\(x\vec { i } +y\vec { j } +z\vec { k } \) என்பது வெக்டர் என்க.
திசைக்கொசைன்கள் \(\frac { x }{ r } ,\frac { y }{ r } ,\frac { z }{ r } =\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \),a
⇒ \(l=\frac { x }{ r } ,m=\frac { y }{ r } ,n=\frac { z }{ r } \) என்க.
[l²+m²+n²=1]  ∴ \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ 2 }\)+a²=1
⇒ \(\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2 } \)+a²=1
⇒ a²=\(1-\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 4-1-2 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 } \)
a=±\(\frac { 1 }{ 2 } \).

\(\vec { a } \), \(\vec { b } \), \(\vec { c } \) \(\in \) V, V என்பது வெக்டர்களின் கணம் என்க.
\(\vec { a } \), R \(\vec { b } \) த என்பது  \(\vec { a } \)=\(\vec { b } \) என்ற தொடர்பு
(i) \(\vec { a } \)=\(\vec { a } \)
(ii) \(\vec { a } \)=\(\vec { b } \) ⇒ \(\vec { b } \)=\(\vec { a } \)
∴ \(\vec { a } \) R \(\vec { b } \) ⇒ \(\vec { b } \)=\(\vec { a } \)
(iii) \(\vec { a } \)=\(\vec { b } \), \(\vec { b } \)=\(\vec { c } \) ⇒ \(\vec { a } \)=\(\vec { c } \)
∴ \(\vec { a } \) R \(\vec { b } \), \(\vec { b } \) R \(\vec { c } \) ⇒ \(\vec { a } \) R \(\vec { c } \)
∴ R ஆனது V-ன் மீது ஒரு சமானத் தொடர்பு ஆகும்.

நாம் இப்பொழுது முக்கோணத்தின் ஏதேனும் இரண்டு பக்கங்களைக் காண்போம் .
\(\overrightarrow { AB } =-i+\hat { j } ;\overrightarrow { AC } =-\hat { i } +\hat { j } \)
\(\overrightarrow { AB } \times \overrightarrow { AC } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right| =\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \)
\( \left| \overrightarrow { AB } \times \overrightarrow { AC } \right| =\sqrt { 3 } \)
முக்கோணம் ABC-ன் பரப்பளவு  \(\frac { 1 }{ 2 } \left| \overrightarrow { AB } \times \overrightarrow { AC } \right| =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)

\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -3 & 4 & -7 \\ 6 & 2 & -3 \end{matrix} \right| =\hat { i } (-12+14)-\hat { j } (9+24)+\hat { k } (-6-24)=2\hat { i } -51\hat { j } -30\hat { k } \)
\(\vec { a } .(\vec { a } \times \vec { b } )=(-3\hat { i } +4\hat { j } -7\hat { k } ).(2\hat { i } -51\hat { j } -30\hat { k } )=-6-204+210=0\)
எனவே,   \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { a } \times \vec { b } \) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து 

\(\left| \vec { a } +\vec { b } \right| =\left| \vec { a } -\vec { b } \right|\)
\( \Rightarrow \left| \vec { a } +\vec { b } \right| ^{ 2 }=\left| \vec { a } -\vec { b } \right| ^{ 2 }\)
\( \left| \vec { a } \right| ^{ 2 }+\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }+2\vec { a } .\vec { b } =\left| \vec { a } \right| ^{ 2 }+\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }-2\vec { a } .\vec { b } \)
\(4\vec { a } .\vec { b } =0\)
\( \vec { a } .\vec { b } =0\)
ஆகவே \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \) ஆகியவை செங்குத்து ஆகும்.

\(\vec { a } =\lambda \hat { i } +3\hat { j } +7\hat { k } \)
\(\vec { b } =2\hat { i } +6\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { a } .\vec { b } \)=2λ+6λ+12=18+2λ
\(|\vec { b } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 4+36+9 } \)
=\(\sqrt { 49 } \)=7
\(\vec { b } \)-ன் மீது \(\vec { a } \)-ன் வீழல் =4 எனில்
\(\frac { \vec { a } .\vec { b } }{ |\vec { b } | } \)=4
\(\frac { 18+2\lambda }{ 7 } \)=4
⇒ 18+2λ=28
2λ=28-18=10
λ=5

\(\vec { a } =\hat { i } +3\hat { j } +7\hat { k } \)
\(\vec { b } =2\hat { i } +6\hat { j } 3\hat { k } \)
\(\vec { a } .\vec { b } =(\hat { i } +3\hat { j } +7\hat { k } ).(2\hat { i } +6\hat { j } 3\hat { k } )\)
=2+18+21=41
\(|\vec { b } |\)=\(\\ \sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 4+36+9 } \)
=\(\sqrt { 49 } \)=7
\(\vec { b } \)-யின் மீது \(\vec { a } \)-ன் வீழல் =\(\frac { \vec { a } .\vec { b } }{ |\vec { b } | } =\frac { 41 }{ 7 } \) .

ΔABC-யின் முனைப்புள்ளிகள்  A,B,C-யின் நிலை வெக்டர்கள் \(\vec { OA } ,\vec { OB } ,\vec { OC } \) முறையே \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்க. G என்பது ΔABC-யின் சந்தி என்க.
\(\vec { OG } =\frac { \vec { OA } +\vec { OB } +\vec { OC } }{ 3 } \)
⇒ 3\(\vec { OG } =\vec { OA } +\vec { OB } +\vec { OC } \)
∴ L.H.S.=\(\vec { GA } +\vec { GB } +\vec { GC } \)
=\(\vec { OA } -\vec { OG } +\vec { OB } -\vec { OG } +\vec { OC } -\vec { OG } \)
=\(\vec { OA } +\vec { OB } +\vec { OC } -3\vec { OG } \)
=\(\vec { OA } +\vec { OB } +\vec { OC } -[\vec { OA } +\vec { OB } +\vec { OC } ]\)
=\(\vec { 0 } \)=RHS.

\(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { c } \) -க்கும் இடைப்பட்ட கோணம் \(\theta \) என்க.
\(\vec { a } -\sqrt { 3 } \vec { b } +\vec { c } =0\) 
\(\Rightarrow \left| (\vec { a } +\vec { c } ) \right| =\left| \sqrt { 3 } \vec { b } \right| \)
\(\Rightarrow { \left| \vec { a } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { c } \right| }^{ 2 }+2\left| \vec { a } \right| \left| \vec { c } \right| \cos { \theta } =3{ \left| \vec { b } \right| }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow 1+1+(2)(1)(1)\cos { \theta } =3(1)\)
\(\Rightarrow \cos { \theta } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \theta =\frac { \pi }{ 3 } \)

\(\vec { a } =2\hat { i } +\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { b } =3\hat { i } +5\hat { j } -2\hat { k } \)
\(\vec { a } \times \vec { b } =(2\hat { i } +\hat { j } +3\hat { k } )\times (3\hat { i } +5\hat { j } -2\hat { k } )\)
\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \vec { i } & \vec { j } & \vec { k } \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & -2 \end{matrix} \right| \)
=\(\hat { i } (-2-15)-\hat { j(-4-9)+\hat { k } (10-3) } \)
=\(-17\hat { i } +13\hat { j } +7\hat { k } \)
\(|\vec { a } \times \vec { b } |=\sqrt { (-17)^{ 2 }+13^{ 2 }+{ 7 }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 289+169+49 } =\sqrt { 507 } \).