I=\(\int{\frac{x+1}{x^{2}-3x+1}}dx\) என்க
x+1=\(A\frac{d}{dx}(x^{2}-3x+1)+B\)
x+1=A(2x-3)+B
ஒத்த உறுப்புகளின் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த, 
\(2A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{2}; -3A+B=1 \Rightarrow B=\frac{5}{2}\)
I=\(\int{\frac{\frac{1}{2}(2x-3)+\frac{5}{2}}{x^{2}-3x+1}}dx\)
\(I=\frac{1}{2}\int{\frac{2x-3}{x^{2}-3x+1}dx+\frac{5}{2}\int{\frac{1}{x^{2}-3x+1}}}dx\)
=\(\frac{1}{2}\log|x^{2}+3+1|+\frac{5}{2}\int{\frac{1}{(x-\frac{3}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{5}}{2})^{2}}}dx\)
=\(\frac{1}{2}\log|x^{2}-3x+1|+\frac{5}{2}\frac{1}{2(\frac{\sqrt{5}}{2})}\log|\frac{x-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}{x-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}|\)
=\(\frac{1}{2}\log|x^{2}-3x+1|+\frac{\sqrt{5}}{2} \log|\frac{2x-3-\sqrt{5}}{2x-3+\sqrt{5}}|+c\)

B( பெட்ரோல் நிரப்பப்பட்ட மகிழ்வுந்திற்கு எண்ணெய் மாற்றுவது)
⇒ P(B) = 0.30
E₁ (எண்ணெய் வடிப்பான் தேவைப்படுவது)
⇒P(E₁) = 0.40
∴ P(B ∩ E₁) = 0.15
(i) எண்ணெய் மாற்றப்படவேண்டும் என்றால் ஒரு புதிய எண்ணெய் வடிப்பான் தேவைக்கான நிகழ்கவு 
= P(E₁/B)
= \(\frac { P\left( { E }_{ 1 }\cap B \right) }{ P\left( B \right) } =\frac { 0.15 }{ 0.30 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
= 0.5
(iii) எண்ணெய் வடிப்பான் தேவைப்பட்டால் எண்ணெய் மாற்றப்பட தேவைக்கான நிகழ்தகவு 
= P(B/E₁)
= \(\frac { P\left( B\cap { E }_{ 1 } \right) }{ P\left( { E }_{ 1 } \right) } =\frac { 0.15 }{ 0.40 } \) = 0.375

\(\lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ (m) } =\lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ \frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } = } \frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { \lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ \left( 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) } } } \)
h >0 எனில், c-h < v < c இதன் மூலம் \({ (c-h) }^{ 2 }<{ v }^{ 2 }<{ c }^{ 2 }\)
அதாவது \(\frac { { (c-h) }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } <\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } <1\quad \Rightarrow \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { (c-h) }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <\lim _{ h\rightarrow 0 }{ 1 }\)
\( \Rightarrow 1<\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <1\Rightarrow \lim _{ h\rightarrow 0 }{ (m)\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <1 \Rightarrow 1<\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <1\)
இடையீட்டுத் தேற்றத்தின்படி,\(\lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ \frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } =1 } \)
எனவே \(\lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ (m) } =\infty \)
ஆகவே, \(v\rightarrow { c }^{ - }\)  எனில் நிறை  மிக மிகப்பெரியதாக (முடிவிலி) அமைகிறது.
இடப்புற எல்லை தேவையானதாக உள்ளது. வலப்புற எல்லை எடுப்பின் \(v\rightarrow { c }^{ + }\) எனில்  \(1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } <0\)ஆக  அமையும்.எனவே நிறை காண இயலாது.

