f, g, h என்பன R-ன் சார்புகள் என்க. \(R\rightarrow R\)
(i) (f+g)oh :\(R\rightarrow R\)
\(foh+goh:R\rightarrow R, x\in R\)
[(f+g)oh](x)=(f+g)[h(x)=f(h(x))+g(h(x))]
=foh(x)+goh(x)
\(\therefore\)(f+h)oh=foh+goh
(ii) fo(g+h)=f[(g+h)(x)], x\(\in\)R
= f[g(x)+h(x)]
= fog(x)+foh(x).

கொடுக்கப்பட்ட இரட்டைக் கோடுகள்
2x²-xy-3y²-6x+19y-20=0
2x²-xy-3y²=(2x-3y)(x+y)
2x²-xy-3y²-6x-19y-20=(2x-3y+l)(x+y+m)
x, y உறுப்புகளின் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த
-6=2m+l  ------(1)
-    +    -
19=-3m+l ------(2)
__________
-25=5m \(\Rightarrow \)m=-5
m=-5 என (1) ல் பிரதியிட

-6=2(-5)+l -\(\Rightarrow \)6=-10+l\(\Rightarrow \) l=4
எனவே தனித்தனி சமன்பாடுகள் 
2x-3y+4=0 மற்றும் x+y-5 =0

LHS =\(\log\frac { { a }^{ 2 } }{ bc } +\log\frac { { b }^{ 2 } }{ ca } +\log\frac { { c }^{ 2 } }{ ab } =0\)
\(=\log\frac { { a }^{ 2 } }{ bc } \times \frac { { b }^{ 2 } }{ ca } \times \frac { { c }^{ 2 } }{ ab } \)
\(=\log\frac { { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }{ c }^{ 2 } } =\log1\)
=0= RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

i) நேர்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு
\(\Rightarrow\)(a₁x+b₁y+c₁)+\(\lambda\)(a₂x+b₂y+c₂)=0
(i) தேவையான சமன்பாடு (-1, 2) வழிச் செல்வதால் கிடைப்பது 
(4x-y+3)+\(\lambda\)(5x+2y+7)=0 ---(1)
\(\Rightarrow\)சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது.
\(\therefore \)(-4-2+3)+\(\Rightarrow\)(-5+4+7)=0
\(\Rightarrow\)-3+\(\lambda\)(6)=0
\(\Rightarrow\)\(\lambda\)=\(\frac {1}{2}\)
\(\lambda\)=\(\frac {1}{2}\) என (1) ல் பிரதியிட 
(4x-y+3)+\(\frac {1}{2}\)(5x+2y+7)=0
\(\Rightarrow\)13x +1=0
\(\Rightarrow\)x+1=0
ii) x-y+5=0 என்ற கோட்டிற் இணையான :  ---(1)
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள்
4x-y+3=0 -----(2)
5x+2y +7=0  -----(3)
(2)x2 =8x-2y+6 =0
(3)    =5x+2y+7=0
 _________________
         13x+13=0   \(\Rightarrow \)x=-1
x=-1 என (2) ல் பிரதியிட
4x-y+3 =0
4(1) -y+3 =0
-4-y+3 =0
-4+3 =y
-1 =y
\(\Rightarrow \)y =1
\(\therefore \)(-1, -1) என்பது இரண்டு கோடுகளும் வெட்டும் புள்ளியாகும்.
தேவையான கோட்டின் சாய்வு m =\(\frac{-1}{-1}\)=1
\(\therefore \)(-1, -1) வழியே செல்லக்கூடியதும் சாய்வு 1 கொண்டதுமான கோட்டின் சமன்பாடு
y+1=1(x+1) [\(\therefore \)y-y₁=m(x-x₁)]
\(\Rightarrow \)y+1=x+1 \(\Rightarrow \)x-y=0\(\Rightarrow \) x-y=0
iii) x- 2y + 1 = 0 என்ற கோட்டிற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு 12x+5y+k=0 ---(1)
(1, -1) என்ற புள்ளியிலிருந்து 12x+5y+k=0 உள்ள தொலைவு 1 எனில்
\(\therefore 1=\pm \frac { 12(1)+5(-1)+k }{ \sqrt { { 12 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 } } } \) [\(\therefore \)தொலைவு=\(\frac { a{ x }_{ 1 }+b{ y }_{ 1 }+{ c }_{ 1 } }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \)]
1=\(\pm \left( \frac { 7+k }{ \sqrt { 144+25 } } \right) =\pm \left( \frac { -7-k }{ 13 } \right) \)
\(\Rightarrow 1=\frac { 7+k }{ 13 } \) (அ) 1=\(\frac { +7+k }{ 13 } \)
\(\Rightarrow \)13=7+k (அ) 13=-7-k
\(\Rightarrow \)6=k  (அ) k=-20
\(\therefore \)k =6 (அ) k=-20
\(\therefore \)தேவையான கோடுகள் \(\Rightarrow \)12x+5y+6 =0 மற்றும் 12x+5y-20=0.

