\(\int { sec\ xdx=\int { \frac { sec\ x(sec\ x+tan\ x) }{ sec\ x+tan\ x } dx=\int { \frac { { sec }^{ 2 }x+secx+tanx }{ sec\ x+tan\ x } dx } } } \) என்க.
sec x +tan x=u எனில் (sec² x+sec x tan x)dx = du
ஆகவே, \(I=\int { \frac { 1 }{ u } du=log|u|+c=log|sec\ x+tan\ x|+ } c \)
 எனில், \(\int { sec\ xdx=log|sec\ x+tan\ x|+c } \)
 

P(A) = 0.15, P(B) = 0.30, P(C) = 0.43, P(D) = 0.12
P(A) = 0.15. P(B) = 0.30,
 P(C) = 0.43, P(D) = 0.12
P(A), P(B), P(C) மற்றும் P(D) ≥ 0
மேலும் P(S) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)
= 0.15 + 0.30 + 0.43 + 0.12 = 1
∴நிகழ்தகவு சாத்தியம்.

\(y={ e }^{ -mx }\)
\(u=-mx\Rightarrow y=e^{ u }\)என்க
\(\therefore \frac { du }{ dt } =-m\)மற்றும்\(\frac { dy }{ du } =e^{ u }\)
\(\therefore \frac { dy }{ du } =\frac { dy }{ du } \times \frac { du }{ dx } =e^{ u }\times (-m)=-me^{ u }\)
\(=-me^{ -mx }\ [\because u=-mx]\)
\(=-my\ [\because y=e^{ -mx }]\)

\(g^{ ' }(t)=9\left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) ^{ 9-1 }\frac { d }{ dt } \left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) \)
\(=9\left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) ^{ 8 }\left[ \frac { (2t+1)\frac { d }{ dt } (t-2)-(t-2)\frac { d }{ dt } (2t+1) }{ { (2t+1) }^{ 2 } } \right] \)
\(=9\left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) ^{ 8 }\left[ \frac { (2t+1)\times 1-(t-2)\times 2 }{ { (2t+1) }^{ 2 } } \right] \)
\(=9\left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) ^{ 8 }\left[ \frac { 2t+1-2t+4 }{ { (2t+1) }^{ 2 } } \right] \)
\(=\frac { 45(t-2{ ) }^{ 8 } }{ { (2t+1) }^{ 10 } } \)

\(|\vec { a } |\)=5, \(|\vec { b } |\)=6, \(|\vec { c } |\)=7
\(\vec { a } +\vec { b } +\vec { c } \)=0
\(|\vec { a } +\vec { b } +\vec { c } |=|\vec { a } |^{ 2 }+|\vec { b } |^{ 2 }+|\vec { c } |^{ 2 }+2(\vec { a } .\vec { b } )+2(\vec { b } .\vec { c } )+2(\vec { c } .\vec { a } )=0\)
=25+36+49+2\((\vec { a } .\vec { b } +\vec { b } .\vec { c } +\vec { c } .\vec { a } )\)=0
⇒ 110 +(\(\vec { a } .\vec { b } +\vec { b } .\vec { c } +\vec { c } .\vec { a } \))=0
⇒ 2(\(\vec { a } .\vec { b } +\vec { b } .\vec { c } +\vec { c } .\vec { a } \))=-110
⇒ \(\vec { a } .\vec { b } +\vec { b } .\vec { c } +\vec { c } .\vec { a } \)=-55

A  = \(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } \end{matrix} \right] \)
aij = i - j,
a₁₁ = 1 - 1 = 0
a₁₂ = 1 -2 = -1
a₁₃ = 1 - 3 = -2
a₂₁ = 2 - 1 = 1
a₂₂ = 2 - 2 = 0
a₂₃ = 2 - 3 = -1
a₃₁ = 3 - 1 = 2
a₃₂ = 3 - 2 = 1
a₃₃ = 3 - 3 = 0
\(\therefore \)  A = \(\left[ \begin{matrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \)
A^T = \(\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \end{matrix} \right] \)= -A  
\(\therefore \)  A என்பது ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணியாகும்  

