A x (B∩C) = (A x B) ∩ (A x C)
U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,3}
B={4,5,6,7},C={4,3,5,9}என்க.
L.H.S=A x (B∩C)
(B∩C)={4,5}
A x (B∩C)={1,2,3} x {4,5}
={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}........(1)
R.H.S=(A x B)∩(A x C)
A x B = {1,2,3} x {4,5,6,7}
={(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7)}
A x C = {1,2,3} x {4,3,5,9}
={(1,4),(1,3),(1,5),(1,9),(2,4),(2,3),(2,5),(2,9),(3,4),(3,3),(3,5),(3,9)}
(A x B) ∩ (A x C) ={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}.......(2)
\(\therefore L.H.S=R.H.S.\) நிரூபிக்கப்பட்டது.

m – m = 0 என்பதால், 0 = 0 × 12 என எழுதுவதன்மூலம் பூஜ்ஜியமும் 12 -ன் மடங்கு என்பது உண்மை. ஆகவே mRm என்பது எல்லா \(m \in Z\) -க்கும் பொருந்தும். எனவே, R தற்சுட்டாகும்.
mRn என்க. அப்பொழுது \(k,\in Z\) க்கு m-n = 12k ஆகும். இதனால் n-m=12(-k) ஆகையால் nRm ஆகும். இது R சமச்சீர் என்பதைக் காட்டுகிறது.
mRn மற்றும் nRp என்க. அதாவது ,\(k,l\in Z\) -க்கு, m–n = 12k மற்றும் n–p = 12l ஆகும். ஆகவே m – p = 12(k+l). அதாவது mRp. இது R என்பது கடப்பு தொடர் எனக் காட்டுகிறது. எனவே R என்பது சமானத் தொடர்பு ஆகும்.

சேர்ப்பு முறையாக வரையறுக்கட்டுள்ளதா எனச் சோதிக்க இச்சார்புகளின் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகத்தைக் கண்டறிவோம்.
f-ன் சார்பகம் ={1,3,4}
f-ன் சார்பகம் ={2,5}
g-ன் சார்பகம் ={1,2,5}
g-ன் வீச்சகம் ={1,3}
g-ன் சர்பகத்தினுள் f-ன் வீச்சகம் இருப்பதால் gof-ஐ வரையறுக்க இயலும். எனவே gof -ன் கீழ் 1-ன் பிம்பத்தைக் காண முதலில் f -ன் கீழ் 1-ன் பிம்பத்தையும் பிறகு கிடைக்கப்பெற்ற பிம்பத்தை g-ன் கீழும் காண வேண்டும். f-ன் கீழ் 1-ன் பிம்பம் 3 மற்றும் g-ன் கீழ் 3-ன் பிம்பம் 1.
எனவே (gof)(1)=g(f(1))=g(2)=1. 

படி  1
y = x²யின் வரைபடம் வரைக.

படி  2: y =(x-1)² ஓரலகு வலது புறத்தில் நகர்த்தப்பட்டு வரையப்படுகிறது.
படி  3:y = 3(x-1)²-ன் வரைபடம் y-அச்சை நோக்கி அழுத்தப்பட்டு அதாவது x அச்சிலிருந்து விலகுவதால் வரையப்படுகிறது. ஏனென்றால் (x-1)²ஆனது 3ஆல் பெருக்கப்பட்டு பெறப்படுகிறது.3>1
படி  4:y = 3(x-1)²+5-ன் வரைபடம் 5அலகுகள் மேல்நோக்கி நகர்வதால் பெறப்படுகிறது.

y = sin x என்ற வளைவரையை இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் விரிதலைப் பயன்படுத்தி இவ்வளைவரையை வரைய இயலும் என்பது புலனாகிறது. முதலில் y = sin x என்பதன் வளைவரையை வரைவோம். இதிலிருந்து y = sin(x-1) -ஐ எளிதாக வரையலாம். பிறகு
y = 2sinx(x-1) -ன் வளைவரையை வரைந்து இறுதியாக y = 2sin(x-1)+3 என்பதன் வளைவரையை வரையலாம்