\(\sec { \theta } =-2\)
\(\sec { \theta } =-2\Rightarrow \cos { \theta } =-\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\cos { \theta } =\cos { \alpha } ,\alpha \in \left[ 0,\pi \right] \) இன் பொதுத் தீர்வு
\(\theta =2n\pi \pm \alpha ,n\in Z\) என நமக்குத் தெரியும்
\(\alpha \in \left[ 0,\pi \right] \) என்றவாறு \(\cos { \alpha } =-\frac { 1 }{ 2 } =\cos { \left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) } =\cos { \frac { 2\pi }{ 3 } } \)
ஆதலால் \(\alpha =\frac { 2\pi }{ 3 } \)
எனவே பொதுத் தீர்வு \(\theta =2n\pi \pm \frac { 2\pi }{ 3 } ,n\in Z\) ஆகும்.

\((1+x)^{ \frac { p }{ q } }=\left[ 1+\frac { p }{ q } x+\frac { \frac { p }{ q } \left( \frac { p }{ q } -1 \right) }{ 2! } { x }^{ 2 }+\frac { \left( \frac { p }{ q } \right) \left( \frac { p }{ q } -1 \right) \left( \frac { p }{ q } -2 \right) }{ 3! } { x }^{ 2 }+... \right] \)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left( 1+\frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right) ^{ \frac { 2 }{ 3 } }\)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left( 1+\frac { 2 }{ 3 } \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right) +\frac { \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \left( \frac { 2 }{ 3 } -1 \right) }{ 2! } \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right) ^{ 2 }+\frac { \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \left( \frac { 2 }{ 3 } -1 \right) \left( \frac { 2 }{ 3 } -2 \right) }{ 3! } \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right) ^{ 3 }+... \right) \)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left[ 1+\frac { 2x^{ 2 } }{ 15 } +\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \left( \frac { -1 }{ 3 } \right) .\frac { { x }^{ 4 } }{ 50 } +\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \left( \frac { -1 }{ 3 } \right) \left( \frac { -2 }{ 3 } \right) \frac { { x }^{ 6 } }{ 125\times 6 } +.... \right] \)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left[ 1+\frac { 2x^{ 2 } }{ 5 } -\frac { 2x^{ 2 } }{ 9\times 50 } +\frac { 4 }{ 3\times 3\times 3 } \frac { { x }^{ 6 } }{ 125\times 6 } .... \right] \)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left[ 1+\frac { 2x^{ 2 } }{ 5 } -\frac { { x }^{ 4 } }{ 225 } +\frac { 2x^{ 6 } }{ 10125 } ..... \right] \).
இந்த விரிவு ஏற்புடையதாக இருக்க வேண்டுமெனில் \(\left| \frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right| \)<1 ⇒ x²<5 இருக்க வேண்டும்.

\(\cos\theta =1-2{ \sin }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } \Rightarrow \sin\frac { \theta }{ 2 } =\pm \sqrt { \frac { 1-\cos\theta }{ 2 } } \)என நமக்குத் தெரியும் θ = 45⁰ என்க.
\(\sin\frac { 45° }{ 2 } =\pm \sqrt { \frac { 1-\cos45° }{ 2 } } \) என கிடைக்கிறது, \((22\frac { 1° }{ 2 } \) முதல் காற்பகுதியில் அமைவதால் மிகைக் குறியீடு என எடுத்துக்கொள்வோம்.)
எனவே, \(\sin 22\frac { 1° }{ 2 } =\sqrt { \frac { 1-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } }{ 2 } } =\frac { \sqrt { 2-\sqrt { 2 } } }{ 2 } \)

n(p(A))=1024=2¹⁰
n(p(A))=2^n(A)
\(\therefore n(A)=10\)
n(P(B))=32=2⁵
n(B)=5
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
15=10+5-n(A∩B)
n(A∩B)=15-15=0