\(\vec { a } ={ a }_{ 1 }\hat { i } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } \)
=\(\vec { a } \times \hat { i } =({ a }_{ 1 }\hat { i } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } )\times \hat { i } \)
=\({ a }_{ 2 }(\hat { j } \times \hat { i } )+{ a }_{ 3 }(\hat { k } \times \hat { i } )\)
=\({ a }_{ 2 }(-\hat { k } )+{ a }_{ 3 }\hat { j } ={ a }_{ 3 }\hat { j } -{ a }_{ 2 }\hat { k } \)
\(|\vec { a } \times \hat { i } |=\sqrt { { a }_{ 3 }^{ 2 }+(-{ a }_{ 2 })^{ 2 } } =\sqrt { { a }_{ 3 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 } } \)
∴ \(|\vec { a } \times \hat { i } |^{ 2 }={ a }_{ 3 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 }\)     ....(1)
\(\vec { a } \times \hat { j } =({ a }_{ 1 }\hat { i } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } )\times \hat { j } \)
=\({ a }_{ 1 }(\hat { i } \times \hat { j } )+{ a }_{ 2 }(\hat { j } \times \hat { j } )+{ a }_{ 3 }(\hat { k } \times \hat { j } )\)
=\({ a }_{ 1 }\hat { k } +{ a }_{ 2 }(0)+{ a }_{ 3 }(-\hat { i } )\)
=\({ a }_{ 1 }\hat { k } -{ a }_{ 3 }(\hat { i } )\)
\(|\vec { a } \times \hat { j } |=\sqrt { { a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }^{ 2 } } \)
∴ \(|\vec { a } \times \hat { j } |^{ 2 }={ a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }^{ 2 }\)     ....(2)
\(\vec { a } \times \hat { k } =({ a }_{ 1 }\hat { i } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } )\times \hat { k } \)
=\({ a }_{ 1 }(\hat { i } \times \hat { k } )+{ a }_{ 2 }(\hat { j } \times \hat { k } )+{ a }_{ 3 }(\hat { k } \times \hat { k } )\)
=\(-{ a }_{ 1 }\hat { j } +{ a }_{ 2 }\hat { i } +{ a }_{ 3 }(0)\)
\(|\vec { a } \times \hat { k } |=\sqrt { { a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 } } \)
∴ \(|\vec { a } \times \hat { k } |^{ 2 }={ a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 }\)    .....(3)
(1),(2),(3) ஐக் கூட்ட
\(|\vec { a } \times \hat { i } |^{ 2 }+|\vec { a } \times \hat { j } |^{ 2 }+|\vec { a } \times \hat { k } |^{ 2 }\)
=\({ a }_{ 3 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 }\)
=\(2({ a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }^{ 2 })\)
=2\((\sqrt { { a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }^{ 2 } } )^{ 2 }=2|\vec { a } |\)=RHS.
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

ΔABC-யின் உச்சிப்புள்ளிகள் A, B, C-யின் நிலை வெக்டர்கள் \(\vec { OA } ,\vec { OB } ,\vec { OC } \) முறையே என்க.
\(\vec { OA } =\vec { a } ,\vec { OB } =\vec { b } ,\vec { OC } =\vec { c } \)
D, E என்பன பக்கம் AB, AC-யின் நடுப்புள்ளிகள்.

\(\vec { OD } =\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } ,\vec { OE } =\frac { \vec { a } +\vec { c } }{ 2 } \)
\(\vec { DE } =\vec { OE } -\vec { OD } =\frac { \vec { a } +\vec { c } }{ 2 } -\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } \)

=\(\frac { 1 }{ 2 } (\vec { OC } -\vec { OB } )=\frac { 1 }{ 2 } (\vec { BC } )\)
⇒ \(\vec { DE } =\lambda (\vec { BC } ),=\frac { 1 }{ 2 } \)
∴ \(\vec { DE } ||\vec { BC } \) and \(\vec { DE } =\frac { 1 }{ 2 } (\vec { BC } )\)
எனவே \(\vec { DE } \) மூன்றாவது பக்கம் \(\vec { BC } \) க்கு இணை மற்றும் அதன் நீளத்தில் பாதி எனவும் நிறுவப்பட்டது.

\(\frac { a }{ sinA } =\frac { b }{ sinB } =\frac { c }{ sinC } =2R\)  என்பது சைன் சூத்திரம்.
\(\frac { { b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } }{ 2bc } =\frac { (2RsinB)^{ 2 }+(2RsinC)^{ 2 }-(2RsinA)^{ 2 } }{ 2(2RsinB)(2RsinC) } \)
\(=\frac { { sin }^{ 2 }B+sin(C+A)sin(C-A) }{ 2SinBsinC } \)
\(=\frac { sinB[sinB+sin(C-A] }{ 2sinBsinC } \)
\(=\quad \frac { sin(C+A)+sin(C-A) }{ 2sinC } =cosA\)
\(cosA=\frac { { b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } }{ 2bc } \)
இதே போல மற்ற இரண்டு கொசைன் சூத்திரங்களை வருவிக்கலாம்.

