முக்கோணத்தின் பரப்பு \(=\frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { y }_{ 1 } & 1 \\ { x }_{ 2 } & { y }_{ 2 } & 1 \\ { x }_{ 3 } & { y }_{ 3 } & 1 \end{matrix} \right| \)-ன் எண்ணளவு ஆகும். எனவே, 
\(9=\frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} -3 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 0 & k & 1 \end{matrix} \right| =\left| \frac { 1 }{ 2 } (-k)(-3-3) \right| \)
ஆகையால் \(9=3\left| k \right| ,k=\pm 3.\)

முதன்மை மூலைவிட்டத்திற்குக் கீழ் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியம் என்பதால், அணிக்கோவையின் மதிப்பு \((x-1)(x-2)(x-3)=0\Rightarrow x=1,2,3.\)

\({ C }_{ 1 }\rightarrow { C }_{ 1 }-{ C }_{ 2 }\) -ஐ பயன்படுத்த, \(\left| \begin{matrix} 4 & { (a }^{ x }-{ a }^{ -x }{ ) }^{ 2 } & 1 \\ 4 & { (b }^{ x }-{ b }^{ -x }{ ) }^{ 2 } & 1 \\ 4 & { (c }^{ x }-{ c }^{ -x }{ ) }^{ 2 } & 1 \end{matrix} \right| =0\quad [{ C }_{ 1 },{ C }_{ 3 }\)  விகிதச் சமமானவை ]

கொடுக்கப்பட்ட கோவையினை A எனக்கொள்க.
அணிகளின் திசையிலிப் பெருக்கலுக்கான வரையறையைப் பயன்படுத்த ,
\(A=\left[ \begin{matrix} \sec { ^{ 2 }\theta } & \sec { \theta } \tan { \theta } \\ \sec { \theta } \tan { \theta } & \sec { ^{ 2 }\theta } \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} \tan { ^{ 2 }\theta } & \sec { \theta } \tan { \theta } \\ \sec { \theta } \tan { \theta } & \tan { ^{ 2 }\theta } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)

\(3B+4C-D=\left[ \begin{matrix} 6 & 9 & 0 \\ 3 & -3 & 15 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} -4 & -8 & 12 \\ -4 & 0 & 8 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} 0 & -4 & 1 \\ -5 & -6 & 5 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 13 \\ -6 & -9 & 28 \end{matrix} \right] \)

|AA^T| = |A| |A^T| = |A| |A|     ( \(\because\)  |A| = |A|^T)
= 2 x 2 = 4 

\(LHS=\left| \begin{matrix} { a }^{ 2 } & bc & ac+c^{ 2 } \\ { a }^{ 2 }+ab & { b }^{ 2 } & ac \\ ab & { b }^{ 2 }+bc & c^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
= \(abc\left| \begin{matrix} a & c & a+c \\ a+b & b & a \\ b & b+c & c \end{matrix} \right| \)
C₁, C₂, C₃ லிருந்து  முறையே  a,b ,c  ஐ வெளியில் எடுக்க   
= \(abc\left| \begin{matrix} 2\left( a+c \right) & c & a+c \\ 2\left( a+b \right) & b & a \\ 2\left( b+c \right) & b+c & c \end{matrix} \right| { C }_{ 1 }\rightarrow { C }_{ 1 }+{ C }_{ 2 }+{ C }_{ 3 }\)
= \(2abc\left[ \begin{matrix} a+c & c & a+c \\ a+b & b & a \\ b+c & b+c & c \end{matrix} \right] \)
C₁ லிருந்து  2 ஐ வெளியில் எடுக்க 
=  \(2abc\left[ \begin{matrix} a+c & -a & a+c \\ a+b & -a & a \\ b+c & 0 & c \end{matrix} \right] { C }_{ 2 }\rightarrow { C }_{ 2 }-{ C }_{ 1 }\)
=  \(2abc\left[ \begin{matrix} a+c & -a & 0 \\ a+b & -a & -b \\ b+c & 0 & -b \end{matrix} \right] { C }_{ 3 }\rightarrow { C }_{ 3 }-{ C }_{ 1 }\)
= \(2abc\left| \begin{matrix} c & -a & 0 \\ 0 & -a & -b \\ c & 0 & -b \end{matrix} \right| \)
= \(2abc(cab)\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{matrix} \right| \)
C₁, C_2, C₃ லிருந்து முறையே c,a,b ஐ வெளியில் எடுக்க,
= 2a²b²c² [ (1 - 0) + 1 (1) + 0 ]
= 2a²b²c² x  2 = 4a²b²c² = RHS  எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.        

A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{matrix} \right] \)
A² = A.A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 1+0+0 & 0+0+0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 0+1+0 & 0+0+0 \\ a+0-a & 0+b-b & 0+0+1 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] =I\)
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது     

\(\left| A \right| =[3(-1)(6)+4(2)(5)+1(0)(-2)]-[5(-1)(1)+(-2)(2)3+6(0)(4)]\)
=[-18+40+0]-[-5-12+0]=22+17=39.

