்பில் உள்ளதாலும் மற்றும் அவை எதிரெதிர் திசையில் இருப்பதாலும் மற்றும் இடையே உள்ள வரைபடமானது இரண்டு மற்றும் நான்காவது கால்பகுதியில் மட்டுமே அமைந்த நேர் கோடாக உள்ளது. ஒரு வரைபடம் வரைவதன் மூலம் மீட்சி நிலை ஆற்றலை எளிதாகக் கணக்கிடலாம். நிழலிடப்பட்ட பரப்பு(முக்கோணம்) சுருள் வில் விசையால செய்யப்பட்ட வேலை ஆகும்.
பரப்பு =\(\frac {1}{2}\)(அடிப்பக்கம்)(உயரம்)=\(\frac {1}{2}\)\(\times \)(x) \(\times \)(kx)
=\(\frac {1}{2}\)kx²,

ஓய்வுநிலை உராய்வுவிசை
F_s என்பது ஒய்வுநிலை உராய்வுவிசை மற்றும் N என்பது செங்குத்து எதிர்விசை எனில
\(F_s \propto N  \)
\(F_s=\mu_s N\)
ஒய்வுநிலை உராய்வின் குணகம்- μs
\(\therefore \mu_s=\frac{F_s}{R}\)
இயக்கநிலை உராய்வுவிசை
F_k என்பது இயக்க நிலை உராய்வு விசை மற்றும் N என்பது செங்குத்து எதிர் விசை எனில்
\(F_k=\mu_k N  \)
\(\therefore \mu_k=\frac{F_k}{N}\)
μ_k என்பது இயக்க உராய்வுக் குணகம்

பொருளொன்றின், தானே இயங்க முடியாதத் தன்மை அல்லது தனது இயக்க நிலையைத் தானே மாற்றிக்கொள்ள, இயலாதத்தன்மைக்கு நிலைமம் என்று பெயர்.
i) ஓய்வில் நிலைமம்
ஓய்வு நிலையிலுள்ள பேருந்து ஒன்று இயங்கத்தொடங்கும் போது அப்பேருந்தில் உள்ள பயணிகள் நிலைமத்தின் காரணமாக திடீரென்று பின்னோக்கித் தள்ளப்படுகின்றன. ஏனெனில் பயணியின் உடல் நிலைமைப்பண்பின் காரணமாக தொடா்ந்து ஒய்வுநிலையிலேயே இருக்க முயல்கிறது. ஆனால் பேருந்து இயங்கத் தொடங்குகிறது. இதன் காரணமாகவே பயணிகளின் உடல் பின்னோக்கித் தள்ளப்படுகிறது.
தனது ஓய்வு நிலையைத் தானே மாற்றிக்கொள்ள இயலாத பொருளின் தன்மை, ஓய்வில் நிலைமம் எனப்படும்.
ii) இயக்கத்தில் நிலைமம்
இயக்கத்திலுள்ள ஒரு பேருந்தின் தடையை (Brake) திடீரென்று அழுத்தும்போது, பேருந்தில் உள்ள பயணிகள் நிலைமத்தின் காரணமாக முன்னோக்கித் தள்ளப்படுகின்றனர். ஏனெனில், பயணியின் உடல் நிலைமப்பண்பின் காரணமாக தொடா்ந்து இயக்க நிலையிலேயே இருக்க முயல்கிறது. ஆனால் பேருந்து ஓய்வுநிலைக்கு வரத்தொடங்குகிறது.
மாறாத்திசை வேகத்திலுள்ள ஒரு பொருள் தனது இயக்க நிலையைத் தானே மாற்றிக்கொள்ள இயலாதத் தன்மை, இயக்கத்தில் நிலைமம் எனப்படும்.
iii) இயக்கத் திசையில் நிலைமம்
ஒரு முனையில் கல் கட்டப்பட்ட, சுழற்சி இயக்கத்திலுள்ள கல்லின் கயிறு திடீரென்று அறுபட்டால், கல் தொடர்ந்து வட்டப்பாதையில் சுற்ற முடியாது. அக்கல் படத்தில் இல் காட்டியுள்ளவாறு வட்டத்தின் தொடுகோட்டுப்பாதையில் செல்லும். ஏனெனில் வெளிப்புற விசை செயல்படாதவரை பொருளினால் தானே தன்னுடைய இயக்கத்திசையை மாற்றிக் கொள்ள இயலாது.
தனது இயக்கத்திசையினைத் தானே மாற்றிக்கொள்ள இயலாத பொருளின் தன்மை, இயக்கத்திசையில் நிமைம் எனப்படும்.

முதல் பொருளின் நிறை m என்க, மற்றும் அதன் தொடக்க திசைவேகம் u₁ = 10 m s^-1. எனவே இரண்டாேது பொருளின் நிறை 2 m மற்றும் அதன தொடக்க திசைவேகம்
\({ u }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } { u }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( 10ms^{ -1 } \right) \)
\({ V }_{ 1 }=\left( \frac { { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } } \right) { u }_{ 1 }+\left( \frac { 2{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } } \right) { u }_{ 2 }\)
\({ V }_{ 1 }=\left( \frac { { m }-{ 2m } }{ { m }+{ 2m } } \right) 10+\left( \frac { 2{ \times 2m } }{ { m }+2{ m } } \right) 5\)
\({ V }_{ 1 }=-\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) 10+\left( \frac { 4 }{ 3 } \right) 5=\frac { -10+20 }{ 3 } =\frac { 10 }{ 3 } \)
\({ V }_{ 1 }=3.33ms^{ -1 }\)
\({ V }_{ 2 }=\left( \frac { 2{ m }_{ 1 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \right) { u }_{ 1 }+\left( \frac { { m }_{ 2 }-{ m }_{ 1 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \right) { u }_{ 2\\ }\)
\({ V }_{ 2 }=\left( \frac { { 2m } }{ { m }+{ 2m } } \right) 10+\left( \frac { 2{ m-m } }{ { m }+2{ m } } \right) 5\)
\({ V }_{ 2 }=-\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) 10+\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) 5=\frac { 20+5 }{ 3 } =\frac { 25 }{ 3 } \)
V₂ =8.333 ms^-1
v₁ மற்றும் v₂ ஆகி்ய இரு வேகங்களும் நேர்க்குறியாக உள்ளதால் அவை இரண்டும் முறையை 3.33 m s^-1 மற்றும் 8.33 m s^-1 என்ற திசை வேகங்களுடன் மோதலுக்கு முன் இயங்கிய திசையிலேயே இயங்குகின்றன.

வாகனத்தின் இயந்திரம், எதிர்க்கும் விசைக்கெதிராக வேலை செய்து வாகனத்தை ஒரு முடுக்கத்துடன் இயக்க வேண்டும். எனவே வாகனத்தின் இயந்திரம் வெளிப்படுத்தும் திறன்
P = (எதிர்க்கும் விசை + (நிறை × முடுக்கம்)) (திசைவேகம்)
\(\mathrm{P}=\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{F}\right) \mathrm{v}  \)
\(\mathrm{P}=\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{V}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{ma}\right) \mathrm{V}  \)
\(=(500+(1250 \times 0.2))(30)=22.5 \mathrm{~kW} \)

(a) சுருள்வில் விசை ஒரு ஆற்றல் மாற்றா விசை ஆகையால் மொத்த  ஆற்றல் மாறிலி ஆகும்.
x = 10 m எனும்போது மொத்த ஆற்றல் ழுமுவதும் நிலை ஆற்றலாக மட்டுமே இருக்கும்
\(E=U=\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \times (1)\times \left( { 10 } \right) ^{ 2 }=50J\)
பொருள் சமநிலையைக் கடக்கும்போது, நிலை (x = 0), நிலை ஆற்றலானது
\(U=\frac { 1 }{ 2 } \times (1)\times \left( 0 \right) =0J\)
இந்நிலையில் முழு ஆற்றலும் இயக்க ஆற்றலாக மட்டுமே உள்ளது.
\(E=K E=\frac{1}{2} m v^2=50 \mathrm{~J}\)
வேகம்
\(v=\sqrt{\frac{2 K E}{m}}=\sqrt{\frac{2 \times 50}{2}}=\sqrt{50} \mathrm{~ms}^{-1} \approx 7.07 \mathrm{~ms}^{-1}\)
(b) சுருள்வில்லின் மீள்விசை F = - kx என்பதால் பொருளானது நடுநிலையைக் கடக்கும் போது அது எவ்விசையையும் உணராது. நடுநிலையில் பொருளானது மிக வேகமாக நகருகிறது என்பதை அறியவும். பொருளானது x = + 10 m (நீட்சி) என்ற நிலையில் உள்ளபோது விசை F = - kx
F = - (1) (10) = - 10 N இங்கு எதிர்குறியானது விசை நடுநிலையை நோக்கி, அதாவது எதிர் x- அச்சை நோக்கி உள்ளதைக் குறிக்கிறது. மேலும் பொருளானது
x = - 10 m (அமுக்கம்) என்ற நிலையில் உள்ளபோது அது உணரும் விசை
F= - (1) (-10) = + 10 N. இங்கு நேர்க்குறியானது விசை நேர் x – அச்சை நோக்கி உள்ளதைக் குறிக்கிறது
x = ± 10 m என்ற நிலையில் பொருளானது இந்த இரு விளிம்பு புள்ளிகளிலும் பெரும விசையை உணர்ந்தாலும் கணநேர ஓய்வு நிலைக்கு வருகிறது.

கனச்செவ்வகத்துண்டு A யின் மீது செயல்படும் விசைகள் :
(i) புவி ஏற்படுத்தும் கீழ்நோக்கிய ஈர்ப்பு விசை (m_Ag)
(ii) பொருள் B ஏற்படுத்தும் மேல் நோக்கிய செங்குத்து எதிர்விசை (N_B)
A யின் “தனித்த பொருளின் விசைப் படம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது.
A ன் மீது செயல்படும் விசை

பொருள் B மீதான விசைகள்:
(i) கீழ் நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (m_Bg)
(ii) கனச்செவ்வகத் துண்டு A ஏற்படுத்தும் கீழ் நோக்கிய விசை (N_A)
(iii) கனச்செவ்வகத் துண்டு C ஏற்படுத்தும் மேல் நோக்கிய விசை (N_C)
B ன் மீது செயல்படும் விசை

கனச்செவ்வகத் துண்டு C இன் மீது செயல்படும் விசை :
(i) கீழ் நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (m_cg)
(ii) கனச்செவ்வகத் துண்டு B ஏற்படுத்தும் கீழ் நோக்கிய விசை (N_B)
(iii) மேசை ஏற்படுத்தும் மேல் நோக்கிய செங்குத்து விசை (N_table)
C ன் மீது செயல்படும் விசை

a) நிலையாற்றல் U = m g h = 2 × 10 × 5 = 100 J இங்கு நேர்க்குறியானது பொருளினுள் ஆற்றல் சேமிக்கப்பட்டுள்ளதைக் குறிக்கிறது.
b) இந்த  நிலையாற்றலானது புற விசையை செயல்படுத்தும் வெளிப்புற அமைப்பிலிருந்து பொருளுக்கு மாற்றப்பட்டுள்ளது.
c) பொருளை 5 m உயரத்திற்கு எடுத்துச் செல்ல செயல்படுத்தப்பட்ட புற விசை \(\left( \vec { { F }_{ a } } \right) \) ஆனது \( \vec { { F }_{ a } }=-\vec { { F }_{ g } } \)
\(\vec { { F }_{ a } } =\left( -mg\hat { j } \right) =mg\hat { j } \)
\(\hat { j } \) ஆனது செங்குத்தாக மேல்நோக்கியத் திசையில் செயல்படும் ஓரலகு வெக்டர் ஆகும்.
d) நிலையாற்றலின் வரையறையில் இருந்து, பொருளானது மாறாத் திசைவேகத்தில் நகர்த்தப்பட வேண்டும். எனவே, பொருளின்  மீது செயல்படும் நிகர விசை சுழி ஆகும்.
\(\vec { { F }_{ g } } +\vec { { F }_{ a } } =0\)