\(\frac { { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } } =\frac { \tan { C } }{ \tan { B } } \)  = tan C cot B என நிரூபிப்போம்
L.H.S = \(\frac { { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } } =\frac { { k }^{ 2 }sin^{ 2 }{ A }-{ k }^{ 2 }sin^{ 2 }{ B }+{ k }^{ 2 }sin^{ 2 }{ C } }{ { k }^{ 2 }sin^{ 2 }{ A }+{ k }^{ 2 }sin^{ 2 }{ B }-{ k }^{ 2 }sin^{ 2 }{ C } } \)
(∵ \(\frac { a }{ \sin { A } } =\frac { b }{ \sin { B } } =\frac { c }{ \sin { C } } \) = k ⇒ a = k sinA = k sinB , c = k sinC)
= \(\frac { sin^{ 2 }{ A }-sin^{ 2 }{ B }+sin^{ 2 }{ C } }{ sin^{ 2 }{ A }-sin^{ 2 }{ C }+sin^{ 2 }{ B } } \)
= \(\frac { \sin { C } .\sin { \left( A-B \right) } +sin^{ 2 }{ C } }{ \sin { B } .\sin { \left( A-C \right) } +sin^{ 2 }{ B } } \)    (∵  A + B = 180 - C, A + C = 180 - B)
= \(\frac { \sin { C } \left[ \sin { \left( A-B \right) +\sin { C } } \right] }{ \sin { B } \left[ \sin { \left( A-C \right) } +\sin { B } \right] } \)
= \(\frac { \sin { C } \left[ \sin { \left( A-B \right) } +\sin { \left( A+B \right) } \right] }{ \sin { B } \left[ \sin { \left( A-C \right) } +\sin { \left( A+B \right) } \right] } \)
= \(\frac { \sin { C } .2\sin { A } .\cos { B } }{ \sin { B } .2\sin { A } \cos { C } } \)
= \(\frac { \sin { C } .\cos { B } }{ \cos { C } .\sin { B } } \)
= tan C. cot B = R.H.S.
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

வெட்டுத்துண்டு வடிவம் \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\)  .....(1)
கொடுக்கப்பட்டது a + b =1 \(\Rightarrow\) b = 1-a
\(\Rightarrow \frac { x }{ a } +\frac { y }{ 1-a } =1\)
(8, 3) இக்கோட்டில் மீது அமைவதால் நமக்குக் கிடைப்பது.
\(\Rightarrow \frac { 8 }{ a } +\frac { 3 }{ 1-a } =1\quad \Rightarrow \frac { 8(1-a)+3a }{ a(1-a) } =1\)
\(\Rightarrow \frac { 8-8a+3a }{ a-{ a }^{ 2 } } =1\Rightarrow 8-8a+3a=a-{ a }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \) 8 - 8a + 3a - a + a² = c
a² - 6a +8 = 0
​​​​​ \(\Rightarrow \) (a-4)(a - 2) = 0 ​​ \(\Rightarrow \) a = 4 (அ) 2
a=4 எனில் b =1 -4 = -3
a=2 எனில் b = 1 - 2 = -1
a = 4, b = -3 எனில் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு \(\frac { x }{ 4 } +\frac { y }{ -3 } =1\)
\(\Rightarrow \) -3x + 4y = -12    ((1)ன் மூலம்)
\(\Rightarrow \) -3x - 4y = 12
a =2, b = -1 எனில் \(\frac { x }{ 2 } +\frac { y }{ -1 } =1\)
\(\Rightarrow \) -x + 2y = -2 \(\Rightarrow \) x - 2y = 2

தடகள வீரர் கடக்க வேண்டிய தூரம் = 1 கிமீ 
1 கிமீ கடக்க சுற்றிய சுற்றுகள் = 5
5 x 2 r = 1 கிமீ = 1000 மீ
5 x 2 x \(\frac { 22 }{ 7 } \) x r = 1000 மீ 
r = 1000 x \(\frac { 1 }{ 10 } \times \frac { 7 }{ 22 } \) = \(\frac { 700 }{ 22 } \)
r = 31.818
ஓடு பாதையின் ஆரம் r = 31.82 மீ 

\(f(x)=\sqrt{x}\)  என்ற சார்புக்கு \(f(-x)=\sqrt{-x}.\) ஆகையால் y-அச்சைப் பொறுத்து \(f(x)=\sqrt{-x}\)-ன்  பிரதிபலிப்பு \(f(-x)=\sqrt{-x}\) ஆகும். இங்கு x < 0. 