அனைத்து \(a \in S\) க்கும், \((a, a)\in R\) என்பதால் R ஆனது தற்சுட்டாகும்.
\((b,a)\notin R\) என்பதுபோல் அமையுமாறு \((a,b)\in R\)  என எந்த உறுப்பும் இல்லை. வேறு விதமாகக் கூறினால் ஒவ்வொரு உறுப்பு \((a,b)\in R\) க்கும் \((b,a)\in R\) எனக் கூற முடியும். இதனால் R ஆனது சமச்சீராகும்.
\((a,c)\notin R\) எனுமாறு (a, b) மற்றும் (b, c)ஆகிய இரு உறுப்புகளை R-ல் காண இயலாது. இதனால் R ஆனது ”கடப்பு அல்ல” என்பது உண்மையன்று. எனவே “R ஆனது கடப்பு ஆகும்” என்ற கூற்று உண்மையாகும். எனவே R ஆனது கடப்பு ஆகும்.
இதனால் R ஆனது தற்சுட்டு, சமச்சீர், கடப்புத் தொடர்பு  ஆகும். எனவே கொடுக்கப்பட்ட தொடர்பு சமானத் தொடர்பாகும்.

\(\sqrt{3}\) ஒரு விகிதமுறா எண்  என்க.
\(\therefore \sqrt { 3 } =\frac { m }{ n } \) என்க  (m, n என்பன 1 ஐத் தவிர பொதுவகுத்தி இல்லாதவை)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த 
\(3=\frac { { m }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \Rightarrow 3{ n }^{ 2 }={ m }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { 3n }^{ 2 }={ m }^{ 2 }\)
2 ஆல் இருபுறமும் பெருக்குக
\(3=\frac { { m }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \Rightarrow 3{ n }^{ 2 }={ m }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { 6n }^{ 2 }={ 2m }^{ 2 }\Rightarrow 3(2n^{ 2 })=2m^{ 2 }\)
2n² ஆனது 2-ஆல் வகுபடும் m²-ம் ஒரு இரட்டை எண்
\(\Rightarrow m\) ஒரு இரட்டையாக இருக்க வேண்டும்
\(\Rightarrow m=2k,k\epsilon N\)
\(\Rightarrow { 3n }^{ 2 }=(2k)^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { 3n }^{ 2 }=4{ k }^{ 2 }\)
n ஒரு இரட்டை எண். எனவே, m,n இரட்டை  எண்கள் 2-ன் காரணிகள் ஆகும். இது முதல் கூற்றை முரண்பாடுடையதாக்குகிறது.
\(\therefore \sqrt { 3 } \) ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்க இயலாது.
\(\Rightarrow \sqrt { 3 } \) ஒரு விகிதமுறா எண்ணாகும்.
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

T_n=a+(n-1)d
∴ T_m+n=a+(m+n-1)d
& T_m-1=a+(m-n-1)d
LHS T_m+n+T_m-n=[a+(m+n-1)d]+[a+(m-n-1)d]
=2a+(2m-2)d]
=2[a+m-1)d]
=2T_m=RHS

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

C={x ∈ N,4x + 9 < 52}என்க.
\(\Rightarrow\)C={x ∈ N,4x < 52-9}
\(\Rightarrow\)C={x ∈ N,4x < 43}
\(\Rightarrow\)C={x ∈ N,4x < \({43\over4}\)}
\(\Rightarrow\)C={x ∈ N,x=10.75}
\(\Rightarrow\)C={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

l,m,n \(\in\) p என்க.
தற்சுட்டு:
ஆனதிற்கு செங்குத்தாக இருக்க முடியாது.
ஒரு தற்சுட்டு தொடர்பு அல்ல.
சமச்சீர் தொடர்பு:
lRm=mRl
l ஆனது m ற்குச் செங்குத்து 
m ஆனது l ற்குச் செங்குத்து 
\(\therefore R\) என்பது ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு.
கடப்புத் தொடர்பு:
l R m மேலும் m R n\(\neq\)l R n
l ஆனது m ற்குச் செங்குத்து 
m ஆனது n ற்குச் செங்குத்து
ஆனால் l ஆனது  n ற்குச் செங்குத்து ஆக இருக்க முடியாது 
\(\therefore R\) ஆனது ஒரு கடப்புத் தொடர்பு அல்ல. 
\(\Rightarrow R\) என்பது ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு மட்டுமே.