(a) பொருளின்  இயக்க ஆற்றல்
\(KE=\frac { { P }^{ 2 } }{ 2m } \)
2 kg நிறையுள்ள பொருளின்  இயக்க ஆற்றல்
\({ KE }_{ 1 }=\frac { \left( 20 \right) ^{ 2 } }{ 2\times 2 } =\frac { 400 }{ 4 } =100J\)
4 kg நிறையுள்ள பொருளின் இயக்க ஆற்றல்
\({ KE }_{ 2 }=\frac { \left( 20 \right) ^{ 2 } }{ 2\times 4 } =\frac { 400 }{ 8 } =50J\)
KE₁ ≠ KE₂  என அறியவும். அதாவது இருபொருட்களும் சம உந்தத்தைப் பெற்றிருந்தாலும் அவற்றின் இயக்க ஆற்றல் சமமல்ல. கனமான பொருள் இலேசான பொருளை விட குறைவான இயக்க ஆற்றலைப் பெற்றுள்ளது. ஏனென்றால் கொடுக்கப்பட்ட  உந்தத்திற்கு இயக்க ஆற்றலானது நிறைக்கு எதிர் விகிதத்தில் உள்ளது \((KE\infty \frac { 1 }{ m } )\)
b) உந்தம் p = mv என்பதால் இரு பொருட்களும் சம வேகத்தைப் பெற்றிருக்காது.

திசைவேகத்தின் x கூறு usin\(\theta\)​​​​​​ =vsin\(\phi \) (1)
திசைவேகத்தின் y-கூறின் எண்மதிப்பு ஒரே அளவாக இருக்காது. எனவே மீட்சியளிப்பு குணகத்தைப் பயன்படுத்தி 
\(e=\frac { vcos\varphi }{ ucos\theta } \quad \quad (2)\)
(1)மற்றும் (2)ஐ இரு மடியாக்கி கூட்ட 
v²sin²\(\varphi \)=u²sin²\(\theta\)
v²cos²\(\varphi \)=e²u²cos²\(\theta\)
v²=u²sin²\(\theta\)+e²u²cos²\(\theta\)
v²=u²[sin²\(\theta\)+e²cos²\(\theta\)]
\(v=u\sqrt { { sin }^{ 2 }\theta +{ e }^{ 2 }{ cos }^{ 2 }\theta } \)

வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பரப்பு கணத்தாக்கத்தை தருகிறது.
கணத்தாக்கம் I= \(\Delta\)OAE இன் பரப்பு+செவ்வகம் ABDE இன் பரப்பு+ \(\Delta\)DBC இன் பரப்பு
\(I=\frac { 1 }{ 2 } \times 4\times { 10 }^{ -3 }\times 10+(8-4)\times { 10 }^{ -3 }\times 10+\frac { 1 }{ 2 } \times 10\times { 10 }^{ 2 }(1-0.8)\)
=2x10^-2+4x10^-2+1x10^-2
=7x10^-2kgms^-1
ஆனால் கணத்தாக்கம் =2x பொருளின் தொடக்க உந்தம்.
2mu=7x10^-2
\(u=\frac { 7\times { 10 }^{ -2 } }{ 2\times m } =\frac { 7\times { 10 }^{ -2 } }{ 2\times 70\times { 10 }^{ -3 } } =50cm{ s }^{ -1 }\)
எனவே பொருளானது எதிர்த்திசையில் திரும்பி அதன் தொடக்க வேகத்தில் இயங்கும்.

நிறை m₁ =60kg 
நிறை m₂=30kg 
v1=40cm s^-1
v2=30 cm s^-1
\({ v }_{ 1 }=\left( \frac { { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \right) { u }_{ 1 }+\left( \frac { { 2m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \right) { u }_{ 2 }\)
\({ v }_{ 2 }=\frac { { (m }_{ 2 }-{ m }_{ 1 }) }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } { u }_{ 2 }+\frac { { 2m }_{ 1 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } { u }_{ 1 }\)
மதிப்புகளைப் பிரதியிட கிடைப்பது
\({ v }_{ 1 }\frac { \left( 60-30 \right) }{ 90 } \times 40+\frac { 2\times 30 }{ 90 } \times 30\)
\({ v }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 90 } [1200+1800]\)
\(=\frac { 3000 }{ 90 } =33.3cm\quad { s }^{ -1 }\)
இதேபோல் 
\({ v }_{ 2 }\frac { \left( 30-60 \right) }{ 90 } \times 30+\frac { 2\times 60 }{ 90 } \times 40\)
\({ v }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 90 } [-900+4800]\)
\(=\frac { 3900 }{ 90 } =43.3cm\quad { s }^{ -1 }\)

நிறை m=5kg 
இயக்க ஆற்றல் K.E =1000J
g = 10ms⁻²
'h' உயரத்தில் mgh=\(\frac{K.E}{2}\)
5x10xh=\(\frac{1000}{2}\)
h=\(\frac{500}{50}\)=10m

இதனை மையநோக்கு முடுக்கச் சமன்பாட்டில் பிரதியிடும் போது =\(a_{ c }=\frac { { \omega }^{ 2 }{ r }^{ 2 } }{ r } ={ \omega }^{ 2 }{ r }^{ 2 }\)
ஆனால் ω=\(\frac {2\pi} {r }\) இங்கு T என்பது புவி, சூரியனை ஒரு முறை சுற்றி வர ஆகும் காலமாகும். அதாவது ஒரு வருடம்.
T =365 நாட்கள் =365 x 24 x 60 x 60 x வினாடி 
=3.15 x 10⁷s 
ω= × − 2.02 10 7rad s^-1
ac=(2.02x 10^-7)2x (150x 108)
ac=6.12x 10^-4ms^-2

(i) ஓய்வு நிலை உராய்வு விசையானது ஒரு பெரும மதிப்பை அடையும் வரை வெளிப்புறத்திலிருந்து பொருளின் மீது அதிகரிக்கும்.
(ii) பொருள் இயக்கத் தொடங்கும் போது இயக்க நிலை உராய்வு விசை, ஓய்வு நிலை உராய்வு விசைகள் பெரும மதிப்பை விடச் சற்றே குறைவான மதிப்பை பெரும்.

காரணம் மற்றும் விளைவு வகையைச் சார்ந்தது.விசை ஒரு காரணம் எனில் முடுக்கம் அதற்கான விளைவு ஆகும்.இடது கை பக்கம் -விளைவு.வலது கை பக்கம் காரணத்தையும் எழுத வேண்டும்.
\(∴ m\vec{a}=\vec{F}\ (or) \ \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}\)

'a'=முடுக்கம் எடை நபரின் = W 
W=mg=ma=m(g-a)
நபரின் எடையில் பகுதி மாற்றம் 
=\(\frac{mg-W}{mg}\)
=\(1-\frac{W}{mg}=\frac{mg-(mg-ma)}{mg}\)
=\(\frac{a}{g}=\frac{5.0}{9.8}=0.51\)
சதவீத மாற்றம் =\(0.51\times100=51\%\).      

செய்யப்பட்ட மொத்த வேலைக்கும் எடுத்துக்கொண்ட மொத்த நேரத்திற்கும் இடையே உள்ள விகிதம் சராசரித் திறன்(P_{சராசரி}) என வரையறுக்கப்படுகிறது.
P_{சராசரி} =

 

(i) எறிபொருளின் இயக்கம்,ஆய்வகம் ஒன்றில் கணக்கிடப்படும் தனி ஊசலின் அலைவு நேரம் போன்றவற்றில் புவியின் தற்சுழற்சி விளைவுகளின் தாக்கம் புறக்கணிக்கத்தக்க அளவிலேயே காணப்படும்.
(ii) எனவே, இத்தகைய நேர்வுகளில் புவியில் ஒரு நிலைமக் குறிப்பாயமாக் கருதலாம்.      

கேரம், பில்லியர்ட்ஸ், கோலிக்குண்டு ஸ்நோபால் எனப்படும் ஐஸ் பந்து விளையாட்டுகள். இரு பொருட்களுக்கிடையே மோதல்களானது தொடுதலுடன் அல்லது தொடுதலின்றி ஏற்படலாம்.

ஒரு தனித்த அமைப்பிற்கு அனைத்து வகை ஆற்றல்களின் கூடுதல், அதாவது மொத்த ஆற்றல் எந்தச் செயல்பாட்டிலும் எவ்வகையான அக மாற்றங்கள் ஏற்பட்டாலும் மாறாமல் இருக்கும். இதன் பொருளானது ஒரு வடிவில் மறையும் ஆற்றல் மற்றொரு வடிவில் வெளிப்படும்.   

1.செய்யப்பட்ட மொத்த வேலைக்கும் எடுத்துக்கொண்ட மொத்த நேரத்திற்கும் இடையே உள்ள விகிதம் சராசரித்திறன் (P _{சராசரி} )என வரையறுக்கப்படுகிறது.

செயல்படுத்தப்படும் புறவிசைக்கு சரியாக எதிர்திசையில் மற்றொரு விசை செயல்பட்டால் இது சாத்தியமே.அவை இரண்டும் சமமான எண்மதிப்பைக் கொண்டு,ஒன்றுக்கொன்று எதிர் திசையில் செயல்படுவதால், பொருளின் மீது செயல்படும் நிகரவிசை சுழியாகும்.எனவே பொருளானது சுழி முடுக்கத்துடன் இயங்கும்.

வாகனம் சறுக்குவதற்கான நிபந்தனை
\(\frac { { mv }^{ 2 } }{ 2 } >{ \mu }_{ s }mg\) அல்லது \({ \mu }_{ s }<\frac { { v }^{ 2 } }{ rg } \)  (சறுக்குதல்)
வாகனம் வளைவதற்குத் தேவையான மையநோக்கு விசையை நிலைஉராய்வு விசையினால் கொடுக்க இயலவில்லை எனில்,வாகனம் சறுக்கத் தொடங்கும்.

மனிதர்களின் செயல்களில் எங்கெல்லாம் அவர்களின் உடல் விசை பயன்படுத்தப்படுகிறதோ அங்கு மட்டுமே நியூட்டனின் மூன்றாம் விதியினைப் பயன்படுத்தலாம். ஆனால் அவர்களின் மன ரீதியான உளவியல் செயல்களுக்கும், எண்ணங்களுக்கும் நியூட்டனின் மூன்றாம் விதியைப் பயன்படுத்த முடியாது.

