மூன்று புள்ளிகளின் நிலைவெக்டர்கள் \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்க.
\(2\vec { a } -7\vec { b } +5\vec { c } \)=0
⇒ \(2\vec { a } +5\vec { c } =\vec { b } \)
⇒ \(\vec { b } =\frac { 2 }{ 7 } \vec { a } +\frac { 5 }{ 7 } \vec { b } \)
⇒ \(\vec { b } =s\vec { a } +s\vec { b } \)
∴ \(\vec { b } \) ஆனது இரு வேறு வெக்டர்களின் ஒருபடிச் சேர்க்கையாக எழுத முடியும் என்பதால் அவை ஒரே கோட்டில் அமையும்.

45 செ.மீ., 30° கிழக்கிலிருந்து வடக்காக

\(\left| \vec { a } \times \vec { b } \right| =\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| \sin { \theta } \) மற்றும் \(\vec { a } .\vec { b } =\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| \cos { \theta } \) என நாம் அறிவோம்.
\(\left| \vec { a } \times \vec { b } \right| ^{ 2 }+{ (\vec { a } .\vec { b } ) }^{ 2 }=\left| \vec { a } \right| ^{ 2 }\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }\sin ^{ 2 }{ \theta } +\left| \vec { a } \right| ^{ 2 }\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }\cos ^{ 2 }{ \theta }\)
\(=\left| \vec { a } \right| ^{ 2 }\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }(\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } )=\left| \vec { a } \right| ^{ 2 }\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }\)

\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right| =\hat { i } (4-0)-\hat { j } (3-0)+\hat { k } (3-4)=4\hat { i } -3\hat { j } -\hat { k } \)
\(\left| \vec { a } \times \vec { b } \right| =\left| 4\hat { i } -3\hat { j } -\hat { k } \right| =\sqrt { 16+9+1 } =\sqrt { 26 } \)

\((\vec{a}+3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}-\vec{b})=2 \vec{a} \cdot \vec{a}+5 \vec{a} \cdot \vec{b}-3 \vec{b} \cdot \vec{b}\)
\(=2(1+1+4)+5(3+2-2)-3(9+4+1)=-15 \text {. }\)

\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)= (\(\hat{i}-\hat{j}+5\hat{k}\) ).(\(3\hat{i}-2\hat{k}\)) = (1)(3) + (1)(0) + (5)(2)
= 3 - 10 = -7

(i)

(ii)
 

LHS=\(\vec { a } \times (\vec { b } +\vec { c } )+\vec { b } \times (\vec { c } +\vec { a } )+\vec { c } \times (\vec { a } +\vec { b } )\)
=\(\vec { a } \times \vec { b } +\vec { a } \times \vec { c } +\vec { b } \times \vec { c } +\vec { b } \times \vec { a } +\vec { c } \times \vec { a } +\vec { c } \times \vec { b } \)
=\(\vec { a } \times \vec { b } +\vec { a } \times \vec { c } +\vec { b } \times \vec { c } -\vec { a } \times \vec { b } -\vec { a } \times \vec { x } -\vec { b } \times \vec { c } \)=RHS
என நிருபிக்கப்பட்டது.

\(|\vec { a } |\)=10, \(|\vec { b } |\)=15
\(\vec { a } .\vec { b } =75\sqrt { 2 } \)
\(\vec { a } ,\vec { b } \) இவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணம்

=cos\(\frac { \pi }{ 4 } \)
∴ θ=\(\frac { \pi }{ 4 } \).

\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right| =\hat { i } (1+4)-\hat { j } (3-4)+\hat { k } (-3-1)=5\hat { i } +\hat { j } -4\hat { k } \)
\( \left| \vec { a } \times \vec { b } \right| =\left| 5\hat { i } +\hat { j } -4\hat { k } \right| =\sqrt { 42 } \)
இணைகரத்தின் பரப்பளவு \(\sqrt { 42 } \) ச.அலகுகள்  

\((\vec { a } +\lambda \vec { b } ).\vec { c } =0\Rightarrow \vec { a } .\vec { c } +\lambda \vec { b } .\vec { c } =0.\)
\(\Rightarrow (6+2)+\lambda (-3+2)=0\)
\(\Rightarrow \lambda =8\)

\(\vec { a } \)-ன் திசையில் உள்ள  ஓரலகு வெக்டர் \(\frac { \vec { a } }{ \left| \vec { a } \right| } \) ஆகும். எனவே, \(5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } \)ன் திசையில் ஓரலகு வெக்டர் \(\frac { 5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } }{ \left| 5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } \right| } =\frac { 5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } }{ \sqrt { { 5 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } } =\frac { 5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } }{ \sqrt { 50 } } \)

\(\vec { a } =m(\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } )\) என்க.
\(|\vec { a } |=m\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =m\sqrt { 3 } \)
\(\vec { a } \) ஓர் அலகு வெக்டராயின் \(|\vec { a } |\)=±1
∴ \(m\sqrt { 3 } \)=±1 ⇒ m=±\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \).