\(P(A\cup B)\)=P(A)+ P(B)-P\((A\cap B)\)
= 0.52+0.43−0.24
\(P(A\cup B)\)=0.71
 

\({ lim }_{ x\rightarrow x }\frac { { e }^{ 5x }-1 }{ x } =\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { { e }^{ 5x }-1 }{ x } .5\)
=5(1)=5

4x-3y+l=0; l ∈ R

f(X)=x²+1 என்ற சார்பின் வரைபடம் f(x)=x²-ஐ ஒரு அலகு செங்குத்தாக மேல்நோக்கி நகர்த்துகிறது. f(x)=(x+1)² என்ற சார்பின் வரைபடம் f(x)=x²-ஐ ஒரு அலகு கிடைமட்டமாக இடப்பக்கம் நோக்கி நகர்த்துகிறது.

 

கொடுக்கப்பட்டுள்ள விகிதங்கள் \(\frac { 1 }{ 5 } ,\frac { 3 }{ 5 } ,\frac { 4 }{ 5 } \).
\(l=\frac { 1 }{ 5 } ,m=\frac { 3 }{ 5 } ,n=\frac { 4 }{ 5 } \) என்க.
∴ l²+m²+n²=\(\left( \frac { 1 }{ 5 } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) ^{ 2 }\)
=\(\frac { 1 }{ 25 } +\frac { 9 }{ 25 } +\frac { 16 }{ 25 } =\frac { 1+9+16 }{ 25 } \)
=\(\frac { 26 }{ 25 } \)≠1
திசைக்கொசைன்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் 1 ஆக இருக்க வேண்டும்.
∴ கொடுக்கப்பட்ட விகிதங்களை திசைக் கொசைன்களாகக் கொண்டு ஒரு வெக்டர் அமையாது.

ஒவ்வொரு குறிக்கோள் வினாவிற்கும் உள்ள வாய்ப்புகள் = 4
மொத்த வினாக்கள்  = 6
\(\therefore \)  மொத்த வாயுப்புகள்  = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4⁶  = 4096

கொடுக்கப்பட்டுள்ள இணை இரட்டை நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
= 4x² + 4xy + y² - 3y -4 =0
பொதுச் சமன்பாடு} = ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c=0
இங்கு a = 4 
2h = 4 
\(h=\frac { 4 }{ 2 } =2\)
b = 1 
2g =-6
\(g=\frac { -6 }{ 2 } =-3\)
2f =-3
\(f=\frac { -3 }{ 2 } \)
c =- 4
இரட்டை இணை கோடுகளுக்கான கட்டுப்பட்டு 
h2 - ab =0
22 - 4(1) = 0
4-4 =0
 0 = 0
இணைக் கோடுகளைக் குறிக்கும் கட்டுப்பட்டு
\(\left| \begin{matrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} 4 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -3 \\ 2 & -3 & -4 \end{matrix} \right| =0\) 
R1 மூலம் கிடைப்பது.
\(\Rightarrow (-4-\frac { 9 }{ 4 } )-2(-8-\frac { 9 }{ 2 } )-3(-3+3)=0\)
\(\Rightarrow 4(\frac { -16-9 }{ 4 } )+(-2)(\frac { -16-9 }{ 2 } )-=0\)
\(\Rightarrow -25+25=0\)
\(\therefore \) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இணைகோடுகளைக் குறிக்கும்.

a₁=1
a₂=2
a₃=3
a₄=2+3=5
a₅=3+5=8
a₆=5+8=13
∴ முதல் 6 உறுப்புகள் 1,2,3,5,8,13, .....