தொகுதி சமநிலையில் இருப்பதற்கு, m₁ என்ற கப்பியுடன் இணைந்துள்ள நூலின் மீதுள்ள இழுவிசை
\(T=\mu_s\left(m_3+m_1\right) g\)    ....(1)
m₂ என்ற கப்பியின் சமநிலையில்
T = m₂ g    ....(2)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) களிலிருந்து
\(\mu_s\left(m_3+m_1\right) g=m_2 g  \)
\(\therefore m_3=\frac{m_2}{\mu_s}-m_1\)

T = mg
T = 50 x 9.8
= 0.49N

i) நியூட்டனின் மூன்றாவது விதிப்படி ஒவ்வொரு வினைக்கும் எதிரான அதே அளவிலான வினை ஏற்படும்.
ii) இதன்படி உள்ளிருந்து நாம் காரினை தள்ளும் போது அதற்கு இணையான எதிர்வினையை அது ஏற்படுத்தும்.எனவே காரினை நாம் உள்ளிருந்து தள்ளும் போது எதிர்வினையின் காரணமாக நாம் பின்னோக்கி செல்கிறோம் கார் நிலைத் தன்மையை பெறுகிறது.
iii) ஆகையால் காரினை உள்ளிருந்து தள்ளுவதால் பயனில்லை.

வட்டத்தின் ஆரம் r = 0.5 m
மேற்பக்கப் புள்ளியில் தேவையான வேகம் 
\({ V }_{ 2 }=\sqrt { gr } =\sqrt { 10\times 0.5 } =\sqrt { 5m } s^{ -1 }\)
அடிப்பக்க புள்ளியில் வேகம்
\({ V }_{ 1 }=\sqrt { 5gr } =\sqrt { 5 } \times \sqrt { gr } =\sqrt { 5 } \times \sqrt { 5 } =5ms^{ -1 }\)

விசை \(\mathrm{F} =v \frac{d x}{d t} \)
\(=v \frac{d}{d t}\) (கனஅளவு x அடர்த்தி)
\(=v \frac{d}{d t}(A x \rho)  \)
\(=v A \rho \frac{d x}{d t}  \)
\(=v A \rho \times v  \)
\(=A \rho v^2\)
திறன் = விசை x திசைவேகம் 
\(=A \rho v^2 \times v=A \rho v^3\)
∴ திறன் \(\propto v^3\)

இயக்க ஆற்றல் \(\mathrm{E}_{\mathrm{k}} =\frac{P^2}{2 m} \)
\(\frac{\Delta E_k}{E_k} =\frac{2 \Delta P}{P}  \)
\(\frac{\Delta P}{P} =0.1\)
இயக்க ஆற்றலின் உ யர்வு
\(\frac{\Delta E_k}{E_k} =2 \frac{\Delta P}{P}  \)
\(=2 \times 0.1=0.2 \%\)

சுழி

ஆரம் = R
\(v_1^2-v_2^2 =4 \mathrm{gr}\)     ....(1)
இழுவிசை \(\mathrm{T}_2=\frac{m v_2^2}{r_2}-m g\)
T₂ = 0 உண்மையான திசைவேகம்
\(0 =\frac{m v_2^2}{r}-m g  \)
\(\frac{m v^2}{r} =m g  \)
\(v_2^2=\operatorname{rg} \therefore v_2=\sqrt{g r} \)   ....(2)
(2) யை (1) இல் பிரதியிட
\(v_1^2-(\sqrt{g r})^2 =4 \mathrm{gr}  \)
\(v_1^2-g r =4 \mathrm{gr}  \)
\(v_1^2 =4 \mathrm{gr}+\mathrm{gr}=5 \mathrm{gr}  \)
\(\mathrm{v}_1 =\sqrt{5 g r}\)

உந்தம் அழிவின்மை விதியின் படி,
\(2 \mathrm{mv} =\sqrt{m^2 v^2+m^2 v^2}  \)
\(=\sqrt{2 m^2 u^2}  \)
\(\mathrm{v} =\frac{\sqrt{2} m u}{2 m}=\frac{u}{\sqrt{2}}\)
வெடிப்பினால் உருவாக்கப்பட்ட மொத்த
ஆற்றல் \(= 2 \times \frac{1}{2} m v^2 +\frac{1}{2} \times 2 m\left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right)^2 \)
\(=m v^2+\frac{m v^2}{2}  \)
\(=\frac{3}{2} m v^2\)

வெளிவிளிம்பு உயர்த்தப் பட்ட சாலையில் காரொன்று வளையும் போது, கீழ்கண்ட மூன்று விசைகள் காரின் மீது செயல்படுகின்றன.
1) கீழ் நோக்கிச் செயல்படும் ஈர்ப்புவிசை(mg)
2) சாலையின் பரப்பிற்கு செங்குத்தாகச் செயல்படும் செங்குத்துவிசை(N)
3) சாலையின் பரப்பு வழியே காரின் மீது செயல்படும் ஓய்வு நிலை உராய்வுவிசை (f) கிடைத்தள மற்றும் செங்குத்துத் திசைகளில் செயல்படும் விசைகளை பின்வரும் படம் காட்டுகிறது.

v என்ற வேகத்தில் கார் வளையும் போது, செங்குத்து விசையின் கிடைத்தளக் கூறு மற்றும் ஓய்வுநிலை உறைவுவிசை, மையநோக்கு விசையைக் கொடுக்கிறது. இதனைப் பின்வரும் சமன்பாடு காட்டுகிறது.
\(Nsin\theta +fcos\theta =\frac { { mv }^{ 2 } }{ r } (1)\)
செங்குத்துத் திசையில் எவ்வித முடுக்கமும் இல்லை. இது, மேல் நோக்கிச் செயல்படும் செங்குத்து விசையின் (N), செங்குத்துக்கூறு கீழ் நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசையை சமன் செய்கிறது என்பதை உணர்த்துகிறது. 
இதனை பின் வருமாறு எழுதலாம் 
Ncos\(\theta\)=mg+fsin\(\theta\) அல்லது  Ncos\(\theta\)-fsin\(\theta\)=mg
சமன்பாடு (1)ஐ (2) ஆல் வகுக்கும் போது 
\(\frac { Nsin\theta +fcos\theta }{ Ncos\theta -fsin\theta } =\frac { { v }^{ 2 } }{ rg } \) ...(3)
சறுக்காமல் வளைவதற்கான பெருமத் திசைவேக நிபந்தனைக்கு ஓய்வுநிலை உராய்வுக் குணகத்தின் பெருமமதிப்பைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இந் நிபந்தனையை சமன்பாடு (3) இல் பயன்படுத்தும்போது.
\(\frac { Nsin\theta +{ \mu }_{ s }Nfcos\theta }{ Ncos\theta -{ \mu }_{ s }Nfsin\theta } =\frac { { v }_{ max }^{ 2 } }{ rg } \)
n cos \(\theta\) வை சமன்பாட்டிலிருந்து வெளியே எடுக்கும் போது 
\(\frac { Ncos\theta \left\{ \left( \frac { Nsin\theta }{ Ncos\theta + } \right) +{ \mu }_{ s } \right\} }{ Ncos\theta \left( 1-{ \mu }_{ s }\frac { Nsin\theta }{ Ncos\theta + } \right) } =\frac { { v }_{ max }^{ 2 } }{ rg } \)
\(\frac { \left( tan\theta +{ \mu }_{ s } \right) }{ 1-{ \mu }_{ s }tan\theta } =\frac { { v }_{ max }^{ 2 } }{ rg } \)
சறுக்காமல் வளைவதற்கான பெருமத் திசைவேகம் 
\({ v }_{ max }=\sqrt { rg\frac { \left( tan\theta +{ \mu }_{ s } \right) }{ \left( 1-{ \mu }_{ s }tan\theta \right) } } \) ...(4)
நாம் உராய்வின் விளைவைப் புறக்கணிக்கும் போது \(({ \mu }_{ s }=0)\) நழுவாமல் வளைவதற்கான பெருமத் திசைவேகம்
\({ v }_{ max }=\sqrt { rgtan\theta } \quad (5)\)
நழுவாமல் வளைவதற்கான பெருமத் திசைவேகத்தை, உராய்வை அதிகரிப்பதன் மூலம் அதிகரிக்கலாம். (சமன்பாடு(4)). காரொன்று v safe' என்ற வேகத்தில் வலையும்போது ஓய்வுநிலை உராய்வு மேல் நோக்கிச் செயல்பட்டு கார் உட்புறமாக சறுக்கி விழுவதைத் தடுக்கிறது. மாறாக v_safe வேகத்தை விட சற்றே கூடுதலான வேகத்தில் கார் செலுத்தும் போது ஓய்வுநிலை உராய்வுவிசை கீழ் நோக்கிச் செயல்பட்டு கார் வெளிப்புறமாக சறுக்கிவிழுவதைத் தடுக்கிறது. ஆனால் v_safe வேகத்தை விட மிக அதிக வேகத்தில் செல்லும் போது ஓய்வுநிலை உராய்வு விசை கார் சறுக்கி விழுவதைத் தடுக்க போதுமானது அல்ல.

m₁ மற்றும் m₂ நிறை கொண்ட இரண்டு கனச் செவ்வகத் துண்டுகளைக் கருதுக.(m₁>m₂) அவை இரண்டும் உராய்வற்ற,வழுவழுப்பான சமதளப் பி[பரப்பில் ஒன்றை ஒன்று தொட்டுக் கொண்டு உள்ளன.
(i) F என்ற கிடைத்தள விசையைச் செலுத்தும்போது இவ்விரண்டு துண்டுகளும் a என்ற ,முடுக்கத்துடன் விசையின் திசையிலேயே இயங்குகின்றன.
(ii) முடுக்கம் ஐ கண்டறிய நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.(கூட்டு நிறை m =m₁+m₂)        
(iii) இரு நிறைகள் கொண்ட இவ்வமைப்பு நேரக்குறி x  அச்சு திசையில் இயங்கினால் சமன்பாட்டினை வெக்டர் கூறு வடிவில் எழுதலாம். \(\vec { F } =m\vec { a } \)என்ற சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் வெக்டர் கூறுகளை ஒப்பிட F =ma என கிடைக்கும்.
இங்கு m=m₁+m₂ ஆகும்.
அமைப்பின் முடுக்கம்\(\therefore \) a =\(\frac { F }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
(iii) நிறை m₁ தனது இயக்ககத்தின் காரணமாக, நிறை m₂ வின் மீது செலுத்தும் விசை தோடு விசை (contact force) எனப்படும். நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிப்படி, நிறை நிறை மீது இதற்குச் சமமான எதிர்திசையில் அமைந்த ஒரு எதிர்விசையை (\({ \vec { f } }_{ 21 }\)) செலுத்தும்.
\(\therefore F\hat { i } -{ f }_{ 21 }\hat { i } ={ m }_{ 2 }a\hat { i } \)
சமன்பாட்டின் இருபுறமும் கூறுகளை ஒப்பிடும் போது 
F-f₂₁=m₁a 
f₂₁=F -m₁a 
a =\(\frac { F }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
F-f₂₁=m₁a
f₂₁=F-m₁\(\left( \frac { F }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \right) \)
f₂₁=F\(\left[ 1-\frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \right] \)
f₂₁=\(\frac { F{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
(iv) f₂₁ வின் எண்மதிப்பு எதிர்விசையை ஏற்படுத்தும் நிறை m2 வை சார்ந்திருப்பதை அறியலாம். இங்கு விசை எதிர்குறி x-அச்சுத்திசையில் செயல்படுவதை நினைவில் கொள்ளவும். மீது செயல்படும் எதிர் விசை வெக்டர் குறியீட்டின் படி
\({ \vec { f } }_{ 12 }=-\frac { F{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \hat { i } \)
நிறை m₂ வைப் பொறுத்தவரை அச்சுத் திசையில் அதன்மீது m₁ நிறை ஏற்படுத்தும் ஒரே ஒரு மட்டுமே கிடைத்தளத் திசையில் செயல்படுகிறது. (c) ல் m₂ நிறை வின் விசைப்படம் கட்டப்பட்டுள்ளது. நிறை m₂ விற்கு நியூட்டன் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்தினால் \({ f }_{ 21 }\hat { i } ={ m }_{ 2 }a\hat { i } \)  சமன்பாட்டின் இரு புறமும் கூறுகளை ஒப்பிடும் போது 
f₂₁=m₂a 

a=\(\frac { F }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
பிரதியிடும் போது 
f₂₁=\(\frac { F{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
எனவே, தொடுவிசையின் எண் மதிப்பு f₂₁ =\(\frac { F{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
இது நேரக்குறி க்ஸ் அச்சுத் திசையில் செயல்படும்.
வெக்டர் குறியீட்டின் படி நிறை m₁, நிறை m₂ மீது செலுத்தும் விசை \({ \vec { f } }_{ 21 }=-\frac { F{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
இங்கு\({ \vec { f } }_{ 21 }=-{ \vec { f } }_{ 21 }\) என்பதைக் கவனிக்க. இது நியூட்டனின் மூன்றாம் விதியை உறுதிப்படுத்துகிறது.

