\(tan\frac { A }{ 2 } =\sqrt { \frac { (s-b)(s-c) }{ s(s-a) } } ...(1)\)
\(tan\frac { C }{ 2 } =\sqrt { \frac { (s-a)(s-b) }{ s(s-c) } } ...(2)\)

\(=\frac{s-b}{s}\)

\(\therefore \frac { s-b }{ s } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow 3s-3b=s\)

a+b+c=3b
a+v=2b
\(\therefore\) a,b,c A.P ல் உள்ளன 

sin \(\left( \frac { \pi }{ 4 } -\frac { \theta }{ 2 } \right) \) when sinθ = \(\frac { 1 }{ 25 } \)
sin \(\left( \frac { \pi }{ 4 } -\frac { \theta }{ 2 } \right) \) = \(\sin { \frac { \pi }{ 2 } } \cos { \frac { \theta }{ 2 } } -\cos { \frac { \pi }{ 4 } } \sin { \frac { \theta }{ 2 } } \)
= \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \cos { \frac { \theta }{ 2 } } -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \sin { \frac { \theta }{ 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \left( \cos { \frac { \theta }{ 2 } } -\sin { \frac { \theta }{ 2 } } \right) \)
∴ sin² \(\left( \frac { \pi }{ 4 } -\frac { \theta }{ 2 } \right) \) = \(\frac { 1 }{ 2 } { \left( \cos { \frac { \theta }{ 2 } } -\sin { \frac { \theta }{ 2 } } \right) }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( \cos ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } +\sin ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } -2\sin { \frac { \theta }{ 2 } } \cos { \frac { \theta }{ 2 } } \right) \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left( 1-\sin { \theta } \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( 1-\frac { 1 }{ 25 } \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 24 }{ 25 } \right) =\frac { 12 }{ 25 } \)
∴ sin \(\left( \frac { \pi }{ 4 } -\frac { \theta }{ 2 } \right) \) = \(\sqrt { \frac { 12 }{ 25 } } =\frac { 2\sqrt { 3 } }{ 5 } \)

0 < A < \(\frac { \pi }{ 2 } \), 0 < B < \(\frac { \pi }{ 2 } \),
A, B, முதல் பகுதியில் அமைவன.
∴ அனைத்து முக்கோண விகிதங்களும் மிகையாகும்.
BC = \(\sqrt { { 5 }^{ 2 }-{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 25-9 } \)
= \(\sqrt { 16 } \) = 4
DE = \(\sqrt { { 41 }^{ 2 }-{ 9 }^{ 2 } } \)
= 40
sin A = \(\frac { 3 }{ 5 } \)
sin B = \(\frac { 40 }{ 41 } \)
cos A = \(\frac { 4 }{ 5 } \)
cos B = \(\frac { 9 }{ 41 } \)
cos (A - B) = cosA cosB + sinA sinB
= \(\frac { 4 }{ 5 } \times \frac { 9 }{ 41 } +\frac { 3 }{ 5 } \times \frac { 40 }{ 41 } \)
= \(\frac { 36 }{ 205 } +\frac { 120 }{ 205 } \)
= \(\frac { 156 }{ 205 } \)

\(\frac { a+b }{ a-b } =\tan { \left( \frac { A+B }{ 2 } \right) } \cot { \left( \frac { A-B }{ 2 } \right) } \)
\(\frac { a }{ \sin { A } } =\frac { b }{ \sin { B } } =\frac { c }{ \sin { C } } =k\)  என்க 
⇒ a = k sin A, b = k sin B, c = k sin C

= \(\frac { 2\sin { \left( \frac { A+B }{ 2 } \right) } \cos { \left( \frac { A-B }{ 2 } \right) } }{ 2\cos { \left( \frac { A+B }{ 2 } \right) } \sin { \left( \frac { A-B }{ 2 } \right) } } =\tan { \left( \frac { A+B }{ 2 } \right) } \cot { \left( \frac { A-B }{ 2 } \right) } \) = RHS
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

\(\sqrt { 3 } \tan ^{ 2 }{ \theta } +\left( \sqrt { 3 } -1 \right) \tan { \theta } -1=0\)
\(\sqrt { 3 } \tan ^{ 2 }{ \theta } +\sqrt { 3 } \tan { \theta } -\tan { \theta } -1=0\)
\(\left( \sqrt { 3 } \tan { \theta } -1 \right) \left( \tan { \theta } +1 \right) =0\)
எனவே, \(\left( \sqrt { 3 } \tan { \theta } -1 \right) \)=0 அல்லது \(\left( \tan { \theta } +1 \right) \) =0
\(\left( \sqrt { 3 } \tan { \theta } -1 \right) \)=0 எனில்,
\(\tan { \theta } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\tan { \frac { \pi }{ 6 } } \)
\(\Rightarrow \theta =n\pi \pm \frac { \pi }{ 6 } ,\quad n\in Z\)  .....(i)
\(\left( \tan { \theta } +1 \right) \)=0 எனில்,
\(\theta =-1=\tan { \left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) } \)
\(\Rightarrow \theta =n\pi -\frac { \pi }{ 4 } ,\quad n\in Z\) ......(ii)
(i) மற்றும் (ii) இலிருந்து நமக்குப் பொதுத் தீர்வு கிடைக்கிறது.

