i) 3x + 4y -12 = 0 கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோட்டின் சமன்பாடு
செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு 4x - 3y + k = 0
நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு = 4x - 3y + k = 0, K\(\in \)R  
ii) 3x + 4y - 12 = 0ற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு 3x + 4y +k₁ = 0 ஆகும். இது நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாட்டினைக் குறிப்பதால் நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு.
=3x + 4y + k₁ = 0, k₁ \(\in \) R 

(i) \(\frac{3(x-2)}{5}\le\frac{5(2-x)}{3}\)
\(\Rightarrow \frac { 3x-6 }{ 5 } \le \frac { 10-5x }{ 3 } \)
\(\Rightarrow 3(3x-6)\le 5(10-5x)\)
\(\Rightarrow 9x-18\le 50-25x\)
\(\Rightarrow 9x+25x\le 50+18\)
\(\Rightarrow 34x\le 68\)
\(\Rightarrow x\le 2.\)
\(\therefore \)தீர்வு கணம் \(\left( -\infty ,2 \right) \)
(ii) \(\frac{5-x}{3}<\frac{x}{2}-4\)
முழுவதையும் 3 ஆல் பெருக்க,
 \(5-x<\frac { 3x }{ 2 } -12\)
2 ஆல் பெருக்க 
\(\Rightarrow 10-2x<3x-24\)
\(\Rightarrow 10+24<3x+2x\)
\(\Rightarrow 34<5x\)
\(\Rightarrow \frac { 34 }{ 5 }\)
\(\Rightarrow x\ge \frac { 34 }{ 5 } \)
\(\therefore \) தீர்வுகணம்\( \left( \frac { 34 }{ 5 } ,\infty \right) \)

(i) f (n)= f(m) என எடுத்துக்கொண்டால் n+2=m+2 . இதிலிருந்து m = n. இதனால் f ஆனது ஒன்றுக்கொன்று ஆகும். 1 என்ற உறுப்பிற்கு முன்பிம்பம் இல்லை என்பதால் இச்சார்பு மேற்கோர்த்தல் அல்ல.

(ii) மேற்கண்டவாறு இச்சார்பு ஒன்றுக்கொன்றாகும். துணைச்சார்பகத்தில் m இருந்தால் m - 2 என்பது சார்பகத்தில் இருக்கும். மேலும் f(m-2)=(m-2)+2=m . இதனால் துணைச்சார்பகத்திலுள்ள m என்ற உறுப்பு முன்பிம்பத்தைக் கொண்டுள்ளது. எனவே இச்சார்பு மேற்கோர்த்தல் ஆகும்

a,b,c ∈ A என்க 
தற்சுட்டு;
a R a \(\Rightarrow \)a- ஆனது a-ன் சகோதரி அல்ல.
∴ R ஒரு தற்சுட்டு
சமச்சீர் தொடர்பு;
a R a\(\Rightarrow \)b R a  
a-ன் சகோதரி அல்ல.
b-ன் சகோதரி அல்ல.
∴R  ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு 
கடப்பு தொடர்பு: 
a R b, b R c\(\Rightarrow \) a R c
a ஆனது b -ன் சகோதரி அல்ல.
b ஆனது c -ன் சகோதரி அல்ல.
a ஆனது c -ன் சகோதரி ஆவார்.
(எடு) தாய் மகளின் அல்ல, மகள் சித்தியின் சகோதரி அல்ல, ஆனால் தாய் சித்தியின் சகோதரி.
∴R ஒரு தற்சுட்டு, சமச்சீர், கடப்பு தொடர்பு ஆகும்.

தளத்தில்  உள்ள புள்ளிகள்  = 11
(i) நேர்க்கோடு வரைய  2 புள்ளிகள் தேவை 
\(\therefore \) 11 புள்ளிகளிலிருந்து  வெவ்வேறான இரு புள்ளிகளை வைத்து  ¹¹C₂  வழிகளில்  நேர்க்கோடு  வரையலாம் 
11_C2 = \(\frac { 11\times 10 }{ 2\times 1 } \) = 55
இவற்றில் 4 புள்ளிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் அமைந்துள்ளன  
இவை ஒரே நேர்கோட்டில் அமையவில்லை எனில் 4C₂ வழிகளில்  நேர்க்கோடுகளை  பெறலாம் 
\(\frac { 11\times 10 }{ 2\times 1 } \) = 6 =வழிகள் 
ஆனால் 4 புள்ளிகளும் ஒரே நேர்கோட்டில் அமைந்துள்ளது என்பதால் ஒரே நேர்கோட்டு மட்டுமே பெற முடியும் 
மொத்த நேர்க்கோடுகளின் எண்ணிக்கை  = 55 - 6 + 1 = 50
(ii) இந்த புள்ளிகளை முனைப்புள்ளிகளாகக்  கொண்டு வரையப்படும் முக்கோணங்களின் எண்ணிக்கை  ஒரு முக்கோணம் வரைய 3 புள்ளிகள் தேவை 

