கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள் 3x + 4y + 2 = 0 மற்றும் 5x + 12y – 5 = 0
முதலில், இரு சமன்பாடுகளின் மாறிலியை மிகையாக மாற்ற,
3x + 4y + 2 = 0 மற்றும் -5x -12y +5 = 0 ஆகும்.
இரு கோடுகளின் இரு சமவெட்டியின் சமன்பாடு,
\(\frac { 3x + 4y + 2 }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{4 }^{ 2 } } } = ± \frac { -5x -12y +5 }{ \sqrt { { 5 }^{ 2 }+{12 }^{ 2 } } } \)
(நகரும் புள்ளி கோட்டிலிருந்து சமதூரத்தில் இருக்கும்)
a₁a₂ + b₁b₂ = – 15 – 48 < 0, என்பதால்
இரு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறுங்கோணத்தின் இரு சமவெட்டிகளின் சமன்பாடு,
\(\frac { 3x + 4y + 2 }{ 5 } = + \frac { -5x -12y +5 }{ 13 } \)
\(\Rightarrow \) 64x + 112y + 1 = 0

y -அச்சுடன் கோணம் 30° ஏற்படுத்தும் கோடுகள் இரண்டு உள்ளன.
படத்திலிருந்து அக்கோடுகள் x -அச்சுடன் 60° மற்றும் 120° ஆகிய கோணங்களை ஏற்படுத்துகின்றன எனத் தெளிவாகிறது.
m₁=tan 60°=\(\sqrt { 3 } \) மற்றும்
m₂=tan 120° =tan (180°-60°)
=-tan 60° =-\(\sqrt { 3 } \)
m₁=\(\sqrt { 3 } \), m₂ =-\(\sqrt { 3 } \) மற்றும் b=7
தேவையான நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடுகள்
y=m₁x+b மற்றும் y=m₂x+b
y=\(\sqrt { 3 } \)x+7 மற்றும் y=-\(\sqrt { 3 } \)x+7

P(h,k) என்பது தேவையான பாதையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க
O, A மற்றும் B ஆகிய புள்ளிகளின் ஆயக் கூறுகள் முறையே (0, 0), (a,0) மற்றும் (0, b) என்க.
ΔOAB -ன் நடுப்புள்ளி  \(\left( \frac { 0+a+0 }{ 3 } ,\frac { 0+0+b }{ 3 } \right) \) = (h,k)
\(\frac { a }{ 3 } =h\Rightarrow a=3h,\frac { b }{ 3 } =k\Rightarrow b=3k\)
செங்கோணம் ΔBOA லிருந்து
 OA²+OB² =AB²
(3h)²+ (3k)² = (6)² ⇒ h²+k² =4
எனவே P(h,k) என்ற புள்ளியின் நியமப்பாதை, x²+y² =4

கொடுக்கப்பட்ட இரு புள்ளிகள் A(1,0) மற்றும் B(5,0) ஆகும்.
P(h,k) என்பது தேவையான பாதையின்மீது அமைந்துள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க.
கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையின்படி AP = BP
அதாவது
\(\sqrt { (h-1)^{ 2 }+(k-0)^{ 2 } } =\sqrt { (h-5)^{ 2 }+(k-0)^{ 2 } } \)
⇒ h  = 3
எனவே, புள்ளி P(h,k)-ன் நியமப்பாதை, x = 3
இது y-அச்சிற்கு இணையாக உள்ள நேர்க்கோடு ஆகும்.

(x₁,y₁) மற்றும் (x₂,y₂) என்பன முறையே (5, 7) மற்றும் (7, 5) என்க.
\(\theta \) என்பது x -அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் சாய்வுக் கோணம் என்க.
கோட்டின் சாய்வு  m=\(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { 5-7 }{ 7-5 } \)=-1
மேலும், m =tanፀ
tanፀ=-1 ⇒ \(\theta =\frac { 3\pi }{ 4 } \) அல்லது 135°
சாய்வு மற்றும் சாய்வு கோணம் முறையே
m =-1 மற்றும் \(\theta =\frac { 3\pi }{ 4 } \).