i) 0 முதல் 50 நகல்கள் வரை உள்ள கட்டணத்தைக் குறிக்கும் வரைபடம்.

x-பிரதிகளின் எண்ணிக்கை, y - நகல்களின் கட்டணம் என்க.
y=1.50 x, 0\(\le \)x\(\le \)10
x>10, எனில், y = 10(1.50) + (x-10)   ....(1)
முதல் 10 நகல்கள் எடுக்க ரூ 1-ம் மீதி (x-10)
=15 + x - 10
= 5 + x
\(\therefore\)y=\(\\ \begin{cases} x+5,\quad x>10 \\ 1.50x,0\le x\le 10 \\ x+5,\quad x>10 \end{cases}\) 
10 நகல்கள் எடுக்க ஆகும் செலவு 1.50 \(\times\) 10 = 15.0 (1 நகல் ரூ 1.5 வீதம்)
10 பிரதிகளுக்கு ஆகும் செலவு 1 \(\times\) 10 = 10.00 (1 நகல் ரூ 1 வீதம்)
அடுத்த 10 பிரதிகளுக்கு ஆகும் செலவு 0.40 \(\times\) 10 = 4.00 (1 நகல் ரூ 0.40 வீதம்)
அடுத்த 10 பிரதிகளுக்கு ஆகும் செலவு 0.25 \(\times\) 10 = 2.50 (1 நகல் ரூ 0.25 வீதம்)
\(\therefore\) 40 பிரதிகள் எடுக்க ஆகும் செலவு  = (15 + 10 + 4 + 2.20)
= ரூ 31.50. 

பச்சை விளக்கின் விட்டம் DC =a என்க
∠CBD=α
DA=b
AB=x சாலையின் விட்டம் என்க.
ㄥDBA =β என்க
ΔABD-ல்
β=tan^-1\(\left( \frac { b }{ x } \right) \)
ΔABC-ல்
tan(α+β)=\(\frac { AC }{ AB } =\frac { a+b }{ x } \)
α+β=tan^-1\(\left( \frac { a+b }{ x } \right) \)
⇒ α=tan^-1\(\left( \frac { a+b }{ x } \right) \)-β
(1)-ஐ பயன்படுத்தி
α=tan^-1\(\left( \frac { a+b }{ x } \right) -tan^{ -1 }\left( \frac { b }{ x } \right) \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

P(1,2) மற்றும் B(5,3) என்பன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள்.
பிரதிபலிப்பு விதிப்படி
\(\angle XAB=\angle OAP=\theta \)
m₁-X- அச்சின் சாய்வு
m₂-AP-ன் சாய்வு
m₃-AB-ன் சாய்வு
ஐக் காண
m₁ = 0 (\(\because \)X அச்சின் சாய்வு என்பதால்)
\({ m }_{ 2 }=\frac { 2-0 }{ 1-x } =\frac { 2 }{ 1-x } \quad \left[ \because m=\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \right] \)
\({ m }_{ 3 }=\frac { 3-0 }{ 5-x } =\frac { 3 }{ 5-x } \)
\(tan\theta =\left| \frac { { m }_{ 1 }-{ m }_{ 3 } }{ 1+{ m }_{ 1 }{ m }_{ 3 } } \right| \)
\(tan\theta =\left| \frac { 0-\left( \frac { 3 }{ 5-x } \right) }{ 1+0\left( \frac { 3 }{ 5-x } \right) } \right| \)
\(=\frac { 3 }{ 5-x } \) .....(1)
ஐக் காண
\(tan(-\theta )=\left| \frac { { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } }{ 1+{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } } \right| =\left| \frac { 0-\left( \frac { 2 }{ 1-x } \right) }{ 1+0\left( \frac { 2 }{ 1-x } \right) } \right| =\frac { 2 }{ 1-x } \)
[\(\because\) OAP கடிகார முள் திசையில்]
\(\Rightarrow -tan\theta =\frac { 2 }{ 1-x } \quad [\because tan(-\theta )=-tan\theta ]\)
\(\Rightarrow tan\theta =\frac { -2 }{ 1-x } \) ....(2)
(1)\(\times\) (2)\(\Rightarrow \frac { 3 }{ 5-x } =\frac { -2 }{ 1-x } \Rightarrow 3-3x=-10+2x\)
\(\Rightarrow\) 3 + 10 = 2x + 3x\(\Rightarrow\) 13 = 5x