வரைபடங்கள் 1.55 மற்றும் 1.56 ஆகியவை y -அச்சு அளவீட்டில் காண்பதற்கு முன், இவை ஒன்றுபோல்  காட்சி அளிக்கின்றன. படம் 1.56 -ல் உள்ள அளவீடு மூலச் சார்பினை (படம்1.55) நான்கால் பெருக்குவதால் y அளவீட்டை நான்கு மடங்காக மாற்றுகிறது. ஒரே அளவீட்டில் இந்தச் சார்புகளை ஒரே தளத்தில் வரைபடங்களாக வரைந்தால் படம்1.57 -ன் படி வேறுவகையில் காட்சியளிக்கிறது.
y = (4x²) - 1-ன் வரைபடம் படம் 1.58 -ல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது . படம் 1.55 மற்றும் படம் 1.58 ஆகிய இரு வரைபடங்களுக்கிடையே உள்ள வேறுபாடு கண்டுபிடிக்க இயலுமா? இங்கு x அளவீடு படம் 1.55 -ல் பயன்படுத்திய அதே நான்கின் காரணியால் மாறுபட்டுள்ளது. இந்த வேறுபாட்டைக் காண
y = (4x)²-1 ல் x = \({1\over 4}\) எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது 1² -1. அதுவே மூலச் சார்பில் (படம் 1.55) x = 1 -ஆல் பிரதியிடக் கிடைக்கும் மதிப்பு ஆகும். ஒரே தளத்தில் இரண்டு சார்புகளையும் வரையும்போது (படம் 1.59) y = (4x)² - 1 என்ற வளைவரை y -அச்சை நோக்கி நெருங்கிக் காட்சியளிக்கின்றது. இங்கு x -வெட்டுத்துண்டுகள் வெவ்வேறானாலும் y -வெட்டுத்துண்டுகளில் மாற்றம் இல்லை.

n(p(A))=1024=2¹⁰
n(p(A))=2^n(A)
\(\therefore n(A)=10\)
n(P(B))=32=2⁵
n(B)=5
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
15=10+5-n(A∩B)
n(A∩B)=15-15=0

\({1\over 2\cos\ x-1}\) -ன் வீச்சகம் -1\(\le \cos x \le 1\)
\(\Rightarrow -2\le2 \cos x\le2\)
\(\Rightarrow -2-1\le2 \cos x-1\le2-1\)
\(\Rightarrow -3\le2 \cos x-1\le1\)
\(\Rightarrow {-1\over3}>{1\over 2 \cos x-1}>{1\over1}\)
\(\Rightarrow {-1\over3}>f(x)>{1}\)
\(\therefore f(x)-\) ன் வீச்சகம் \((-\infty,{-1\over3}]\cup[1, \infty)\)

\(f(x)={\sqrt{4-x^3}\over \sqrt{x^2-9}}\)
x=2  எனில் f(x)= \({\sqrt{4-2^2}\over \sqrt{2^2-9}}={\sqrt{0}\over \sqrt{-5}}={0\over \sqrt{-5}}=0\)
x=-2 எனில் f(x)=\({\sqrt{4-(-2)^2}\over \sqrt{(-2)^2-9}}={{0}\over \sqrt{-5}}=0\)
x=ன் மற்ற எல்லா மதிப்புகளுக்கும் குறை எண்களின் வர்க்க மூலமாக கிடைப்பதால் அது சார்பாகாது. எனவே மீப்பெரு சார்பகம்=\(\varphi \)

கொடுக்கப்பட்டது : f(x)=x³ g(x)=\({ x^{1\over3}}\)
இப்பொழுது  fog(x)=f(g(x))= \(f(x^{3\over3})=(x^3)^{1\over3}=x\)

fog(x)=x ஆனது y=x நேர்கோட்டைப் பொறுத்து சமச்சீராக இருக்கும் g(x) ஆனது f(x)-ன் நேர் மாறாகும்.
\(\therefore g(x)=f'(x).\)