\({ (125) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }={ (5^{ 2 })^{ \frac { 2 }{ 3 } } }={ 5 }^{ 3\times \frac { 2 }{ 3 } }={ 5 }^{ 2 }=25\)

17 -ன் முன்பிம்பத்தைக் கண்டறிய நாம் 2x² – 1=17 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவேண்டும். இதன் இரு தீர்வுகளான 3 மற்றும் -3 என்பவை f -ன் கீழ் 17 -ன் முன்பிம்பங்களாகும். சமன்பாடு 2x² -1=4 என்பது \(\sqrt{5\over2}\) மற்றும் -\(\sqrt{5\over2}\)என்ற இரு முன்பிம்பங்களை 4 என்ற உறுப்புக்கு கொடுக்கின்றது. மேலும், -2 -ன் முன்பிம்பம் கண்டறிய 2x² -1=-2 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும்.\(x^2=-{1\over2}\) என்பதற்கு R -ல் எந்த ஒரு தீர்வும் கிடையாது. எனவே -2 ஆனது f -ன் கீழ் முன்பிம்பத்தைப் பெறவில்லை

x⁴ = 16
\(\Rightarrow { x }^{ 4 }={ 4 }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \left( { x }^{ 2 } \right) ^{ 2 }={ 4 }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \left( { x }^{ 2 } \right) ^{ 2 }-{ 4 }^{ 2 }=0\left( \because { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }=(a+b)(a-b \right) \)
\(\Rightarrow \left( { x }^{ 2 }+4 \right) \left( { x }^{ 2 }-4 \right) =0\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }=-4,{ x }^{ 2 }=4\)
\(x=\pm \sqrt { -4 } =\pm 2i(i=\sqrt { -1 } )\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }=4,\)
\(x=\pm \sqrt { 4 } =\pm 2\)

m – m = 0 என்பதால், 0 = 0 × 12 என எழுதுவதன்மூலம் பூஜ்ஜியமும் 12 -ன் மடங்கு என்பது உண்மை. ஆகவே mRm என்பது எல்லா \(m \in Z\) -க்கும் பொருந்தும். எனவே, R தற்சுட்டாகும்.
mRn என்க. அப்பொழுது \(k,\in Z\) க்கு m-n = 12k ஆகும். இதனால் n-m=12(-k) ஆகையால் nRm ஆகும். இது R சமச்சீர் என்பதைக் காட்டுகிறது.
mRn மற்றும் nRp என்க. அதாவது ,\(k,l\in Z\) -க்கு, m–n = 12k மற்றும் n–p = 12l ஆகும். ஆகவே m – p = 12(k+l). அதாவது mRp. இது R என்பது கடப்பு தொடர் எனக் காட்டுகிறது. எனவே R என்பது சமானத் தொடர்பு ஆகும்.

சார்பு f-ன் வரையறைப்படி சார்பகம் மூடிய இடைவெளி [-1,1]ஆகும்.
(1-x2≥0 ஆக இருக்கும்போது f வரையறுக்கப்படுகிறது.) 
c ∈(-1,1) என்ற ஏதேனும் ஒரு புள்ளிக்கு 

\(\underset { x\rightarrow c }{ lim } f(x)=\underset { x\rightarrow c }{ lim } \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } ={ \left[ \underset { x\rightarrow c }{ lim } (1-{ x }^{ 2 }) \right] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\)
\(={ (1-{ c }^{ 2 }) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }f(c).\)
\(\underset { x\rightarrow { -1 }^{ + } }{ lim } f(x)=\underset { x\rightarrow { -1 }^{ + } }{ lim } { (1-{ x }^{ 2 }) }^{ ^{ \frac { 1 }{ 2 } } }=0=f(1)\)
\(\underset { x\rightarrow 1^{ - } }{ lim } f(x)=\left[ \underset { x\rightarrow 1^{ 1 } }{ lim } \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right] =0=f\left( -1 \right) \)
இவ்வாறாக f என்ற சார்பு [-1.1] இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானது. இந்தக் கணக்கினை சார்புகளின் சேர்ப்புத் தேற்றம் மூலமும் தீர்க்கலாம்.

