L.H.S = a(cos B + cos C)
= \(a\left[ \frac { { c }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ 2ac } +\frac { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } }{ 2ab } \right] \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { { c }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ c } +\frac { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } }{ b } \right] \) (கொசைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி)
= \(\frac { 1 }{ 2bc } \) (bc² + a²b - b³ + a²c + b²c - c³)
= \(\frac { 1 }{ 2bc } \) [-(b³ + c³) + (a²b + a²c) + bc² + b²c]
= \(\frac { 1 }{ 2bc } \) [-(b + c) +(b² - bc - c²) + a²(b + c) + bc(b + c)]
= \(\frac { b+c }{ 2bc } \) [- b² + bc - c² + a² + bc]
= \(\frac { b+c }{ 2bc } \) (a² - b² - c² + 2bc)
= \(\frac { \left( b+c \right) }{ 2bc } \) [(a + b - c) + (a - b + c)]
= \(\left( \frac { b+c }{ 2bc } \right) \) [(2s - 2c) (2s - 2b)]
= \(\frac { b+c\left( 4 \right) }{ 2bc } \) [(s - c) (s - b)]
= 2(b + c) \(\left[ \frac { \left( s-b \right) \left( s-c \right) }{ bc } \right] \)
= 2(b + c) sin² \(\frac { A }{ 2 } \) = R.H.S. எனவே நீருபிக்கப்பட்டது.

P(n) : \((r(cos\theta+isin\theta))^{n}=r^{n}(cosn \theta+isinn\theta)\)என்க.
n = 1 எனப் பிரதியிட
P(1)=\((r(cos\theta+isin\theta))^{1}=r(cos\theta+isinn\theta)\)
எனவே P(1) என்பது உண்மை.இந்த கூற்று n=k-க்கு P(k) என்பது உண்மை எனக் கொள்க. எனவே
\((r(cos\theta+isin\theta))^{k}=r^{k}(cosk\theta+isinnk\theta)\)
இப்பொழுது P(k+1) என்பது உண்மை என நிறுவவேண்டும்.
P(k+1)=\((r(cos\theta+isin\theta))^{k+1}\)
=\((r(cos\theta+isin\theta))^{k}=r(cos\theta+isinn\theta)\)
=\(r^{k}(cosk\theta+isink\theta)\times r(cos\theta+isin\theta)\)
=\(r^{k+1}\times((cosk\theta cos\theta+i^{2}sink\theta sin\theta)\times i(sin\theta cos\theta+cos\theta sin\theta))\)
=\(r^{k+1}\times((cosk\theta cos\theta-sink\theta sin\theta)+ i(sin\theta cos\theta+cos\theta sin\theta))\)
=\(r^{k+1}\times(cos({k+1})\theta+isin(k+1)\theta)\)
ஆகவே, P(k+1)என்பது உண்மை. P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம். எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி எந்த ஒரு இயல் எண் n-க்கும்,
\((r(cos\theta+isin\theta))^{n}=r^{n}(cos\theta+isinn\theta)\).

y=m₁s,y=m₂x என்பன ஆதிப்புள்ளி வழியே செல்லும் கோடுகளின் சமன்பாடுகள் என்க 

\(m=tan \theta \Rightarrow {-1\over-1}=1\)
\(\theta=45^o\)
\(\therefore y=x\) என்ற கோடு X அச்சுடன் 45^o கோணத்தை ஏற்படுத்துகிறது. 
y= m₁x,y=xஎன்ற கோட்டுடன் \(\alpha\) கோணத்தை உண்டாக்குகிறது.
y= m₁x-ன் சாய்வு(\(\alpha\)+45)^o
y= m₂x-ன் சாய்வு(45-\(\alpha\)')
\(\therefore m_1=\tan(\alpha'+45)\)
m₂=tan(45-\(\alpha\))
\(\Rightarrow m_{ 1 }=\frac { tan\alpha +tan45 }{ 1-tan\alpha -tan45 } \) மற்றும் \( m_{ 2 }=\frac { tan45 -tan\alpha }{ 1+tan\ 45 -tan\alpha } \)
\(\Rightarrow m_{ 1 }=\frac { tan\alpha +1 }{ 1-tan\alpha } \),மற்றும் \( m_{ 2 }=\frac {1 -tan\alpha }{ 1+tan\alpha } \)....(1)
\(\Rightarrow m_{ 1 }=\frac { tan\alpha +1 }{ 1-tan\alpha } m_{ 2 }=\frac { 1-tan\alpha }{ 1+tan\alpha } \)
\(\Rightarrow m_{ 1 }+m_{ 2 }=\frac { tan\alpha +1 }{ 1-tan\alpha } +\frac { 1-tan\alpha }{ 1+tan\alpha } \)
\(\Rightarrow m_{ 1 }+m_{ 2 }=\frac { (tan\alpha +1)^{ 2 }+(tan\alpha -1)^{ 2 } }{ 1-tan^{ 2 }\alpha } \)