\(\Rightarrow x=\frac { 13 }{ 5 }\)
\(\therefore\) தேவையான A-ன் அச்சுத் தொலைவு =\(\left( \frac { 13 }{ 5 } ,0 \right) \)

சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு வடிவம்
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\sqrt { 3 } \)x-y+4=0=0
⇒ y=\(\sqrt { 3 } \)x+4   (6.15)-ஐ
y=mx+b என்ற சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும்போது
சாய்வு =\(\sqrt { 3 } \) மற்றும் y-ன் வெட்டுத்துண்டு =4

1. y = | x - 1 | + 1

வரைபடம் ஓரலகு வலப்புறமாக மேல்நோக்கி நகர்வதால் பெறப்படுகிறது.
2. y = | x + 1 | - 1

வரைபடம் ஓரலகு இடப்புறமாக கீழ்நோக்கி  நகர்வதால் பெறப்படுகிறது.
3. y = | x + 2 | + 3

வரைபடம் 2 அலகுகள் இடது புறமாக மற்றும் 3 அலகுகள் கீழ்ப்புறமாக நகர்த்துவதால் பெறப்படுகிறது.

\(\theta\)  = 18⁰
5\(\theta\) = 90⁰
3\(\theta\)+2\(\theta\) = 90⁰ ⇒ 2\(\theta\) = 90⁰ - 3\(\theta\)
sin 2\(\theta\) = sin (90⁰ - 3\(\theta\)) = cos3\(\theta\)
2sin\(\theta\) cos \(\theta\) = 4cos³ \(\theta\) - 3 cos\(\theta\)
cos\(\theta\) = cos18⁰ \(\neq \) 0 ஆதலால் நமக்கு கிடைப்பது
2 sin \(\theta\) - 4 cos²\(\theta\) - 3 = 4(1-sin²\(\theta\)) - 3
4sin²\(\theta\) + 2sin\(\theta\)  - 1 = 0 
\(\sin​​\theta =\frac { -2\pm \sqrt { 4-4(4)(-1) } }{ 2(4) } =\frac { -1\pm \sqrt { 5 } }{ 4 } \)
எனவே \(\sin18°=\frac { \sqrt { 5 } -1 }{ 4 } \) (மிகைக் குறி எடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஏன்?)

இங்கு நாம் (1+x)² -ன் விரிவாக்கத்தினைப் பயன்படுத்துவோம்.
அதற்கு (3+2x) ஐ \(3\left( 1+\frac { 2x }{ 3 } \right) \) என எழுதுவோம்.
எனவே \(\frac { 1 }{ { (3+2x) }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 3^{ 2 }\left( 1+\frac { 2x }{ 3 } \right) ^{ 2 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 9 } \left( 1+\frac { 2x }{ 3 } \right) ^{ -2 }\)
\(=\frac { 1 }{ 9 } { (1+y) }^{ -2 }\)   (\({2x \over 3 }=y\) என்க)
\(=\frac { 1 }{ 9 } (1-2y+3{ y }^{ 2 }-4y^{ 3 }+5{ y }^{ 4 }-...),|y|<1\)
\(=\frac { 1 }{ 9 } \left( 1-2\left( \frac { 2x }{ 3 } \right) +3\left( \frac { 2x }{ 3 } \right) ^{ 2 }-4\left( \frac { 2x }{ 3 } \right) ^{ 3 }+5\left( \frac { 2x }{ 3 } \right) ^{ 4 }-... \right) ,\left| \frac { 2x }{ 3 } \right| <1\)
\(=\frac { 1 }{ 9 } \left( 1-\frac { 4 }{ 3 } x+\frac { 4 }{ 3 } { x }^{ 2 }-\frac { 32 }{ 27 } { x }^{ 3 }+\frac { 80 }{ 81 } x^{ 4 }-... \right) \left| x \right| <\frac { 3 }{ 2 } \)
எனவே\(\frac { 1 }{ { (3+2x) }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 9 } -\frac { 4 }{ 27 } x+\frac { 4 }{ 27 } { x }^{ 2 }-\frac { 32 }{ 243 } { x }^{ 3 }+\frac { 80 }{ 729 } x^{ 4 }-...\left| x \right| <\frac { 3 }{ 2 } \) இந்த விரிவு ஏற்புடையதாக இருக்க \(\left| x \right| <\frac { 3 }{ 2 } \)ஆக இருக்கவேண்டும்.