m நிறையுடைய பொருள் ஒன்று,சாய் கோணம் கொண்ட உராய்வற்ற சாய்தளம் ஒன்றில் சறுக்கிச் செல்கிறது என்க.அப்பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகள் பின்வருவனவற்றைத் தீர்மானிக்கின்றன.
(i) பொருளின் முடுக்கம் 
(ii) பொருள் தரையை அடையும்போது அதன் வேகம் 
பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகள்:
(i) கீழ்நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை(mg).
(ii) சாய்தளத்திற்குச் செங்குத்தாகப் பொருளின் மீது செயல்படும் செங்குத்து விசை(N).

பொருளின் தனிப் பொருள் விசைப்படம் வரைய,அப்பொருளை ஒரு புள்ளி நிறையாகக் கருத வேண்டும்.சாய்தளத்திற்கு இணையாக உள்ள ஒரு ஆய அச்சு அமைப்பினை தேர்வு செய்ய வேண்டும்.
(i) mg sinθ கூறு சாய்தளத்திற்கு இணையாகவும்,
(ii) mg cosθ கூறு சாய்தளத்திற்கும் செங்குத்தாகவும், உள்நோக்கி செயல்படுகின்றன.
(iii) புவியீர்ப்பு விசை (mg) சாய்தளத்தின் கீழ்நோக்கிய செங்குத்துடன் ஏற்படுத்தும் கோணம், சாய்கோணம் θ விற்குச் சமம்.
(iv) y அச்சுத் திசையில் எவ்விதமான இயக்கமும் முடுக்கமும் இல்லை.
(v) y அச்சுத் திசையில் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்தினால்,
\(-mg cos\theta \hat{j}+N\hat{j}=0\)(முடுக்கம் இல்லை)
சமன்பாட்டின் இருபுறமும் உள்ள கூறுகளை ஒப்பிடும்போது N-mg cosθ=0.
N=mg cosθ
சாய்தளப் பரப்பு ஏற்படுத்தும் செங்குத்து விசையின் (N) எண்மதிப்பு mg cosθ விற்குச் சமம்.

பொருள் x அச்சுத்திசையில் a முடுக்கத்துடன் சறுக்கிச் செல்கிறது.எனவே x அச்சுத்திசையில் நியூட்டன் இரண்டாம் விதியை பயன்படுத்தினால்,
\(mg \ sin\theta \hat{i}=ma\hat{i } \)
இருபுறமும் கூறுகளை ஒப்பிடும்போது 
mg sinθ = ma 
சறுக்கும் பொருளின் முடுக்கம் 
a=g sinθ
இங்கு பொருளின் முடுக்கம்,சாய்கோணம் θவைச் சார்ந்தது என்பதை கவனிக்க வேண்டும்.சாய்கோணம் θ=900 எனில் பொருள் (a=g) என்ற முடுக்கத்துடன் செங்குத்தாக கீழ்நோக்கி வரும்.
பொருள் தரையை அடையும்போது அதன் வேகத்தை நியூட்டனின் இயக்கச் சமன்பாடுகள் கொண்டு அறியலாம்.இயக்க முழுமைக்கும் முடுக்கம் ஒரு மாறிலி ஆகும்.
v²=u²+2as (x அச்சுத் திசையில்)
முடுக்கம் a=g sinθ க்கு பொருள் ஓய்வு நிலையில் இருந்து நகரத் துவங்கும்போது ஆரம்பத் திசைவேகம் u சுழியாகும்.மேலும் சாய்தளத்தின் நீளம் இங்கு s ஆகும்.சமன்பாடு தரையை அடையும்போது பொருளின் வேகம் (v).
\(v =\sqrt{2sg sin \theta } \)                                          

நியூட்டனின் விதிகளைப் பயன்படுத்தும்போது பின்வரும் கருத்துக்களை கவனமுடன் பின்பற்ற வேண்டும்.
(i) பொருத்தமான நிலைமக் குறிப்பாயம் ஒன்றைக் கருத வேண்டும்.பொதுவாக புவியினை ஒரு நிலைமக் குறிப்பாயமாகக் கருதலாம்.
(ii) நியூட்டன் விதிகளைப் பயன்படுத்தத் தேவையான அமைப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்.அவ்வமைப்பானது ஒரு பொருள் அமைப்பாகவோ அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பொருள்கள் சேர்ந்த அமைப்பாகவோ இருக்கலாம்.
(iii) பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகளைக் கண்டறிந்து அவற்றைக் கொண்டு விசைப்படம் வரைய வேண்டும்.பின்னர் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியை பயன்படுத்த வேண்டும்.இடப்பக்கம் பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகளை வெக்டர் வடிவில் குறிப்பிட வேண்டும்.வலப்பக்கம் பொருளின் நிறை மற்றும் அப்பொருள் முடுக்கம் இவற்றின் பெருக்கல் பலனை வெக்டர் வடிவில் குறிப்பிட வேண்டும்.ஏனெனில் முடுக்கம் ஒரு வெக்டர் அளவாகும்.
(iv) முடுக்கம் கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் விசையைக் கண்டறியலாம்.அதேபோல் விசை கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் பொருளின் முடுக்கத்தைக் காணலாம்.
மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கருத்துக்களின்படி படத்தில் கட்டியுள்ளவாறு தரையில் ஒரு நிலைமக் குறிப்பாயத்தைக் கருத வேண்டும்.

பழத்தின் மீது பின்வரும் இரண்டு விசைகள் செயல்படுகின்றன.
பழத்தின் மீது எதிர்குறி y அச்சுத் திசையில் கீழ் நோக்கி செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை,நேரக்குறி y அச்சுத் திசையில் செயல்படும் பழத்தைத் தாங்கியுள்ள காம்பு, பழத்தின் மீது செலுத்தும் மேல் நோக்கிய இழுவிசை,பழத்தின் விசைப்படம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது.

இங்கு mg என்பது புவியீர்ப்பு விசையின் எண்மதிப்பு மற்றும் (-\(\hat { j } \)) என்பது எதிர்குறி அச்சுத்திசையைக் குறிக்கும் ஓரழகு வெக்டர்.
\(\vec{T}=T\hat { j } \)
இங்கு T என்பது பழத்தின் மீது செயல்படும் இழுவிசை \(\hat { j } \) மற்றும் என்பது நேர்க்குறி y அச்சுத் திசையைக் குறிக்கும் ஓரலகு வெக்டர்.
நியூட்டனின் இரண்டாம் விதிப்படி 
நம்மைப் பொருத்து (நிலைமக் குறிப்பாயத்தை பொருத்து) பழம் ஓய்வு நிலையில் உள்ளது.எனவே அதன் முடுக்கம் சுழி \(\vec{a}=0\).
எனவே, \(\vec{F}_{net}=\vec{ma}=0\)
\((T-mg)\hat{j}=0\)
மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களின் வெக்டர் கூறுகளை ஒப்பிடும்போது T-mg=0 எனக் கிடைக்கும்.
எனவே பழத்தின் காம்பின் இழுவிசை பழத்தின் நிறை T=mg.                                   

(i) ஒரு பொருளை நாம் மேல்நோக்கி எறிந்தாள் அதன் இயக்க ஆற்றல் குறைத்து கொண்டே செல்கிறது மற்றும் அதன் நிலை ஆற்றல் அதிகரித்துக் கொண்டே செல்கிறது (காற்றுத் தடையை புறக்கணிக்கும் போது)
(ii) பொருளானது பெரும உயரத்தை அடையும் போது ஆற்றல் முழுவதும் நிலை ஆற்றலாகும். அது போன்று பொருளானது பெரும உயரத்தில் இருந்து விழுந்தால் அதன் இயக்க ஆற்றல் அதிகரிக்கும் மற்றும் நிலை ஆற்றல் குறையும். தரையைத் தொடும் போது அதன் ஆற்றல் முழுவதும் இயக்க ஆற்றலாகும். படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு இடைப்பட்ட புள்ளிகளில் ஆற்றலானது இயக்க ஆற்றலாகவும் நிலை ஆற்றலாகவும் இருக்கும்.
(iii) பொருளானது தரையை அடையும் போது இயக்க ஆற்றல் முழுவதுமாக ஒலி, வெப்பம், ஒளி மற்றும் பொருளின் உருக்குலைவு போன்ற வேறு வகை ஆற்றலாக வெளிப்படும்.
(iv) இந்த உதாரணத்தில் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் நிலையாற்றல் மற்றும் இயக்க ஆற்றல் மாறும். எனினும், இயக்க ஆற்றல் மற்றும் நிலை ஆற்றலின் கூடுதல் அதாவது மொத்த இயந்திர ஆற்றல் எப்போதும் மாறாது. இது மொய்த்த ஆற்றல் மாறாது என்பதைக் குறிக்கிறது. இதுவே ஆற்றல் மாறா விதியாகும்.
 
(v) ஆற்றல் மாறா விதியின் படி ஆற்றலை ஆக்கவோ அழிக்கவோ இயலாது. ஆற்றலானது ஒரு வகையிலிருந்து மற்றொரு வகையாக மாறக்கூடியது. ஆனால் ஒரு தனித்த அமைப்பின் மொத்த ஆற்றல் மாறிலியாக இருக்கும்.
(vi) படம் விளக்குவது யாதெனில், h  உயரத்தில் ஓய்வில் உள்ள ஒரு பொருளின் மொத்த ஆற்றல் முழுவதும் நிலை ஆற்றல் (U=mgh) மட்டுமே.
(vii) மேலும் h உயரத்தில் அதன் இயக்க ஆற்றல் (KE) சுழியாகும். பொருள் கீழே விழும்போது 'y' தொலைவில் அதன் நிலையாற்றல் மற்றும் இயக்க ஆற்றல் சுழியாகும். அதேசமயம் h உயரத்தில் இருந்த அதே அளவில் மொத்த ஆற்றல் மாறாமல் இருக்கும். பொருள் தரையைத் தொட்டே நெருங்கும் பொது நிலை ஆற்றல் சுழியாகும் மற்றும் மொத்த ஆற்றல் இயக்க ஆற்றலாக மட்டுமே இருக்கும். 

