2 sin²x + 1 = 3 sin x
2 sin²x - 3sinx + 1 = 0
(sin x -1)(2sinx - 1) = 0
sinx - 1 = 0
sinx = 1
2sinx = 1
sinx = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
sin x = 1 ⇒ sin x = 90  ....(1)
x = \(\frac { \pi }{ 2 } \)
sinx = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ sin x = \(\frac { \pi }{ 6 } \)  .... (2)
(1) (2) ⇒ x = \(\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 6 } \)

வாடிக்கையாளர்களின் எண்ணிக்கை=200-x
ஒரு உணவின் விலை =Rs. 100
மொத்த செலவு =Rs. 100(200-x)
ஒரு உணவின் மூலம் கிடைக்கும் வருமானம் =x
மொத்த வருமானம் =Rs. x(200-x)
இலாபம் =வருமானம் -செலவு =Rs x(200-x)-100(200-x)
=Rs(200-x)(x-100).

log₃x = y என்க.
x = 3^y மற்றும் \({ 3 }^{ { y }^{ 2 } }=9\)
எனவே, y² = 2, y = \(\sqrt { 2 } \), -\(\sqrt { 2 } \)
\(x={ 3 }^{ \sqrt { 2 } },{ 3 }^{ -\sqrt { 2 } }\)

y -அச்சுடன் கோணம் 30° ஏற்படுத்தும் கோடுகள் இரண்டு உள்ளன.
படத்திலிருந்து அக்கோடுகள் x -அச்சுடன் 60° மற்றும் 120° ஆகிய கோணங்களை ஏற்படுத்துகின்றன எனத் தெளிவாகிறது.
m₁=tan 60°=\(\sqrt { 3 } \) மற்றும்
m₂=tan 120° =tan (180°-60°)
=-tan 60° =-\(\sqrt { 3 } \)
m₁=\(\sqrt { 3 } \), m₂ =-\(\sqrt { 3 } \) மற்றும் b=7
தேவையான நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடுகள்
y=m₁x+b மற்றும் y=m₂x+b
y=\(\sqrt { 3 } \)x+7 மற்றும் y=-\(\sqrt { 3 } \)x+7

LHS = sin 105⁰ + cos 105⁰
= sin (60⁰ + 45⁰) + cos (60⁰ + 45⁰)
= sin 60⁰ cos 45⁰ + cos 60⁰ sin 45⁰ + cos 60⁰ cos 45⁰ - sin 60⁰ sin 45⁰
= \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
= \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2\sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2\sqrt { 2 } } \)

= cos 45⁰ = RHS

3x - 9 ≥ 0 ⇒ 3x ≥ 9 அதாவது, x ≥ 3 எனக் கிடைக்கும்.
அதேபோன்று 4x - 10 ≤ 6-லிருந்து,4x ≤ 16 எனக் கிடைக்கும். அதாவது x ≤ 4.
தீர்வுகள் [3,∞) மற்றும் (-∞,4]-ன் வெட்டுகணமாகும். எனவே, தீர்வு [3,4]

A∩B'∩C' ⊆ A ⊆ A U B' U C என்பது தெளிவு 
எனவே (A U B' U C) ∩ (A ∩ B' ∩ C') = A ∩ B' ∩ C'
மேலும் B'∩C'⊆ C'⊆ A U B U C'
எனவே (A U B U C') ∩ (B' ∩ C') = B'∩C' மேலும் A ∩ B' ∩ C' ⊆ B' ∩ C'
எனவே  ((A U B' U C)∩(A ∩ B' ∩ C')) U ((A U B' U C') ∩ (B' ∩ C')) = B'∩C'

tan (1050⁰) = tan (1080 - 30⁰)
= tan (3 x 360⁰ - 30⁰)
= - tan 30⁰ = \(\frac { -1 }{ \sqrt { 3 } } \)

- 205⁰ = - 205 x \(\frac { \pi }{ 180 } =\frac { -41\pi }{ 36 } \) ஆரையன்கள் 

4x²- x - 2 = 0
a = 4, b = -1, c =-2
D = b² -4ac
 = (-1)² -4 x 4 x -2
 = 1 + 32 = 33 > 0
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றது.