\(=\frac { 2+2tan^{ 2 }\alpha }{ 1-tan^{ 2 }\alpha } \left[ cos2\alpha =\frac { 1-tan^{ 2 }\alpha }{ 1+tan^{ 2 }\alpha } \right] \)
\(m_{ 1 }+m_{ 2 }=2sec2\alpha \)
\(m_{ 1 }+m_{ 2 }=\left( \frac { tan\alpha +1 }{ 1-tan\alpha } \right) \left( \frac { 1-tan\alpha }{ 1+tan\alpha } \right) =1\)
y= m₁x,y=m₂x-ன் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள் 
\(\Rightarrow\)m₁ m₂x² -(m₁ + m₂)xy+ y² = 0
\(\Rightarrow\)1 (x²) - (2 sec²\(\alpha\)) xy +y² = 0
\(\Rightarrow\)x² - 2xy sec2\(\alpha\)+y² = 0
\(\Rightarrow\)y² - 2xy sec2\(\alpha\)+x² = 0

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

log₂x-3log_1/2x = 6
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ { \log }_{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ { \log }_{ x }^{ 1 }-{ \log }_{ x }^{ 2 } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ 0-{ \log }_{ x }^{ 2 } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -(4)=6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } =\frac { 6 }{ 4 } =\frac { 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow { \log }_{ x }^{ 2 }=\frac { 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ \frac { 3 }{ 2 } }=x\)
\(\Rightarrow (2^{ 3 })1/2=x\Rightarrow (8)^{ 1/2 }=x\)
\(\Rightarrow x=\sqrt { 8 } =\sqrt { 4\times 2 } \)
\(\Rightarrow x=2\sqrt { 2 } .\)

\(\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ 2n-1 } } \left( \frac { 1 }{ { 9 }^{ n-1 } } +\frac { 1 }{ { 9 }^{ 2n-1 } } \right) \) கொடுக்கப்பட்டுள்ள தொடர்
=\(\overset { \infty }{ \underset { n=1 }{ \Sigma } \frac { 1 }{ 2n-1 } } \left[ \frac { 9 }{ 9^{ n } } +\frac { 9 }{ 9^{ 2n } } \right] \)
=9\(\left[ \left( \frac { 1 }{ 9 } +\frac { 1 }{ { 9 }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ 9 } \right) ^{ 2 }+\frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ 9 } \right) ^{ 4 }+\frac { 1 }{ 5 } \left( \frac { 1 }{ 9 } \right) +.... \right] \)
=9\(\left[ \left( \frac { 1 }{ 9 } \right) +\frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ 9 } \right) ^{ 2 }+\frac { 1 }{ 5 } \left( \frac { 1 }{ 9 } \right) ^{ 3 } \right] +9\left[ \frac { 1 }{ 9^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ 9 } \right) ^{ 4 }+.... \right] \)
=\(9\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) \left[ \frac { 1 }{ 3 } +\frac { \left( \frac { 1 }{ 3 } \right) ^{ 3 } }{ 3 } +\frac { \left( \frac { 1 }{ 3 } \right) ^{ 5 } }{ 3 } +.... \right] +9\left( \frac { 1 }{ 9 } \right) \left[ \frac { 1 }{ 9 } +\frac { \left( \frac { 1 }{ 9 } \right) ^{ 3 } }{ 3 } +\frac { \left( \frac { 1 }{ 9 } \right) ^{ 5 } }{ 5 } \right] \)
=\(\frac { 3 }{ 2 } \left[ \log\left( \frac { 1+\frac { 1 }{ 3 } }{ 1-\frac { 1 }{ 3 } } \right) \right] +\frac { 1 }{ 2 } \log\left( \frac { 1+\frac { 1 }{ 9 } }{ 1-\frac { 1 }{ 9 } } \right) \)
=\(\frac { 3 }{ 2 } \log2+\frac { 1 }{ 2 } \log\left( \frac { 5 }{ 4 } \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left[ \log2^{ 3 }+\log\frac { 5 }{ 4 } \right] \)
=\(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \log8+\log\frac { 5 }{ 4 } \right] \)
\(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \log8\times \frac { 5 }{ 4 } \right] =\frac { 1 }{ 2 } \log10=\frac { 1 }{ 2 } \log_{ e }10\).