புவியிலிருந்து h உயரத்தில் ஈர்ப்பு அழுத்த ஆற்றல் (U) என்பது பொருளை தரையிலிருந்து h உயரத்தில் மாறா திசைவேகத்தில் கொண்டு செல்லத் தேவையான வேலையின் அளவுக்குச் சமமாகும். படத்தில் (m) நிறையுள்ள ஒரு பொருள் தரையிலிருந்து h உயரத்திற்கு புவியீர்ப்பு விசைக்கு எதிராக நகர்த்தப்படுவதாகக் கருதுவோம்.

(i) பொருளின் மீது செயல்படும் புவிஈர்ப்பு விசை \({ \vec { F } }_{ g }\)ஆனது  \({ \vec { F } }_{ g }=-mg\hat { j } \) (விசையானது y திசையில் உள்ளதால் அலகு வெக்டர்  இங்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது).
(ii) இங்கு எதிர்குரியானது விசை செங்குத்தாக கீழ்நோக்கி செயல்படுவதைக் குருக்க்கிறது. பொருளை முடுக்கம் இன்றி (மாறா திசைவேகத்துடன்) நகர்த்த, புவி ஈர்ப்பு விசை F_g க்கு சமமான எண் மதிப்பையும் எதிர் திசையையும் கொண்ட \({ \vec { F } }_{ a }\) என்ற புறவிசை ஒன்று பொருளின் மீது செயல்படுத்தப்பட வேண்டும்.
(iii) அதாவது, (\({ \vec { F } }_{ a }\)-\({ \vec { F } }_{ g }\)).இது \({ \vec { F } }_{ g }=-mg\hat { j } \) என்பதைக் குறிக்கிறது. நேரக்குறியானது செயல்படுத்தப்பட்ட விசை மேல்நோக்கி செங்குத்தாக உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது.
(vi) எனவே பொருள் மேல்நோக்கி உயர்த்தப்படும் பொது அதன் திசைவேகம் மாறாமல் இருக்கும். அதனால் அதன் இயக்க ஆற்றலும் மாறாது. 'h' உயரத்தில் ஈர்ப்பு அழுத்த ஆற்றல் (U) என்பது பொருளை தரையிலிருந்து (h) உயரத்திற்கு கொண்டு செல்ல தேவையான வேலையின் அளவாகும்.
U =\(\int { { \vec { F } }_{ a }.d\vec { r } } =\int _{ 0 }^{ h }{ \left| { \vec { F } }_{ a } \right| \left| d\vec { r } \right| } cos\theta \)
(v) இடப்பெயர்ச்சியும் செயல்படுத்தப்பட்ட விசையும் அதே மேல்நோக்கிய திசையில் உள்ளதால் அவற்றிற்கிடையே உள்ள கோணம், \(\theta =0^ {o}\) எனவே cos\(\theta \) =1 மற்றும் \(\left| { \vec { F } }_{ a } \right| =mg \), \(\left| d\vec { r } \right| =dr \)
U =\(mg\int _{ 0 }^{ h }{ dr } \)
U =\(mg{ [r] }_{ 0 }^{ h }=mgh\)
(vi) பொருளில் சேமிக்கப்பட்டுள்ள நிலையாற்றலானது புறவிசையினால் செய்யப்பட்ட நேர்குறி மதிப்புள்ள வேலையின் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது என்பதை அறியவும். இயல்பாக இது குறிப்பது யாதெனில் புறவிசையைச் செயல்படுத்தும் அமைப்பு பொருளுக்கு ஆற்றலை மாற்றுகிறது மற்றும் அது நிலையற்றலாகச் சேமிக்கப்படுகிறது. பொருளானது h உயரத்திலிருந்து விழுந்தால் சேமிக்கப்பட்டுள்ள நிலையாற்றல் இயக்க ஆற்றலாக மாற்றப்படுகிறது. 

துப்பாக்கிக் குண்டின் நிறை
\(m=\frac { 3 }{ 1000 } g=0.03kg\)
வேகம் v = 500 ms^-1
தொடக்க இயக்க ஆற்றல் =\(\frac { 1 }{ 2 } { mv }^{ 2 }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \times 0.03\times { (500) }^{ 2 }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \times 0.03\times 250000\)
3750 J
இறுதி இயக்க ஆற்றல் = \(\frac { 1 }{ 2 } { mv }^{ 2 }=0\)
இயக்க ஆற்றலில் இழப்பு = 3750 J
F = துப்பாக்கிக்குண்டின் மீது கட்டியால் செலுத்தப்படும் விசை
S = இடப்பெயர்ச்சி \(\Rightarrow \) 10 கிம் = 0.10 m
வேலை - ஆற்றல் கொள்கையை பயன்படுத்த
W = \(\Delta k\)
Fs =  \(\Delta k\) 
\(F\times 10=3750;F=\frac { 3750 }{ 0.10 } =3.75\times { 10 }^{ 4 }N\)

\(\overrightarrow { { r }_{ 1 } } =(2\hat { i } +\hat { j } -3\hat { k } )\)
\(\overrightarrow { { r }_{ 2 } } =(4\hat { i } +6\hat { j } -7\hat { k } )\)
நிலை வெக்டர்கள் \(\vec { r } =\vec { { r }_{ 2 } } -\vec { { r }_{ 1 } } \)
\(=(4\hat { i } +6\hat { j } -7\hat { k } )-(2\hat { i } +\hat { j } -3\hat { k } )\)
\(=4\hat { i } +6\hat { j } -7\hat { k } -2\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } \)
\(=\hat { i } (4-2)+\hat { j } (6-1)+\hat { k } (-7+3)\)
\(=\hat { i } (2)+\hat { j } (5)+\hat { k } (-4)\)
\(\overrightarrow { r } =\overrightarrow { { r }_{ 2 } } -\overrightarrow { { r }_{ 1 } } =2\hat { i } +5\hat { j } -4\hat { k } \)
W = \(\overrightarrow { F } .\overrightarrow { x } \)
\(=(3\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ).(2\hat { i } +5\hat { j } -4\hat { k } )\)
\(=\hat { i } .\hat { j } .\hat { k } (6+10-16)\)
= 1(0)
செய்யப்பட்ட வேலை  = 0

ஒரு பொருளை நகர்த்தும் போது விசையினால் அல்லது விசைக்கெதிராக செய்யப்பட்ட வேலை பொருளின் தொடக்க மற்றும் இறுதி நிலைகளை மட்டும் சார்ந்தும், பொருளின் தொடக்க மற்றும் இறுதி நிலைகளுக்கிடையே சென்ற பாதையின் இயல்பைச் சாராமலும் இருப்பின்: அவ்விசை, ஆற்றல் மாற்றா விசை எனப்படும்.
எ.கா. மீட்சி சுருள்வில் விசை, நிலை மின்னியல் விசை, காந்த விசை, புவியீர்ப்பு விசை முதலியன.
ஒரு பொருளை விசையினால் அல்லது விசைக்கெதிராக நகர்த்தச் செய்யப்பட்ட வேலை தொடக்க மற்றும் இறுதி நிலைகளுக்கிடையே உள்ள பாதையைச் சார்ந்திருப்பின் அவ்விசை ஆற்றல் மாற்றும் விசை எனப்படும். இதன் பொருள் வெவ்வேறு பாதைகளில் செய்யப்பட்ட வேலையின் மதிப்பு மாறுபடும் என்பதாகும்.
எ.கா. உராய்வு விசைகள், காற்றுத்தடையால் ஏற்படும் விசை, பாகியல் விசை முதலியன.

1.ஓய்வு நிலையிலுள்ள ஒரு பொருள்,மற்றும் அதை நோக்கிய திசையில் இயங்கும் பொருள் ஆகிய இரண்டு பொருட்களைக் கருதுக.
2.இவைஇரண்டும் ஒன்றுடன் ஒன்று மோதி,மோதலுக்குப்பின் தன்னிச்சையாக திசையில் செல்கின்றன.

3.இந்நிகழ்வில், மோதலுக்கு முன்பு அமைப்பின் மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம்,இயக்கத்திலுள்ள பொருட்களின் தொடக்கநேர்க்கோட்டு உந்தத்திற்குச் சமமாகும்.
4.நேர்கோட்டு உந்த மாறாவிதிப்படி,மோதலுக்கு பின்பும் அமைப்பின் மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம் முன்னோக்கிய திசையில் செயல்படும்.
மோதலுக்கு முன்பு
1.இங்கு பின்வரும் கருத்தைப் புரிந்து கொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
2.மோதலுக்கு முன்பும்,பின்பும் மொத்த உந்த வெக்டர் ஒரே திசையில் உள்ளது.இது மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம் மோதலுக்கு முன்பும் பின்பும் ஒரு மாறிலி வெக்டர் என்பதை எளிமையாக விளக்குகின்றது.
3.மோதலின்போது ஒவ்வொரு பொருளும் மீது ஒரு விசையைச் செலுத்தும்,இவ்விரண்டும் விசைகளும் அகவிசைகளாகும்.
4.எனவே இந்த அகவிசைகள் மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தத்தை மாற்றாது.

ஓய்வுநிலை உராய்வு இயக்கஉராய்வு i)பொருள் நகரத்தொடங்குவதை எதிர்க்கும் பொருள் நகரும் பரப்பைப் பொறுத்து பொருளின்
சார்பியக்கத்தை எதிர்க்கும் ii) தொடும் பரப்பின் அளவினைச் சார்ந்ததில்லை தொடும் பரப்பின் அளவினைச் சார்ந்ததில்லை
விசையின் எண் மதிப்பைச் சார்ந்ததில்லை iii) ஓய்வுநிலை உராய்வு குணகம் ஒன்றை ஒன்று தொடும்
பரப்பு பொருட்களின் தன்மையை (Nature of materials) சார்ந்திருக்கும்.
சுழியிலிருந்து N வரை உள்ள எந்த ஒரு மதிப்பினையும் பெற்றிருக்கும். இயக்க உராய்வு குணகம் _k ஒன்றை ஒன்று தொடும் பரப்புகளின் 
தன்மை மற்றும் பரப்புகளின் வெப்பநிலை ஆகியவற்றைச் சார்ந்திருக்கும்.
இது எப்பொழுதும் சுழி மதிப்பினைப் பெறாது.மேலும் பொருள் எந்த வேகத்தில் இயங்கினாலும் இதன் மதிப்பு எப்பொழுதும் _k க்கு சமமாகும்.(பொருளின் வேகம் 10ms^-1 ஐவிட ) குறைவாக
உள்ளபோது இது பொருந்தும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.) iv) ஓய்வுநிலை உராய்வுவிசையின் பெரும மதிப்பும் அதிகமாக இருக்கும் இயக்க நிலை உராய்வு விசை குறைவாக இருக்கும். v) ஓய்வுநிலை உராய்வுக் குணகம் அதிகமான மதிப்பைப் பெற்றிருக்கும். இயக்க நிலை உராய்வு குணகம் ,குறைவான மதிப்பைப் பெற்றிருக்கும்

சரி சமமான வட்டச்சாலையில் செல்லும் வாகனம் சறுக்காமல் இருக்கத் தேவையான நிபந்தனை, வாகனத்தின் வேகம் (v) இன் மதிப்பு \(\sqrt {\mu _ s rg}\) ஐ விடக் குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்க வேண்டும்.
\(v\le\sqrt{\mu_srg}\)
\(\sqrt{\mu_srg}=\sqrt{0.81\times10\times10}=9ms^{1}\)
C காரினைப் பொருத்தவரை \(\sqrt {\mu _ s rg}\) இன் மதிப்புகாரின் வேகம் v ஐ விடக் குறைவு. கார் A மற்றும் B இரண்டும் பாதுகாப்பாக வளையும், ஆனால் கார் C இன் வேகம், நிர்ணயிக்கப்பட்ட வேகத்தை விட \(\sqrt {\mu _ s rg}\) அதிகமாக உள்ளதால் அது சறுக்கி விடும்.

