\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right| =\hat { i } (1+4)-\hat { j } (3-4)+\hat { k } (-3-1)=5\hat { i } +\hat { j } -4\hat { k } \)
\( \left| \vec { a } \times \vec { b } \right| =\left| 5\hat { i } +\hat { j } -4\hat { k } \right| =\sqrt { 42 } \)
இணைகரத்தின் பரப்பளவு \(\sqrt { 42 } \) ச.அலகுகள்  

O -வை ஆதிபுள்ளியாகக் கொள்க .
ஆகவே, \(\overline { OA } =4\hat { i } -3\hat { j } ;\overline { OB } =7\hat { i } -5\hat { j } -\hat { k } ;\overline { OC } =-2\hat { i } +\hat { j } +3\hat { k } ;\overline { OD } =2\hat { j } +5\hat { k } \) 
\( \overline { AB } =\overline { OB } -\overline { OA } =3\hat { i } -2\hat { j } -\hat { k } ;\overline { CD } =\overline { OD } -\overline { OC } =2\hat { i } +\hat { j } +2\hat { k } \)
\(\overline { CD } \) மீது \(\overline { AB } \)-ன் வீழல் \(=\frac { \overline { AB } .\overline { CD } }{ \left| \overline { CD } \right| } =\frac { 6-2-2 }{ 3 } =\frac { 2 }{ 3 } \)

\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \) என்க.
\(\vec { r } .\hat { i } =(x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } )\hat { i } =x\)
\(\vec { r } .\hat { j } =(x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } )\hat { j } =y\)
\(\vec { r } .\hat { k } =(x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } )\hat { k } =z\)
\((\vec { r } .\hat { i } )\hat { i } +(\vec { r } .\hat { j } )\hat { j } +(\vec { r } .\hat { k } )\hat { k. } =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } =\vec { r } \)
எனவே \(\vec { r } =(\vec { r } .\hat { i } )\hat { i } +(\vec { r } .\hat { j } )\hat { j } +(\vec { r } .\hat { k } )\hat { k. } \)

\((\vec { a } +\lambda \vec { b } ).\vec { c } =0\Rightarrow \vec { a } .\vec { c } +\lambda \vec { b } .\vec { c } =0.\)
\(\Rightarrow (6+2)+\lambda (-3+2)=0\)
\(\Rightarrow \lambda =8\)

கொடுக்கப்பட்டுள்ள விகிதங்கள் \(\frac { 1 }{ 5 } ,\frac { 3 }{ 5 } ,\frac { 4 }{ 5 } \).
\(l=\frac { 1 }{ 5 } ,m=\frac { 3 }{ 5 } ,n=\frac { 4 }{ 5 } \) என்க.
∴ l²+m²+n²=\(\left( \frac { 1 }{ 5 } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) ^{ 2 }\)
=\(\frac { 1 }{ 25 } +\frac { 9 }{ 25 } +\frac { 16 }{ 25 } =\frac { 1+9+16 }{ 25 } \)
=\(\frac { 26 }{ 25 } \)≠1
திசைக்கொசைன்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் 1 ஆக இருக்க வேண்டும்.
∴ கொடுக்கப்பட்ட விகிதங்களை திசைக் கொசைன்களாகக் கொண்டு ஒரு வெக்டர் அமையாது.

\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 4 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{matrix} \right| =\hat { i } (2-3)-\hat { j } (-8+6)+\hat { k } (4-2)=-\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \) க்கு செங்குத்தாக உள்ள வெக்டர்கள் \(\pm \frac { (\vec { a } \times \vec { b } ) }{ \left| \vec { a } \times \vec { b } \right| } =\pm \left[ \frac { -\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } }{ 3 } \right] \)
 \(\vec { a } \)மற்றும் \(\vec { b } \) க்கு செங்குத்தாக எண்ணளவு 6 உடைய வெக்டர்கள் \(\pm 2(-\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } ).\)

\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right| =\hat { i } (4-0)-\hat { j } (3-0)+\hat { k } (3-4)=4\hat { i } -3\hat { j } -\hat { k } \)
\(\left| \vec { a } \times \vec { b } \right| =\left| 4\hat { i } -3\hat { j } -\hat { k } \right| =\sqrt { 16+9+1 } =\sqrt { 26 } \)

ΔABC-ன் முனைப்புள்ளிகள் A,B,C-ன் நிலை வெக்டர்கள் முறையே \(\vec { a } \), \(\vec { b } \), \(\vec { c } \) என்க
D ஆனது AB-ன் நடுப்புள்ளி
E ஆனது AC-ன் நடுப்புள்ளி

∴ \(\bar { OD } =\frac { \bar { OB } +\bar { OA } }{ 2 } ,\bar { OE } =\frac { \bar { OA } +\bar { OC } }{ 2 } \)
=\(\frac { \bar { b } +\bar { a } }{ 2 } \) ....(1) =\(\frac { \bar { a } +\bar { c } }{ 2 } \)   ....(2)
∴ BE=\(\bar { OE } -\bar { OB } \)
=\(\frac { \bar { a } +\bar { c } }{ 2 } -\bar { b } =\frac { \bar { a } +\bar { c } -2\bar { b } }{ 2 } \)
\(\vec { DC } =\bar { OC } +\bar { OD } \)
=\(\bar { c } =\frac { \bar { a } +\bar { b } }{ 2 } =\frac { 2\bar { c } -\bar { a } -\bar { b } }{ 2 } \)
∴ \(\bar { BE } +\bar { DC } =\frac { \bar { a } +\bar { c } -2\bar { b } }{ 2 } +\frac { 2\bar { c } -\bar { a } -\bar { b } }{ 2 } \)

=\(\frac { 3\bar { c } -3\bar { b } }{ 2 } =\frac { 3(\bar { c } -\bar { b } ) }{ 2 } \)
=\(\frac { 3 }{ 2 } (\vec { OC } -\vec { OB } )=\frac { 3 }{ 2 } \vec { BC } \)
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.