வில்லின் நீளம் s, ஆரம் r, மையக்கோணம் \(\theta\) எனில், s = r\(\theta\)
\(\theta\) = 15° = 15 x \(\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{12}\) ஆரையன்கள்
s = r\(\theta\) \(\Rightarrow\) s = 5 x \(\frac{\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}\) செ.மீ.

x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t).
இப்போது \(\frac { dx }{ dt } =a(1-\cos { t } );\quad \frac { dx }{ dt } =a\quad \sin { t } \)
எனவே \(\frac { dy }{ dx } =\frac { \frac { dx }{ dt } }{ \frac { dx }{ dt } } =\frac { a\quad \sin { t } }{ a(1-\cos { t } ) } =\frac { \sin { t } }{ (1-\cos { t } ) } \)

x = 2 எனும் பொழுது
y = 4 - 2 = 2
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow 2 }{ f(x)=2 } \) 

ⁿC_x = ⁿC_y
¹⁵C_2r-1 = ¹⁵C_{2r + 4}  என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 
ⁿC_x = ⁿC_y  \(\Rightarrow\)  x = y  அல்லது   x+y = n
நமக்கு கிடைப்பது 2r - 1 = 2r  + 4r
1 \(\neq \)  4  ஆக இருக்க முடியாது  (அல்லது )
2r - 1 +2r + 4 = 15
4r + 3 = 15; 4r = 12
\(\Rightarrow\)  r = \(\frac { 12 }{ 4 } \) = 3
\(\therefore\)  r = 3   

x² + px + 8 = 0 -ன் மூலங்கள் \(\alpha\), \(\beta\)  என்க.
எனவே, \(\alpha\) + \(\beta\) = -p, \(\alpha\)\(\beta\) = 8 மற்றும் |\(\alpha\) - \(\beta\)| = 2
இப்போது, (\(\alpha\)+ \(\beta\))²-4\(\alpha\)\(\beta\)  = (\(\alpha\)-\(\beta\))² \(\Rightarrow\) p² - 32 = 4
ஆகவே, p = \(\pm \) 6.

{6,7,8,9,10} எனும் கணத்தின் ஒவ்வொரு உட்கணமாகிய C கணத்திற்கு, B=CU{1,2,3,5} என எடுத்துக்கொள்வோம். இங்கு A-B={4} என்கிற நிபந்தனை பொருந்தும். இதனால் X ல் உள்ள B உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையும், {6,7,8,9,10} என்கிற கணத்தின் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையும் சமம். எனவே, B உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை 2⁵ = 32

I=\(\int{\frac{x+1}{x^{2}-3x+1}}dx\) என்க
x+1=\(A\frac{d}{dx}(x^{2}-3x+1)+B\)
x+1=A(2x-3)+B
ஒத்த உறுப்புகளின் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த, 
\(2A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{2}; -3A+B=1 \Rightarrow B=\frac{5}{2}\)
I=\(\int{\frac{\frac{1}{2}(2x-3)+\frac{5}{2}}{x^{2}-3x+1}}dx\)
\(I=\frac{1}{2}\int{\frac{2x-3}{x^{2}-3x+1}dx+\frac{5}{2}\int{\frac{1}{x^{2}-3x+1}}}dx\)
=\(\frac{1}{2}\log|x^{2}+3+1|+\frac{5}{2}\int{\frac{1}{(x-\frac{3}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{5}}{2})^{2}}}dx\)
=\(\frac{1}{2}\log|x^{2}-3x+1|+\frac{5}{2}\frac{1}{2(\frac{\sqrt{5}}{2})}\log|\frac{x-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}{x-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}|\)
=\(\frac{1}{2}\log|x^{2}-3x+1|+\frac{\sqrt{5}}{2} \log|\frac{2x-3-\sqrt{5}}{2x-3+\sqrt{5}}|+c\)

H₁,H₂,H₃,H₄என்பன முறையே விமானத்தை முதல்,இரண்டாவது,மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது முறையில் துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்தும் நிகழ்ச்சி என்க.\(\overline{H}\) என்பது விமானத்தை துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்தாத நிகழ்ச்சியாகும்.
P(H₁)=0.2 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_1\))=1-P(H₁)=0.8
P(H₂)=0.4 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_2\))=1-P(H₂)=0.6
P(H₃)=0.2 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_3\))=1-P(H₃)=0.8
P(H₄)=0.1 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_4\))=1-P(H₄)=0.9
விமானம் துப்பாக்கியால் சுட்டுவீழ்த்தப்பட்டதற்கான நிகழ்தகவு 
P(H)=1-P(\(\overline{H}\))=1-P\(\overline{(H_1\cup H_2\cup H_3\cup H_4)}\)
=1-P\({(\overline H_1\cap \overline H_2\cap \overline H_3\cap \overline H_4)}\)
=1-(0.8)(0.6)(0.8)(0.9)=1-0.3456
P(H)=0.6544