பொருள் மாறாத் திசைவேகத்தில் இயங்கும்போது அப்பொருளின் முடுக்கம் சுழி நியூட்டனின் இரண்டாம் விதிப்படி பொருளின்மீது எவ்விதமான தொகுபயன் விசையும் செயல்படவில்லை வெளிப்புற விசையானது இயக்க உராய்வினால் சமன் செய்யப்படுகிறது. 

நிலவின் முடிடுக்கம்
புவியின் மையத்திலிருந்து நிலவின் ஆரம்
\(r =384,000 \times \frac{1000}{1 \mathrm{~km}} \)
= 384 x 10⁶  மீ 

= 2,332,800 வினாடி 

\(=\frac{2 \pi r}{T} \)

மையநோக்கு முடுக்கம் \(\left(a_{\perp}\right)=\frac{v^2}{r}\)
\(=\frac{(329 \pi)^2}{384 \times 10^6}=2.78 \times 10^{-3}\) மீ/வி²
புவிஈர்ப்பு விசையால், நிலவின்
முடுக்கம் = 2.78 x 10^-3 மீ/வி²

நியூட்டன் விதிகள்:
(1) ஒரு பொருளின் மீது வெளிப்புற விசை ஒன்று செயல்படாதவரை, அது தனது ஓய்வு நிலையிலோ அல்லது மாறாத் திசைவேகத்திலுள்ள சீரான இயக்க நிலையிலோ தொடா்ந்து இருக்கும்.
(2) ஒரு பொருளின் மீது செயல்படும் விசையானது அந்தப் பொருளின் உந்த மாறுபாட்டு வீதத்திற்கு சமமாகும்.
(3) எந்தவொரு செயல் விசைக்கும் சமமான எதிர் செயல்விசை உண்டு.
விளக்கம்:
(1) நியூட்டன் விதிகள் வெக்டா் விதிகளாகும். \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{ma}\) என்ற சமன்பாட்டை, கார்டீசியன் ஆயக்கூறுகளின் அடிப்படையில் கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.
\(F_x \hat{i}+F_y \hat{j}+F_z \hat{k}=m a_x \hat{i}+m a_y \hat{j}+m a_z \hat{k}\)
இருபுறமும் ஒப்பிட,
\(F_x=m a_x \)
\(F_y=m a_y  \)
\(F_z=m a_z\)
இதிலிருந்து நாம் அறிய வேண்டியது என்னவெனில், y திசையில் செயல்படும் வினை, x திசையில் ஏற்படும் முடுக்கத்தை எவ்விதத்திலும் பாதிக்காது. அதே போன்று F_z ஆனது a_y மற்றும் a_x ஐ எவ்விதத்திலும் பாதிக்காது.
(2) ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் (t), பொருள் அடையும் முடுக்கம், அதே நேரத்தில் அப்பொருளின் மீது செயல்படுமு வினையினை மட்டுமே சார்ந்தது. இதனை இவ்வாறு எழுதலாம்.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}(\mathrm{t})=\mathrm{ma}(\mathrm{t})\)
பொருளின் முடுக்கம். கடந்தகால விசையைச் சார்ந்ததல்ல. எடுக்துக்காட்டாக. பந்து வீச்சாளரால் வீசப்பட்ட பந்து, அவரின் கரத்தை விட்டு விடுபட்ட பின்பு பந்து, புவியீர்ப்பு விசை மற்றும் காற்றின் உராய்வுவிசை இவைகளை மட்டுமே உணரும். பந்தின் முடுக்கம் அது எவ்வளவு வேகத்தில் வீசப்பட்டது என்பகை பொருத்து அமையாது.
(3) பொதுவாக பொருளின் இயக்கம் விசையின் திசையிலிருந்து மாறுபட்டு அமையலாம்.
(a) விசையும் இயக்கமும் ஒரே திசையில் அமைதல்.
(எ.கா.) மரத்திலிருந்து கீழே விழும் பழத்தின் இயக்கம்.
(b) விசையும் இயக்கமும் வெவ்வேறு (செங்குத்து) திசைகளில் அமைதல்.
(எ.கா.) நிலா புவியினை நோக்கி ஒரு விசையை உணா்கிறது. ஆனால் நிலா புவியை ஒரு நீள் வட்டப்பாதையில் சுற்றி வருகிறது.
(c) விசையும் இயக்கமும் எதிரெதிர் திசையில் அமைதல்
(எ.கா.) பொருளை. புவியீர்ப்பு விசைக்கு எதிராக மேல்நோக்கி எறிதல்.
(d) சுழிநிகர விசையுடன் பொருளின் இயக்கம் அமைதல்.
(எ.கா.) மழைத்துளி மாறாத்திசைவேகத்துடன் தரையில் விழுதல்.
(4) ஒரு பொருளின் மீது பல்வேறு விசைகள், \(\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3 \ldots \ldots . \vec{F}_n\) செயல்படும் போது, நிகரவிசை \(\left(\vec{F}_{n e t}\right)\), தனித்தனி வெக்டா் கூடுதலுக்குச் சமம்.
\(\vec{F}_{\text {net }}=\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_{3 \ldots} \vec{F}_n\)
(5) நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியை பொருளின் இடப்பெயர்ச்சி வெக்டரின் இரண்டாம்படி வகைக்கெழு வடிவத்திலும் எழுதலாம்.
\(\vec{F}=m \frac{d^2 \vec{r}}{d t^2}\)
இதிலிருந்து நாம் அறிந்துகொள்வது என்னவெனில், எப்பொழுதெல்லாம் இடப்பெயர்ச்சி வெக்டரின் இரண்டாம் வகைக்கெழு சுழியல்லாத மதிப்பினை பெறுகிறதோ அப்பொழுதெல்லாம் பொருளின் மீது விசை செயல்படுகிறது.
(6) பொருளின் மீது எவ்விதமான விசையும் செயல்படாத நிலையில் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி \(m=\frac{d \vec{v}}{d t}=0\).. அதாவது பொருள் மாறாத் தினைவேகத்துடன் இயங்குகிறது என்று நமக்கு உணர்த்துகிறது. நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி, முதல் விதியோடு இயல்பாக பொருந்துவதை நாம் உணரலாம். இருப்பினம் அவை இரண்டும் ஒன்றையொன்று சாராத தனித்தனி விதிகளாகும். ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றை தருவிக்க இயலாது.
(7) நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி காரணம் மற்றும் விளைவு வகையைச் சார்ந்தது. விசை ஒரு காரணம் எனில் முடுக்கம் அதற்கான விளைவு ஆகும். எனவே விதியின் சரியான வடிவம் \(m \vec{a}=\vec{F}.\)

மீட்சியற்ற மோதல்:
ஒரு மோதலில் பொருட்களின் தொடக்க மொத்த இயக்க ஆற்றலானது (மோதலுக்குமுன்) பொருட்களின் இறுதி மொத்த இயக்க ஆற்றலுக்கு (மோதலுக்குப்பின்) சமமாக இல்லையெனில் அது மீட்சியற்ற மோதல் எனப்படும்.
முழு மீட்சியற்ற மோதல்:
முழு மீட்சியற்ற மோதலில் பொருள்கள் மோதலுக்குப்பிறகு ஒரு பொதுவான திசைவேகத்தில் இயங்கும் வகையில் ஒன்றுடன் ஒன்ற நிரந்தரமாக ஒட்டிக்கொள்கின்றன. m₁ மற்றும் m₂ நிறை கொண்ட இரு பொருள்கள் மோதலுக்கு முன் முறையே u₁ மற்றும் u₂ என்ற தொடக்க திசைவேகங்களுடன் இயங்குவதாகக் கொள்க. படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு முழு மீட்சியற்ற மோதலுக்குப் பிறகு பொருட்கள் v என்ற பொதுவான திசைவேகத்துடன் ஒன்றாக இயங்குகின்றன.
மோதலின் போது நோ்க்கோட்டு உந்தம் மாற்றப்படாமல் உள்ளதால்

பொருள்	திசைவேகம்		நேர்க்கோட்டு உந்தம்
	தொடக்கம்	இறுதி	தொடக்கம்	இறுதி
நிறை m1	u1	v	m1u1	m1v
நிறை m2	u2	v	m2u2	m2v
மொத்தம்			m1u1 + m2u2	(m1 + m2)v

பொதுவான திசைவேகத்தை கீழ்கண்டவாறு கணக்கிடலாம்.
\(\mathrm{v}=\frac{m_1 u_1+m_2 u_2}{\left(m_1+m_2\right)}\)   ....(1)
எடுத்துக்காட்டுகள்:
50 g நிறையுள்ள ஒரு துப்பாக்கி குண்டு 450 g நிறையுள்ள ஒரு தொங்கவிடப்பட்ட பொருளின் அடிப்பகுதியிலிருந்து சுடப்படுகிறது. துப்பாக்கி குண்டு பொருளினுள் பொதிந்து பொருளானது 1.8 m உயரத்திற்கு மேல்நோக்கிச் செல்கிறது. துப்பாக்கி குண்டின் வேகத்கைக் கணக்கிடுக. g = 10 ms^-2 எனக் கொள்க.
தீர்வு
\(\mathrm{m}_1=50, \quad \mathrm{~g}=0.05 \mathrm{~kg}, \quad \mathrm{~m}_2=450, \quad \mathrm{~g}=0.45 \mathrm{~kg}\)

துப்பாக்கி குண்டின் வேகம் u₁ ஆகும். இரண்டாவது பொருள் ஓய்வு நிலையில் 2ள்ளது. (u₂ = 0) துப்பாக்கி குண்டு பொருளிணுள் பொதிந்த பிறகு துப்பாக்கி குண்டு மற்றும் பொருள் ஆகியவற்றின் பொதுவான திசைவேகம் v என்க.
\(\mathrm{v} =\frac{m_1 u_1+m_2 u_2}{\left(m_1+m_2\right)}  \)
\(\mathrm{v} =\frac{0.05 u_1+(0.45 \times 0)}{(0.05+0.45)}=\frac{0.05}{0.50} u_1\)
பொதுவான திசைவேகமானது துப்பாக்கி குண்டு மற்றும் பொருள் ஆகிய ஒருங்கிணைந்த அமைப்பின் மேல்நோக்கிய செங்குத்து இயக்கததிற்கான தொடக்க திசைவேகம் ஆகும். இரண்டாவ்து இயக்கச் சமன்பாட்டிலிருந்து
\(\mathrm{v} =\sqrt{2 g h}  \)
\(\mathrm{v} =\sqrt{2 \times 10 \times 1.8}=\sqrt{36}  \)
\(\mathrm{v} =6 \mathrm{~ms}^{-1}\)
இதனை மேற்கண்ட சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு u₁ மதிப்பை பெற
\(6 =\frac{0.05}{0.50} u_1\) அல்லது \(u_1=\frac{0.50}{0.05} \times 6=10 \times 6\) 
\(\mathrm{u}_1 =60 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\)
1. ஈரமான களிமண் உருண்டை வாகனத்தின் மீது எறியப்படல்.
2. இரு வாகனங்களுக்கு இடையேயான மோதல்.
3. சுவற்றிற்கும் பந்துக்கும் இடையேயான மோதல்.

