2,2,4,4,6,6,....
∴ ஒற்றைபடை உறுப்புகள்  2,4,6.....
இரட்டைப்படை உறுப்புகள் 2,4,6,...
∴

(a+b)ⁿ என்ற ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவில் a = 2x, b = 3 மற்றும் n = 5 எனப் பிரதியிட
(2x + 3)⁵ = (2x)⁵+ 5(2x)⁴3 + 10(2x)³3² +10(2x)²3³ +5(2x)3⁴ + 3⁵
= 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243

இங்கு,\(n =\frac {2}{3}\)
\(\frac { n(n-1) }{ 2! } =\frac { \frac { 2 }{ 3 } \left( \frac { 2 }{ 3 } -1 \right) }{ 2! } \)
\(=\frac { \frac { 2 }{ 3 } \left( \frac { -1 }{ 3 } \right) }{ 2 } \)
\(=\frac { -1 }{ 9 } \)
\(\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } =\frac { \frac { 2 }{ 3 } \left( \frac { 2 }{ 3 } -1 \right) \left( \frac { 2 }{ 3 } -2 \right) }{ 3! } \)
\(=\frac { \frac { 2 }{ 3 } \left( \frac { -1 }{ 3 } \right) \left( \frac { -4 }{ 3 } \right) }{ 6 } \)
\(=\frac { 4 }{ 81 } \)
இதனால், \({ (1+x) }^{ 2\over .3 }=1+\frac { 2 }{ 3 } x-\frac { 1 }{ 9 } { x }^{ 2 }+\frac { 4 }{ 81 } x^{ 3 }+...\) 

\({ \left( 2x-\frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 4 }=^{ 4 }{ C }_{ 0 }{ (2x) }^{ 4 }{ \left( -\frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 0 }+^{ 4 }{ C }_{ 1 }{ (2x) }^{ 3 }{ \left( -\frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 1 }+^{ 4 }{ C }_{ 2 }{ (2x })^{ 2 }{ \left( -\frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 2 }+^{ 4 }{ C }_{ 3 }{ (2x })^{ 1 }{ \left( -\frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 3 }+^{ 4 }{ C }_{ 4 }{ (2x })^{ 0 }{ \left( -\frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 4 }\)\(={ (2x) }^{ 4 }-4{ (2x) }^{ 3 }\left( \frac { 1 }{ 2x } \right) +6{ (2x) }^{ 2 }{ \left( \frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 2 }-4(2x){ \left( \frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 4 }\)
\(=16{ x }^{ 4 }-16{ x }^{ 2 }+6-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 16x }^{ 4 } } \)

இங்கு, a = 1 , d = 3 மற்றும் r=\(\frac{1}{5}\)
\({ S }_{ \infty }=\frac { a }{ 1-r } +\frac { dr }{ { (1-r) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ 5 } } +\frac { 3\times \frac { 1 }{ 5 } }{ { (1-\frac { 1 }{ 5 } ) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 5 }{ 4 } +\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \left( \frac { 25 }{ 16 } \right) \)
\(=\frac { 35 }{ 26 } \)

கொடுக்கப்பக்கப்பட்ட தொடரின் k ஆவது உறுப்பு \({ t }_{ k }=\frac { 1 }{ k(k+1) } \) என்க.
பகுதி பின்னத்தைப் பயன்படுத்த, \(\frac { 1 }{ k(k+1) } =\frac { 1 }{ k } -\frac { 1 }{ k+1 } \) என கிடைக்கும்.
எனவே, \({ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 }+...+{ t }_{ n }=\left( 1-\frac { 1 }{ 2 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 3 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 4 } \right) +...+\left( \frac { 1 }{ n } -\frac { 1 }{ n+1 } \right) =1-\frac { 1 }{ n+1 } \)

மூன்று அடுத்தடுத்த உறுப்புகள் முறையே r, (r+1),(r+2) என்க.
∴ பொது உறுப்பு =T_r+1=ⁿC_rx^n-r a^r   ....(1)
இவற்றின் கெழுக்களின் விகிதம்
=ⁿC_r-1 : ⁿC_r : ⁿC_r+1=1:7:42
\(\frac { { n }_{ { C }_{ r-1 } } }{ { n }_{ { C }_{ r } } } =\frac { 1 }{ 7 } \) ⇒ 7 x C_r-1 =ⁿC_r
\(\frac { n! }{ \frac { (r-1)!(n-r+1)! }{ \frac { n! }{ r!(n-r)! } } } =\frac { 1 }{ 7 } \)
\(\frac { n! }{ (r-1)!(n-r+1)(n-r)! } \times \frac { r(r-1)!(n-r)! }{ n! } =\frac { 1 }{ 7 } \)
\(\frac { r }{ n-r+1 } =\frac { 1 }{ 7 } \)
⇒ 7r=n-r+1
⇒ n-8r+1=0   ....(2)
\(\frac { { n }_{ C_{ r } } }{ { n }_{ { C }_{ r+1 } } } =\frac { 7 }{ 42 } \)
\(\Rightarrow \because \frac { { n }_{ C_{ r+1 } } }{ { n }_{ { C }_{ r } } } =\frac { n-r }{ r+1 } \Rightarrow \frac { r+1 }{ n-r } =\frac { 7 }{ 42 } =\frac { 1 }{ 6 } \)
⇒ 6r+6=n-r ⇒ n-7r-6=0    ....(3)
(2)-(3)
(n-8r+1)-(n-7r-6)=0
⇒ -r+7=0 ⇒ r=7
r=7 என (2) ல் பிரதியிட
n-8(7)+1=0
⇒ n-56+1=0
⇒ n-55=0 ⇒ n=55
n=55 & r=7

