\( \frac { dy }{ dx } =3{ x }^{ 2 }+10x+3\)

\(\triangle =\left| \begin{matrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{matrix} \right| ={ (x-a) }\) என \(\triangle \)-ல் பிரதியிட  
\(\therefore \) \(\triangle =\left| \begin{matrix} a & a & a \\ a & a & a \\ a & a & a \end{matrix} \right| =0\)
அணைத்து நிரைகளும்  (3 நிரைகள் ) சமம் என்பதால்  (x  -a)² ஆனது \(\triangle \)-ன் காரணி ஆகும் 
x  = -2 என \(\triangle \)-ன்  ஒரு காரணி ஆகும்.
\(\triangle =\left| \begin{matrix} -2a & a & a \\ a & -2a & a \\ a & a & -2a \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 0 & a & a \\ 0 & -2a & a \\ 0 & a & -2a \end{matrix} \right| =0\)
\(\therefore \) (x  + 2a ) ஒரு காரணியாகும்.
\(\therefore \) (x  - a )² (x  + 2a )¹ ஆனது  \(\triangle \)-ன் காரணிகள் மற்றும் படியானது  3 ஆகும்.
முதன்மை மூலைவிட்டத்தின் பெருககற்பலனின் படியும் 3.
எனவே மற்றொரு  காரணி k ஆக இருக்க வேண்டும்.
\(\therefore \) \(\left| \begin{matrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{matrix} \right| \) = k (x  - a )² (x  +2a )
x³ -ன் உறுப்புகளை இருபுறமும் சமப்படுத்தி  1 = k 
\(\therefore \) \(\left| \begin{matrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{matrix} \right| \) = (x  -a )²  (x  +2a )           

H₁,H₂,H₃,H₄என்பன முறையே விமானத்தை முதல்,இரண்டாவது,மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது முறையில் துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்தும் நிகழ்ச்சி என்க.\(\overline{H}\) என்பது விமானத்தை துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்தாத நிகழ்ச்சியாகும்.
P(H₁)=0.2 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_1\))=1-P(H₁)=0.8
P(H₂)=0.4 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_2\))=1-P(H₂)=0.6
P(H₃)=0.2 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_3\))=1-P(H₃)=0.8
P(H₄)=0.1 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_4\))=1-P(H₄)=0.9
விமானம் துப்பாக்கியால் சுட்டுவீழ்த்தப்பட்டதற்கான நிகழ்தகவு 
P(H)=1-P(\(\overline{H}\))=1-P\(\overline{(H_1\cup H_2\cup H_3\cup H_4)}\)
=1-P\({(\overline H_1\cap \overline H_2\cap \overline H_3\cap \overline H_4)}\)
=1-(0.8)(0.6)(0.8)(0.9)=1-0.3456
P(H)=0.6544

L, M மற்றும் N நிறுவனங்களிடமிருந்து மகிழுந்துகளை வாங்கும் நிகழ்ச்சிகள் முறையே A₁, A₂ மற்றும் A₃ என்க.
G-ன் மொத்த நிகழ்தகவு, P(G) மற்றும்
A₃ -ன் நிபந்தனை நிகழ்தகவு G தரப்பட்டா ல் P(A₃ /G) ஆகியவற்றைக் காண வேண்டும்
P(A₁) = 0 50, P(G / A₁)=0.90 .
P(A₂)  = 0 30  P(G / A₂)= 0.70
P(A₃) = 0 20, P(G / A₃) = 0.60
(i) A₁, A₂, A₃ ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாதலால் G-ன் மொத்த நிகழ்தகவு
P(G)=P(A₁)P(G/A₁) + P(A₂)P(G/A₂) + P(A₃)P(G/A₃)
P(G)=(0.50)(0.90)+(0.30)(0.70)+(0.20)(0.60)
P(G)=0.78
(ii) A₃-ன் நிபந்தனை நிகழ்தகவு G தரப்பட்டால் P(A₃/G) காண வேண்டும்.
பேயீஸ்-ன் - விதிப்படி
P(A₃/G) =\(\frac { P({ A }_{ 3 })P(G/{ A }_{ 3 }) }{ P({ A }_{ 1 })P(G/{ A }_{ 1 })+P({ A }_{ 2 })P(G/{ A }_{ 2 })+P({ A }_{ 3 })P(G/{ A }_{ 3 }) } \)
P(A₃/G)= \(\frac { (0.20)(0.60) }{ (0.50)(0.90)+(0.30)(0.70)+(0.20)(0.60) } \)
=\(\frac{2}{13}\)