\(I=\int { \frac { (2x+3) }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4x+1 } } dx } \)என்க 
\(2x+3=A.\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 2 }+4x+1)+B\)
\(\Rightarrow 2x+3=A(2x+4)+B\)
x மற்றும் மாறிலி உறுப்புகளின் கெழுக்களை சமப்படுத்த
\(2=2A\Rightarrow A=1\)
மற்றும் 3 = 4A +B 
\(\Rightarrow 3=4+B\Rightarrow 3-4=B\Rightarrow B=-1\)
\(\therefore 2x+3=1(2x+4)-1\)
\(\therefore I=\int { \frac { (2x+3) }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4x+1 } } } dx-\int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4x+1 } } } \)
\(=2\sqrt { { x }^{ 2 }+4x+1 } -\int { \frac { dx }{ \sqrt { x^{ 2 }+4x+4-4+1 } } } \)
\(=2\sqrt { { x }^{ 2 }+4x+1 } -\int { \frac { dx }{ \sqrt { { (x+2) }^{ 2 }-(\sqrt { 3 } )^{ 2 } } } } \)
\(2\sqrt{x^{2}+4x+1}-\log|+2+\sqrt{x^{2}+4x+1}|+c\)
\([\because \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } =\log|x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } |+C]\)

\(\frac { { 4\sqrt { 2 } -(\cos { x } +\sin { x) } }^{ 5 } }{ 1-\sin { 2x } } =\frac { { 2 }^{ \frac { 5 }{ 2 } }-{ \left[ (\cos { x } +\sin { x) } ^{ 2 } \right] }^{ \frac { 5 }{ 2 } } }{ 1-\sin { 2x } } \)
\(=\frac { { 2 }^{ \frac { 5 }{ 2 } }-{ (1+\sin { 2x) } }^{ \frac { 5 }{ 2 } } }{ 2-(1+\sin { 2x } ) } \)
 எனவே \(\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ { \frac { { 2 }^{ \frac { 5 }{ 2 } }-{ \left[ (\cos { x } +\sin { x) } ^{ 2 } \right] }^{ \frac { 5 }{ 2 } } }{ 1-\sin { 2x } } } } =\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ { \frac { { 2 }^{ \frac { 5 }{ 2 } }-{ (1+\sin { 2x) } }^{ \frac { 5 }{ 2 } } }{ 2-(1+\sin { 2x } ) } } } \)
 \(y=1+\sin { 2x } \) என்க. \(x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } \) எனில் \(y\rightarrow 2\)
\(=\lim _{ y\rightarrow 2 }{ \frac { { 2 }^{ \frac { 5 }{ 2 } }-{ y }^{ \frac { 5 }{ 2 } } }{ 2-y } } \) 
\(=\frac { 5 }{ 2 } .{ 2 }^{ \frac { 5 }{ 2 } -1 }=\frac { 5 }{ 2 } \times { 2 }^{ \frac { 3 }{ 2 } }=5\sqrt { 2 } .\)

\(C(t)=\frac { 30t }{ 200+t } \)

\(=\lim _{ t\rightarrow \infty }{ \frac { 30 }{ 1+\frac { 200 }{ t } } =\frac { 30 }{ 0+1 } =30 } \)
[\(\therefore\)t \(\rightarrow\)\(\infty \) எனில் \(\frac { 1 }{ t } \rightarrow 0\)]
t\(\rightarrow\)\(\infty \) எனில் உவர்நீரின் அடர்த்தி 30 கிராம் ஆகும்.

ΔABC-யின் முனைப்புள்ளிகள் A, B, C-யின் நிலை ​​​​​​வெக்டர்கள் \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்க.