கொடுக்கப்பட்டது \(\overset { \rightarrow }{ a } =2\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } \)
\(\\ |\overset { \rightarrow }{ a } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+{ (-2) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 4+1+4 } =\sqrt { 9 } =3\)
\(\overset { \rightarrow }{ b } =\hat { i } +\hat { j } \)
\(|\overset { \rightarrow }{ b } |=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 2 } \)
\(|\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } |2\sqrt { 2 } \)
\({ |\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } | }^{ 2 }={ (2\sqrt { 2 } ) }^{ 2 }\)
\(\therefore { |\overset { \rightarrow }{ c } | }^{ 2 }+{ |\overset { \rightarrow }{ a } | }^{ 2 }-2(\overset { \rightarrow }{ c } .\overset { \rightarrow }{ a } )=8\)
\({ |\overset { \rightarrow }{ c } | }^{ 2 }+9-2{ |\overset { \rightarrow }{ c } | }=8[\because |\overset { \rightarrow }{ a } |=3,\overset { \rightarrow }{ c } .\overset { \rightarrow }{ a } =|\overset { \rightarrow }{ c } |]\)
\(\left| \vec { c } \right| ^{ 2 }-2\left| \vec { c } \right| +1=0\)
\(\left[ \left| \vec { c } -1 \right| \right] ^{ 2 }=0\)
\(\left| \vec { c } \right| -1=0\)
\(\left| \vec { c } \right| =1\)
Also \(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} \right| \)
=\(\hat { i } (0+2)-\hat { j } (0+2)+\hat { k } (2-1)\)
\(=2\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \)
\(=\left| \vec { a } \times \vec { b } \right| =\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-2)^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } \)
\(\sqrt { 4+4+1 } =\sqrt { 9 } =3\)
\(\therefore \left| \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \vec { c } \right| =\left| \vec { a } \times \vec { b } \right| \left| \vec { c } \right| sin30\)
[\(\therefore \vec { a } \times \vec { b }\) மற்றும் \( \vec { c } \) இவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணம் 30^o]  
\(= 3(1)\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) =\left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) \)

A=\(\left| \begin{matrix} -2a & a+b & c+a \\ a+b & -2b & b+c \\ c+a & c+b & -2c \end{matrix} \right| \)
a=-bஎன்க 
\(\left| \begin{matrix} 2b & 0 & c-b \\ 0 & -2b & b+c \\ c-b & c+b & -2c \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 2b & 0 & c-b \\ 2b & -2b & b+c \\ b+c & l+c & -(b+c) \end{matrix} \right| \)
\({ R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 1 }\)
\({ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 1 }\)
\(=2b(b+c)\left| \begin{matrix} 2b & 0 & c-b \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (a+b) ஒரு காரணி 
அதே போல் (b+c) காரணிகள் 
(∴ |A| என்பது a,b,c யில் வட்ட சமச்சீரானது)
|A|-ன் படி 3கிடைக்கப் பெற்ற காரணிகளின் பெற்ற தொகை படி 3.
∴ |A|=k(a+b)(b+c)(c+a)
மதிப்புகள் பிரதியிட k=4
\(\therefore \left| \begin{matrix} -2a & a+b & c+a \\ a+b & -2b & b+c \\ c+a & c+b & -2c \end{matrix} \right| =4(a+b)(b+c)(c+a)\)

ஆங்கில எழுத்துகளின் வரிசைப்படி A,E,L,P,P,P என்ற எழுத்து இரு முறை வருகிறது.
AE என தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac{3!}{2}=3\)
AL தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac{3!}{2}=3\)
APE என தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை 
=2!=2
APPEL=1
APPLE=1
APPLE என்ற வார்த்தை தரம் 
=3+3+2+2+1+1=12 நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac{2x+5}{x-1}>5\)
\(\Rightarrow \frac{2x+5}{x-1}-5>0\)
\(\Rightarrow \frac{2x+5-5x+5}{x-1}>0\)
\(\Rightarrow \frac{-3x+10}{x-1}>0\)
நிலை (i) -3x+10>0, x-1>0
-3x>-10, x>1
3x<10, x>1
\(x<\frac{10}{3},x>1\)
\(1<x<\frac{10}{3}\)
நிலை (ii) -3x+10<0, x-1<0
-3x<-10, x<1
3x>10,x<1
\(x>\frac{10}{3},x<1\)
இது சாத்தியமற்றது 
∴ தீர்வுக்கணம் \(\left( 1,\frac { 10 }{ 3 } \right) \)