ஒன்றுக்கொன்று: f(x)=f(y) என்க.இதனால் 2x-3=2y-3; இதிலிருந்து 2x=2y.எனவே x=y அதாவது f(x)=f(y) எனில் x=y.எனவே f என்பது ஒன்றுக்கொன்று
மேற்கோர்த்தல்: y∈R என்க.\(x={y+3\over 2}\)என்க.எனவே \(f(x) = 2\left(y+3\over2\right)-3=y\) இதனால் f என்பது மேற்கோர்த்தல் ஆகும். (அல்லது) f -ன் வீச்சகம் தெளிவாக R ஆகும். (எவ்வாறு?) அதாவது வீச்சகமும் துணைச்சார்பகமாகவும் சமமாக இருப்பதால் f மேற்கோர்த்தல் ஆகும்.
நேர்மாறு: y=2x-3 என்க.எனவே y+3=2x.அதனால் \(x={y+3\over2}\)அதாவது \(f^{-1}(y)={y+3\over2}\)இப்போது y -ஐ x -ஆல் மாற்ற \(f^{-1}(x)={x+3\over2}\)எனக் கிடைக்கும்.
வழிமுறை – 2
y = 2x – 3 என்க . எனவே \(x={y+3\over 2}\), \(g (y)={y+3\over 2}\) என்க
இப்போது,  (g o f )(x) = g(f (x)) = g(2x  – 3) \(={(2x – 3)+3\over 2} = x \)
(f o g )(y ) = f (g (y)) = \(f ={y+3\over 2}\)\(f(x) = 2\left(y+3\over2\right)-3=y\)
ஆகையால் , g o f = I_X மற்றும் f o g = I_Y .
f மற்றும் g ஆகியவை இருபுறச்சா ர்புகள் என்பதும் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறு என்பதும் இதன்மூலம் தெளிவாகிறது. எனவே f என்பது இருபுறச்சார்பு மற்றும் \(f^{-1}(y)={y+3\over2}\) இதிலிருந்து y -ஐ x -ஆல் பிரதியிட \(f^{-1}(x)={x+3\over2}\)

P(n)=1²+2²+3²+....+n²> \(\frac { { n }^{ 3 } }{ 3 } \)என்க.
\(\Rightarrow\)n=1 என்க.
1>\(\frac { { 1 }^{ 3 } }{ 3 } \Rightarrow \) 1>\(\frac{1}{3}\) என்பது உண்மை
\(\therefore \)P(1) என்பது உண்மை
படி(2)
P(k) உண்மை எனக் கொள்வோம்.
\(\therefore \)1²+2²+3³+......k²>\(\frac { { k }^{ 3 } }{ 3 } \)  -------(1)
படி (3)
P(k+1) உண்மை என நிரூபிப்போம்.
1²+2²+3²+......+k²+(k+1)²>\(\frac { { (k }+1)^{ 3 } }{ 3 } \)
1²+2²+3²+.......+k²+(k+1)²
>\(\frac { { k }^{ 3 } }{ 3 } \)+(k+1)² [(1) ஐ பயன்படுத்த]
> \(\frac { { k }^{ 3 } }{ 3 } \)+k²+2k +1
>\(\frac {1}{3}\)[k³+3k²+6k+3][ (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³]
> \(\frac {1}{3}\)(k+1)³
\(\therefore \)P(k+1)-ம் உண்மை. எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + . ...n (n  + 1) = \(\frac { n\left( n+1 \right) n+2 }{ 3 } \)
படி (1) 
\(\Rightarrow\) n=1 என்க 
1.2 = \(\frac { 1(1+1)\left( 1+2 \right) }{ 3 } =\frac { 2\left( 3 \right) }{ 3 } \)
 \(\therefore \) P(1) உண்மையாகும் 
படி (2)
P(k ) உண்மை எனக்கொள்வோம் 
1.2 + 2.3 + .3.4+ .....+ k (k  + 1) = \(\frac { k\left( k+1 \right) \left( k+2 \right) }{ 3 } \)  ..... (1)
படி (3)
P(k  + 1) உண்மை என நிரூபிப்போம் 
நிரூபிக்க 1.2 + 2.3 + 3.4 +  ... + k(k  + 1) + (k  + 1) (k  + 2) = \(\frac { k\left( k+1 \right) \left( k+2 \right) \left( k+3 \right) }{ 3 } \)
LHS  = 1.2 + 2.3  + 3.4 + ...k (k  + 1) + (k  +1 ) (k  + 2)
= \(\frac { k\left( k+1 \right) \left( k+2 \right) }{ 3 } \) = (k + 1) (k  +2)  = (k  +1)(k  + 2)\(\left[ \frac { k }{ 3 } +1 \right] \)
= \(\frac { \left( k+1 \right) \left( k+2 \right) \left( k+3 \right) }{ 3 } \) = RHS 
\(\therefore \) p (k  + 1) உண்மை 
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின் படி n -ன் அணைத்து மதிப்புகளும் P(n) உண்மையாகும் என நிரூபிக்கப்பட்டது.              