D, E, F என்பன \(\vec { BC } ,\vec { CA } ,\vec { AB } \) என்ற பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்.
∴ \(\vec { OD } =\frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } \)
\(\vec { OE } =\frac { \vec { a } +\vec { c } }{ 2 } \)
\(\vec { OF } =\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } \)
\(\vec { AD } +\vec { BE } +\vec { CF } =\vec { 0 } \) என நிருபிக்க.
\(LHS = \vec { AD } +\vec { BE } +\vec { CF } \)
=\(\vec { OD } -\vec { OA } +\vec { OE } -\vec { OB } +\vec { OF } -\vec { OC } \)
=\(\frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } -\vec { a } +\frac { \vec { a } +\vec { c } }{ 2 } -\vec { b } +\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } -\vec { c } \)

=\(\frac { \vec { 0 } }{ 2 } =\vec { 0 } \) = RHS.
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

பரிசுப் பைகளை ஓர் அணி வடிவில் எழுத
k  = \(\frac { 1 }{ 50 } \)
விலை B  = [50 10  60]
பரிசுப் பைகளின் விலை  = B (kA )
=  [50 10  60] \(\left( \frac { 1 }{ 50 } \left[ \begin{matrix} I & II & III \\ 100 & 200 & 250 \\ 100 & 100 & 250 \\ 50 & 100 & 150 \end{matrix} \right] \right) \)
BA  = [50 10  60] \(\left[ \begin{matrix} I & II & III \\ 2 & 4 & 5 \\ 2 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 100+ & 20+ & 60 \\ 200+ & 20+ & 120 \\ 250+ & 50+ & 180 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 180 \\ 340 \\ 480 \end{matrix} \right] \)
பை I = Rs 180
பை II = Rs 340
பை III = Rs 480 ஆகும்.  

L.H.S = a(cos B + cos C)
= \(a\left[ \frac { { c }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ 2ac } +\frac { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } }{ 2ab } \right] \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { { c }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ c } +\frac { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } }{ b } \right] \) (கொசைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி)
= \(\frac { 1 }{ 2bc } \) (bc² + a²b - b³ + a²c + b²c - c³)
= \(\frac { 1 }{ 2bc } \) [-(b³ + c³) + (a²b + a²c) + bc² + b²c]
= \(\frac { 1 }{ 2bc } \) [-(b + c) +(b² - bc - c²) + a²(b + c) + bc(b + c)]
= \(\frac { b+c }{ 2bc } \) [- b² + bc - c² + a² + bc]
= \(\frac { b+c }{ 2bc } \) (a² - b² - c² + 2bc)
= \(\frac { \left( b+c \right) }{ 2bc } \) [(a + b - c) + (a - b + c)]
= \(\left( \frac { b+c }{ 2bc } \right) \) [(2s - 2c) (2s - 2b)]
= \(\frac { b+c\left( 4 \right) }{ 2bc } \) [(s - c) (s - b)]
= 2(b + c) \(\left[ \frac { \left( s-b \right) \left( s-c \right) }{ bc } \right] \)
= 2(b + c) sin² \(\frac { A }{ 2 } \) = R.H.S. எனவே நீருபிக்கப்பட்டது.

இலக்கங்கள்  திரும்ப வருமாறு  (0,1,2,3,4,5) 

நூறுகள்	பத்துகள்	சான்றுகள்
5	6	3

1ம் இடத்தை நிரப்புவதற்கு தேவையான வழிகள்  = 3
10ம் இடத்தை நிரப்புவதற்கு தேவையான வழிகள்  = 6
100ம் இடத்தை நிரப்புவதற்கு தேவையான வழிகள்  = 5
 \(\therefore \) பெருக்கலின்  அடிப்படைக் கொள்கையின் படி  = 3 x  6 x 5  = 90 வழிகள்.        

n-ம் உறுப்பு T_n என்க.
T_n =\(\frac { { 1 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 3 }+{ 3 }^{ 3 }+......+{ n }^{ 3 } }{ 1+3+5+....+(2n-1) } =\frac { \left[ \frac { n(n+1) }{ 2 } \right] ^{ 2 } }{ \frac { n }{ 2 } (1+2n-1) } \)   ∵ S_n=\(\frac{n}{2}\)[a+l]
=\(\frac { \frac { { n }^{ 2 }(n+1)^{ 2 } }{ 4 } }{ \frac { n }{ 2 } \times 2n } =\frac { (n+1)^{ 2 } }{ 4 } =\frac { { n }^{ 2 }+2n+1 }{ 4 } \)
n உறுப்புகளின் கூடுதல் Sn என்க.
S_n=\(\overset { n }{ \underset { k=1 }{ \Sigma } } { T }_{ R }=\Sigma \frac { { n }^{ 2 }+2n+1 }{ 4 } \)
=\(\frac { 1 }{ 4 } \left( \overset { n }{ \underset { k=1 }{ \Sigma } } { k }^{ 2 }+2\overset { n }{ \underset { k=1 }{ \Sigma } } k+\overset { n }{ \underset { k=1 }{ \Sigma } } 1 \right) \)
=\(\frac { 1 }{ 4 } \left[ \frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } +\frac { 2n(n+1) }{ 2 } +n \right] \)
=\(\frac { 1 }{ 24 } \)[(n²+n)(2n+1)+6n(n+1)+6n]
=\(\frac { 1 }{ 24 } \)[2n³+n²+2n²+n+6n²+6n+6n]
=\(\frac { 1 }{ 24 } \)[2n³+9n²+13n]=\(\frac { n }{ 24 } \)[2n²+9n+13]
S₁₇-ன் மதிப்பைக் காண,
∴ S₁₇=\(\frac { 17 }{ 24 } \)[2 x (17²)+9(7)+13]=\(\frac { 17 }{ 24 } \)[578+153+13]
=\(\frac { 17 }{ 24 } \)[744]=17(31)=527
⇒ S₁₇=527