 \(I=\int { \frac { (5x-2) }{ 2+2x+{ x }^{ 2 } } } \)என்க 
\(5x-2=A.\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 2 }+2x+2)+B\)
\(\Rightarrow 5x-2=A(2x+2)+B\)
x மற்றும் மாறிலி உறுப்புகளின் கெழுக்களை சமப்படுத்த 
\(5=2A\Rightarrow A=\frac { 5 }{ 2 } \)
\(-2=2A+B\Rightarrow -2=2(\frac { 5 }{ 2 } )+B\)
\(\Rightarrow -2=5+B\Rightarrow B=-7\)
\(\therefore 5x-2=\frac { 5 }{ 2 } (2x+2)-7\)
\(\therefore I=\int { \frac { (5x-2) }{ { x }^{ 2 }+2x+2 } } \)
\(=\frac { 5 }{ 2 } \int { \frac { 2x+2 }{ { x }^{ 2 }+2x+2 } dx-7\int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }+2x+2 } } } \)
\(=\frac { 5 }{ 2 } log|{ x }^{ 2 }+2x+2|-7\int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }+2x+1-1+2 } } \)
\(=\frac { 5 }{ 2 } log|{ x }^{ 2 }+2x+2|-7\int { \frac { dx }{ (x+1)^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } } \)
\(=\frac { 5 }{ 2 } log|{ x }^{ 2 }+2x+2|-7tan^{ -1 }(\frac { x+1 }{ 1 } )+C\)
\(=\frac { 5 }{ 2 } \log|{ x }^{ 2 }+2x+2|-7\tan^{ -1 }(x+1)+c\)
\(\frac{5}{2}\log|x^{2}+2x+2|-7\tan^{-1}(x+1)+c\)

I =\(\int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-4x+5 } } } \)
=\(\int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-4x+4-4+5 } } } \)
=\(\int { \frac { dx }{ \sqrt { { (x-2) }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } } } \)
\(\int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } } =\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 } } +{ a }^{ 2 } \right| } \)
I=\(\log { \left| x-2+\sqrt { { x }^{ 2 }-4x+5 } \right| +c } \)

A₁ மற்றும் A₂ முறையே இயந்திரங்கள்-I மற்றும் II மூலம் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களின் நிகழ்ச்சி என்க. B என்பது குறைபாடுள்ள ஒரு பொருளை தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. P(A2/B) எனும் நிகழ்தகவை காணவேண்டும். A₁, A₂ என்பவை ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் ஆகும்.
பேயீஸின் விதிப்படி P(A₂/B) =\(\frac { P({ A }_{ 2 })P(B/{ A }_{ 2 }) }{ P({ A }_{ 1 })P(B/{ A }_{ 1 })+P(A_{ 2 })P(B/A_{ 2 }) } \)
P(A₁)=0.40, P(B/A₁)=0.04
P(A₂)=0.60, P(B/A₂)=0.05
P(A₂/B)=\(\frac { P({ A }_{ 2 })P(B/{ A }_{ 2 }) }{ P({ A }_{ 1 })P(B/{ A }_{ 1 })+P({ A }_{ 2 })P(B/{ A }_{ 2 }) } \)
P(A₂/B)=\(\frac { (0.60)(0.05) }{ (0.40)(0.04)+(0.60)(0.05) } =\frac { 15 }{ 23 } \)

நாற்கரம் ABCD-யின் முனைகள் A, B, C, D-யின் நிலைவெக்டர்கள்.
OA=\(\vec { a } ,\vec { OB } =\vec { b } ,\vec { OC } =\vec { c } ,\vec { OD } =\vec { d } \) என்க.
என்பன நான்கு அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்.
\(\vec { OP } =\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } ,\vec { OQ } =\frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } ,\vec { OR } =\frac { \vec { c } +\vec { d } }{ 2 } \)
\(\vec { OS } =\frac { \vec { a } +\vec { d } }{ 2 } \)
\(\vec { PQ } =\vec { OQ } -\vec { OP } =\frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } -\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } \)

\(\vec { RS } =\vec { OS } -\vec { OR } =\frac { \vec { a } +\vec { d } }{ 2 } -\frac { \vec { c } +\vec { d } }{ 2 } \)

∴ \(\vec { SR } =\frac { \vec { c } -\vec { a } }{ 2 } =\vec { PQ } \)
\(\vec { PQ } =1\vec { SR } \Rightarrow \vec { PQ } ||\vec { SR } \)
∴ PQRS ஓர் இணைகரம் என்பது நிருபிக்கப்பட்டது.

