ரயிலின் நீளம் s₁ = 20m 
பாலத்தின் நீளம்  s₂=500m 
காலம் (t)=?
மொத்த நீளம் S =S₁+S₂
=20+500=520m 
ரயிலின் வேகம் S = 40kmh^-1 = 40 x\(\frac {5}{18}\)m/s 
=11m/s  (approx)

=\(\frac {520}{11}\)47sec 

(1) சீரற்ற இயக்கத்தில் உள்ள பொருளின் திசைவேகம் ஒவ்வொரு நேரத்திலும் மாற்றமடைந்து கொண்டே இருக்கும். அதாவது திசைவேகம் நேரத்தைப் பொருத்து மாற்றமடைந்து கொண்டே இருக்கும். இவ்வகையான இயக்கத்திற்கு முடுக்கிவிடப்பட்ட இயக்கம் என்று பெயர்.
(2) முடுக்கிவிடப்பட்ட இயக்கத்தில், ஓரலகு நேரத்தில் மாற்றமடைந்த பொருளின் திசைவேகம் சமமாக (மாறிலியாக) இருப்பின், அப்பொருள் சீராக முடுக்கிவிடப்பட்ட இயக்கத்தில் உள்ளது எனக் கருதலாம்.
(3) ஓரலகு நேரத்தில் மாற்றமடைந்த பொருளின் திசைவேகம் வெவ்வேறு நேரத்தில் வெவ்வேறாக இருப்பின் அப்பொருள் சீரற்ற முடுக்கிவிடப்பட்ட இயக்கத்தில் உள்ளது எனக் கருதலாம்.

(1) நிலையினைக்குறிப்பாயம் அல்லது ஆய அச்சுத் தொகுப்பினைப் பொருத்து குறிப்பிடும் வெக்டர், நிலைவெக்டர் ஆகும்.
(2) P என்ற புள்ளியில் உள்ள துகள் ஒன்றின் நிலை வெக்டரை \(\vec { r } \) கீழ்க்காணுமாறு குறிப்பிடலாம்.
(3) \( \vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \)
(4) இங்கு x,y மற்றும் z ஆகியவை நிலை வெக்டர் \(\vec { r } \)இன் கூறுகள் ஆகும். மேலும் \(\hat { i } ,\hat { j } \) மற்றும் \(\hat { k } \) ஆகியவை செங்குத்து அச்சுகளான x,y மற்றும் z அச்சில் செயல்படும் செங்குத்து ஓரலகு வெக்டர்கள் ஆகும். படம் செங்குத்து ஓரலகு வெக்டர்களைக் காட்டுகிறது.

(1) எறியப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து,  எறியப்பட்டபுள்ளி உள்ள கிடைத்தளத்தரையை அடைய எறிபொருள் எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம், பறக்கும் நேரம் எனப்படும்.
(2) இங்கு பறக்கும் நேரம் என்பது எறிபொருள் O புள்ளியிலிருந்து A புள்ளி வழியாக B புள்ளியை அடைய எடுத்துக்கொள்ளும் நேரமாகும்.
நாம் அறிந்த படி S_y=u_yt+\(\frac { 1 }{ 2 } \)a_yt²
இங்கு, Sy=y=0 (y-அச்சு திசையில் தொகுபயன் இடப்பெயர்ச்சி சுழி ) u_y=u
sin\(\theta \), ay=-g, t=T_f
0=u sin\(\theta \) T_f-\(\frac { 1 }{ 2 } \)g T_f²
T_f = 2u\(\frac { sin\theta }{ g } \).

\(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=(5\hat{i}+7\hat{j}-4\hat{k})+(6\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k})=11\hat{i}+10\hat{k}-2\hat{k}\)
\(=11\hat { i } +10\hat { j } -2\hat { k } \)
\(\vec { B } +\vec { A } =\left( 6\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\left( 5\hat { i } +7\hat { j } -4\hat { k } \right) \)
\(=\left( 6+5 \right) \hat { i } +\left( 3+7 \right) \hat { j } +\left( 2-4 \right) \hat { k } \)
\(=11\hat { i } +10\hat { j } -2\hat { k } \)
\(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=(5\hat{i}+7\hat{j}-4\hat{k})-(6\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k})=-\hat{i}+4\hat{j }-6\hat{k}\)
\(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\hat{i}-4\hat{j}+6\hat{k}\)
\(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}\) மற்றும் \(\overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}\) ஒன்றுக்கொன்று சமம், ஆனால் \(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}\) மற்றும் \(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}\) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று எதிராக உள்ளதை கவனிக்கவும்.