P(n):=\(cos\alpha+cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha+2\beta)+...+cos(\alpha+(n-1)\beta)\) =\(cos(\alpha+\frac{(n-1)\beta}{2})\times\frac{sin(\frac{n\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}\)என்க.
n = 1 என பிரதியிட
P(1)=\(cos(\alpha)=\frac{cos(\alpha).sin(\frac{\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}\)
எனவே P(1) என்பது உண்மை. இந்த கூற்று n=k-க்கு P(k) உண்மை எனக் கொள்க.
எனவே, \(cos\alpha+cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha+2\beta)+...+cos(\alpha+(k-1)\beta)\)=\(cos(\alpha+\frac{(k-1)\beta}{2})\times\frac{sin(\frac{k\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}\)
இப்பொழுது P(k+1) என்பது உண்மை என நிறுவவேண்டும்.
\(P(k+1)=\underbrace{cos\alpha+cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha+2\beta)+...+cos(\alpha+(k-1)\beta)}+cos(\alpha+k\beta)\)
P(k+1)=P(k)+\(cos(\alpha+k\beta)\)
\(=\frac{cos(\alpha+\frac{(k-1)\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}+cos(\alpha+k\beta)\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}[cos\left(\alpha+\frac{(k-1)\beta}{2}\right )sin(\frac{k\beta}{2})+cos(\alpha+k\beta)sin(\frac{\beta}{2})]\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}=[cos((\alpha+\frac{\beta}{2})-\frac{\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+cos(\alpha+k\beta)sin(\frac{\beta}{2})]\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}=[(cos(a+\frac{k\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2}+sin(\alpha+\frac{k\beta}{2})sin(\frac{\beta}{2}))sin(\frac{k\beta}{2})+cos(\alpha+k\beta)sin(\frac{\beta}{2})]\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}=[cos(a+\frac{k\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+sin\frac{\beta}{2}(sin(\alpha+\frac{k\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+cos(\alpha+k\beta))]\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}=[cos(a+\frac{k\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+\frac{sin(\frac{\beta}{2})}{2}(2sin(\alpha+\frac{k\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+2cos(\alpha+k\beta))]\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}=[cos(a+\frac{k\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+\frac{sin(\frac{\beta}{2})}{2}(cos\alpha-cos(\alpha+k\beta)+2cos(\alpha+k\beta))]\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}[cos(a+\frac{k\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+\frac{sin(\frac{\beta}{2})}{2}(cos\alpha+cos(\alpha+\beta))]\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}=[cos(a+\frac{k\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+\frac{sin(\frac{\beta}{2})}{2}(2cos(\alpha+\frac{k\beta}{2})cos(\frac{-k\beta}{2}))]\)
=\(\frac{cos(a+\frac{k\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}[sin(\frac{k\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2})+sin\frac{\beta}{2}cos(\frac{k\beta}{2})]\)
=\(\frac{cos(a+\frac{k\beta}{2})sin(\frac{(k+1)\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}\)
அதாவது,
\(cos\alpha+cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha+2\beta)+...+cos(\alpha+(k-1)\beta)\)=\(cos(\alpha+\frac{k\beta}{2})\times\frac{sin(\frac{(k+1)\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}\)
ஆகவே, P(k+1) என்பது உண்மை. P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி எந்த ஒரு இயல் எண் n∈N -க்கும்,
\(cos\alpha+cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha+2\beta)+...+cos(\alpha+(n-1)\beta)\)= \(cos(\alpha+\frac{(n-1)\beta}{2})\times\frac{sin(\frac{n\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}\)