P(n)=\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\)
n = 1 என பிரதியிட
\(P(n)=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}\)
எனவே, P(1) உண்மை.
n = k-க்கு இந்த கூற்றை உண்மை எனக் கொள்வோம்.
எனவே, \(P(k)=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}\)
இப்பொழுது P(k+1) என்பது உண்மை என நிறுவவேண்டும்.
\(P(k+1)=\underbrace{\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k(k+1)}}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\)
=\(P(k)+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\)
=\(\frac{k}{(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\)
=\(\frac{1}{(k+1)}(\frac{k}{1}+\frac{1}{k+2})\)
=\(\frac{1}{(k+1)}(\frac{k^{2}+2k+1}{k+2})\)
=\(\frac{1}{(k+1)}\left(\frac{(k+1)^{2}}{k+2}\right )=\frac{(k+1)}{(k+2)}\)
எனவே P(k+1) என்பது உண்மை.
P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல்படி, எல்லா இயல் எண்கள் n-க்கும்,
\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\).

இங்கு T₂ = 240,T₃ = 720 மற்றும் T₄ = 1080
T₂ = ⁿC₁x^n-1 a =240 ..... (1)
T₃ = ⁿC₂x^n-2 a² =720 ..... (2)
T₄ = ⁿC₃x^n-3 a³ =1080 ..... (3)
சமன்பாடு (2) ஐ (1) ஆல் மற்றும் (3) ஐ (2) ஆல் வகுக்க , நமக்கு கிடைப்பது,
\(\frac{a}{x}=\frac{6}{n-1}\)....(4)
\(\frac{a}{x}=\frac{9}{2(n-1)}\) ....(5)
சமன்பாடுகள் (4) மற்றும் (5) இவற்றிலிருந்து,\(\frac{6}{n-1}=\frac{9}{2(n-1)}\)எனவே , n = 5 ஆகும். n = 5 ஐ (1) மற்றும் (4) இல் பிரதியிட்டு, சமன்பாடு (1) ஐ சமன்பாடு (4) ஆல் வகுக்க \(\frac { 5{ x }^{ 4 }2 }{ \frac { a }{ x } } =\frac { 240 }{ \frac { 6 }{ 4 } } \),என கிடைக்கும். எனவே , 5x⁵ = 160 . மற்றும் இதன் மூலம் x = 2 எனவும், இதை சமன்பாடு (4) இல் பிரதியிட, a = 3 எனவும் கிடைக்கும்.

(i) தற்சுட்டு
\(\Rightarrow R=\) {(a,a),(b,b),(a,c)} ஒரு தற்சுட்டு ஆக இருக்க முடியும்.
(c, c) என்ற உறுப்பு R-ல் சேர்க்கப்பட வேண்டும்.
(ii) சமச்சீர்
R={(a,a),(b,b),(a,c)} உடன் (c, a) சேர்த்தால் அது ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு உடையதாகும்.
(iii) கடப்பு
R = {(a, a), (b, b), (a, c)} ஒரு கடப்புத் தொடர்பு ஆக இருக்க சேர்க்கப்பட வேண்டும்.
(iv) சமானத் தொடர்பு
R ஒரு சமானத் தொடர்பு ஆக இருக்க அது ஒரு தற்சுட்டு, சமச்சீர், கடப்பு தொடர்பு ஆக இருக்க வேண்டும்.
∴R = {(a, a), (b, b), (a, c)} (c, c) மற்றும் {(c, a). எனவே குறைந்தபட்ச உறுப்புகள் (c,c) மற்றும் (c,a).