பின்வரும் படம், எதிர்குறி x, y  மற்றும் z அச்சு திசையில் செய்லபடும் ஓரழகு வெக்டர்களைக் காட்டுகிறது.

படத்திலிருந்து, எதிர்க்குறி x அச்சு, y அச்சு மற்றும் z அச்சு திசைகளில் செயல்படும் ஓரலகு வெக்டர்கள் முறையே  \(\hat{i},-\hat{j},\) மற்றும் \(-\hat{k}\) ஆகும்.

\( |\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|=\sqrt{A^2+B^2-2AB\cos \theta }\)  
\(\Rightarrow|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|=\sqrt{5^2+7^2-2\times5\times7\ \cos 60°}\)
\(=\sqrt{25+49-35}=\sqrt{39}\) அலகுகள்
\(\vec A \) வெக்டரைப் பொருத்து \(\vec A - \vec B \) ஏற்படுத்தும் திசை 
\(\tan{ \alpha }_{ 2 }=\frac { 7\sin 60^{ 0 } }{ 5-7\cos 60^{ 0 } } =\frac { 7\sqrt { 3 } }{ 10-7 } =\frac { 7 }{ \sqrt { 3 } } =4.041\)
\({ \alpha }_{ 2 }=\tan^{ -1 }\left( 4.041 \right) \cong 76^{ o }\)

(1) முப்பரிமாண வெளியில் இயங்கும் துகளின் இயக்கம், முப்பரிமாண இயக்கம் எனப்படும்.
(2) இவ்வகை இயக்கத்தில் மூன்று ஆய அச்சுக்கூறுகளும், நேரத்தைப் பொருத்து மாற்ற மடையும்.
(3) துகளின் முப்பரிமாண இயக்கத்தில், ஆய அச்சுக்கூறுகள் x,y மற்றும் z ஆகிய மூன்றும் மாற்றமடையும்.
(4) (எ.கா) பறக்கும் பறவையின் இயக்கம், மூலக்கூறின் இயக்கம், காற்றாடியின் இயக்கம்.

(1) தளம் ஒன்றில் வளைவு பாதையில் இயங்கும் துகளின் இயக்கத்தினை, இருபரிமாண இயக்கம் என்று அழைக்கலாம்..
(2) இவ்வகை இயக்கத்தில் மூன்று செங்குத்து ஆய அச்சுகளில் இரண்டு ஆய அச்சுகள் மட்டுமே நேரத்தைப் பொருத்து மாற்றமடையும்.
(எ.கா) கேரம் பலகையில் (carrom board) இயங்கும் வில்லை, அறை ஒன்றின் தளத்தில் அல்லது சுவற்றில் ஊர்ந்து செல்லும் பூச்சி.

(1) துகள் ஒன்று நேர்க்கோட்டில் இயங்கினால் அவ்வியக்கம் ஒருபரிமாண இயக்கம் எனப்படும்.
(2) சிலநேரங்களில் இவ்வியக்கம் நேர்க்கோட்டு இயக்கம் ((Linear motionl Rectilinear motion) எனவும் என அழைக்கப்படும்.
(3) இவ்வகை இயக்கத்தில் மூன்று செங்குத்து ஆய அச்சுகளில் ஏதேனும் ஒரு ஆயு அச்சுக்கூறு எண்மட்டுமே நேரத்தைப் மாற்றமடையும்.
(4) (எ.கா) நேரான இருப்புப்பாதையில் இயங்கும் இரயில் வண்டி, புவிஈர்ப்பு விசையால் தடையின்றி தானே விழும் பொருள்.

இங்கு சார்பற்ற மாறி ‘t’ மற்றும் சார்புடைய மாறி ‘x’ ஆகும்.
நமக்குத் தேவையான வகைக்கெழு
dx/dt = 0 + A₁ + 2A₂t
இரண்டாம்படி வகைக்கெழு d²x/d²t = 2A₂ ஆகும்.

கார்டீசியன் ஆய அச்சுத் தொகுப்பின் அடிப்படையில் கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர் சமன்பாட்டை x, y மற்றும் z கூறுகளாகப் பகுத்து அதன் கூறுகளை ஒப்பிட வேன்டும்.
F_1x + F_2x + F_3x = F_4x
F_1y + F_2y + F_3y = F_4y
F_1z + F_2z + F_3z = F_4z