தனித்தனிச் சமன்பாடுகள் x- 2y -3 = 0,  x + y + 5 = 0
அவற்றின் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடு 
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }\) + xy +5x -2xy -2y - 10y -3x -3y -15 =0
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-{ 2y }^{ 2 }\) -xy + 5x -3y -15 =0

x வெட்டு 3 எனில், A(3, 0) தேவையான கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளியாகும்.
5x-4y+3=0 என்ற கோட்டிற்கு இணையான கோடு 5x-4y+k =0 ஆகும்
(3, 0) என்ற புள்ளியை (1)-ல் பிரதியிட.
5x3-4x0+k=0 \(\Rightarrow \)15+k=0 \(\Rightarrow \)k=-15
\(\therefore \)தேவையான கோட்டின் சமன்பாடு 5x-4y-15=0

x-அச்சின் வெட்டுத்துண்டு = a மற்றும்
y -அச்சின் வெட்டுத்துண்டு = –a என்க.
எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
\(\frac { x }{ a } -\frac { y }{ a } \)= 1
⇒ x-y=a
மேற்கண்ட சமன்பாடானது (-1, 1) வழியே செல்வதால்,
(-1)-(1)= a ⇒ a = – 2
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
x - y + 2 = 0

தேவையான நியமப்பாதையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி P(h,k) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களிலிருந்து, h = ct மற்றும் \(k=\frac { c }{ t } \)  ஆகும்.
இவ்விரு சமன்பாடுகளைப் பெருக்கி t-ஐ நீக்கலாம்.
(h)(k) = ct\(\left( \frac { c }{ t } \right) \)  ⇒ hk = c², h = x மற்றும் k = y எனப் பிரதியிட
∴ தேவையான நியமப்பாதையின் சமன்பாடு xy=c²

x -அச்சானது நேரத்தை மணியிலும், y -அச்சானது தூரத்தை கிலோமீட்டரிலும் குறிப்பிடுகிறது என்க.கொடுக்கப்பட்ட தகவலின்படி,
   \(y=6(x-\frac { 10 }{ 60 } )\Rightarrow y=6x-1\)              (6.43)
   \(y=4(x-\frac { 5 }{ 60 } )\Rightarrow y=4x+\frac { 1 }{ 3 } \)            (6.44)
மேற்கண்ட சமன்பாடுகள் (6.43) மற்றும் (6.44) தீர்க்க (x,y) = \(\left( \frac { 2 }{ 3 } ,3 \right) \)
 x =\(\frac { 2 }{ 3 } \)  மணிகள் = 40 நிமிடங்கள், y = 3 கிமீ
(i) அவனது பள்ளிக்கும் வீட்டிற்கும் உள்ள தொலைவு 3 கிமீ
(ii) பள்ளிக்கு நேரத்திற்குச் செல்ல எடுத்துக் கொள்ளும் குறைந்தபட்ச சராசரி
வேகம்  = \(\frac { 60 }{ 40 } \times 3\)=4.5கிமீ / மணி மற்றும் பள்ளியை அடைய ஆகும் நேரம்  =\(\frac { 2 }{ 3 } \) மணி அல்லது 40 நிமிடம்
(iii) பள்ளி தொடங்கும் நேரம் காலை 8.40 ஆகும்
(iv) நடைபாதையின் இரட்டை நேர்கோடுகளின் சமன்பாடு
(6x-y-1) (4x-y+\(\frac { 1 }{ 3 } \)) =0
72x²-30xy+3y²-6x+2y-1  = 0

செங்குத்து வடிவம்
\(\sqrt { 3 } x-y+4=0\)
⇒ (-\(\sqrt { 3 } \))x+y=4     (6.17)-ஐ
Ax+By+C=0 என்ற சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது
A =-\(\sqrt { 3 } \) மற்றும் B =1   ∴ \(\sqrt { { A }^{ 2 }+{ B }^{ 2 } } \)=2
சமன்பாடு (6.17) -ஐ இருபுறமும் 2 ஆல் வகுக்க
⇒ \(-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } x+\frac { 1 }{ 2 } y\)     (6.18)-ஐ
x cosα+y sinα = p இச்சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது
cosα=\(-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \), sinα =\(\frac { 1 }{ 2 } \) மற்றும் p =2 என்க.
⇒  α =150^° =\(\frac { 5\pi }{ 6 } \) மற்றும் p =2
செங்குத்து வடிவத்தின் சமன்பாடு
\(xcos\frac { 5\pi }{ 6 } +ysin\frac { 5\pi }{ 6 } \)=2 ஆகும்.

x என்பது வருடங்களின் எண்ணிக்கையையும், y என்பது மக்கள் தொகையையும் குறிக்கிறது எனக் கொள்வோம்.
x₁(2005)  y₁(1,35,000)
x₂(2010)  y₂(1,45,000)
இரு புள்ளி வடிவம், x, y ற்கு இடைப்பட்ட தொடர்பு
\(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } \)
\(\Rightarrow \frac { x-2005 }{ 2010-2005 } =\frac { y-1,35,000 }{ 1,45,000-1,35,000 } \)
\(\Rightarrow \frac { x-2005 }{ 5 } =\frac { y-1,35,000 }{ 10,000 } \)
\(\Rightarrow x-2005=\frac { y-1,35,000 }{ 2000 } \)
= 2000(x-2005)+1,35,000 ....(1)
2015-ம் ஆண்டு மக்கள் தொகையைக் காண்க.
x = 2015(1) பிரதியிட
y = 2000(2015-2005)+1,35,000
= 2000(10) + 1,35,000
= 20000+1,35,000
= 1,55,000
2015-ம் ஆண்டு மக்கள் தொகை = 1,55,000 