\(\triangle =\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 }-bc \\ 1 & b & { b }^{ 2 }-ca \\ 1 & c & { c }^{ 2 }-ab \end{matrix} \right| \)
= 1 [ b (c² - ab)  - c (b² - ca )]
-a [1 - (c² -ab) - 1 (b² - ca)] + (a² - bc) (c- b)]
= 0 = RHS

செங்குத்து வடிவம்
\(\sqrt { 3 } x-y+4=0\)
⇒ (-\(\sqrt { 3 } \))x+y=4     (6.17)-ஐ
Ax+By+C=0 என்ற சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது
A =-\(\sqrt { 3 } \) மற்றும் B =1   ∴ \(\sqrt { { A }^{ 2 }+{ B }^{ 2 } } \)=2
சமன்பாடு (6.17) -ஐ இருபுறமும் 2 ஆல் வகுக்க
⇒ \(-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } x+\frac { 1 }{ 2 } y\)     (6.18)-ஐ
x cosα+y sinα = p இச்சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது
cosα=\(-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \), sinα =\(\frac { 1 }{ 2 } \) மற்றும் p =2 என்க.
⇒  α =150^° =\(\frac { 5\pi }{ 6 } \) மற்றும் p =2
செங்குத்து வடிவத்தின் சமன்பாடு
\(xcos\frac { 5\pi }{ 6 } +ysin\frac { 5\pi }{ 6 } \)=2 ஆகும்.

LHS=\(\sqrt { \frac { 1-x }{ 1+x } } =\sqrt { \frac { (1-x)(1-x) }{ (1+x)(1+x) } } =\frac { 1-x }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \)
=\((1-x)(1-x^{ 2 })^{ \frac { -1 }{ 2 } }\)
=(1-x)\(\left[ 1+\left( \frac { -1 }{ 2 } \right) (-x^{ 2 })+\frac { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \left( \frac { 1 }{ 2 } -1 \right) }{ 2! } (-x^{ 2 })^{ 2 }+... \right] \)
=(1-x)\(\left[ 1+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \left( \frac { -1 }{ 2 } \right) }{ 2 } ({ x }^{ 4 })+... \right] \)
=(1-x)\(\left[ 1+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { 3{ x }^{ 4 } }{ 8 } +... \right] \)
=\(1-x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 2 } +\frac { { 3x }^{ 4 } }{ 8 } -\frac { 3{ x }^{ 5 } }{ 8 } +...\)
=\(1-x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \)
=RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்டது x = a cos³ \(\theta\) , y = a sin³ \(\theta\)
\(\frac { x }{ a } ={ cos }^{ 3 }\theta ,\frac { y }{ a } ={ sin }^{ 3 }\theta \)
இருபுறம் வர்க்கப்படுத்தி கனமூலம் காண
\({ \left( \frac { x }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }={ \left( { cos }^{ 3 }\theta \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } },{ \left( \frac { y }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }=({ sin }^{ 3 }\theta )^{ \frac { 2 }{ 3 } }\)
\(\Rightarrow { \left( \frac { x }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }={ cos }^{ 2 }\theta ,\)மற்றும் \({ \left( \frac { y }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }={ sin }^{ 2 }\theta \)
அவற்றைக் கூட்ட  (\(\because\) cos² \(\theta\) + sin² \(\theta\) =1)
\(\Rightarrow { \left( \frac { x }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }+\left( \frac { y }{ a } \right) ^{ \frac { 2 }{ 3 } }=1\)
\(\Rightarrow \frac { { x }^{ \frac { 2 }{ 3 } } }{ { a }^{ \frac { 2 }{ 3 } } } +\frac { { y }^{ \frac { 2 }{ 3 } } }{ { a }^{ \frac { 2 }{ 3 } } } =1\)
\(\Rightarrow \frac { { x }^{ \frac { 2 }{ 3 } }+{ y }^{ \frac { 2 }{ 3 } } }{ { a }^{ \frac { 2 }{ 3 } } } =1\)
\({ x }^{ 2/3 }+{ y }^{ 2/3 }=a^{ 2/3 }\)  இதுவே நகரும் புள்ளியின் நியமப்பாதையாகும்.

