x-1=x மற்றும் y-2=y  என்க.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 6x²+5xy-4y²=0 காரணிப்படுத்துதலில் மூலம் கிடைப்பது
⟶(3x+4y)(2x-y)=0
[3(x²-1)+4(y-2)][2(x-1)-(y-2)]=0
\(\therefore \)x=x -1 மற்றும் y=y-2
\(\Rightarrow \)(3x²-3+4y-8)(2x-2-y+2)=0

\(\Rightarrow \)(3x+4y-11)(2x-y)=0
எனவே தனித்தனி சமன்பாடுகள் 
3x+4y-11=0 மற்றும் 2x-y=0

2x² + 3xy - 2y² + 3x + y + 1 = 0 கொடுக்கப்பட்ட இணை கோடுகளின் சமன்பாடு
இரட்டை இணைகோடுகளுக்கான பொதுச் சமன்பாடு ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
a = 2
2h = 3
\(h=\frac { 3 }{ 2 } \)
b = -2
2g = 3
g=\(\frac { 3 }{ 2 } \)
2f = 1
f=\(\frac { 1 }{ 2 } \)
c = 1
இரட்டைக் கோடுகள் செங்குத்தாக இருக்கக் கட்டுப்பாடு.
a + b = 0
\(\therefore\) 2 + (-2) = 0
 \(\therefore\) இவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள் 3x + 4y + 2 = 0 மற்றும் 5x + 12y – 5 = 0
முதலில், இரு சமன்பாடுகளின் மாறிலியை மிகையாக மாற்ற,
3x + 4y + 2 = 0 மற்றும் -5x -12y +5 = 0 ஆகும்.
இரு கோடுகளின் இரு சமவெட்டியின் சமன்பாடு,
\(\frac { 3x + 4y + 2 }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{4 }^{ 2 } } } = ± \frac { -5x -12y +5 }{ \sqrt { { 5 }^{ 2 }+{12 }^{ 2 } } } \)
(நகரும் புள்ளி கோட்டிலிருந்து சமதூரத்தில் இருக்கும்)
a₁a₂ + b₁b₂ = – 15 – 48 < 0, என்பதால்
இரு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறுங்கோணத்தின் இரு சமவெட்டிகளின் சமன்பாடு,
\(\frac { 3x + 4y + 2 }{ 5 } = + \frac { -5x -12y +5 }{ 13 } \)
\(\Rightarrow \) 64x + 112y + 1 = 0

ஆதியிலிருந்து 2x+y =5 என்ற கோட்டிற்கு வரையும் செங்குத்துக் கோட்டின் அடிபுள்ளியே தேவையான புள்ளியாகும். ஆதிப்புள்ளி வழியே செல்லும் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்துக்கோடு x – 2y = 0.
2x + y = 5 , x – 2y = 0 இக்கோடுகளின் தீர்வுகள் x = 2, y = 1 தேவையான கோட்டின் மீது, ஆதிக்கு அருகமைப்புள்ளி (2, 1) ஆகும்.
மாற்று முறை
கொடுக்கப்பட்ட  சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
\(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ a } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ b } =-\frac { ({ ax }_{ 1 }+{ by }_{ 1 }+c) }{ { a }^{ 2 }+b^{ 2 } } \)
\(\frac { x-0 }{ 2 } =\frac { y-0 }{ 1 } =-\frac { (2(0)+1(0)-5) }{ { 2 }^{ 2 }+1^{ 2 } } \)
⇒ \(\frac { x }{ 2 } =\frac { y }{ 1 } =1\) ⇒   (2,1)

y -அச்சுடன் கோணம் 30° ஏற்படுத்தும் கோடுகள் இரண்டு உள்ளன.
படத்திலிருந்து அக்கோடுகள் x -அச்சுடன் 60° மற்றும் 120° ஆகிய கோணங்களை ஏற்படுத்துகின்றன எனத் தெளிவாகிறது.
m₁=tan 60°=\(\sqrt { 3 } \) மற்றும்
m₂=tan 120° =tan (180°-60°)
=-tan 60° =-\(\sqrt { 3 } \)
m₁=\(\sqrt { 3 } \), m₂ =-\(\sqrt { 3 } \) மற்றும் b=7
தேவையான நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடுகள்
y=m₁x+b மற்றும் y=m₂x+b
y=\(\sqrt { 3 } \)x+7 மற்றும் y=-\(\sqrt { 3 } \)x+7

