\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} x+1 & 3 & 5 \\ 2 & x+2 & 5 \\ 2 & 3 & x+4 \end{matrix} \right| \) என்க.

x =1 எனப்பிரதியிட, \(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 2 & 3 & 5 \\ 2 & 3 & 5 \end{matrix} \right| =0\)
இங்கு மூன்று நிரைகளும் சர்வசமம். எனவே,\({ (x-1) }^{ 2 }\)  ஆனது \(\left| A \right| \)-ன் ஒரு காரணியாகும். 
\(\left| A \right| \)-ல் x=-9 எனப்பிரதியிட,\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} -8 & 3 & 5 \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 3 & -5 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 0 & 3 & 5 \\ 0 & -7 & 5 \\ 0 & 3 & -5 \end{matrix} \right| =0\quad \)
எனவே, \((x+9)\) ஆனது \(\left| A \right| \)-ன் காரணிகளாகும் . \([{ C }_{ 1 }\rightarrow { C }_{ 1 }+{ C }_{ 2 }+{ C }_{ 3 }]\)
அதாவது \({ (x-1) }^{ 2 }(x+9)\) என்பது \(\left| A \right| \)-ன் காரணியாகும். இதன் படி 3 ஆகும். அணிக்கோவை x-ல் அமைந்த 3-ம் படி பல்லுறுப்புக் கோவையாகும்.
எனவே, மீதமுள்ள மற்றொரு காரணி, மாறிலி 'k '   ஆகும் .
ஆகவே, \(\left| \begin{matrix} x+1 & 3 & 5 \\ 2 & x+2 & 5 \\ 2 & 3 & x+4 \end{matrix} \right| ={ k(x-1) }^{ 2 }(x+9)\)
x³ உறுப்புகளை இருபுறமும் சமப்படுத்த, k=1 எனப்பெறுகிறோம் .
எனவே,   \(\left| A \right| \)=\({ (x-1) }^{ 2 }(x+9)\)

அணிகளின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் வரையறைகளின் படி ,
  \(A+B=\left[ \begin{matrix} 4\sqrt { 3 } & 2\sqrt { 5 } & 14.3 \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 3 }{ 4 } \end{matrix} \right] \)  மற்றும்  \(A-B=\left[ \begin{matrix} 4-\sqrt { 3 } & 0 & -0.3 \\ -2 & -\frac { 1 }{ 3 } & \frac { 1 }{ 4 } \end{matrix} \right] \)

A  = \(\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 20 \\ 1 & -2 & 5 \\ 1 & 2x & 5{ x }^{ 2 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow\)  1 (-10x² - 10x ) -4 (5x² - 5) + 20 (2x + 2) = 0
\(\Rightarrow\) -10x² - 10x - 20x² + 20 + 40x + 40 = 0
\(\Rightarrow\) -30x² + 30x + 60 = 0
-x² + x + 2 = 0
x² - x - 2 = 0
(x - 2) (x + 1) = 0
x = 2, - 1

\(A=\left| \begin{matrix} 0 & 2\lambda & 1 \\ { \lambda }^{ 2 } & 0 & 3{ \lambda }^{ 2 }+1 \\ -1 & 6\lambda -1 & 0 \end{matrix} \right| \)
A =ல்   = -2 என பிரதியிட 
A = \(A=\left| \begin{matrix} 0 & 2(-2) & 1 \\ \left( -2 \right) ^{ 2 } & 0 & 3\left( -2 \right) ^{ 2 }+1 \\ -1 & 6\left( -2 \right) -1 & 0 \end{matrix} \right| \)
= \(\left| \begin{matrix} 0 & -4 & 1 \\ 4 & 0 & 13 \\ -1 & -13 & 0 \end{matrix} \right| \)
= 0 (0 + 169) + 4 (0 + 13) + 1 (-52) - 0
= 0 + 52 - 52 = 0
மேலும் A ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணியாகும்.முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள் 0 என்பதாலும் எதிர் சமச்சீர் அணி Aன் அணிக்கோவை  பூஜ்ஜியம் எனலாம்.    

\(A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ -6 & 8 & 3 \\ -4 & 6 & 5 \end{matrix} \right] \Rightarrow { A }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 1 & -6 & -4 \\ 3 & 8 & 6 \\ 5 & 3 & 5 \end{matrix} \right] \\ \) 
\(P=\frac { 1 }{ 2 } (A+{ A }^{ T })=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 1 \\ -3 & 16 & 9 \\ 1 & 9 & 10 \end{matrix} \right] \)  என்க 
இப்பொழுது \({ P }^{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 1 \\ -3 & 16 & 9 \\ 1 & 9 & 10 \end{matrix} \right] =P\)
ஆகையால், \({ P }=\frac { 1 }{ 2 } (A+{ A }^{ T })\) ஒரு சமசீசீர் அணியாகும்.
\({ Q }=\frac { 1 }{ 2 } (A-{ A }^{ T })\) என்க 
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 0 & 9 & 9 \\ -9 & 0 & -3 \\ -9 & 3 & 0 \end{matrix} \right] \\ { Q }^{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 0 & -9 & -9 \\ 9 & 0 & 3 \\ 9 & -3 & 0 \end{matrix} \right] =-Q\)
ஆகையால், \({ Q }=\frac { 1 }{ 2 } (A-{ A }^{ T })\) ஒரு எதிர் சமசீசீர்​​​​​​​ அணியாகும்.
\(A=P+Q=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 1 \\ -3 & 16 & 9 \\ 1 & 9 & 10 \end{matrix} \right] +\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 0 & 9 & 9 \\ -9 & 0 & -3 \\ -9 & 3 & 0 \end{matrix} \right] \)
ஆகவே A என்பதை ஒரு சமசீசீர் மற்றும் எதிர் சமசீசீர்  அணிகளில் கூடுதலாக எழுதலாம் .

முக்கோணத்தின் பரப்பு  \(\frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { y }_{ 1 } & 1 \\ { x }_{ 2 } & { y }_{ 2 } & 1 \\ { x }_{ 3 } & { y }_{ 3 } & 1 \end{matrix} \right| \) ன் எண்ணளவு ஆகும் 
எனவே  4 = \(\frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} k & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \quad \)
\(\Rightarrow \) 8 =  \(\pm \)  [k  (4 - 2) - 2 (2 -3) + 1 (4 - 12)]
\(\Rightarrow \) 8  = \(\pm \) [k  (2) + 2 - 8]
\(\Rightarrow \) 8 = \(\pm \) (2k  - 6)
நிலை (i)
\(\Rightarrow \)  8 = 2k  - 6
\(\Rightarrow \)  2k  = 14 k  = 7
நிலை (ii)
-2k  = 8 - 6
-2k = 2
k = -1
தீர்வு :  k = -1, 7

முக்கோணத்தின் பரப்பு \(=\frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { y }_{ 1 } & 1 \\ { x }_{ 2 } & { y }_{ 2 } & 1 \\ { x }_{ 3 } & { y }_{ 3 } & 1 \end{matrix} \right| \)-ன் எண்ணளவு ஆகும். எனவே, 
\(9=\frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} -3 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 0 & k & 1 \end{matrix} \right| =\left| \frac { 1 }{ 2 } (-k)(-3-3) \right| \)
ஆகையால் \(9=3\left| k \right| ,k=\pm 3.\)

\(\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right| =(2\times 2)-(-1\times 4)=4+4=8.\\ \)