M₁ மற்றும் M₂ நிறையுள்ள இரு மீட்சிப் பொருள்கள் ஒரு உராய்வற்ற கிடைத்தளப்பரப்பில் நேர்க்கோட்டில் (நேர் x  அச்சின் திசையில்) இயங்குவதாகக் கருதுக.

நிறை	தொடக்க திசைவேகம்	இறுதி திசைவேகம்
நிறை m1	u1	v1
நிறை m2	u2	v2

மோதல் நிகழ m₁ நிறை m₂ ஐ விட வேகமாக இயங்குவதாகக் கருதுக.அதாவது u₁>u₂ மீட்சி மோதலுக்கு இரு பொருட்களின் மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம் மற்றும் இயக்க ஆற்றல்கள் மோதலுக்கு முன்பும் மோதலுக்குப் பின்பும் மாறாமல் ஒரே அளவாக இருக்க வேண்டும்.

	நிறை m1இன் உந்தம்	நிறை m2 இன் உந்தம்	மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம்
மோதலுக்கு முன்	Pi1 = m1u1	Pi2 = m2u2	Pi = Pi1 + Pi2 Pi = m1u1 + m2u2
மோதலுக்குப் பின்	Pf1 = m1v1	Pf2 = m2v2	Pf = Pf1 + Pf2 Pf = m1v1 + m2v2

நேர்க்கோட்டு உந்தமாறா விதியில் இருந்து மோதலுக்கு முன்மொத்த உந்தம் (P_i) =மோதலுக்குப் பின் மொத்த உந்தம் (P_f)
m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂   ......(1)
அல்லது
m₁(u₁ - v₁) = m₂(u₂ - v₂)   ......(2)

	நிறை m1இன் உந்தம்	நிறை m2 இன் உந்தம்	மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம்
மோதலுக்கு முன்	\(K E_{i 1}=\frac{1}{2} m_1 u_1^2 \)	\( K E_{i 2}=\frac{1}{2} m_2 u_2^2 \)	\(K E_i=K E_{i 1}+K E_{i 2} \) \(K E_i=\frac{1}{2} m_1 u_1^2+\frac{1}{2} m_2 u_2^2 \)
மோதலுக்குப் பின்	\(K E_{f 1}=\frac{1}{2} m_1 v_1^2\)	\(K E_{f 2}=\frac{1}{2} m_2 v_2^2\)	\(K E_f=K E_{f 1}+K E_{f 2} \) \(K E_f=\frac{1}{2} m_1 v_1^2+\frac{1}{2} m_2 v_2^2\)

மீட்சி மோதலுக்கு முன் மொத்த இயக்க ஆற்றல் KE_i= மோதலுக்குப் பின் மொத்த இயக்க ஆற்றல் KE_f
\(\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2\)   .....(3)
சுருக்கிய பிறகு மாற்றியமைக்க \(m_1\left(u_1^2-v_1^2\right)=m_2\left(v_2^2-u_2^2\right)\) மேற்கண்ட சமன்பாட்டை \(a^2-b^2=(a+b)(a-b) \) என்ற வாய்ப்பாட்டை பயன்படுத்தி மீண்டும் எழுத
\(\mathrm{m}_1\left(\mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1\right)\left(\mathrm{u}_1-\mathrm{v}_1\right)=\mathrm{m}_2\left(\mathrm{v}_2+\mathrm{u}_2\right)\left(\mathrm{v}_2-\mathrm{u}_2\right)\) .....(4)
சமன்பாடு (4) ஐ (2) ஆல் வகுக்க கிடைப்பது.
\(\frac{m_1\left(u_1+v_1\right)\left(u_1-v_1\right)}{m_1\left(u_1-v_1\right)} =\frac{m_2\left(v_2+u_2\right)\left(v_2-u_2\right)}{m_2\left(v_2-u_2\right)}  \)
\(\mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1 =\mathrm{v}_2+\mathrm{u}_2\) மாற்றியமைக்க 
\(\mathrm{u}_1-\mathrm{u}_2 =\mathrm{v}_2-\mathrm{v}_1\)   .....(5)
சமன்பாடு (5) ஐ இவ்வாறு எழுதலாம்.
\(\mathrm{u}_1-\mathrm{u}_2=-\left(\mathrm{v}_1-\mathrm{v}_2\right)\)
இதன் பொருளானது எந்த ஒரு நேரடி மீட்சி மோதலிலும், மோதலுக்குப்பின் இரு மீட்சிப் பொருள்களின் ஒப்புமை வேகம் மோதலுக்கு முன் இருந்த அதே எண்மதிப்பைக் கொண்டும் ஆனால் எதிர்த்திசையிலும் இருக்கும் என்பதாகும்.மேலும் இந்த முடிவு நிறையைச் சார்ந்ததல்ல என்பதை அறியவும்.
மேற்கண்ட சமன்பாட்டிலிருந்து v₁ மற்றும் v₂ மதிப்புகளைக் காண
\(\mathrm{v}_1= \mathrm{v}_2+\mathrm{u}_2-\mathrm{u}_1 \)    .....(6)
அல்லது 
\(\mathrm{v}_2= \mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1-\mathrm{u}_2\)     .....(7)
இறுதி திசைவேகங்கள் v₁ மற்றும் v₂ கண்டறிதல்:
சமன்பாடு (7) ஐ சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிடுவதன் மூலம் m₁ இன் திசைவேகமானது
\(\mathrm{m}_1\left(\mathrm{u}_1-\mathrm{v}_1\right) =\mathrm{m}_2\left(\mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1-\mathrm{u}_2-\mathrm{u}_2\right)  \)
\(\mathrm{m}_1\left(\mathrm{u}_1-\mathrm{v}_1\right) =\mathrm{m}_2\left(\mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1-2 \mathrm{u}_2\right)  \)
\(\mathrm{m}_1 \mathrm{u}_1-\mathrm{m}_1 \mathrm{v}_1 =\mathrm{m}_2 \mathrm{u}_1+\mathrm{m}_2 \mathrm{v}_1-2 \mathrm{~m}_2 \mathrm{u}_2  \)
\(\mathrm{~m}_1 \mathrm{u}_1-\mathrm{m}_2 \mathrm{u}_1+2 \mathrm{~m}_2 \mathrm{u}_2 =\mathrm{m}_1 \mathrm{v}_1+\mathrm{m}_2 \mathrm{v}_1  \)
\(\left(\mathrm{~m}_1-\mathrm{m}_2\right) \mathrm{u}_1+2 \mathrm{~m}_2 \mathrm{u}_2 =\left(\mathrm{m}_1+\mathrm{m}_2\right) \mathrm{v}_1\)
அல்லது \(\mathrm{v}_1=\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right) u_1+\left(\frac{2 m_2}{m_1+m_2}\right) u_2\)   ....(8)
இது போன்றே சமன்பாடு (6) ஐ சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட அல்லது சமன்பாடு (8) ஐ சமன்பாடு (7) இல் பிரதியிட m₂ இன் இறுதி திசைவேகமானது
\(\mathrm{v}_2=\left(\frac{2 m_1}{m_1+m_2}\right) u_1+\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right) u_2\)    ....(9)
நேர்வு 1 : பொருள்கள் ஒரே நிறையைக் கொண்டிருந்தால் அதாவது m₁ = m₂
சமன்பாடு (8)  \(\Rightarrow v_1 =(0) u_1+\left(\frac{2 m_2}{2 m_2}\right) u_2\) 
\(v_1 =\mathrm{u}_2\)    ....(10)
சமன்பாடு (9) \(\Rightarrow v_2 =\left(\frac{2 m_1}{2 m_1}\right) u_1+(0) u_2\) 
v₂ = u₁  ....(11)
சமன்பாடுகள் (10) மற்றும் (11) தெரிவிப்பது என்னவெனில் ஒரு பரிமாண மீட்சி மோதலில் சம நிறையுள்ள இரு பொருள்கள் மோதிக்கொண்டால் மோதலுக்குப் பின் அவற்றின் திசைவேகங்கள் பரிமாறிக் கொள்ளப்படுகின்றனன.
நோ்வு 2 : பொருள்கள் ஒரே நிறையைக் கொண்டிருந்தால் அதாவது m₁ = m₂ மற்றும் இரண்டாவது பொருள் (வழக்கமாக இலக்கு என அழைக்கப்படுவது) ஓய்வு நிலையில் உள்ளபோது (u₂ = 0).
m₁ = m₂ மற்றும் (u₂ = 0) என்ற மதிப்புகளை சமன்பாடுகள் (8) மற்றும் (9) இல் பிரதியிட
சமன்பாடு (8) \(\Rightarrow \mathrm{v}_1=0 \quad(12)\)
சமன்பாடு (9) \(\Rightarrow v_2=u_2 \quad (13)\)
சமன்பாடு (12) மற்றும் (13) தெரிவிப்பது என்னவெனில் முதல் பொருள் மோதலுக்குப் பின் ஓய்வு நிலைக்கு வரும்போது இரண்டாவது பொருள் முதல் பொருளின் தொடக்க திசைவேகத்தில் இயங்குகிறது.
நோ்வு 3: முதல் பொருளானது இரண்டாவது பொருளின் நிறையைவிட குறைவாக இருந்தால், \(\left(m_1< பிறகு விகிதம் \(\frac{m_1}{m_2} \approx 0\) மற்றும் இலக்கு ஓய்வு நிலையில் உள்ளபோது \(\left(u_2=0\right)\) சமன்பாடு (8) இன் தொகுதி மற்றும் பகுதியை m₂-ஆல் வகுக்க.
\(\mathrm{v}_1 =\left(\frac{\frac{m_1}{m_2}-1}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right) u_1+\left(\frac{2}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right)(0)  \)
\(\mathrm{v}_1 =\left(\frac{0-1}{0+1}\right) u_1  \)
\(\mathrm{v}_1 =-\mathrm{u}_1\)   ....(14)
இது போன்றே சமன்பாடு (9) இன் தொகுதி மற்றும் பகுதியை m₂ ஆல் வகுக்க.
\(\mathrm{v}_2=\left(\frac{2 \frac{m_1}{m_2}}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right) u_1+\left(\frac{1-\frac{m_1}{m_2}}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right)(0)  \)
\(\mathrm{v}_2=(0) u_1+\left(\frac{1-\frac{m_1}{m_2}}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right)(0)  \)
\(\mathrm{v}_2=0\)   ....(15)
நிறை குறைவாக உள்ள முதல் பொருளானது அதே தொடக்க திசைவேகத்துடன் எதிர்த்திசையில் திரும்புகிறது. (மீண்டெழுகிறது) என்பதைச் சமன்பாடு (14) இல் உள்ள எதிர்க்குறி குறிக்கிறது. அதிக நிறையுள்ள இரண்டாவது பொருளானது மோதலுக்குப் பிறகும் ஓய்வு நிலையிலேலே தொடர்ந்து இருக்கிறது. என்பதைச் சமன்பாடு (15) குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, பந்து ஒன்று நிலையான சுவரின் மீது எறியப்பட்டால் பந்தானது எறியப்பட்ட அதே திசைவேகத்திலேயே எதிர்த்திசையில் சுவரில் இருந்து திரும்பி வரும்.
நோ்வு 4: இரண்டாவது பொருளானது முதல் பொருளைவிட நிறை குறைவாக உள்ளபோது, \(\left(m_2 \ll m_1, \frac{m_2}{m_1}<1\right)\) பிறகு விகிதம் \(\frac{m_2}{m_1} \approx 0\) மற்றும் இலக்கு ஓய்வு நிலையில் உள்ள போது \(\left(u_2=0\right)\) சமன்பாடு (8) இன் தொகுதி மற்றும் பகுதியை m₁ ஆல் வகுக்க
\(\mathrm{v}_1=\left(\frac{1-\frac{m_2}{m_1}}{1+\frac{m_2}{m_1}}\right) u_1+\left(\frac{2 \frac{m_2}{m_1}}{1+\frac{m_2}{m_1}}\right)(0)=\left(\frac{1-0}{1+0}\right) u_1+\left(\frac{0}{1+0}\right)(0)  \)
\(\mathrm{v}_1=\mathrm{u}_1\)   ....(16)
இது போன்றே சமன்பாடு (13) இன் தொகுதி மற்றும் பகுதியை m₁ ஆல் வகுக்க
\(v_2=\left(\frac{2}{1+\frac{m_2}{m_1}}\right) u_1+\left(\frac{\frac{m_2}{m_1}-1}{1+\frac{m_2}{m_1}}\right)(0)  \)
\(v_2=\left(\frac{2}{1+0}\right) u_1  \)
\(v_2=2 u_1\)    ...(17)
கனமாக உள்ள முதல் பொருளானது மோதலுக்குப் பிறகு அதே திசைவேகத்துடன் தொடர்ந்து இயங்குகிறது என்பதைச் சமன்பாடு (16) குறிக்கிறது. நிறை குறைவாக உள்ள இரண்டாவது பொருள் முதல் பொருளின் தொடக்க திசைவேகத்தைப் போல இரு மடங்கு திசைவேகத்துடன் இயங்குகிறது என்பதை சமன்பாடு (17) குறிக்கிறது. நிறை குறைவாக உள்ள பொருள் மோதலுறும் புள்ளியிலிருந்து வேகமாக் செல்கிறது.