P(3, 0) மற்றும் Q(5, 2) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் என்க.
 PQ -ன் சாய்வு = \(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \)
 = \(\frac { 2-0 }{ 5-3 } =1\)
 PQ -ன் கோணம் = tan^-1 (1)
  =  \(\frac { \pi }{ 4 } \)அல்லது 45^o
புதிய நிலையில் உள்ள கோட்டின் சாய்வு  = m = tan (45^o+15^o)
  = tan 60^o = \(\sqrt { 3 } \)
புள்ளி (3, 0) வழியாகவும் சாய்வு \(\sqrt{3}\) -ஐக் கொண்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
y-0  =\(\sqrt { 3 } \)  (x-3)
\(\sqrt { 3 } \)x-y-3 \(\sqrt { 3 } \) =0

1.8 கிலோமீட்டர் வரை மாறாத வாடகை  ரூ25. எனவே, அதன் சமன்பாடு
y = 25 , \(0 ≤x≤1.8\)            (6.26)
கிலோமீட்டர் 1.8-க்கு மேல் ஒவ்வொரு கிலோமீட்டருக்கும்  வாடகை ரூ 12. இதன் சமன்பாடு
 y = 25+12(x-1.8),x > 1.8             (6.27)
சமன்பாடுகள் (6.26) மற்றும் (6.27) ஆகியவற்றிலிருந்து
 \(y = \begin{cases} 25,\quad \quad \quad \quad 0\le x \le 1.8 \\25+12(x-1.8)x >1.8 \end{cases}\)                             (6.28)
x = 15 எனில், சமன்பாடு (6.27) -லிருந்து
 y = 25+12(15-1.8) = 183.40
∴ 15 கிமீ பயணம் செய்ய வாடகை ரூ 183.40

P(h,k) ஆனது RQ-ன் மீது அமைந்த நகரும் புள்ளி
\(\angle \)ORQ = Q
\(\Delta\)PLR லிருந்து \(sin\ \theta =\frac { k }{ b } \)   ......(1)
\(\Delta\)PMQ விலிருந்து cos\(\theta =\frac { h }{ b } \) .....(2)
(1), (2)-ஐ வர்க்கப்படுத்தி கூட்ட
\(\Rightarrow { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta ={ \left( \frac { k }{ b } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { h }{ a } \right) }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow 1=\frac { { k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } +\frac { { h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \frac { { h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\therefore\)P(h, k)-ன் நியமப்பாதை\(\frac { { x }^{ 2 } }{ a^{ 2 } } +\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } =1\)

ஒரு கூட்டுத் தொடர் முறையானது ஒரு நேரிய சார்பு ஆகும். x என்பது உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் y என்பது அந்த உறுப்பின் மதிப்பு என்க
(x₁, y₁) மற்றும் (x₂, y₂) முறையே (7, 30) மற்றும் (10, 21) என்க.
y-y₁=m(x-x₁) என்ற சமன்பாட்டிலிருந்து
y-y₁=\(\frac { ({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }) }{ ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 }) } (x-x_ 1)\) 
y-30=\(\frac { (21-30) }{ (10-7) } (x -7)\)
y=-3x+51      ....(6.14)
(i) x = 1, 2 மற்றும் 3 எனச் சமன்பாடு (6.14) -ல் பிரதியிட A.P. -ன் முதல் மூன்று உறுப்புகள் முறையே 48, 45 மற்றும் 42 ஆகும்
(ii) y = 0 எனச் சமன்பாடு (6.14) -ல் பிரதியிட
0=-3x+51 ⇒ x=17
அதாவது, கூட்டுத்தொடர் முறையில் பதினேழாவது உறுப்பு பூச்சியமாகும்.
(iii) இந்நேர்கோட்டின் சாய்வு -3, கூட்டுத் தொடரின் பொது வித்தியாசத்திற்குச் சமம் என்பது தெளிவாகியது.(கூட்டுத்தொடரின் பொது வித்தியாசமும், அதன் கோட்டின் சாய்வும் ஒன்றே என நிரூபிக்க முயற்சிக்கவும்).

x-அச்சின் வெட்டுத்துண்டு = a மற்றும்
y -அச்சின் வெட்டுத்துண்டு = –a என்க.
எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
\(\frac { x }{ a } -\frac { y }{ a } \)= 1
⇒ x-y=a
மேற்கண்ட சமன்பாடானது (-1, 1) வழியே செல்வதால்,
(-1)-(1)= a ⇒ a = – 2
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
x - y + 2 = 0