 \(\sin { \theta } +\sin { 3\theta } +\sin { 5\theta } =0\)
\(2sin\left( \cfrac { \theta +5\theta }{ 2 } \right) .\left( \cfrac { 5\theta -\theta }{ 2 } \right) +sin3\theta \)  \(\left[ \because \quad sinC+sinD=2sin\left( \cfrac { C+D }{ 2 } \right) cos\left( { \cfrac { C-D }{ 2 } } \right) \right] \)
\(\Rightarrow 2sin3\theta +cos2\theta +sin3\theta =0\)
\(\Rightarrow sin3\theta \left( 2cos2\theta +1 \right) =0\)
\(\Rightarrow sin3\theta \) அல்லது \(cos2\theta =\cfrac { -1 }{ 2 } \)
வகை (i) \(sin\theta =0\)
\(\Rightarrow 3\theta =n\varepsilon Z\)
\(\theta =\cfrac { n\pi }{ 3 } ,n\varepsilon Z\)
வகை (ii) \(cos2\theta =\cfrac { -1 }{ 2 } =-cos\cfrac { \pi }{ 3 } \)
= \(cos\left( \pi -\cfrac { \pi }{ 3 } \right) \)[\(\because \quad cos\theta ,II\) -ம் கால் பகுதியில் குறையாகும்]
\(\Rightarrow cos2\theta =cos\left( \cfrac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
\(2\theta =2n\pi \pm \cfrac { 2\pi }{ 3 } ,n\varepsilon Z\)
\(\theta =n\pi \pm \cfrac { \pi }{ 3 } ,n\varepsilon Z\)
\(\therefore \) தீர்வு \(\cfrac { n\pi }{ 3 } ,n\pi \pm \cfrac { \pi }{ 3 } ,n\varepsilon Z\)

x+y=3  என்ற கோடு  x²-4xy+y²= 0 என்ற இரட்டைக் கோட்டை A மற்றும் B-ல் வெட்டுகிறது என்க.மேலும் x²-4xy+y²= 0 ஆதிபுள்ளியில் O வெட்டிக்கொள்ளும்
 x²-4xy+y²= 0 என்ற கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்.
\(\tan \theta =\left| \frac { 2\sqrt { { h }^{ 2 }-ab } }{ a+b } \right| =\frac { 2\sqrt { 4-1 } }{ 2 } =\sqrt { 3 } \)
⇒ \(\angle AOB =\theta ={ tan }^{ -1 }\sqrt { 3 } ={ 60 }^{ o }\)
ΔAOB இன் கோண இருசமவெட்டியின் சமன்பாடு,
\(\frac { { x }^{ 2 }-y^{ 2 } }{ a-b } =\frac { xy }{ h } \)
⇒  x²-y²= 0  ⇒ (x+y)(x-y) = 0
⇒  x+y = 0 மற்றும் x-y =0
x-y=0 ன் கோண இருசமவெட்டி கொடுக்கப்பட்ட கோடு AB, அதாவது x+y = 3 -க்கு செங்குத்தாக உள்ளது
எனவே ΔAOB என்பது இரு சமப்பக்க முக்கோணம் ஆகும்
⇒  \(\angle ABO=\angle BAO={ 60 }^{ o }\)   மேலும் \(\angle ABO={ 60 }^{ o }\)
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு சம்பக்க முக்கோணத்தை அமைக்கின்றது.