X = {a, b, c, d}
R = {{a, a}, {b, b} {a, c}}
(i) தற்சுட்டு
(c, c), (d, d) R - ல் சேர்க்கப்பட வேண்டும்
(ii) சமச்சீர்
(c, a) R- ல் சேர்க்கப்பட வேண்டும்
(iii) கடப்பு
R ஒரு கடப்புத் தொடர்பு ஆக இருக்க R-ல் (c,d),(a,d)இருக்க வேண்டும்.
(iv) சமானத் தொடர்பு
{(c, c),  (d, d), (c, a)}

x cos θ = ycos \(\left[ \theta +\frac { 2\pi }{ 3 } \right] \) = z cos \(\left[ \theta +\frac { 4\pi }{ 3 } \right] \) = λ என்க 
⇒ \(\frac { \lambda }{ x } \) = cos θ, \(\frac { \lambda }{ y } \) = cos \(\left( \theta +\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
\(\frac { \lambda }{ z } \) = cos \(\left( \theta +\frac { 4\pi }{ 3 } \right) \)
∴ \(\frac { \lambda }{ x } +\frac { \lambda }{ y } +\frac { \lambda }{ z } \) = cosθ
= cos θ + cos (120 + θ) + cos (240 + θ)
= cos θ + cos 120.cosθ - sin 120.sinθ + cos 240. cosθ - sin 240.sinθ
= cosθ - cos 60⁰ cosθ - sin60⁰ sinθ - sin 30⁰. cosθ + cos 30⁰ sinθ
(∵ cos (A + B) = cos A cosB - sinA sinB)
cos 120⁰ = cos (180⁰ - 60⁰)
= - cos 60⁰ = \(-\frac { 1 }{ 2 } \)
sin 240⁰ = sin (270⁰ - 30⁰)
= - sin 30⁰
= - cos 60⁰ = \(-\frac { 1 }{ 2 } \)

= cosθ - cosθ = 0
∴ \(\lambda \left( \frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ y } +\frac { 1 }{ z } \right) \) = 0 ⇒ \(\lambda \left( \frac { yz+xz+xy }{ xyz } \right) \) = 0
⇒ xy + yz + zx = 0.

8¹+cos x+cos2x+...=4³ 
8(1-cosx)^-1=4³
(∵(1-x)^-1=1+x+x²+...|x|<1)
\({ \left( { 4 }^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2{ sin }^{ 2\frac { x }{ 2 } } } }={ 4 }^{ 3 }\)
\({ 4 }^{ \frac { 1 }{ 2{ sin }^{ 2\frac { x }{ 2 } } } }={ 4 }^{ 3 }\)

\({ sin }^{ 2 }\frac { x }{ 2 } =\frac { 1 }{ 4 } \Rightarrow sin\frac { x }{ 2 } =\pm \frac { 1 }{ 2 } \)
\(\\ \frac { x }{ 2 } ={ sin }^{ -1 }(\pm \frac { 1 }{ 2 } )\Rightarrow \frac { x }{ 2 } =\pm \frac { \pi }{ 6 } \)
\(x=\pm \frac { \pi }{ 3 } \)

தரம் \(=\frac { 5 }{ 2! } \times 5!+\frac { 0 }{ 2! } \times 4!+\frac { 0 }{ 2! } \times 3!+\frac { 1 }{ 0! } \times 2!+\frac { 1 }{ 0! } \times 1!\times \frac { 0 }{ 0! } \times 1!+1\)
=303