f(x)=3x-4எனத் தரப்பட்டுள்ளது 
y=3x-4 \(\Rightarrow \)y+4=3x என்க.
\(\Rightarrow x={y+4\over3}; g(y)={y+4\over 3}\) என்க.
gof(n)=g(f(n))=g(3x-4)
\(={3x-4+4\over3}={3x\over 3}=x\)
\(fog(y)=f(g(y))=f({y+4\over3})\)
\(=3({y+4\over3})-4\)
=y+4-4 =y
எனவே gof (x)=I_x மற்றும் fog(y)=I_y
\(\Rightarrow f-\) ம், g-ம் இருபுறச் சார்பாகும். அவை ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறாகும். எனவே fஒரு இருபுறச் சார்பு.
\({f}^{-1}(y)={y+4\over 3}\)
y-ஐ x ஐக் கொண்டு எழுத \({f}^{-1}(x)={x+4\over 3}\) f(x)=3x-4

\({f}^{-1}(x)={x+4\over 3}\)

x	-4	2	5
f-1x	0	2	3

எனவே y=f^-1(x)-ன் வரைபடம் f வரைபடத்தின் நேர்மாறாகும். அந்த சார்பு y=x ஆகும். 

2x² - xy -3y² - 6x + 19y - 20 = 0 என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
2x² - xy - 3y² = (2x - 3y) (x+y) (காரணிப்படுத்துதல்)
\(\therefore\) (2x² - xy - 3y² - 6x + 19y - 20) = (2x - 3y + l)(x+y+m)
x, y-ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த
-6 = 2m + 1   ......(1)
19 =-3m +1   ......(2)
(-) = (+)    (-)
_____________
-25 = 5m
\(\Rightarrow\) m = -5
m = -5  என (1) ல் பிரதியிட
-6 = 2(-5) +1 \(\Rightarrow\) -6 = -10 + l
\(\therefore\) l = 4
\(\therefore\) தனித்தனி சமன்பாடுகள் 2x - 3y + 4 = 0  .....(3)
x + y - 4 = 0    .....(4)
வெட்டும் புள்ளியை காண (3), (4) ஐத் தீர்க்க
(3)      \(\Rightarrow\) 2x - 3y + 4 =0
(4)\(\times\)2 \(\Rightarrow\) 2x + 2y -10 = 0
                (-)    (-)  (+)
               -----------------------
         \(\Rightarrow\)    -5y + 14 = 0
\(\Rightarrow\)  -5y =-14
\(\Rightarrow\)   y = \(\frac { 14 }{ 5 } \)
  y = \(\frac { 14 }{ 5 } \)    என (3) ல் பிரதியிட
\(2x-3\left( \frac { 14 }{ 5 } \right) +4=0\)
\(\Rightarrow 2x-\frac { 42 }{ 4 } +4=0\)
\(\Rightarrow 2x=\frac { 42 }{ 4 } -4=\frac { 42-20 }{ 5 } =\frac { 22 }{ 5 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 11 }{ 5 } \)
\(\therefore\) வெட்டும் புள்ளி = \(\left( \frac { 11 }{ 5 } ,\frac { 14 }{ 5 } \right) \)
\(\therefore\) கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் கோடுகள் ஆகும்.
\(\theta\) இரண்டு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் எனில்
\(tan\theta =\pm \frac { 2\sqrt { { h }^{ 2 }-ab } }{ a+b } \)
\(=\pm \frac { 2\sqrt { { \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }-2(-3) } }{ +2+3 } \)
\(\left[ \begin{matrix} \because a=2 \\ 2h=-1 \\ b=-3 \\ h=\frac { 1 }{ 2 } \end{matrix} \right] \)
\(=\pm \frac { 2\sqrt { \frac { 1 }{ 4 } +6 } }{ -1 } =2\sqrt { \frac { 25 }{ 4 } } \)
\(=2\left( \frac { 5 }{ 2 } \right) =5\)
\(\therefore \theta ={ tan }^{ -1 }(5)\) 

2x + 3y \(\le \)35 
2x +3y =35 எனில் 

x	0	17.5
y	11.6	0

 y = 2 என்பது x அச்சிற்கு 2 அலகு தூரத்தில் உள்ள இணையான கோடு x=5 என்பது y அச்சிற்கு 5 அலகு தூரத்தில் உள்ள இணையான கோடுகள் \(\therefore \) ABC ன் நிழலிட்ட பகுதி தேவையான தீர்வாகும்.