I = \(\int { { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) dx } \)
= tan \(\theta\) \(\Rightarrow\) dx = sec² \(\theta\)d\(\theta\)
I = \(\int { { tan }^{ -1 } } \left( \frac { 2tan\theta }{ 1-{ tan }^{ 2 }\theta } \right) { sec }^{ 2 }\theta d\theta \)
= \(\int { { tan }^{ -1 } } \left( tan2\theta \right) { sec }^{ 2 }\) \(\theta\) d \(\theta\)
= \(\int { 2 } \theta { sec }^{ 2 }\) \(\theta\) d \(\theta\)
= \(2\int { \left( \theta \right) \left( { sec }^{ 2 }\theta d\theta \right) } \)
பகுதித் தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்த
I = \(2\left[ \theta tan\theta -\int { tan } \theta d\theta \right] \)
= \(2\left( \theta tan\theta -log\left| sec\theta \right| \right) +c\)
\(\int { { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) dx } \) = 2x tan^-1 x - 2log |\(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } \)| +c

tan θ = x 
sec θ = \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } \)

ஆரம்ப திசை வேகம் u =39.2 மீ/வினாடி
தொலைவு d =ut-\(\frac{1}{2}\)gt²
g=9.8 மீ/வினாடி
⇒ x=39.2t-\(\frac{1}{2}\)(9.8)t²
∴ x=39.2t-4.9 t2   ....(1)
(அ) பந்து தரையை மோத, x=0
⇒ 39.2t-4.9t²=0
⇒ 39.2t=4.9t²
⇒ 39.2=4.9t [∵ t≠0]
⇒ t=\(\frac { 39.2 }{ 4.9 } \)
∴ t=8 வினாடி
(ஆ) பந்து தரையை மோதும் போது உள்ள வேகம்
t=8 வினாடி
x=39.2t-4.9t²
⇒ v=\(\frac { dx }{ dt } \)=39.2-4.9 (2t)
t=8 வினாடி
v=39.2 - 9.8(8)
=39.2-78.4
=-39.2  மீ/வினாடி
திசைவேகம் குறையெண்ணாக இருக்க முடியாது.
ஆதலால் v =39.2 மீ/வினாடி
(இ) பந்து மேல்நோக்கி செல்லும் உயரம் காண v=0
39.2-9.8t =0
39.2=9.8t
t=\(\frac { 39.2 }{ 9.8 } \)=4 வினாடி
அதிகபட்ச உயரம் x =39.2(4)-4.9(16)
[(1) லிருந்து]
=156.8-78.4=78.4 மீ

உட்படு வகையிடலின்படி \(\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 4 })+\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 })-\frac { d }{ dx } ({ y }^{ 5 })=\frac { d }{ dx } (2x+1)\)
இதிலிருந்து, \(4{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }\left( 3{ y }^{ 2 }\frac { dy }{ dx } \right) +(2x){ y }^{ 3 }-5{ y }^{ 4 }\frac { dy }{ dx } =2+0\)
அதாவது \(4{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }\frac { dy }{ dx } +2x{ y }^{ 3 }-5{ y }^{ 4 }\frac { dy }{ dx } =2\)
எனவே, \((3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-5{ y }^{ 4 })\frac { dy }{ dx } =2-4{ x }^{ 3 }-2x{ y }^{ 3 }\)
 அல்லது \(\frac { dy }{ dx } =\frac { 2-4{ x }^{ 3 }-2x{ y }^{ 3 } }{ 3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-5{ y }^{ 4 } } \)  

\(f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } ,\quad x\neq 1 \\ 2\quad ,\quad x=1 \end{cases}\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } } } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ } \)x+1 = 1 + 1 =2
\(\lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ f(x) } =\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ x+1=2 } \)
f(1) = 2
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ x+1=2 } } \)
\(\therefore\) f(x) ஆனது x₀ = 1 - ல் தொடர்ச்சியானது.