\(x=\tan { \theta } \) என்க 
எனவே, \(\frac { 1+x }{ 1-x } =\frac { 1+\tan { \theta } }{ 1-\tan { \theta } } =\tan { \left( \frac { \pi }{ 4 } +\theta \right) } \)
\(\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+x }{ 1-x } \right) } =\tan ^{ -1 }{ \left[ \tan { \left( \frac { \pi }{ 4 } +\theta \right) } \right] } =\frac { \pi }{ 4 } +\theta =\frac { \pi }{ 4 } +\tan ^{ -1 }{ x } \)
\(y=\frac { \pi }{ 4 } +\tan ^{ -1 }{ x } \)
\({ y }^{ ' }=\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \)

\(h(t)={ \left( t-\frac { 1 }{ t } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
\(u=t-\frac { 1 }{ t } \Rightarrow h(u)=u^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)என்க
\(\therefore \frac { du }{ dt } =1+\frac { 1 }{ t^{ 2 } } \)மற்றும் 
\(h'(u)=\frac { 3 }{ 2 } u^{ \frac { 3 }{ 2 } -1 }=\frac { 3 }{ 2 } u^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
\(h'(t)=h'(u).\frac { du }{ dt } \)
\(=\frac { 3 }{ 2 } u^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ \left( 1+\frac { 1 }{ t^{ 2 } } \right) }\quad \left[ d\left( +\frac { 1 }{ t } \right) =-\frac { 1 }{ t^{ 2 } } \right] \)
\(h'(t)=\frac { 3 }{ 2 } { \left( t-\frac { 1 }{ t } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\left( 1+\frac { 1 }{ t^{ 2 } } \right) \left[ \because u=t-\frac { 1 }{ t } \right] \)

2 × 3 அணியின் பொது வடிவம் A=\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } \end{matrix} \right] \)
\({ a }_{ ij }\) -ன் வரையறையின்படி, a₁₁\(=\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \left| 2-3 \right| =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) இதே போன்று A  என்ற அணியின் மற்ற உறுப்புகளையும் காணலாம்.எனவே தேவையான அணி \(A=\left[ \begin{matrix} \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } & 2\sqrt { 3 } & \frac { 7\sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } & \sqrt { 3 } & \frac { 5\sqrt { 3 } }{ 2 } \end{matrix} \right] \)

தொகுதியில் உள்ள உறுப்புகள் 3,5,7....AP.
∴ t_n=3+(n-1)²=2n+1
பகுதியில் உள்ள உறுப்புகள்=1²2²,2²3²,3²4²,...   [a=3,d=2]
∴ t_n=[n(n+1)]²
∴ n-ம் உறுப்பு
=\(\frac { 2n+1 }{ { n }^{ 2 }(n+1)^{ 2 } } =\frac { { n }^{ 2 }+2n+1-{ n }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 }(n+1)^{ 2 } } =\frac { (n+1)^{ 2 }-{ n }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 }(n+1)^{ 2 } } \)
=\(\\ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ (n+1)^{ 2 } } \).

கொடுக்கப்பட்ட வார்த்தையில் 6 எழுத்துகள் (V, O, W, E, L, S) உள்ளன.
(i) எல்லா எழுத்துச் சரங்களும் E இல் துவங்க வேண்டும். எனவே, மீதமுள்ள 5 எழுத்துகளை வரிசைப்படுத்த ⁵P₅ = 5! வழிகள் உள்ளன. ஆகவே, E இல் தொடங்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 5! = 120.
(ii) எல்லா எழுத்துச் சரங்களும் E இல் தொடங்கி, W இல் முடிக்க வேண்டும், 5! = 120.

எனவே, E ஐ முதலிலும், W ஐ கடைசியிலும் வைக்கவேண்டும். மீதமுள்ள 4 எழுத்துகளை ⁴P₄ = 4! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்.
ஆகவே, E இல் தொடங்கி, W இல் முடிக்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 4! = 24.