தேவையான எண்ணிக்கை  = (⁴C₁ x ⁷C₂ ) +( ⁴C₂ x  ⁷C₁) + ⁴C₀ x ⁷C₃
= \(4\times \frac { 7\times 6 }{ 1\times 2 } +\frac { 4\times 3 }{ 1\times 2 } \times 7+1\frac { 7\times 6\times 5 }{ 3\times 2\times 1 } \) = 4 x 21 + 6 x 7 + 35
= 84 + 42 + 35 = 161 

P(n)=1²+2²+3²+....+n²> \(\frac { { n }^{ 3 } }{ 3 } \)என்க.
\(\Rightarrow\)n=1 என்க.
1>\(\frac { { 1 }^{ 3 } }{ 3 } \Rightarrow \) 1>\(\frac{1}{3}\) என்பது உண்மை
\(\therefore \)P(1) என்பது உண்மை
படி(2)
P(k) உண்மை எனக் கொள்வோம்.
\(\therefore \)1²+2²+3³+......k²>\(\frac { { k }^{ 3 } }{ 3 } \)  -------(1)
படி (3)
P(k+1) உண்மை என நிரூபிப்போம்.
1²+2²+3²+......+k²+(k+1)²>\(\frac { { (k }+1)^{ 3 } }{ 3 } \)
1²+2²+3²+.......+k²+(k+1)²
>\(\frac { { k }^{ 3 } }{ 3 } \)+(k+1)² [(1) ஐ பயன்படுத்த]
> \(\frac { { k }^{ 3 } }{ 3 } \)+k²+2k +1
>\(\frac {1}{3}\)[k³+3k²+6k+3][ (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³]
> \(\frac {1}{3}\)(k+1)³
\(\therefore \)P(k+1)-ம் உண்மை. எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(A+B+C=\frac { \pi }{ 2 } \)
\(\sin { 2A } +\sin { 2B } +\sin { 2C } \)
= \(2sin\left( \cfrac { 2A+2B }{ 2 } \right) cos\left( \cfrac { 2A-2B }{ 2 } \right) +2sin\quad CcosC\)
= 2sin (A+B) cos(A-B)+2sin C cosC
= \(2sin\left( \cfrac { 2A+2B }{ 2 } \right) cos\left( \cfrac { 2A-2B }{ 2 } \right) +2sin\quad CcosC\)
= 2cos C cos (A-B)+2sinC cos C
= \(2cos C\left[ cos(A-B)+sin\left( \cfrac { \pi }{ 2 } -(A+B) \right) \right] \)
= 2cosC[cos (A-B)+cos(A+B)]
= 2cosC.2cos A.cosB
= 4cos Acos B cos C
= R.H.S
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(|x|<1\) எனில், \((1+x)^n\) = \(1+nx+\frac { n(n-1) }{ 2! } { x }^{ 2 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { x }^{ 3 }+...\)
\(\sqrt [ 3 ]{ 65 } =65^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(=(64+1)^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(=64^{ \frac { 1 }{ 3 } }\left( 1+\frac { 1 }{ 64 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(=4{\left(1+{1\over 64} \right)}^{1\over4}\)
\(=4\left( 1+\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 64 } +\frac { \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ 3 } -1 \right) }{ 2! } \times { \left( \frac { 1 }{ 64 } \right) }^{ 2 }+... \right) \)
\(=4+\frac { 1 }{ 48 } -4\times \frac { 1 }{ 9 } \times \frac { 1 }{ 64 } \times \frac { 1 }{ 64 } +....\)
\(=4+\frac { 1 }{ 48 } -\frac { 1 }{ 9216 } +....\)
\(\approx 4+0.02\) (ஏனெனில் \(\frac { 1 }{ 9216 }\)+.... மிகச்சிறிய எண்)
எனவே \(\sqrt [ 3 ]{ 65 } = 4.02 \)(தோராயமாக)