\(\sqrt { 3 } \sin { \theta } -\cos { \theta } =\sqrt { 2 } \)
இங்கு, \(a=-1,b=\sqrt { 3 } ,c=\sqrt { 2 } ,r=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } =2\)
எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைப் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்.
\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \sin { \theta } -\frac { 1 }{ 2 } \cos { \theta } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\sin { \theta } \cos { \frac { \pi }{ 6 } } -\cos { \theta } \sin { \frac { \pi }{ 6 } } =\sin { \frac { \pi }{ 4 } } \)
\(\sin { \left( \theta -\frac { \pi }{ 6 } \right) } =\sin { \frac { \pi }{ 4 } } \)
\(\theta -\frac { \pi }{ 6 } =n\pi \pm { \left( -1 \right) }^{ n }\frac { \pi }{ 4 } ,n\in Z\)
எனவே, \(\theta =n\pi \pm \frac { \pi }{ 6 } \pm { \left( -1 \right) }^{ n }\frac { \pi }{ 4 } ,n\in Z\)

\(\\ \)\(\sin { x } -3\sin { 2x } +\sin { 3x } =\cos { x } -3\cos { 2x } +\cos { 3x } \)
\(\sin { 3x } +\sin { x } -3\sin { 2x } =\cos { 3x } +\cos { x } -3\cos { 2x } \)
\(2\sin { 2x } \cos { x } -3\sin { 2x } =2\cos { 2x } \cos { x } -3\cos { 2x } \)
\(\left( \sin { 2x } -\cos { 2x } \right) \left( 2\cos { x } -3 \right) =0\)
எனவே, \(\sin { 2x } -\cos { 2x } =0\) ஏனெனில்,\(2\cos { x } -3\neq 0\)
\(\sin { 2x } =\cos { 2x } \Rightarrow \tan { 2x } =1 \Rightarrow x=\frac { n\pi }{ 2 } +\frac { \pi }{ 8 } ,n\in Z\)

a cos θ - b sin θ = c எனத் தரப்பட்டுள்ளது
⇒ (a cos θ - b sin θ)² = (c)²
⇒ a² cos²θ + b² sin²θ - 2 (a cosθ) (b sinθ) = c²
⇒ a² cos²θ + b² sin²θ - 2ab cosθ sinθ = c²
⇒ a² (1 - sin²θ) + b² (1 - cos²θ) - 2ab cosθ sinθ = c²
⇒ a² - a²sin²θ + b² - b² cos²θ - 2ab cosθ sinθ = c²
⇒ - a²sin²θ - b² cos²θ - 2ab cosθ sinθ = c² - a² - b²
⇒ a²sin²θ + b² cos²θ + 2ab cosθ sinθ = a² + b² - c²
⇒ (a sinθ + b cosθ)² = a² + b² - c² ⇒ a sinθ + b cosθ = ± \(\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } } \)

LHS = cos² A + (1 - sin² B) - 2 cos A cos B. cos (A + B)
= cos² A - sin² B + 1 - 2 cosA cos B. cos (A + B)
= cos (A + B). cos(A - B) + 1 - 2 cos A cosB. cos (A + B)
(∵ cos²A - sin²B = cos (A + B) cos (A - B))
= cos (A + B) [cos (A - B) - 2 cos A cosB] + 1
= - cos (A + B) [cosA cos B - sinA sinB] + 1
= - cos (A + B) cos (A + B) + 1
= - cos² (A + B) + 1
= 1 - cos² (A + B)
= sin² (A + B) = R.H.S எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

A + B + C = \(\frac { \pi }{ 2 } \) 
⇒ cos (A + B + C) = cos \(\frac { \pi }{ 2 } \)
⇒ cos (A + B + C) = 0
cos (A + B + C) = cos (A + B) cos C = sin (A + B) sin C
= cos C(cos A cos B - sin A sin B) - sinC (sin A cos B + cos A sin B)
= cos A cos B cos C - sin A sin B cos C - sin A cos B sin C - cos A sin B sin C
0 = cos A cos B cos C - sin A sin B cos C - sin A cos B sin C - cos A sin B sin C
∴ cos A cos B cos C - sin A sin B cos C + sin A cos B sin C + cos A sin B sin C 
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.