இயற்பியலில் சில வெக்டர் அளவுகள், மற்றொரு வெக்டரின் ஸ்கேலர் மடங்காக இருப்பதைக் காணலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக
(1) விசை \(\overrightarrow{F} = m \overrightarrow{a }\) இங்கு நிறை ‘m’ ஒரு நேர்க்குறி ஸ்கேலர் மற்றும் முடுக்கம் \(\overrightarrow{a }\) ஒரு வெக்டர் ஆகும். இங்கு விசையின் திசையிலேயே பொருள் முடுக்கமடைகிறது.
(2) உந்தம் \(\overrightarrow{p} = m \overrightarrow{v }\) இங்கு என்பது பொருளின் திசைவேகம். எனவே, இங்கு பொருள் இயங்கும் திசையிலேயே நேர்கோட்டு உந்தமும் செயல்படுகிறது.
(3) ஒரு மின்புலத்தால், மின்னூட்டமுள்ள ஒரு துகளின் மீது செயல்படும் விசை \(\overrightarrow{F} = q \overrightarrow{E}\). இங்கு 'q' என்பது மின்னூட்டம், ஒரு ஸ்கேலர் மற்றும் மின்புலம் \(\overrightarrow{E}\) ஒரு வெக்டர். விசை \(\overrightarrow{F}\)இன் திசை மின்னூட்டம் நேர்க்குறி எனில் \(\overrightarrow{E}\) இன் திசையிலும், மின்னூட்டம் எதிர்க்குறி எனில் \(\overrightarrow{E}\) திசைக்கு எதிர்த்திசையிலும் இருக்கும்.

\(3\overrightarrow{A}=3(2\hat{i}+3\hat{j})=6\hat{i}+9\hat{j}\)
\(3\overrightarrow{A}\) வெக்டரின் திசை \(\overrightarrow{A}\) வெக்டரின் திசையிலேயே இருக்கும்.

x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 3 என்ற இரண்டு புள்ளிகளைக் கருதினால் y₁ = 4 மற்றும் y₂ = 9 என்ற இரண்டு புள்ளிகள் கிடைக்கும்.
இங்கு \(\triangle x=1\) மற்றும் \(\triangle y = 5\)
எனவே, \({\triangle y \over \triangle x}={9-4\over 3-2}=5\)
x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 2.5   எனில்
y₁ = 4 மற்றும் y₂ = (2.5)² = 6.25 எனக் கிடைக்கும்.
இங்கு \(\triangle x=0.5={1\over 2}\) மற்றும் \(\triangle y = 2.25\)
எனவே, \({\triangle y \over \triangle x}={6.25-4\over 0.5}=4.5\)
x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 2.25 எனில்
y₁ = 4 மற்றும் y₂ = 5.0625 எனக் கிடைக்கும்
இங்கு \(\triangle x=0.25={1\over 4}\) மற்றும்  \(\triangle y=1.0625\)
எனவே, \({\triangle y\over \triangle y}={5.0625-4\over 0.25}={(5.0625-4)\over{{1\over4}}}=4(5.0625-4)=4.25\)
x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 2.1 எனில்
y₁ = 4 மற்றும் y₂ = 4.41 எனக் கிடைக்கும்
இங்கு \(\triangle x=0.1={1\over 10}\) மற்றும்  \(\triangle y=0.41\)
\({\triangle y\over \triangle y}={(4.41-4)\over{{1\over10}}}=10(4.41-4)=4.1\)

தானாக விழும் பொருளுக்கு,
\(h =\frac{1}{2} g p t^2  \)
\(\therefore g_p =\frac{2 h}{t^2}=\frac{2+50}{4}=25 m s^{-2}\)

θ மற்றும் 90-θ ஆகிய கோணங்களுக்கு நெடுக்கம் ஒன்றுபோல் இருக்கும்.

திசைவேகத்தின் திசையும் முடுக்கத்தின் திசையும் ஒரே திசையில் இருந்தால் வேகம் அதிகரிக்கும்,

அலகு வெக்டர் என்பது திசையை மட்டும் குறிப்பது ஆகும்.
\(\widehat{A} =\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}  \)
\(\therefore \hat{i}+\hat{j} =\frac{\hat{i}+\hat{j}}{|\hat{i}+\hat{j}|}\)
\(\hat{i}\) மற்றும் \(\hat{j}\) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாய் அமைந்த வெக்டா்கள்.
\(\therefore|\hat{j}+\hat{j}| =\sqrt{1^2+1^2}  \)
\(=\sqrt{1+1}  \)
\(=\sqrt{2}\)

(அ) (ஆ) மற்றும் (இ) ஆகிய தோ்வுகள் எதிர்க் கடிகாரத் திசையில் அமையப் பெற்ற அச்சுகளைக் கொண்டுள்ளது. தேர்வு (ஈ) மட்டும் கடிகாரத் திசையில் அச்சுகள் அமைந்துள்ளன.