P={a,b,c,d}
உட்கணங்கள் P(A)={{a},{b},{c},{d}}
ஒரு கணத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் அக்கணத்தின் உட்கணம் அல்ல.
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கூற்று தவறு.

l,m,n \(\in\) p என்க.
தற்சுட்டு:
ஆனதிற்கு செங்குத்தாக இருக்க முடியாது.
ஒரு தற்சுட்டு தொடர்பு அல்ல.
சமச்சீர் தொடர்பு:
lRm=mRl
l ஆனது m ற்குச் செங்குத்து 
m ஆனது l ற்குச் செங்குத்து 
\(\therefore R\) என்பது ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு.
கடப்புத் தொடர்பு:
l R m மேலும் m R n\(\neq\)l R n
l ஆனது m ற்குச் செங்குத்து 
m ஆனது n ற்குச் செங்குத்து
ஆனால் l ஆனது  n ற்குச் செங்குத்து ஆக இருக்க முடியாது 
\(\therefore R\) ஆனது ஒரு கடப்புத் தொடர்பு அல்ல. 
\(\Rightarrow R\) என்பது ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு மட்டுமே.

{6,7,8,9,10} எனும் கணத்தின் ஒவ்வொரு உட்கணமாகிய C கணத்திற்கு, B=CU{1,2,3,5} என எடுத்துக்கொள்வோம். இங்கு A-B={4} என்கிற நிபந்தனை பொருந்தும். இதனால் X ல் உள்ள B உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையும், {6,7,8,9,10} என்கிற கணத்தின் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையும் சமம். எனவே, B உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை 2⁵ = 32

m – m = 0 என்பதால், 0 = 0 × 12 என எழுதுவதன்மூலம் பூஜ்ஜியமும் 12 -ன் மடங்கு என்பது உண்மை. ஆகவே mRm என்பது எல்லா \(m \in Z\) -க்கும் பொருந்தும். எனவே, R தற்சுட்டாகும்.
mRn என்க. அப்பொழுது \(k,\in Z\) க்கு m-n = 12k ஆகும். இதனால் n-m=12(-k) ஆகையால் nRm ஆகும். இது R சமச்சீர் என்பதைக் காட்டுகிறது.
mRn மற்றும் nRp என்க. அதாவது ,\(k,l\in Z\) -க்கு, m–n = 12k மற்றும் n–p = 12l ஆகும். ஆகவே m – p = 12(k+l). அதாவது mRp. இது R என்பது கடப்பு தொடர் எனக் காட்டுகிறது. எனவே R என்பது சமானத் தொடர்பு ஆகும்.

A = {x : x = 4n + 1, n = 2,3,4,5} = {9,13,17,21} எனவே (n)A = 4 = n(p(A)) = 2⁴ = 16

படி  1
y = x²யின் வரைபடம் வரைக.

படி  2: y =(x-1)² ஓரலகு வலது புறத்தில் நகர்த்தப்பட்டு வரையப்படுகிறது.
படி  3:y = 3(x-1)²-ன் வரைபடம் y-அச்சை நோக்கி அழுத்தப்பட்டு அதாவது x அச்சிலிருந்து விலகுவதால் வரையப்படுகிறது. ஏனென்றால் (x-1)²ஆனது 3ஆல் பெருக்கப்பட்டு பெறப்படுகிறது.3>1
படி  4:y = 3(x-1)²+5-ன் வரைபடம் 5அலகுகள் மேல்நோக்கி நகர்வதால் பெறப்படுகிறது.

வரைபடங்கள் 1.55 மற்றும் 1.56 ஆகியவை y -அச்சு அளவீட்டில் காண்பதற்கு முன், இவை ஒன்றுபோல்  காட்சி அளிக்கின்றன. படம் 1.56 -ல் உள்ள அளவீடு மூலச் சார்பினை (படம்1.55) நான்கால் பெருக்குவதால் y அளவீட்டை நான்கு மடங்காக மாற்றுகிறது. ஒரே அளவீட்டில் இந்தச் சார்புகளை ஒரே தளத்தில் வரைபடங்களாக வரைந்தால் படம்1.57 -ன் படி வேறுவகையில் காட்சியளிக்கிறது.
y = (4x²) - 1-ன் வரைபடம் படம் 1.58 -ல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது . படம் 1.55 மற்றும் படம் 1.58 ஆகிய இரு வரைபடங்களுக்கிடையே உள்ள வேறுபாடு கண்டுபிடிக்க இயலுமா? இங்கு x அளவீடு படம் 1.55 -ல் பயன்படுத்திய அதே நான்கின் காரணியால் மாறுபட்டுள்ளது. இந்த வேறுபாட்டைக் காண
y = (4x)²-1 ல் x = \({1\over 4}\) எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது 1² -1. அதுவே மூலச் சார்பில் (படம் 1.55) x = 1 -ஆல் பிரதியிடக் கிடைக்கும் மதிப்பு ஆகும். ஒரே தளத்தில் இரண்டு சார்புகளையும் வரையும்போது (படம் 1.59) y = (4x)² - 1 என்ற வளைவரை y -அச்சை நோக்கி நெருங்கிக் காட்சியளிக்கின்றது. இங்கு x -வெட்டுத்துண்டுகள் வெவ்வேறானாலும் y -வெட்டுத்துண்டுகளில் மாற்றம் இல்லை.