(i) (3, 3) என்பது ρ-ல் இல்லை என்பதால் ρ ஆனது தற்சுட்டு அல்ல (1,1) மற்றும் (2,2) ஆகியவை ρ-ல்  இருப்பதால் ρ -ஐ தற்சுட்டாக உருவாக்க (3,3)உறுப்பினை மட்டும் சேர்த்தால் போதுமானது.
(ii) ρ ஆனது சமச்சீர் அல்ல. ஏனெனில் (1, 2) என்பது ρ -ல் உள்ளது. ஆனால் (2, 1) என்பது ρ -ல் இல்லை. ρ -ஐ சமச்சீராக உருவாக்க (2, 1) என்ற உறுப்பினை மட்டும் சேர்த்தால் போதுமானது. (1, 2) என்ற உறுப்பினை ρ விலிருந்து நீக்கியும் ρ -ஐ சமச்சீராக உருவாக்க இயலும்.
(iii) ρ ஆனது கடப்பு தொடர்பு அல்ல. ஏனெனில் (3, 1) மற்றும் (1, 3) ஆகியவை ρ -ல் உள்ளன. ஆனால் (3, 3) ஆனது ρ -ல் இல்லை. ρ -ஐ கடப்பு தொடர்பாக  உருவாக்க (3, 3)ஐ சேர்க்க வேண்டும். அவ்வாறு சேர்த்த பின்னரும் தொடர்பானது கடப்புத் தொடர்பாக  இல்லை. ஏனெனில் (3, 1) மற்றும் (1, 2) ஆகியவை ρ -ல் உள்ளன. ஆனால் (3, 2) என்பது ρ -ல் இல்லை. எனவே ρ -ஐ கடப்பு தொடர்பாக  உருவாக்க (3, 2) -ஐ ρ -ல் சேர்க்க வேண்டும். இப்பொழுது இது கடப்பு தொடர்பாக  மாறும். எனவே ρ -ஐ கடப்பு தொடர்பாக  உருவாக்க (3, 3) மற்றும் (3, 2) ஆகியவற்றைச் சேர்க்க வேண்டும். ஆனால் (3, 1)ஐ நீக்கிவிட்டால் கடப்புத் தொடர்பாக  மாறிவிடும்.
(iv)இவ்வாறாக,
ρ -ஐ தற்சுட்டாக உருவாக்க (3, 3) -ஐ நாம் சேர்க்க வேண்டும்.
ρ -ஐ சமச்சீராக உருவாக்க (2, 1) -ஐ நாம் சேர்க்க வேண்டும்.
ρ -ஐ கடப்பு தொடர்பாக உருவாக்க (3, 3) மற்றும் (3, 2) -ஐ சேர்க்க வேண்டும் எனக் கண்டறிந்தோம்.
சமானத் தொடர்பாக ρ -ஐ உருவாக்க மேற்கண்ட உறுப்புகளை நாம் சேர்க்க வேண்டும்.
இந்த உறுப்புகளைச் சேர்த்தபிறகு தொடர்பானது.
{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,2),(2,3)} என அமையும்.
இந்தத் தொடர்பானது  தற்சுட்டு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு தொடர்பு எனக் கண்டறியலாம். இதனால் இது சமானத் தொடர்பாகும் . எனவே சமானத் தொடர்பை உருவாக்க (3,3), (2, 1), (3, 2)மற்றும் (2, 3) ஆகியவற்றை ρ -ல் சேர்க்க வேண்டும்.

m₁ மற்றும் m₂ என்பன ax²+2hxy+by²=0 என்ற இரட்டை நேர்க்கோட்டின் சாய்வுகள் மற்றும் m என்பது px+qy =0 என்ற கோட்டின் சாய்வு என்க.
எனவே   m₁+m₂ = \(\frac { -2h }{ b } \),m₁m₂ \(={a \over b }\) மற்றும்  m= \(-\frac { p }{ q } \)
ax²+2hxy+by²=0 என்ற இரட்டைக் கோடுகளில் ஒரு கோடு px+qy = 0 க்கு செங்குத்தாக உள்ளதால், செங்குத்துக் கோடுகளின் நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்த,
 mm₁ = –1 அல்லது mm₂ = –1
⇒ ​​​​​​(mm₁+1) =0 அல்லது (mm₂+1​) = 0​​​​​​
⇒ ​​​​​​(mm₁+1) (mm₂+1​) = 0
⇒ (m₁m₂)m² +(m₁+m₂)m+1 = 0
⇒ \(\left( \frac { a }{ b } \right) \left( -\frac { p }{ q } \right) ^{ 2 }+\left( -\frac { 2h }{ b } \right) \left( -\frac { p }{ q } \right) +1=0\)
⇒  ap²+2hqp+bq² = 0 என நிரூபிக்கப்பட்டது.

