\(\int { \sqrt { x } } dx=\int { { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }dx } =\frac { { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } +c\frac { { x }^{ \frac { 1 }{ 3 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } +c\)
= \(\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+c\)

\(\int { \frac { sinx }{ 1+sinx } dx } \) = \(\int { \left( \frac { \sin x }{ 1+\sin x } \right) \left( \frac { 1-\sin x }{ 1-\sin x } \right) } dx\)
= \(\int { \frac { sinx-{ sin }^{ 2 }x }{ 1-{ sin }^{ 2 }x } dx } \) = \(\int { \frac { sinx-{ sin }^{ 2 }x }{ { cos }^{ 2 }x } dx } =\int { \frac { sinx }{ { cos }^{ 2 }x } dx } -\int { \frac { { sin }^{ 2 }x }{ { cos }^{ 2 }x } dx } \)
= \(\int { \tan x } \sec xdx-\int { { \tan }^{ 2 } } xdx\)
= \(\int { \tan x } \sec xdx-\int { \left( { \sec }^{ 2 }x-1 \right) dx } \)
= sec x - tan x + x + c.

\(\int { (tanx+cotx)^{ 2 }dx=\int { ({ tan }^{ 2 }x+2tanxcotx+{ cot }^{ 2 }x)dx } } \)
\(=\int { [{ sec }^{ 2 }x-1)+2+(cosec^{ 2 }x-1)]dx } \)
\(=\int { ({ sec }^{ 2 }x+{ cosec }^{ 2 }x)dx } \)
= tan x + (-cot x) +c
= tan x - cot x +c.

\(\int { \frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ { x }^{ 3 }+x } } =\int { \frac { { x }^{ 2 }+1-2x }{ x({ x }^{ 2 }+1) } } dx\)
\(=\int { \left( \frac { ({ x }^{ 2 }+1) }{ x({ x }^{ 2 }+1) } -\frac { 2x }{ x({ x }^{ 2 }+1) } \right) dx } \)
\(=\int { \frac { 1 }{ x } dx-2\int { \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } dx } } \)
= log|x|-2 tan^-1 x +c.

\(\int { { e }^{ 5-4x } } dx=-\frac { { e }^{ 5-4x } }{ 4 } +c\)

\(\int { sin(2x+4)dx=\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) (-cos(2x+4))+c=-\frac { 1 }{ 2 } cos(2x+4)+c } \)

ஞாயிற்றுக்கிழமையை துவக்க நாளாக கொள்வோம்.
\(\frac { dA }{ dt } =\frac { -3 }{ (t+2)^{ 2 } } \) செ.மீ/நாள்
dA=-3(t+2)^-2 dt
இருபுறமும் தொகையீடு காண
\(\int { dA } =-3\int { (t+2)^{ -2 }dt } \)
⇒ A=-3\(\frac { (t+2)^{ -2+1 } }{ -2+1 } +c\)
⇒ A=3(t+2)^-1+c
⇒ A=\(\frac { 3 }{ t+2 } \)+c    .....(1)
t=1, A=2 செ.மீ² எனில்
2=\(\frac { 3 }{ t+2 } \)+c
⇒ 2=1+c
⇒ c=1
∴ (1) ⇒ A=\(\frac { 3 }{ 1+2 } \)+1     ....(2)
(அ) ஞாயிற்றுக்கிழமை துவக்க நேரம் t =0 என்க
∴ A=\(\frac { 3 }{ t+2 } \)+1
=\(\frac { 3 }{ 2 } +1=\frac { 5 }{ 2 } \)=2.5 செ.மீ²
(ஆ) ஞாயிறு முதல் வியாழன் வரையுள்ள 4 நாட்களில்
∴ t=4, (2) ⇒ A=\(\frac { 3 }{ 4+2 } +1=\frac { 3 }{ 6 } +1=\frac { 1 }{ 2 } +1\)
=1.5  செ.மீ²

காலம் t-ஐ பொறுத்து உயரம் h -ன் மாறு வீதம் எனபது காலம் t -ஐ பொறுத்து h-ஐ வகையீடு செய்வதாகும்.
எனவே, \(\frac{dh}{dt}=\frac{18}{\sqrt{t}}=18t^{-\frac{1}{2}}\) 
எனவே உயரத்தினை பொது வடிவம் பெறுவதற்கு மேலே உள்ள சமன்பாட்டைத் தொகையிட வேண்டும்.
\(h=\int{18t^{-\frac{1}{2}}dt=18(2t^{\frac{1}{2}})}+c=36\sqrt{t}+c\)
t = 0 என இருக்கும்போது உயரம் 5செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
5=0+c ⇒ c=5
\(h=36\sqrt{t}+5\).
(i) நான்கு ஆண்டிற்குப் பிறகு மரத்தின் உயரத்தை நாம் காண வேண்டும்.
t=4 எனில்,
\(h=36\sqrt{t}+5 \Rightarrow h=36\sqrt{4}+5=77\)
நான்கு ஆண்டிற்குப் பிறகு மரத்தின் உயரம் 77 செ.மீ ஆக இருக்கும்.
(ii) h=149 செ.மீ எனில்,t-ஐ காண வேண்டும்.
\(h=36\sqrt{t}+5 \Rightarrow 149=36\sqrt{t}+5\)
\(\sqrt{t}=\frac{149-5}{36}=4 \Rightarrow t=16\)
எனவே உயரம் 149செ.மீ வளர,மரம் 16 ஆண்டுகள் எடுத்துக்கொள்கிறது.