\(\vec F\)என்ற விசையினால் \(\vec {dr}\) என்ற இடப்பெயர்ச்சிக்கு செய்யப்பட்ட வேலை 
\(W=\int\vec F.\vec {dr}\)   ....(1)
சமன்பாட்டு (1) இன் இடது பக்கத்தில் உள்ளதை இவ்வாறு எழுதலாம்
\(W=\int dW=\int \frac{dw}{dt}dt\)   ...(2) 
(dt ஆல் பெருக்கவும் வகுக்கவும் செய்ய)
திசைவேகம் \(\vec v=\frac{\vec {dr}}{dt}\) என்பதால் \(\vec {dr}=\vec v\ dt\)
சமன்பாடு (1) இன் வலது பக்கத்தில் உள்ளதை இவ்வாறு எழுதலாம்
\(\int\vec F.\vec {dr}=\int (\vec F.\frac{\vec {dr}}{dt})dt=\int (\vec F.\vec v)\ [\therefore\vec v=\frac{\vec {dr}}{dt}]\)   ...(3) 
சமன்பாடு (2) மற்றும் (3) ஐ சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட 
\(\int\frac{dw}{dt}dt=\int(\vec F.\vec v)dt\)
\(\int(\frac{dw}{dt}-\vec F.\vec v)dt=0\)
இந்த தொடர்பானது dt  இன் எந்த ஒரு தன்னிச்சையான மதிப்பிற்கும் சரியாக உள்ளது. அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள மதிப்பு சுழியாக இருக்க வேண்டும் என்பதை குறிக்கிறது.
அதாவது
\(\frac{dw}{dt}-\vec F.\vec v=0\)  அல்லது
\(\frac{dw}{dt}=\vec F.\vec v\)   ...(4) 
எடுத்துக்காட்டுகள்:
1250 kg நிறையுள்ள ஒரு வாகனம் ஒரு சமமான நோ் சாலையில் 0-.2 ms^-2 முடுக்கத்துடன் 500 N என்ற எதிர்க்கும் புறவிசைக்கெதிராக இயக்கப்படுகிறது. வாகனத்தின் திசைவேகம் 30 ms^-1 எனில் வாகனத்தின் இயந்திரம் வெளிப்படுத்தும் திறனைக் கணக்கிடுதல்.
தீர்வு:
வாகனத்தின் இயந்திரம், எதிர்க்கும் விசைக்கெதிராக வேலை செய்து வாகனத்தை ஒரு முடுக்கத்துடன் இயக்க வேண்டும். எனவே வாகனத்தின் இயந்திரம் வெளிப்படுத்தும் திறன்
P = (எதிர்க்கும் விசை + (நிறை x முடுக்கம்)) (திசைவேகம்)
\(\mathrm{P} =\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{F}\right) \mathrm{v}  \)
\(\mathrm{P} =\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{ma}\right) \mathrm{v}  \)
\(=(500+(1250 \times 0.2))(30)=22.5 \mathrm{~kW}\)
⇒ மோட்டார்கள், இயந்திரங்கள், சில தானியங்கி வாகனங்கள்

வேலை - இயக்க ஆற்றல் தேற்றம்
வேலையும் ஆற்றலும் சமமானவை. இது இயக்க ஆற்றலுக்கும் பொருந்தும். இதனை நிரூபிக்க m நிறையுள்ள ஒரு பொருள் உராய்வற்ற கிடைத்தளப் பரப்பில் ஓய்வில் இருப்பதாகக் கருதுவோம்.
(F) என்ற மாறா விசையினால் அதே திசையில் (S) என்ற இடப்பெயர்ச்சியை ஏற்படுத்த செய்யப்பட்ட வேலை
W = Fs   .....(1)
மாறாத விசைக்கான சமன்பாடு
F = ma    .....(2)
மூன்றாவது இயக்கச் சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்.
\(\mathrm{v}^2 =\mathrm{u}^2+2 \mathrm{as}  \)
\(\mathrm{a} =\frac{v^2-u^2}{2 s}\)
a இன் மதிப்பை சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட
\(\mathrm{F}=m\left(\frac{v^2-u^2}{2 s}\right)\)   .....(3)
சமன்பாடு (3) ஐ (1) இல் பிரதியிட
\(\mathrm{W}=m\left(\frac{v^2}{2 s} s\right)-\left(\frac{u^2}{2 s} s\right)  \)
\(W=\frac{1}{2} m v^2-\frac{1}{2} m u^2\)   ....(4)
இயக்க ஆற்றலுக்கான கோவை
மேற்கண்ட சமன்பாட்டில் \(\left(\frac{1}{2} m v^2\right)\) என்பது (v) திசைவேகத்தில் இயங்கும் (m) நிறையுள்ள பொருளின் இயக்க ஆற்றலைக் குறிக்கும்.
\(\mathrm{KE}=\frac{1}{2} m v^2\)  ....(5)
பொருளின் இயக்க ஆற்றல் எப்பொழுதும் நோ்க்குறி மதிப்புடையதாகும். சமன்பாடு (4) மற்றும் (5) இல் இருந்து
\(\Delta K E=\frac{1}{2} m v^2-\frac{1}{2} m u^2\)
எனவே, W = ΔKE
சமன்பாடு (6) இல் வலது பக்கத்தில் உள்ள கோவை பொருளின் இயக்க ஆற்றல் மாறுபாடு ΔKE ஆகும்.

பொருளின் மீது விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை பொருளின் இயக்க ஆற்றலை மாற்றுகிறது என்பதை இது குறிக்கிறது. இதுவே வேலை-இயக்க ஆற்றல் தேற்றம் எனப்படும்.
வேலை-இயக்க ஆற்றல் தோற்றமானது கீழ்காண்பவற்றை உணா்த்துகிறது.
(i) பொருளின் மீது விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை நோ்க்குறியாக இருந்தல் அதன் இயக்க ஆற்றல் அதிகரிக்கிறது.
(ii) பொருளின் மீது விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை எதிர்குறியாக இருந்தால் அதன் இயக்க ஆற்றல் குறைகிறது.
(iii) பொருளின் மீது விசையினால் வேலை ஏதும் செய்யப்படவில்லை எனில் அதன் இயக்க ஆற்றல் மாறாது. இது, பொருளின் நிறை மாறாதபோது விசையினால் பொருளானது மாறா வேகத்தில் இியங்கியது என்பதைக் குறிக்கிறது.

மாறா விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை:
ஒரு பொருளின் மீது F என்ற மாறா விசை செயல்படும்போது விசையினால் dr என்ற சிறு இடப்பெயர்ச்சியை ஏற்படுத்தச் செய்யப்பட்ட சிறு வேலை dw க்கான தொடர்பு
\(\mathrm{dW}=(F \cos \theta) d r\)    .....(1)
தொடக்க நிலை r_i முதல் இறுதி நிலை r_f வரை இடப்பெயர்ச்சி ஏற்படுத்த செய்யப்படும் மொத்த வேலை
\(\mathrm{W} =\int_{r_i}^{r_f} d W  \)    ...(2)
\(\mathrm{~W} =\int_{r_i}^{r_f}(F \cos \theta) d r=(F \cos \theta) \int_{r_i}^{r_f} d r  \)
\(\mathrm{~W} =(F \cos \theta)\left(r_f-r_i\right)\)    ...(3)
மாறாத விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பரப்பு மாறாத விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலையைக் குறிக்கிறது.

மாறுபடும் விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை
மாறுபடும் விசை (F) ஒன்றின் கூறு ஒரு பொருளின் மீது செயல்படும்போது dr என்ற சிறு இடப்பெயர்ச்சியை ஏற்படுத்த விசையினால் செய்யப்பட்ட சிறு வேலை (dW) க்கான தொடர்பு
\(\mathrm{dW}=(F \cos \theta) d r\)
[F cos θ என்பது F என்ற மாறும் விசையின் கூறு ஆகும்.]
இங்கு F மற்றும் θ ஆகியவை மாறிகள் ஆகும். தொடக்க நிலை r_i முதல் இறுதிநிலை r_f வரை இடப்பெயர்ச்சி ஏற்படுத்த செய்யப்பட்ட மொத்த வேலை.
\(\mathrm{W}=\int_{r_i}^{r_f} d W=\int_{r_i}^{r_f} F \cos \theta d r\)      (4)
மாறுபடும் விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை படத்தில் , வரைபடம் மூலம் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது. வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பரப்பு மாறும் விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலையைக் குறிக்கிறது.