i) வெப்பநிலை C-க்கும் F-க்கும் இடையே உள்ள நேரிய தொடர்பின் சமன்பாடு
\(\frac { F-32 }{ 212-32 } =\frac { C-0 }{ 100-0 } \)
\(\frac { F-32 }{ 180 } =\frac { C }{ 100 } \Rightarrow C=\frac { 100 }{ 180 } (F-32)\)
\(C=\frac { 5 }{ 9 } (F-32)\) ...(1) (or) \(F=\frac { 180 }{ 100 } C+32\)
\(\Rightarrow F=\frac { 9 }{ 5 } C+32\)
(\(\therefore\) x செல்சியஸ் வெப்பநிலையையும், y பாரன்ஹீட் வெப்பநிலையையும் குறிக்கிறது) 
ii) F=98.6° எனில் C =?
C-ன் மதிப்பை காண (1) பிரதியிட
\(\Rightarrow C=\frac { 5 }{ 9 } (98-6-32)\)
\(\Rightarrow \frac { 5 }{ 9 } (66.6)=\frac { 333 }{ 9 } =37°\)
iii) C=38° எனில் F=?
F-ன் மதிப்பை காண (1)-ல் பிரதியிட
\(\Rightarrow 38=\frac { 5 }{ 9 } (F-32)\)
\(\Rightarrow \frac { 38\times 9 }{ 5 } =F-32\)
\(\Rightarrow \frac { 342 }{ 5 } +32=F\Rightarrow F=68.4+32\)
\(\Rightarrow F=100.4°C\)

(1+x)ⁿ=ⁿC₀+ⁿC₁x+ⁿC₂x²+....+ⁿC_n-1x^n-1+ⁿC_nxⁿ
c = 8 என்க.
⇒ (1+8)ⁿ=ⁿC₀+ⁿC₁8+ⁿC₂64+.....+ⁿC_n-18^n-1+ⁿC_n8ⁿ
⇒ 9ⁿ=1+8n+ⁿC₂64+.....+ⁿC_n-18^n-1+ⁿC_n8ⁿ
⇒ 9ⁿ-1-8n=64[ⁿC₂+8ⁿC₃+.......+ⁿC_n8^n-2]​​
⇒ 9ⁿ-8n-1 ஆனது nன் அனைத்து மிகை குழுக்களும் 64 ஆல் வகுப்படும்.
∴ n=n+1 என பிரதியிட
9ⁿ⁺¹-8(n+1)-1 ஆனது n-ன் அனைத்து மிகை குழுக்களும் 64 ஆல் வகுபடும்.
⇒ 9ⁿ⁺¹-8n-8-1 ஆனது 64 ஆல் வகுபடும்.
⇒ 9ⁿ⁺¹-8n-9 ஆனது 4 ஆல் ​​​​​வகுபடும்.

2x²-(a+1)x+a-1 = 0
\(\alpha ,\beta \) என்பன மூலங்கள் என்க.
\(\alpha -\beta =\alpha \beta \)
\(\alpha -\beta =\frac { a-1 }{ 2 } ......(1)\)
\(\alpha +\beta =\frac { a+1 }{ 2 } ....(2)\)
\((1)+(2)\Rightarrow 2\alpha =\frac { a-1 }{ 2 } +\frac { a+1 }{ 2 } \quad \)
\(2\alpha =\frac { 2a }{ 2 } =a\)
\(\boxed { \alpha =\frac { a }{ 2 } } \)
\(\alpha =\frac { a }{ 2 } \) ஐ (2)- பிரதியிட
\(\frac { \alpha }{ 2 } +\beta =\frac { a+1 }{ 2 } \)
\(\beta =\frac { a+1 }{ 2 } -\frac { \alpha }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\alpha =\frac { \alpha }{ 2 } ,\beta =\frac { 1 }{ 2 } \) இவற்றை \(\alpha -\beta =\alpha \beta \) ல் பிரதியிட
\(\Rightarrow \frac { a }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } =\frac { a }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \frac { a-1 }{ 2 } =\frac { a }{ 4 } \)
\(\Rightarrow a-1=\frac { a }{ 2 } \Rightarrow 2a-2=a\Rightarrow a-2=0\Rightarrow a=2\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.