(a+b)ⁿ-ன் பொது உறுப்பு T_n+1=ⁿC_r a^n-r b^r
4 வது உறுப்பின் கெழுவைக்கான r=3 என (1) ல் பிரதியிட
∴ T₄=ⁿC₃a^n-3b³
13 வது உறுப்பின் கெழுவைக்காண
r=12 என (1) ல் பிரதியிட
∴ T₁₃=ⁿC₁₂a^n-12b^12
nC₃=ⁿC₁₂ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
⇒ n=3+12=15 ⇒ n=15.

கொடுக்கப்பட்டது: \(\left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \right) ^{ 3 }\)(1+x³)⁵⁰
\(\left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \right) ^{ 3 }\)-ன் விரிவு
=\(\left( { x }^{ 2 } \right) ^{ 5 }+5_{ C_{ 1 } }({ x }^{ 2 })^{ 4 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 1 }+{ 5 }_{ { C }_{ 2 } }({ x }^{ 2 })^{ 3 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 2 }+{ 5 }_{ { C }_{ 3 } }({ x }^{ 2 })\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 3 }+{ 5 }_{ { C }_{ 4 } }({ x }^{ 2 })^{ 1 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 4 }+\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 4 }+\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 5 }\)
=\({ x }^{ 10 }+5\frac { { x }^{ 8 } }{ x } +\frac { 5\times 4 }{ 2\times 1 } .\frac { { x }^{ 6 } }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 5\times 4 }{ 2\times 1 } \frac { { x }^{ 4 } }{ { x }^{ 3 } } +5\frac { { x }^{ 2 } }{ { x }^{ 4 } } +\frac { 1 }{ { x }^{ 5 } } \)
=\({ x }^{ 10 }+5{ x }^{ 7 }+10{ x }^{ 4 }+10x+\frac { 5 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 11 }{ { x }^{ 5 } } \)
=(1+x³)⁵⁰
பொது உறுப்பு
=T_r+1=⁵⁰C_r(1)^50-r(x³)^r=⁵⁰C_rx^3r  ...(1)
⇒ \(\left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \right) (1+x^{ 3 })^{ 50 }\)
=\(({ x }^{ 10 }+5{ x }^{ 7 }+10{ x }^{ 4 }+10x+\frac { 5 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { x }^{ 5 } } )(1+{ x }^{ 3 })^{ 50 }\)
=\(\left( { x }^{ 10 }+5{ x }^{ 7 }+10{ x }^{ 4 }+10x+\frac { 5 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { x }^{ 5 } } \right) ({ 50 }_{ { C }_{ 0 } }+{ 50 }_{ { C }_{ 1 } }{ x }^{ 3 }+{ 50 }_{ { C }_{ 2 } }{ x }^{ 6 }+{ 50 }_{ { C }_{ 3 } }{ x }^{ 6 }+{ 50 }_{ { C }_{ 3 } }{ x }^{ 9 }+...)\)
=\(\left( { x }^{ 10 }+5{ x }^{ 7 }+10{ x }^{ 4 }+10x+\frac { 5 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { x }^{ 5 } } \right) (1+50{ x }^{ 3 }+1225{ x }^{ 6 }+19600{ x }^{ 9 }+...)\)
x⁴-ன் கெழு
=10 (மாறிலி உறுப்பு (1+x³)⁵⁰)+10[(1+x³)⁵⁰ ல் உள்ள x³ ன் கெழு )5 (x⁶ ன் கெழு)+1(x⁹ ன் கெழு)
= 10(1)+10(⁵⁰C₁)+5(⁵⁰C₂)+1(⁵⁰C₃)  (∵ (1)-ஐப் பயன்படுத்தி)
=10 + 10 x 50 + 5 x \(\frac { 50\times 49 }{ 2\times 1 } +\frac { 50\times 49\times 48 }{ 3\times 2\times 1 } \)
=10+500+6125+19600=26235
∴ x⁴-ன் கெழு=26235