n(p(A))=1024=2¹⁰
n(p(A))=2^n(A)
\(\therefore n(A)=10\)
n(P(B))=32=2⁵
n(B)=5
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
15=10+5-n(A∩B)
n(A∩B)=15-15=0

(A∩B)' ∩ A = (A'UB')∩A = (A'∩A) U (B'∩A) = ΦU(B'∩A)
=(B'∩A)=A-B
எனவே n((A∩B)' ∩A) = n(A-B)=n(A) - (A∩B)=7

n(p(A)) - ஐக் காண n(A) தேவைப்படும்.
n(A∩B) = k என்க.
எனவே, n(A-B) = 2k மற்றும் n(B-A) = 4k ஆகும்
இந்நிலையில், n(AUB) = n(A-B) + n(B-A) + n(A∩B) = 7k
மேலும் n (AUB) = 14 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
இதனால் 7k = 14, k = 2 ஆகும்
ஆகையால், n (A-B) = 4 மற்றும் n(B - A) = 8
n(A) = n(A - B) + n(A∩B) என்பதால் n(A) = 6
எனவே n(P(A)) = 2⁶ = 64

அனைத்து \(a \in S\) க்கும், \((a, a)\in R\) என்பதால் R ஆனது தற்சுட்டாகும்.
\((b,a)\notin R\) என்பதுபோல் அமையுமாறு \((a,b)\in R\)  என எந்த உறுப்பும் இல்லை. வேறு விதமாகக் கூறினால் ஒவ்வொரு உறுப்பு \((a,b)\in R\) க்கும் \((b,a)\in R\) எனக் கூற முடியும். இதனால் R ஆனது சமச்சீராகும்.
\((a,c)\notin R\) எனுமாறு (a, b) மற்றும் (b, c)ஆகிய இரு உறுப்புகளை R-ல் காண இயலாது. இதனால் R ஆனது ”கடப்பு அல்ல” என்பது உண்மையன்று. எனவே “R ஆனது கடப்பு ஆகும்” என்ற கூற்று உண்மையாகும். எனவே R ஆனது கடப்பு ஆகும்.
இதனால் R ஆனது தற்சுட்டு, சமச்சீர், கடப்புத் தொடர்பு  ஆகும். எனவே கொடுக்கப்பட்ட தொடர்பு சமானத் தொடர்பாகும்.

\(f(x)={\sqrt{4-x^3}\over \sqrt{x^2-9}}\)
x=2  எனில் f(x)= \({\sqrt{4-2^2}\over \sqrt{2^2-9}}={\sqrt{0}\over \sqrt{-5}}={0\over \sqrt{-5}}=0\)
x=-2 எனில் f(x)=\({\sqrt{4-(-2)^2}\over \sqrt{(-2)^2-9}}={{0}\over \sqrt{-5}}=0\)
x=ன் மற்ற எல்லா மதிப்புகளுக்கும் குறை எண்களின் வர்க்க மூலமாக கிடைப்பதால் அது சார்பாகாது. எனவே மீப்பெரு சார்பகம்=\(\varphi \)

1. y = | x - 1 | + 1

வரைபடம் ஓரலகு வலப்புறமாக மேல்நோக்கி நகர்வதால் பெறப்படுகிறது.
2. y = | x + 1 | - 1

வரைபடம் ஓரலகு இடப்புறமாக கீழ்நோக்கி  நகர்வதால் பெறப்படுகிறது.
3. y = | x + 2 | + 3

வரைபடம் 2 அலகுகள் இடது புறமாக மற்றும் 3அலகுகள் கீழ்ப்புறமாக நகர்த்துவதால் பெறப்படுகிறது.

X = {a, b, c, d}
R = {{a, a}, {b, b} {a, c}}
(i) தற்சுட்டு
(c, c), (d, d) R - ல் சேர்க்கப்பட வேண்டும்
(ii) சமச்சீர்
(c, a) R- ல் சேர்க்கப்பட வேண்டும்
(iii) கடப்பு
R ஒரு கடப்புத் தொடர்பு ஆக இருக்க R-ல் (c,d),(a,d)இருக்க வேண்டும்.
(iv) சமானத் தொடர்பு
{(c, c),  (d, d), (c, a)}