(i) வண்டியில் உள்ள 8 இருக்கையில் ஒரு இருக்கை ஓட்டுனருக்காக ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது. எந்த கட்டுப்பாடும் இல்லாததால் யார் வேண்டுமானாலும் வேனை ஓட்டலாம். எனவே, ஓட்டுநர் இருக்கையில் அமர ⁷P₁ = 7 வழிகள் உள்ளன. மீதமுள்ள 7 இருக்கைகளில் மீதமுள்ள 6 நபர்கள் ⁷P₆ = 5040 வழிகளில் அமரலாம். எனவே, வண்டியில் அந்த குடும்பத்தை 7 x 5040 = 35280 வழிகளில் அமரவைக்க முடியும்.
(ii) ஓட்டுநர் இருக்கை F அல்லது M ஆல் நிரப்பப்படவுள்ளதால், இதனை நிரப்ப இரண்டு வழிகள் உள்ளன. எனவே, வண்டியில் அந்த குடும்பத்தை 2 x 5040 = 10080 வழிகளில் அமரவைக்க முடியும்
(iii) 5 சன்னலோர இருக்கைகள் மட்டுமே இருப்பதால், D₁ மற்றும் D₂ ஆகியோர் சன்னலோர இருக்கையில் அமர ⁵P₂ = 20 வழிகள் உள்ளன. ஓட்டுநர் இருக்கையில் அமர்கிறார், மீதமுள்ள 4 நபர்கள் மீதமுள்ள 5 இருக்கைகளில் அமர ⁵P₄ = 120 வழிகள் உள்ளன. எனவே, வண்டியில் அந்த குடும்பம் 20 x 1 x 120 = 2400  வழிகளில் அமரமுடியும்.

ஒன்றுக்கொன்று: f(x)=f(y) என்க.இதனால் 2x-3=2y-3; இதிலிருந்து 2x=2y.எனவே x=y அதாவது f(x)=f(y) எனில் x=y.எனவே f என்பது ஒன்றுக்கொன்று
மேற்கோர்த்தல்: y∈R என்க.\(x={y+3\over 2}\)என்க.எனவே \(f(x) = 2\left(y+3\over2\right)-3=y\) இதனால் f என்பது மேற்கோர்த்தல் ஆகும். (அல்லது) f -ன் வீச்சகம் தெளிவாக R ஆகும். (எவ்வாறு?) அதாவது வீச்சகமும் துணைச்சார்பகமாகவும் சமமாக இருப்பதால் f மேற்கோர்த்தல் ஆகும்.
நேர்மாறு: y=2x-3 என்க.எனவே y+3=2x.அதனால் \(x={y+3\over2}\)அதாவது \(f^{-1}(y)={y+3\over2}\)இப்போது y -ஐ x -ஆல் மாற்ற \(f^{-1}(x)={x+3\over2}\)எனக் கிடைக்கும்.
வழிமுறை – 2
y = 2x – 3 என்க . எனவே \(x={y+3\over 2}\), \(g (y)={y+3\over 2}\) என்க
இப்போது,  (g o f )(x) = g(f (x)) = g(2x  – 3) \(={(2x – 3)+3\over 2} = x \)
(f o g )(y ) = f (g (y)) = \(f ={y+3\over 2}\)\(f(x) = 2\left(y+3\over2\right)-3=y\)
ஆகையால் , g o f = I_X மற்றும் f o g = I_Y .
f மற்றும் g ஆகியவை இருபுறச்சா ர்புகள் என்பதும் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறு என்பதும் இதன்மூலம் தெளிவாகிறது. எனவே f என்பது இருபுறச்சார்பு மற்றும் \(f^{-1}(y)={y+3\over2}\) இதிலிருந்து y -ஐ x -ஆல் பிரதியிட \(f^{-1}(x)={x+3\over2}\)

y = sin |x|+1

|x|=\(\{ \begin{matrix} x & x\ge 0 \\ -x & x<0 \end{matrix}\)
\(\therefore \sin { |x| } =\{ \begin{matrix} \sin x & x\ge 0 \\ -\sin x & x<0 \end{matrix}\)
y =sin (-x) என்ற வரைபடமானது -sin x வரைபடத்தின் பிரதிபலிப்பாகும்.

\(\frac{x+1}{x^2(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}\)என்க.
எனவே, x+1=Ax(x-1)+B(x-1)+cx²
x = 0 எனும்போது B=-1, x=1 எனும்போது C=2
x = -1 எனும்போது 2A-2B+C=0 ⇒ A=-2
எனவே, \(\frac{x+1}{x^2(x-1)}=\frac{-2}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x-1}\)