LHS = \(\sin { \left( B+C-A \right) } +\sin { \left( C+A-B \right) } +\sin { \left( A+B-C \right) }\)
= sin (180-A-A)+sin(180-B-B)+sin(180-C-C)
= sin(180-2A)+sin(180-2B)+sin(180-2C)
= sin2A+sin2B+sin2C
= \(2sin\left( \cfrac { 2A+2B }{ 2 } \right) cos\left( \cfrac { 2A-2B }{ 2 } \right) +2sinCcosC\)
= 2sin(A+B).cos(A-B)+2sinC cosC
= 2sinC[cos(A-B)+cosC] \(\left( \therefore A+B+C=180^{ 0 } \right) \)
= 2sin C[cos(A-B)+cos(180°-(A+B)
= 2sinC[cos(A-B)-cos(A+B)]
= 2sin C 2sinA sin B
= 4sin A sin B sin C

LHS = \(\cos { A } +\cos { B } -\cos { C } \)
= \(2cos\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) -\left( 1-2{ sin }^{ 2 }\cfrac { C }{ 2 } \right) \)
\(A+B+C={ 180 }^{ 0 }\Rightarrow A+B=180-C\Rightarrow \cfrac { A+B }{ 2 } =90-\cfrac { C }{ 2 } \)
\(\therefore cos\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) =cos\left( 90-\cfrac { C }{ 2 } \right) =sin\cfrac { C }{ 2 } \)
LHS = \(2sin\cfrac { C }{ 2 } cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) -1+2sin\cfrac { C }{ 2 } \)
= \(2sin\cfrac { C }{ 2 } \left[ cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) +sin\cfrac { C }{ 2 } \right] -1\)
= \(-1+2sin\cfrac { C }{ 2 } \left[ cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) +cos\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) \right] \)
= \(-1+2sin\cfrac { C }{ 2 } \left[ 2cos\cfrac { A }{ 2 } .cos\cfrac { B }{ 2 } \right] \)
= \(-1+4cos\cfrac { A }{ 2 } .cos\cfrac { B }{ 2 } .sin\cfrac { C }{ 2 } \)  \(\left( \because cosC=1-2{ \sin }^{ 2 }\cfrac { C }{ 2 } =90-\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) \right) \)
= RHS. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. 