x cos θ = ycos \(\left[ \theta +\frac { 2\pi }{ 3 } \right] \) = z cos \(\left[ \theta +\frac { 4\pi }{ 3 } \right] \) = λ என்க 
⇒ \(\frac { \lambda }{ x } \) = cos θ, \(\frac { \lambda }{ y } \) = cos \(\left( \theta +\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
\(\frac { \lambda }{ z } \) = cos \(\left( \theta +\frac { 4\pi }{ 3 } \right) \)
∴ \(\frac { \lambda }{ x } +\frac { \lambda }{ y } +\frac { \lambda }{ z } \) = cosθ
= cos θ + cos (120 + θ) + cos (240 + θ)
= cos θ + cos 120.cosθ - sin 120.sinθ + cos 240. cosθ - sin 240.sinθ
= cosθ - cos 60⁰ cosθ - sin60⁰ sinθ - sin 30⁰. cosθ + cos 30⁰ sinθ
(∵ cos (A + B) = cos A cosB - sinA sinB)
cos 120⁰ = cos (180⁰ - 60⁰)
= - cos 60⁰ = \(-\frac { 1 }{ 2 } \)
sin 240⁰ = sin (270⁰ - 30⁰)
= - sin 30⁰
= - cos 60⁰ = \(-\frac { 1 }{ 2 } \)

= cosθ - cosθ = 0
∴ \(\lambda \left( \frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ y } +\frac { 1 }{ z } \right) \) = 0 ⇒ \(\lambda \left( \frac { yz+xz+xy }{ xyz } \right) \) = 0
⇒ xy + yz + zx = 0.

முதல் ஒற்றைப்படை இயல் எண் = x என்க
அடுத்த ஒற்றைப்படை இயல் எண் = x +2
\(\Rightarrow x>10\) கொடுக்கப்பட்ட கூற்று ...(1)
\(\Rightarrow x+2>10\quad ...(2)\)
x + x + 2 <40 ...(3)
\(\Rightarrow x>10\quad \quad ...(4)\)
(3) லிருந்து 2x +2 <40
\(\Rightarrow 2x<38\)
\(\Rightarrow x<\frac { 38 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x<19\quad .....(5)\)
x ஒற்றைப்படை இயல் எண்கள் என்பதால் x = 11, 13, 15, 17
\(\therefore \) தேவையான ஜோடிகள் (11,13), (13,15), (15,17), (17,19).

\(y={ x }^{ 3 }-{ 6x }^{ 2 }-5x+3\) மற்றும் 
\({ y }^{ ' }={ 3x }^{ 2 }-12x-5\)
\(y^{ '' }=6x-12\)
\({ y }^{ ''' }=6\)

\(\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { { x }^{ 3 }-1 }{ x-1 } = } \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { { x }^{ 3 }-{ 1 }^{ 3 } }{ x-1 } = } 3{ (1) }^{ 3-1 }=3.\)

அத்தியாயம் 1-ல் உள்ளபடி  \(\left| x \right| =\begin{cases} -x\quad ,\quad x<0 \\ 0\quad ,\quad x=0 \\ x\quad ,\quad x>0 \end{cases}\)
x >0 எனில், \(\left| x \right| =x,\) இங்கு x-ன் மதிப்பு  0-ஐ வலப்பக்கமாக நெருங்கும்.
எனவே \(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \left| x \right| } =0\)
x < 0 எனில், \(\left| x \right| =-x,\) இங்கு x-ன் மதிப்பு  0-ஐ இடப்பக்கமாக நெருங்கும்.
எனவே \(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \left| x \right| } =0\)
இவ்வாறாக, \(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \left| x \right| } =0=\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \left| x \right| } \) , எனவே \(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \left| x \right| } =0\)

\(\Rightarrow \)  \(\frac { \left( n-1 \right) { P }_{ 3 } }{ { nP }_{ 4 } } =\frac { 1 }{ 10 } \)
\(\Rightarrow \) 10 (n - 1)P3 = 1. ⁿP4
\(\Rightarrow \) \(10\times \frac { \left( n-1 \right) ! }{ \left( n-1-3 \right) ! } =\frac { n! }{ \left( n-4 \right) ! } \)
\(\Rightarrow \) \(\frac { 10\times \left( n-1 \right) ! }{ (n-4)! } =\Rightarrow \frac { 10\times (n-1)! }{ (n-4)! } \)
\(\Rightarrow \) \(\frac { n\left( n-1 \right) ! }{ \left( n-4 \right) ! } \)
\(\Rightarrow \) 10 = n 
\(\therefore \)  n  = 10