\(\frac { \cos ^{ 4 }{ \alpha } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } } +\frac { \cos ^{ 4 }{ \alpha } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } } \) = 1
⇒ \(\frac { \cos ^{ 4 }{ \alpha } .\sin ^{ 2 }{ \beta } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } .\sin ^{ 2 }{ \beta } } +\frac { \cos ^{ 2 }{ \beta } .\sin ^{ 4 }{ \alpha } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } \sin ^{ 2 }{ \beta } } \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } \sin ^{ 2 }{ \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } \sin ^{ 4 }{ \alpha } =\cos ^{ 2 }{ \beta } \sin ^{ 2 }{ \beta } \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } \left( 1-\cos ^{ 2 }{ \beta } \right) +\cos ^{ 2 }{ \beta } { \left( 1-\cos ^{ 2 }{ \alpha } \right) }^{ 2 }=\cos ^{ 2 }{ \beta } \left( 1-\cos ^{ 2 }{ \beta } \right) \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } -\cos ^{ 4 }{ \alpha } .\cos ^{ 2 }{ \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } \cos ^{ 4 }{ \alpha } -2\cos ^{ 2 }{ \beta } \cos ^{ 2 }{ \alpha } =\cos ^{ 2 }{ \beta } -\cos ^{ 4 }{ \beta } \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } -2\cos ^{ 2 }{ \beta } \cos ^{ 2 }{ \alpha } +\cos ^{ 4 }{ \beta } \) = 0
⇒ \({ \left( \cos ^{ 2 }{ \alpha } -\cos ^{ 2 }{ \beta } \right) }^{ 2 }\) = 0
⇒ \(\cos ^{ 2 }{ \alpha } =\cos ^{ 2 }{ \beta } \)  .......(1)
⇒ \(1-\sin ^{ 2 }{ \alpha } =1-\sin ^{ 2 }{ \beta } \)
⇒ \(\sin ^{ 2 }{ \alpha } =\sin ^{ 2 }{ \beta } \)   .....(2)
\(\sin ^{ 4 }{ \alpha } +\sin ^{ 4 }{ \beta } =2\sin ^{ 2 }{ \alpha } \sin ^{ 2 }{ \beta } \)
LHS = \(\sin ^{ 4 }{ \alpha } +\sin ^{ 4 }{ \beta } \)
= \(\left( \sin ^{ 2 }{ \alpha } -\sin ^{ 2 }{ \beta } \right) +2\sin ^{ 2 }{ \alpha } \sin ^{ 2 }{ \beta } \)
∵ \(\sin ^{ 2 }{ \alpha } =\sin ^{ 2 }{ \beta } \)   (மேற்கண்ட சமன்பாடு (2) - இல் இருந்து)
LHS = \(2\sin ^{ 2 }{ \alpha } \sin ^{ 2 }{ \beta } \) = RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

b²x² - a²y² = a²b² எனக் காட்டுக. இங்கு θ என்பது ஒரு துணையலகு மாறி ஆகும்.
\(\Rightarrow h=\frac { a }{ 2 } (cosec\theta +sin\theta ),k=\frac { b }{ 2 } (cosec\theta -sin\ \theta )\)எனக்  கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\Rightarrow \frac { 2h }{ a } =cosec\theta +sin\theta \) மற்றும் \(\frac { 2k }{ b } =cosec\theta -sin\theta \) இவற்றை வர்க்கப்படுத்தி கழிக்க
\(\Rightarrow { \left( \frac { 2h }{ a } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 2k }{ b } \right) }^{ 2 }={ (cosec\theta +sin\theta ) }^{ 2 }-{ (cosec\theta -sin\theta ) }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \frac { { 4h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { 4k }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } ={ cosec }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta +2cosec\theta .sin\ \theta -({ cosec }^{ 2 }\theta -2cosec\theta .sin+{ sin }^{ 2 }\theta )\)

\(\Rightarrow \frac { { 4h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { 4k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =4cosec\theta sin\ \theta \)
\(4\left( \frac { { h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } \right) =4\)
                       
4 ஆல் வகுக்க
\(\Rightarrow \frac { { h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow\) b² h² -a²k² = a²b²
\(\therefore\) P (h, k)-ன் நியமப்பாதை b² x² - a² y² = a² b²