\(\left[ \begin{matrix} 0 & \sin { \alpha } & \cos { \alpha } \\ \sin { \alpha } & 0 & \sin { \beta } \\ \cos { \alpha } & -\sin { \beta } & 0 \end{matrix} \right] =0{ M }_{ 11 }-\sin { \alpha } { M }_{ 12 }+\cos { \alpha } { M }_{ 13 }\)
\(=0-\sin { \alpha } (0-\cos { \alpha } \sin { \beta } )+\cos { \alpha } (-\sin { \alpha \sin { \beta } -0)=0. } \)

a =ar^p-1; b = ar^q-1; c = ar^r-1
\(\Rightarrow\)  \(\left| \begin{matrix} \log { a{ r }^{ p-1 } } & p & 1 \\ \log { b{ r }^{ q-1 } } & q & 1 \\ \log { c{ r }^{ r-1 } } & r & 1 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} \left( p-1 \right) logar & p & 1 \\ \left( q-1 \right) logar & q & 1 \\ \left( r-1 \right) logar & r & 1 \end{matrix} \right| \)
 = log ar \(\left| \begin{matrix} p-1 & p & 1 \\ q-1 & q & 1 \\ r-1 & r & 1 \end{matrix} \right| \) =log ar \(\left| \begin{matrix} \left( p-1+1 \right) & p & 1 \\ \left( q-1+1 \right) & q & 1 \\ \left( r-1+1 \right) & r & 1 \end{matrix} \right| \)
= log ar \(\left| \begin{matrix} p & p & 1 \\ q & q & 1 \\ r & r & 1 \end{matrix} \right| \) = log ar (0) = 0 (\(\therefore\)C₁ = C₂)

\(\triangle =\left| \begin{matrix} x+2a & y+2b & z+2c \\ x & y & z \\ a & b & c \end{matrix} \right| \)
= (x + 2a) (yc - bz) - (y + 2b)(xc - az) + (z + 2c) (bx - ay)

= 0 = RHS

\(\triangle =\left| \begin{matrix} \sec ^{ 2 }{ \theta } & \tan ^{ 2 }{ \theta } & 1 \\ \tan ^{ 2 }{ \theta } & \sec ^{ 2 }{ \theta } & -1 \\ 38 & 36 & 2 \end{matrix} \right| \)
= \(\left| \begin{matrix} \sec ^{ 2 }{ \theta } -\left( \tan ^{ 2 }{ \theta } +1 \right) & \tan ^{ 2 }{ \theta } & 1 \\ \tan ^{ 2 }{ \theta } -\left( \sec ^{ 2 }{ \theta } -1 \right) & \sec ^{ 2 }{ \theta } & -1 \\ 38-\left( 36+2 \right) & 36 & 2 \end{matrix} \right| \) C₁ \(\rightarrow\) C₁ C₂ - C₃
= \(\left| \begin{matrix} 0 & \tan ^{ 2 }{ \theta } & 1 \\ 0 & \sec ^{ 2 }{ \theta } & -1 \\ 0 & 36 & 2 \end{matrix} \right| \)= 0 = RHS

பரிசுப் பைகளை ஓர் அணி வடிவில் எழுத
k  = \(\frac { 1 }{ 50 } \)
விலை B  = [50 10  60]
பரிசுப் பைகளின் விலை  = B (kA )
=  [50 10  60] \(\left( \frac { 1 }{ 50 } \left[ \begin{matrix} I & II & III \\ 100 & 200 & 250 \\ 100 & 100 & 250 \\ 50 & 100 & 150 \end{matrix} \right] \right) \)
BA  = [50 10  60] \(\left[ \begin{matrix} I & II & III \\ 2 & 4 & 5 \\ 2 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 100+ & 20+ & 60 \\ 200+ & 20+ & 120 \\ 250+ & 50+ & 180 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 180 \\ 340 \\ 480 \end{matrix} \right] \)
பை I = Rs 180
பை II = Rs 340
பை III = Rs 480 ஆகும்.  

தரவு : A  = A^T , B = B^T
AB  = BA  நிருபிக்க வேண்டியது :
(AB)^T = AB
நிருபணம் : 
(AB)^T = B^T.A^T
[\(\because \) நிரை நிரல் மற்றும் விதியின் பின் திருப்புகை விதி ] 
= B.A  [ \(\therefore \) B^T = B, A^T = A ]
= AB [AB = BA ] 
\(\therefore \) (AB)^T = AB
 \(\therefore \) AB  என்பது ஒரு சமச் சீர் அணியாகும் என்பது நிருபிக்கப்பட்டது.      
மறுதலை : 
A = A^T, B = B^T
(AB)^T = AB
நிருபணம் :
(AB)^T = B^TA^T = BA
AB = BA