7, -3 மூலங்கள் 
மூலங்களின் கூடுதல் = 7 + (-3) = 4
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = 7 x (-3) = -21
\(\therefore \) தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு 
\(\Rightarrow x^{ 2 }-\)(மூலங்களின் கூடுதல்) x + மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = 0
\(\Rightarrow x^{ 2 }-4x-21=0.\)

\(I=\int { xsecxtanxdx } \)என்க
u = x;
dv = sec x tan x dx
\(\Rightarrow \)du = dx; v = sec x
பகுதித் தொகையிடல் முறையில்

\(\int { udv } =uv-\int { vdu } \)
\(\int { xsecxtanxdx=xsecx-\int { secxdx } } \)
= x sec x - log|sec x + tan x | + c
\([\because \int { secxdx=log|secx+tanx|] } \).

\(I=\int { \frac { sin2x }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }sin^{ 2 }x } dx } \)என்க
\(u={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ sin }^{ 2 }x\)
\(\Rightarrow du={ b }^{ 2 }2sinx.cosx\ dx\)
\(\Rightarrow du={ b }^{ 2 }sin2xdx\Rightarrow \frac { du }{ { b }^{ 2 } } =sin2xdx\)
\(I=\frac { 1 }{ { b }^{ 2 } } \int { \frac { du }{ u } } \)
\(\therefore I=\frac { 1 }{ { b }^{ 2 } } log|u|+c\Rightarrow I=\frac { 1 }{ { b }^{ 2 } } log|{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }sin^{ 2 }x|+c\)

ஒரே நேரத்தில் பத்து நாணயங்களைச் சுண்டுவதும், ஒரே நாணயத்தைப் பத்துமுறை சுண்டுவதும் ஒரே கூறுவெளியைக் கொடுக்கும்.
S என்பது கூறுவெளி என்க 
அதாவது 
A என்பது சரியாக இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி 
B என்பது அதிகபட்சமாக இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி மற்றும்
C என்பது குறைந்த பட்சம் இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
பத்து நாணயங்கள் சுண்டப்படும்போது கூறுவெளியின் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 2ⁿ =2¹⁰=1024

n( S) = 1024
 n(A)=¹⁰C₂ =45
n(B)=¹⁰C₀+¹⁰C₁+ ¹⁰C₂=1+10 +45 =56
n(C)=¹⁰C₂+ ¹⁰C₃+¹⁰C₄+.......+¹⁰C₁₀
=n(S)−(¹⁰C₀+ ¹⁰C₁)= 1024-11=1013
தேவையான நிகழ்தகவுகள் 
(i) \(P(A)={n(A)\over n(S)}={45\over 1024}\)
(ii)\(P(B)={n(B)\over n(S)}={56\over 1024}={7\over 128}\)
(iii) \(P(C)={n(C)\over n(S)}={1013\over 1024}\)

\(y=\frac { \sin { x } }{ { x }^{ 2 } } \)
வகுத்தல் விதிப்படி,
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { { x }^{ 2 }.\frac { d }{ dx } (sinx)-sinx.\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 2 }) }{ { x }^{ 4 } } \)
\(=\frac { { x }^{ 2 }cosx-sinx(2x) }{ { x }^{ 4 } } =\frac { x[xcosx-2sinx] }{ { x }^{ 4 } } \)
\(=\frac { { x }cosx-2sinx }{ { x }^{ 3 } } \)

\( \frac { dy }{ dx } =3{ x }^{ 2 }+10x+3\)

\(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] _{ 3\times 2 }{ A }^{ T }=\left[ \begin{matrix} -1 & -8 & -10 \\ 1 & 2 & -5 \\ 9 & 22 & 15 \end{matrix} \right] _{ 3\times 3 }\) எனில் 
A^T = \(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } \end{matrix} \right] _{ 2\times 3 }\) என்க.
\(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 & -8 & -10 \\ 1 & 2 & -5 \\ 9 & 22 & 15 \end{matrix} \right] \)
2a₁₁ - 1a₂₁ = -1   ....(1)
1a₁₁ + 0a₂₁ = 1  ...(2)
1a₁₁+ 0 = 1
a₁₁ = 1
a₁₁ = 1  என  (1)-ல்  பிரதியிட   
2 x 1 -a₂₁ = -1
-a₂₁ = - 1 - 2