sinθ + cosθ = m எனத் தரப்பட்டுள்ளது
LHS = cos⁶θ + sin⁶θ 
= (cos²θ)³ + (sin²θ)³ ∴ a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
= (cos²θ + sin²θ) (cos⁴θ - cos²θ sin²θ + sin⁴θ)
= 1. ((cos²θ)² + (sin²θ)² - cos²θ sin²θ)   [∵ cos²θ + sin²θ =1]
= ((cos²θ + sin²θ)² - 3 cos²θ sin²θ)  ∴ a² + b² = (a + b)² -2ab
= 1 - 3 cos²θ sin²θ
RHS = \(\frac { 4-3{ \left( { m }^{ 2 }-1 \right) }^{ 2 } }{ 4 } \)
= \(\frac { 4-3{ \left( { \left( \cos { \theta } +\sin { \theta } \right) }^{ 2 }-1 \right) }^{ 2 } }{ 4 } \)        ∵ 1 = cos²θ + sin²θ
 = \(\frac { 4-3{ \left( \cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } +2\cos { \theta } \sin { \theta } -\left( \cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } \right) \right) }^{ 2 } }{ 4 } \)
= \(\frac { 4-3{ \left( 2\cos { \theta } \sin { \theta } \right) }^{ 2 } }{ 4 } =\frac { 4-12\cos ^{ 2 }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } }{ 4 } \)
= 1 - 3 cos²θ sin²θ  = LHS
⇒ ∴ LHS = RHS

b²x² - a²y² = a²b² எனக் காட்டுக. இங்கு θ என்பது ஒரு துணையலகு மாறி ஆகும்.
\(\Rightarrow h=\frac { a }{ 2 } (cosec\theta +sin\theta ),k=\frac { b }{ 2 } (cosec\theta -sin\ \theta )\)எனக்  கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\Rightarrow \frac { 2h }{ a } =cosec\theta +sin\theta \) மற்றும் \(\frac { 2k }{ b } =cosec\theta -sin\theta \) இவற்றை வர்க்கப்படுத்தி கழிக்க
\(\Rightarrow { \left( \frac { 2h }{ a } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 2k }{ b } \right) }^{ 2 }={ (cosec\theta +sin\theta ) }^{ 2 }-{ (cosec\theta -sin\theta ) }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \frac { { 4h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { 4k }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } ={ cosec }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta +2cosec\theta .sin\ \theta -({ cosec }^{ 2 }\theta -2cosec\theta .sin+{ sin }^{ 2 }\theta )\)

\(\Rightarrow \frac { { 4h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { 4k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =4cosec\theta sin\ \theta \)
\(4\left( \frac { { h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } \right) =4\)
                       
4 ஆல் வகுக்க
\(\Rightarrow \frac { { h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow\) b² h² -a²k² = a²b²
\(\therefore\) P (h, k)-ன் நியமப்பாதை b² x² - a² y² = a² b²

A = { a, b, c } என்க
(i)R={(a,a),(b,b),(c,c)}
R ஒரு தற்சுட்டு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்புத் தொடர்பு 
R ஒரு சமானத் தொடர்பு ஆகும்.
n(R)=A ன் மீதான மிகச்சிறிய செவ்வெண்மையுடைய சமானத் தொடர்பு  n(R)=3
(ii) R={(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)}என்க 
R ஒரு தற்சுட்டு \(\because (a,a),(b,b),(c,c)\in R\)
R ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு 
\(\because (a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\)
\((b,c)\in R \Rightarrow (c,b)\in R\)
\((c,a)\in R\Rightarrow (a,c)\in R\)
R ஒரு கடப்புத் தொடர்பு 
\(\because (a,b),(b,c)\in R\Rightarrow(a,c)\in R\)
\(\therefore R\) என்பது A -ன் மீதான மிகப்பெரிய செவ்வெண்மையுடைய சமானத் தொடர்பு ஆகும்.
n(R)=9.

f(x)=f(y) என எடுத்துக்கொள்வோம். எனவே
\({x\over x^2-1}={y\over y^2-1}\)
⇒ x(y²– 1) = y( x² – 1)
⇒ xy² - x - yx² + y = 0
⇒ (y-x) (xy+1)=0
இதிலிருந்து x = y அல்லது xy = -1. எனவே xy = -1 என்றவாறு x மற்றும் y என்ற இரு எண்களை நாம் தேர்ந்தெடுத்தால் அப்பொழுது f(x) = f(y) என கிடைக்கும்.
\(\left(2,-{1\over2}\right),\left(7,-{1\over7}\right),\left(-2,{1\over 2}\right)\)என எண்ணற்ற பல உறுப்புகள் xy = -1 எனக் கிடைக்கும்.அதாவது \(f(2)=f\left(-1\over2\right)={2\over3}\)ஆகும்.இது f(x)=f(y) ⇒ x = y என்ற நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யாததால், f ஒன்றுக்கொன்றானது அல்ல