n மாதங்களில் கடன் முழுவதும் தீர்க்கப்படும் எனில் மொத்தத் தொகை ஒரு கூட்டுத்தொடரை அமைக்கும்.
∴ கூட்டுத் தொடரின் கூடுதல் S_n =3250
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2a+(n-1)d]=3250
⇒ \(\frac{n}{2}\)[40+(n-1)15]=3250
⇒ n(15n+25)=6500
⇒ 15n²+25n-6500=0
⇒ 3n²+5n-1300=0
⇒ (3n+65)(n-20)=0
∴ n=\(\frac{-65}{3}\) அல்லது n=20 ⇒ n=20
∴ மொத்தத் தொகை 20 மாதங்களில் தீர்க்கப்படும்.

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு 12x²+2kxy+2y²+11x-5y+2=0 
இங்கு a=12, h=k, b=2, g=\(\frac {11}{2}\),f=\(\frac {-5}{2}\), c=2
இரட்டை இணை கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு
⟶abc+2 fgh-af²-bg²-ch²=0 
12(2)(2)+(-5)(\(\frac{1}{2}\))(k)-12(\(\frac{25}{4}\))-2(\(\frac{121}{4}\))-2k²=0

முழுவதையும் 4 ஆல் பெருக்க
192-110 k-300-242-8k²=0
\(\Rightarrow \)-8k²-110k-350=0
\(\Rightarrow \)4k²+55k +175=0
\(\Rightarrow \)(k-5)(4k+35)=0
\(\Rightarrow \)k=-5 (அ) k =\(\frac {-35}{4}\)

\({ \left( { x }^{ 2 }+\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 5 }=^{ 5 }{ C }_{ 0 }{ \left( x^{ 2 } \right) }^{ 5 }{ \left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 0 }+^{ 5 }{ C }_{ 1 }{ \left( x^{ 2 } \right) }^{ 4 }{ \left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 1 }+ ^{ 5 }{ C }_{ 2 }{ \left( x^{ 2 } \right) }^{ 3 }{ \left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }+^{ 5 }{ C }_{ 3 }{ \left( x^{ 2 } \right) }^{ 2 }{ \left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 3 }+^{ 5 }{ C }_{ 4 }{ \left( x^{ 2 } \right) }^{ 1 }{ { \left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 4 } }+^{ 5 }{ C }_{ 5 }{ \left( x^{ 2 } \right) }^{ 0 }{ \left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 5 }\)
\(={ x }^{ 10 }+{ 5x }^{ 8 }\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } +10{ x }^{ 6 }{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }+{ 10x }^{ 4 }\left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } +{ 5x }^{ 2 }{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 }\left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) \)
\({ \left( { x }^{ 2 }-\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 5 }=^{ 5 }{ C }_{ 0 }{ \left( x^{ 2 } \right) }^{ 5 }{ \left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 0 }-^{ 5 }{ C }_{ 1 }{ \left( x^{ 2 } \right) }^{ 4 }{ \left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 1 }+ ^{ 5 }{ C }_{ 2 }{ \left( x^{ 2 } \right) }^{ 3 }{ \left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }-^{ 5 }{ C }_{ 3 }{ \left( x^{ 2 } \right) }^{ 2 }{ \left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 3 }+^{ 5 }{ C }_{ 4 }{ \left( x^{ 2 } \right) }^{ 1 }{ { { \left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 4 } } }-^{ 5 }{ C }_{ 5 }{ \left( x^{ 2 } \right) }^{ 0 }{ \left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 5 }\)
\(={ x }^{ 10 }-{ 5x }^{ 8 }\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } +10{ x }^{ 6 }{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }-{ 10x }^{ 4 }\left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } +{ 5x }^{ 2 }{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 }-{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 }\left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) \)
ஆகவே,\({ \left( { x }^{ 2 }+\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 5 }+{ \left( { x }^{ 2 }-\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 5 }=2[{ x }^{ 10 }+10{ x }^{ 6 }\left( 1-{ x }^{ 2 } \right) +{ 5x }^{ 2 }{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 }]\) 
\(=2[{ x }^{ 10 }+10{ x }^{ 6 }-10{ x }^{ 8 }+{ 5x }^{ 2 }{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 }]\)
\(=2[{ x }^{ 10 }-10{ x }^{ 8 }+{ 15x }^{ 6 }-{ 10 }x^{ 4 }+{ 5x }^{ 2 }]\)