a₂₁ = 3 
2a₁₂ - 1a₂₂ = -8
1a₁₂ + 0a₂₂ = 2  ......(3)
a₁₂ + 0 = 2 .......(4)
a₁₂ = 2 என  (3)-ல்  பிரதியிட
2 x 2 - a₂₂ = -8
-a₂₂ = -8-4 = -12
a₂₂ = 12
2a₁₃ - 1a₂₃ = -10
1a₁₃ + 0a₂₃ = -5 .......(5)
a₁₃ + 0 = -5 .......(6)
a₁₃ = -5 
a₁₃ = -5  என  (5)-ல்  பிரதியிட
2 x -5 - a₂₃ = -10
-a₂₃ = -10 + 10 = 0
a₂₃ = 0
\(\therefore\)  AT = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -5 \\ 3 & 12 & 0 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore\)  A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 12 \\ -5 & 0 \end{matrix} \right] \)

A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{matrix} \right] \)
A² = A.A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 1+0+0 & 0+0+0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 0+1+0 & 0+0+0 \\ a+0-a & 0+b-b & 0+0+1 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] =I\)
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது     

f(x)=\(1\over1-2 \sin x\)
பகுதி =0 எனில் 1-2sin x=0
\(\Rightarrow 1=2\sin x\)
\(\Rightarrow \therefore \sin x={1\over2}\)
\(\Rightarrow \sin x=\sin{\pi\over 6}\)
\(\Rightarrow x=n\pi+(-1)^{n}{\pi\over6},n\in z\)
\((\because \sin x=\sin \alpha \Rightarrow x=n\pi+(-1)^n\alpha,n\in z)\)
f-ன் சார்பகம் = \(R-[n\pi+(-1)^n{\pi\over6}],n\in Z\)

4 மாணவர்களை ஒரு வரிசையில் நிற்க வைக்கும் வழிகள் ⁴P₄ = 4! மாணவனவனை முதலாவதாகக் கொண்டு, இந்த ஒவ்வொரு வரிசையும் 4 இடைவெளிகளை உருவாக்கும். இந்த 4 இடங்களில் 4 மாணவிகளை ⁴P₄ = 4! வழிகளில் அமர வைக்கலாம்.
B₁_B₂_B₃_B₄_ or G₁_G₂_G₃_G₄_
எனவே, மாணவனை முதலாவதாக கொண்ட வரிசைகளின் எண்ணிக்கை \(4!\times 4!\) இதுபோலவே, மேற்கூறிய வழிமுறையின்படி மாணவியை முதலாவதாகக் கொண்ட வரிசைகளின் எண்ணிக்கை \(4!\times 4!\) எனவே கூட்டல் விதிப்படி, மாணவனையோ அல்லது மாணவியையோ முதலாவதாகக் கொண்ட வரிசை மாற்றங்களின்,மொத்த எண்ணிக்கை. \(\left( 4!\times 4! \right) +\left( 4!\times 4! \right) =2{ \left( 4! \right) }^{ 2 }=1152. \)

x + 20 \(\ge \) 0 என்றிருக்கும் போது மட்டுமே \(\sqrt { x+20 } \) ஐ வரையறுக்க இயலும். வரையறையின்படி,\(\sqrt { x+20 } \ge 0.\)எனவே, x ஒரு மிகை எண்.
வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது,  x² = x + 20
x² - x - 20 = 0
(x - 5) (x + 4) = 0
x = 5, -4
x மிகை எண் என்பதால் x = 5

P(h,k) என்பது தேவையான பாதையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க
O, A மற்றும் B ஆகிய புள்ளிகளின் ஆயக் கூறுகள் முறையே (0, 0), (a,0) மற்றும் (0, b) என்க.
ΔOAB -ன் நடுப்புள்ளி  \(\left( \frac { 0+a+0 }{ 3 } ,\frac { 0+0+b }{ 3 } \right) \) = (h,k)
\(\frac { a }{ 3 } =h\Rightarrow a=3h,\frac { b }{ 3 } =k\Rightarrow b=3k\)
செங்கோணம் ΔBOA லிருந்து
 OA²+OB² =AB²
(3h)²+ (3k)² = (6)² ⇒ h²+k² =4
எனவே P(h,k) என்ற புள்ளியின் நியமப்பாதை, x²+y² =4