\({ \left( { x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) }^{ 6 }\), n=6, x=x², a=\(\frac { -1 }{ { x }^{ 3 } } \)
∴ பொது உறுப்பு ⇒ T_r+1=ⁿC_rx^n-ra^r
⇒ T_r+1=⁶C_r(x^r)^6-r \(\left( \frac { -1 }{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ r }\)
=(-1)^r6C_rx^12-5r  ...(1)
x⁶ ன் கெழுவினைக்கான 12-5r=6 எனக் கொள்க.
12-5r=6 ⇒ 12-6=5r ⇒ 6=5r
r=\(\frac{6}{5}\) இங்கு x⁶ இருக்கமுடியாது
x²-ன் கெழுவைக் காண 12-5r=2 என பிரதியிட
12-5r=2
⇒ 12-2=5r ⇒ 10=5r ⇒ r=2
r=2 என (1) ல் பிரதியிட
T₃=(-1)²⁶C₂x^12-10=\(\frac { 6\times 5 }{ 2\times 1 } \)x²=15x²
∴ x² ன் கெழு =15

இதை நிறுவ, 6ⁿ - 5n = 25k + 1, k என்பது ஒரு இயல் எண், என நிறுவினால் போதுமானது
எனில், \({ \left( 1+x \right) }^{ 6 }=^{ n }{ C }_{ 0 }+^{ n }{ C }_{ 1 }{ x }+^{ n }{ C }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+.....+^{ n }{ C }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }+^{ n }{ C }_{ n }{ x }^{ n },n\epsilon N\)
x = 5 என எடுத்துக் கொள்ள ,\({ \left( 1+5 \right) }^{ n }=^{ n }{ C }_{ 0 }+^{ n }{ C }_{ 1 }5+^{ n }{ C }_{ 2 }{ 5 }^{ 2 }+.....+^{ n }{ C }_{ n-1 }{ 5 }^{ n-1 }+^{ n }{ C }_{ n }{ 5 }^{ n }\)என கிடைக்கும்
மேலே உள்ள சமன்பாடு,\({ 6 }^{ n }=1+5x+25(^{ n }{ C }_{ 2 }+^{ n }{ C }_{ 3 }5+......+^{ n }{ C }_{ n }{ 5 }^{ n-2 })\)என மாறும்.
அதாவது,\({ 6 }^{ n }-5=1++25(^{ n }{ C }_{ 2 }+^{ n }{ C }_{ 3 }5+......+^{ n }{ C }_{ n }{ 5 }^{ n-2 })1+25k,k\epsilon N\)
இதிலிருந்து, 6ⁿ - 5n ஐ 25 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 1 என அறியலாம். இது எல்லா இயல் எண் 'n'-க்கும் பொருந்தும்.

இங்கு T₂ = 240,T₃ = 720 மற்றும் T₄ = 1080
T₂ = ⁿC₁x^n-1 a =240 ..... (1)
T₃ = ⁿC₂x^n-2 a² =720 ..... (2)
T₄ = ⁿC₃x^n-3 a³ =1080 ..... (3)
சமன்பாடு (2) ஐ (1) ஆல் மற்றும் (3) ஐ (2) ஆல் வகுக்க , நமக்கு கிடைப்பது,
\(\frac{a}{x}=\frac{6}{n-1}\)....(4)
\(\frac{a}{x}=\frac{9}{2(n-1)}\) ....(5)
சமன்பாடுகள் (4) மற்றும் (5) இவற்றிலிருந்து,\(\frac{6}{n-1}=\frac{9}{2(n-1)}\)எனவே , n = 5 ஆகும். n = 5 ஐ (1) மற்றும் (4) இல் பிரதியிட்டு, சமன்பாடு (1) ஐ சமன்பாடு (4) ஆல் வகுக்க \(\frac { 5{ x }^{ 4 }2 }{ \frac { a }{ x } } =\frac { 240 }{ \frac { 6 }{ 4 } } \),என கிடைக்கும். எனவே , 5x⁵ = 160 . மற்றும் இதன் மூலம் x = 2 எனவும், இதை சமன்பாடு (4) இல் பிரதியிட, a = 3 எனவும் கிடைக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட தொடரின் n ஆவது உறுப்பு a_n என்க. அதனால்,\({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ { n }^{ 2 }+5n+6 } \) பகுதி பின்னத்தை பயன்படுத்தி \({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ n+2 } -\frac { 1 }{ n+3 } \) என அறியலாம்
இந்த தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் s_n என்க
\({ s }_{ n }={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+...+{ a }_{ n }=\left( \frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 4 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 5 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 5 } -\frac { 1 }{ 6 } \right) +..+\left( \frac { 1 }{ n+2 } -\frac { 1 }{ n+3 } \right) =\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ n+3 } \)
n ஆனது முடிவிலியை நோக்கி செல்லும்போது \(\frac { 1 }{ n+3 } \) ஆனது பூஜ்ஜியத்தை நோக்கிச் செல்லும். எனவே,\(\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ n+3 } \rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \) அல்லது \({ s }_{ n }\rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \)எனலாம். அதாவது \(\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 }+5n+6 } } ={1\over 3}\)