\(|\vec { a } |=2,|\vec { b } |=3.|\vec { c } |=4\)
\(\vec { a } +\vec { b } +\vec { c } \)=0
⇒ \(\\ \vec { a } +\vec { b } \)=-c
⇒ \((\vec { a } .\vec { b } )^{ 2 }|\vec { a } |^{ 2 }+|\vec { b } |^{ 2 }+2(\vec { a } .\vec { b } )=|\vec { c } |^{ 2 }\)
⇒ 22+33+2\((\vec { a } .\vec { b } )\)=16
⇒ 13+2\((\vec { a } .\vec { b } )\)=16
⇒ 2\((\vec { a } .\vec { b } )\)=16-13=3
⇒ \(\vec { a } .\vec { b } \)=\(\frac { 3 }{ 2 } \)
⇒ 4\((\vec { a } .\vec { b } )\)=4 x \(\frac { 3 }{ 2 } \)=6    ...(1)
இதைப் போலவே \(|\vec { b } +\vec { c } |^{ 2 }=|-\vec { a } |^{ 2 }\)
\(|\vec { b } |^{ 2 }+|\vec { c } |^{ 2 }2(\vec { b } .\vec { c } )=|\vec { a } |^{ 2 }\)
9+16+2\((\vec { b } .\vec { c } )\)=4
25+2\((\vec { b } .\vec { c } )\)=4
2\((\vec { b } .\vec { c } )\)=4-25=-21
\((\vec { b } .\vec { c } )\)=\(\frac { -21 }{ 2 } \)
3\((\vec { b } .\vec { c } )\)=3\(\frac { -21 }{ 2 } =\frac { -63 }{ 2 } \)   .....(2)
இதைப் போலவே \(\vec { c } +\vec { a } =-\vec { b } \)
\(|\vec { c } +\vec { a } |=|-\vec { b } |\)
\(|\vec { c } +\vec { a } |^{ 2 }=|-\vec { b } |^{ 2 }\)
\(|\vec { c } |^{ 2 }+|\vec { a } |^{ 2 }+2(\vec { c } .\vec { a } )=|\vec { b } |^{ 2 }\)
16+4+2\((\vec { c } .\vec { a } )\)=9
20+2\((\vec { c } .\vec { a } )\)=9
2\((\vec { c } .\vec { a } )\)=9-20=-11
\((\vec { c } .\vec { a } )\)=\(\frac { -11 }{ 2 } \)
∴ 3\((\vec { c } .\vec { a } )\)=3\(\left( \frac { -11 }{ 2 } \right) =\frac { -33 }{ 2 } \)  ....(3)
(1)+(2)+(3)
\(4\vec { a } .\vec { b } +3\vec { b } .\vec { c } +3\vec { c } .\vec { a } \)
=\(6-\frac { 63 }{ 2 } -\frac { 33 }{ 2 } \)
=\(\frac { 12-63-33 }{ 2 } =\frac { 12-96 }{ 2 } =\frac { -84 }{ 2 } \)=-42

\(\vec { a } =-\hat { i } -2\hat { j } -6\hat { k } \)
\(|\vec { a } |=\sqrt { (-1)^{ 2 }+(-2)^{ 2 }+(-6)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 1+4+36 } =\sqrt { 41 } \)
\(\vec { b } =2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \)
\(|\vec { b } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-1)^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 4+1+1 } \)
=\(\sqrt { 6 } \)
\(\vec { c } =-\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \)
\(|\vec { c } |=\sqrt { (-1)^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+5^{ 2 } } =\sqrt { 1+9+25 } \)
=\(\sqrt { 35 } \)
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி
\(|\vec { a } |^{ 2 }=|\vec { b } |^{ 2 }+|\vec { c } |^{ 2 }\)
\(\sqrt { 41 } ^{ 2 }=\sqrt { 6 } ^{ 2 }+\sqrt { 35 } ^{ 2 }\)
41=35+6=41
∴ கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

\(\vec { a } =\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { b } =-2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\vec { c } =-\hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { a } =\vec { b } +t\vec { c } \) என எழுதலாம்.
⇒ \(\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } =s(-2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } )+t(0\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } )\)
கூறுகளை சமப்படுத்த
1=-2s  ⇒ -2s=1    ...(1)
-2=3s-t ⇒  3s-t=-2  ....(2)
3=-4s+2t  ⇒ -4s+2t=3   ....(3)
(i) லிருந்து, s =-\(\frac{1}{2}\),
(2) லிருந்து 3 x -\(\frac{1}{2}\) -t =-2
-t=\(-2+\frac { 3 }{ 2 } =\frac { -4+3 }{ 2 } =\frac { -1 }{ 2 } \)
t=\(\frac{1}{2}\)
s=-\(\frac{1}{2}\), t=\(\frac{1}{2}\) என (3)-ல் பிரதியிட,
\(-4\left( \frac { -1 }{ 2 } \right) +2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)=2+1=3=RHS
∴ ஒரு வெக்டரை மற்ற இரு வெக்டர்களின் ஒருபடிச் சேர்க்கையாக எழுதலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஒரு தளத்தில் அமையும் வெக்டர்களாகும்.

ABCD ஓர் இணைகரம் \(\vec { AB } =\vec { a } ,\vec { AC } =\vec { b } \)
ΔABC-ல் \(\vec { AC } =\vec { AB } +\vec { BC } \)
⇒ \(\vec { b } =\vec { a } +\vec { BC } \)
⇒ \(\vec { BC } =\vec { b } -\vec { a } \)
ABCD ஓர் இணைகரம் என்பதால்,
\(\vec { CD } ||-\vec { AB } \)
∴ \(\vec { CD } =\vec { AB } =-\vec { a } \)
\(\vec { DA } =-(\vec { BC } )=-(\vec { b } -\vec { a } )\)
⇒ \(\vec { DA } =\vec { a } -\vec { b } \)
ΔBCD-யில் \(\vec { BD } =\vec { BC } +\vec { CD } \)
=\(\vec { b } -\vec { a } +(-\vec { a } )=\vec { b } -2\vec { a } \)
∴ இணைகரத்தின் மற்ற மூன்று பக்கங்கள்
\(\vec { b } -\vec { a } ,-\vec { a } ,\vec { a } -\vec { b } \) மற்றும் மூலைவிட்டம் \(\vec { b } -2\vec { a } \).