ax+by+c =0 என்ற கோட்டிற்கும் (x₁,y₁) என்ற புள்ளிக்கும் இடையே உள்ள தூரம்
\(D=\left| \frac { { ax }_{ 1 }+{ by }_{ 1 }+c }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \right| \)
அதாவது, 5x + 12y – 3 = 0 என்ற கோட்டிற்கும் (1, 2) என்ற புள்ளிக்கும் இடையே உள்ள தூரம்.
\(D=\left| \frac { 5(1)+12(2)-3 }{ \sqrt { { 5 }^{ 2 }+{ 1 }2^{ 2 } } } \right| =2\)

R(h, k) ன் நகரும் புள்ளி P(2, -7),Q புள்ளி (2x² + 9y² = 18)-ன் மீது அமையும்
R(h, k) ஆனது PQ-ன் நடுப்புள்ளி
2x² + 9y² = 18 \(\div \) 9
\(\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 } }{ 9 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } =1\)
\(\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 } }{ { 3 }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { \sqrt { 2 } }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow a=3,b=\sqrt { 2 } \)
(a cos\(\theta\), b sin\(\theta\) வளைவரையின் அமைந்துள்ளதால்
\(\therefore Q=\left( 3cos\theta ,\sqrt { 2 } sin\theta \right) \)
R என்பது PQ-ன் நடுப்புள்ளி
\((h,k)=\left( \frac { 2+3cos\theta }{ 2 } ,\frac { -7+\sqrt { 2 } sin\theta }{ 2 } \right) \)
\(\Rightarrow h=\frac { 2+3cos\theta }{ 2 } ,k=\frac { -7+\sqrt { 2 } sin\theta }{ 2 } \)
\(\Rightarrow 2h-2=3cos\theta ,\quad 2k+7=\sqrt { 2 } sin\theta \)
\(\Rightarrow \frac { 2h-2 }{ 3 } =cos\theta ,\frac { 2k+7 }{ 2 } =sin\theta \)
வர்க்கப்படுத்தும் மற்றும் கூட்டுவதன் மூலம் கிடைப்பது
\(\Rightarrow { \left( \frac { 2h-2 }{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 2k+7 }{ \sqrt { 2 } } \right) }^{ 2 }={ cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta \)
\(\Rightarrow \frac { { 4h }^{ 2 }-8h+4 }{ 9 } +\frac { 4{ k }^{ 2 }+28k+49 }{ 2 } =1\)
\(\Rightarrow 2({ 4h }^{ 2 }-8h+4)+9({ 4k }^{ 2 }+28k+49)=18\)
\(\Rightarrow { 8h }^{ 2 }-16h+8+36{ k }^{ 2 }+252k+441-18=0\)
\(\Rightarrow 8{ h }^{ 2 }+36{ k }^{ 2 }-16h+252k+431=0\)
\(\Rightarrow \therefore \) (h, k)-ன் நியமப்பாதை = 8x² + 36y² - 16x + 252y + 431 = 0

x - அச்சில் நேரத்தை வினாடியிலும்
y - அச்சில் தொலைவை மீட்டரிலும் குறிக்கின்றது என்க.
தொடர்வண்டி இயந்திரம் ஆதிப்புள்ளி O-ல் உள்ளது என்க. எனவே தொடர் வண்டியின் நீளம் 560 மீ. y -அச்சின் குறை வெட்டுத்துண்டாகும்.
எனவே, b =-560
தொடர்வண்டியின் இயக்கத்தின் சீரான வேகம் 12.5 மீ/வி என்பதைச் சாய்வாகக் கருதலாம்.
m =12.5 
சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு கொடுக்கப்பட்டால் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
y= mx + b
(i) m = 12.5 மற்றும் b = -560 என்பதால் தொடர்வண்டியின் இயக்கச் சமன்பாடு
y = 12.5x - 560
(ii) பாலத்தின் எதிர்ப்புற முனையைத் தொடர்வண்டியின் இயந்திரம் தொடும் நேரம் y = 2065 மற்றும் b = 0
2065 = 12.5x
x = 165.2 வினாடிகள்
(iii) தொடர்வண்டியின் கடைசி பெட்டியானது பாலத்தின் தொடக்க முனையை அடையும்போது
y = 0 ⇒ = 12.5x – 560
எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம், x = 44.8 வினாடிகள்
(iv) தொடர்வண்டி பாம்பன் பாலத்தைக் கடந்து செல்வதற்காக எடுத்துக்கொண்ட நேரம்
y = 2065 ⇒ 2065 =12.5x - 560
x = 210 வினாடிகள்