A  = \(\left| \begin{matrix} 0 & cos\theta & sin\theta \\ cos\theta & sin\theta & 0 \\ sin\theta & 0 & cos\theta \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} 0 & cos\theta & sin\theta \\ cos\theta & sin\theta & 0 \\ sin\theta & 0 & cos\theta \end{matrix} \right| \) என்க.  
cos 2\(\theta\) = 2cos² \(\theta\) - 1 = 0
2cos² \(\theta\) = 1
cos² \(\theta\) = 1/2
cos \(\theta\) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), sin \(\theta\) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
 = \(\left| \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \end{matrix} \right| \)
\(\therefore \)  \(\triangle \) = \(\left| \begin{matrix} 0+\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) +\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) & \left( 0+\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( 0+0+\frac { 1 }{ 2 } \right) \\ \left( 0+\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+0 \right) \\ \left( 0+0+\frac { 1 }{ 2 } \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+\frac { 1 }{ 2 } \right) \end{matrix} \right| \)
= \(\left| \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 2 } & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & 1 & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & \frac { 1 }{ 2 } & 1 \end{matrix} \right| \) 
= \(1\left( 1-\frac { 1 }{ 4 } \right) -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } \right) \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2 } \right) \)
= \(\frac { 3 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 8 } -\frac { 1 }{ 8 } =\frac { 6-2 }{ 8 } =\frac { 4 }{ 8 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
 தீர்வு = \(\frac { 1 }{ 2 } \)

\(\left| \begin{matrix} a+b+c & a & { a }^{ 2 } \\ a+b+c & b & { b }^{ 2 } \\ a+b+c & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} a+b+c & a & { a }^{ 2 } \\ a+b+c & b & { b }^{ 2 } \\ a+b+c & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
=  (a + b + c) \(\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 } \\ 1 & b & { b }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix}\quad \right| \)
(c1 லிருந்து  ( a  + b + c  ) ஐ  வெளியில் எடுக்க 
\(\triangle\) = \(\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 } \\ 1 & b & { b }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix}\quad \right| \) என்க 
a = b என \(\triangle \) - ல் பிரதியிட   
= \(\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 } \\ 1 & b & { b }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix}\quad \right| \) = 0 \(\Rightarrow \) (a  - b ) ஒரு காரணி 
இதைப்போலவே  (b - c) (c -a)  - ம் \(\triangle \) ன் காரணிகளாக  அமையும்.
 கொடுக்கப்பட்ட  அணிக்கோவையின்  படி  3
\(\therefore \) மற்றொரு  காரணி  k ஆக இருக்க வேண்டும் 
\(\therefore \)  a  = 1, b  = 2, c  = 3 என      
\(\triangle\) = \(\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 } \\ 1 & b & { b }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix}\quad \right| \) = k (a - b) (b - c) (c -a) 
\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{matrix} \right| \)
1 (18 - 12) - (9 - 4) + 1 (3 - 2) = k (-1) (-1) (2)
6 - 5 + 1 = 2 k
2 = 2 k
k = 1
\(\therefore \) \(\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 } \\ 1 & b & { b }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix}\quad \right| \) = (a - b) (b- c) (c -a)
\(\therefore \)  \(\left| \begin{matrix} a+b+c & a & { a }^{ 2 } \\ a+b+c & b & { b }^{ 2 } \\ a+b+c & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
= (a + b + c) (a - b)  (b- c) (c - a)
= RHS எனவே நிருபிக்கப்பட்டது. 

x=-2-ல் \(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-4 }{ ({ x }^{ 2 }+4x+4)(x+3) } \)
\(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-4 }{ ({ x }^{ 2 }+4x+4)(x+3) } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow -{ 2 }^{ - } }{ \frac { x-2 }{ (x+2)(x+3) } } \)
\(=\frac { -Ve }{ 0(-Ve) } =\infty \)
\(\therefore\)  f(-2^-) \(\rightarrow\) \(\infty\) (x\(\rightarrow\)-2^- எனும் பொழுது)

\(f(-{ 2 }^{ + })=\lim _{ x\rightarrow { -2 }^{ + } }{ \frac { x-2 }{ (x+2)(x+3) } } \)

\(\therefore\) f(-2⁺) \(\rightarrow\) -\(\infty \)(x\(\rightarrow\) 2⁺ எனும் பொழுது)