அலகு வெக்டர் என்பது திசையை மட்டும் குறிப்பது ஆகும்.
\(\widehat{A} =\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}  \)
\(\therefore \hat{i}+\hat{j} =\frac{\hat{i}+\hat{j}}{|\hat{i}+\hat{j}|}\)
\(\hat{i}\) மற்றும் \(\hat{j}\) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாய் அமைந்த வெக்டா்கள்.
\(\therefore|\hat{j}+\hat{j}| =\sqrt{1^2+1^2}  \)
\(=\sqrt{1+1}  \)
\(=\sqrt{2}\)

நிலை ஆற்றல் \(P.E =\alpha-\frac{\beta}{2} x^2 \)
P.E = வேலை = Fx
\(\mathrm{P} =\alpha-\frac{\beta}{2} x^2 \)
விசை \(=\frac{d p}{d x} \)
\(=\frac{d}{d x}\left(\alpha-\frac{\beta}{2} x^2\right)  \)
\(=0-\frac{\beta}{2} \times 2 x  \)
\(=\beta x\)

\(v_0=r w \quad \therefore v_0 \propto r\)
சீரான சக்கரத்தில் பரியில் (rim) உள்ள புள்ளிக்கும் மையத்திற்கும் உள்ள தொலைவு (ஆரம்) \(=\sqrt{2} r\)
∴ அதன் வேகம் \(=\sqrt{2} \mathrm{v}_0\)

புவியை சுற்றும் துணைக்கோளின் ஆற்றல் : புவிப்பரப்பிலிருந்து h உயரத்தில் புவியினை வளம் வரும் துணைக்கோளின் மொத்த ஆற்றல் கீழ்கண்ட முறையில் கணக்கிடப்படுகிறது. துணைக்கோளின் மொத்த ஆற்றல் கணக்கிடப்படுகிறது. துணைக்கோளின் மொத்த ஆற்றல் அதன் இயக்க ஆற்றல் மற்றும் நிலை ஆற்றலின் கூட்டுத் தொகையாகும்.
துணைக்கோளின் நிலை ஆற்றல் :
\(U=-\cfrac { GM_{ s }{ M }_{ E } }{ \left( { R }_{ E }+h \right) } \)
இங்கு M_s -துணைக்கோளின் நிறை 
M_E-புவியின் நிறை,
R_E -புவியின் ஆரம்.

துணைக்கோளின் இயக்க ஆற்றல்:
\(K.E=\cfrac { 1 }{ 2 } { M }_{ s }{ v }^{ 2 }\)
இங்கு v என்பது துணைக்கோளின் சுற்றியியக்க வேகம் மேலும் அதன் 
\(v=\sqrt { \cfrac { GM_{ E } }{ \left( { R }_{ E }+h \right) } } \)
இம்மதிப்பை சமன்பாடு 2 ல் பிரதியிட
துணைக்கோளின் இயக்க ஆற்றல் 
\(E=\cfrac { 1 }{ 2 } \cfrac { { GM }_{ E }{ M }_{ s } }{ \left( { R }_{ E }+h \right) } -\cfrac { { GM }_{ E }{ M }_{ s } }{ \left( { R }_{ E }+h \right) } \)
\(E=\cfrac { { GM }_{ E }{ M }_{ s } }{ 2\left( { R }_{ E }+h \right) } \)
இங்கு எதிர் குறியானது துணைக்கோள் புவியுடன் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதையும் துணைக்கோள் புவியின் ஈர்ப்பு புலத்திலிருந்து தப்பிச் செல்ல இயலாது என்பதையும் எடுத்துக்காட்டுகிறது.
முடிவிலி \(\left( \infty \right) \) மதிப்பை ஹ நெருங்கும் போது, மொத்த ஆற்றல் சுழியை நெருங்கும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், துணைக்கோளானது புவியின் ஈர்ப்பு புலத்தின் தாக்கதிலிருந்து முற்றிலும் விடுப்பட்டுள்ளது. மேலும் மிக அதிக தொலைவு உள்ளபோது துணைக்கோள் புவியுடன் பிணைக்கப்படுவதில்லை என்பதாகும். 

(i) வெப்ப இயக்கவியலின் சுழி விதியின்படி, A மற்றும் B, என்ற இரண்டு அமைப்புகளின் C, மூன்றாவது அமைப்புடன் வெப்பசமநிலையில் இருப்பின், A மற்றும் B இரண்டு அமைப்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று வெப்பசமநிலையில் இருக்கும்.
(ii) தொடக்கத்தில் வெவ்வேறு வெப்பநிலையில் உள்ள A, B மற்றும் C என்ற மூன்று அமைப்புகளைக் கருத்துக. படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு A மற்றும் B அமைப்புகளும் ஒன்றுடன் ஒன்று எவ்விதமான வெப்பத்தொடர்பையும் பெற்றிருக்கவில்லை.
(iii) ஆனால், அவை ஒவ்வொன்றும் C என்ற மூன்றாவது அமைப்புடன் தனித்தனியே வெப்பதொடர்பில் உள்ளன.
(iv) சிறிது நேரத்திற்குப்பிறகு A மற்றும் B என்ற இரண்டு அமைப்புகளும் தனித்தனியே C யுடன் வெப்பசமநிலையில் இருக்குக்ம். இப்போது A மற்றும் B என்ற இரண்டு அமைப்புகளையும் வெப்பத் தொடர்பில் வைக்கும் நிலையினை படத்தில் உள்ளவாறு காட்டலாம்.
(v) இப்போது A மற்றும் B அமைப்புகளுக்கிடையே எவ்விதமான நேரடி வெப்பப் பரிமாற்றமும் இல்லை. ஏனெனில் A மற்றும் B இவ்விரண்டு வெப்பசமநிலையை அடைந்திருப்பதை இது காட்டுகிறது.
(vi) இம்மூன்று அமைப்புகளும் ஒருமுறை வெப்பசமநிலையை அடைந்தபின்பு அவற்றிற்கிடையே எவ்விதமான வெப்பப் பரிமாற்றமும் இஇருக்காது ஏனெனில் அம்மூன்றும் ஒரே வெப்பநிலையில் இருக்கும்.
(vii) இதனை கணிதமொழியில் பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம் 

(a) A மற்றும் B என்ற இரண்டு அமைப்புகள் தனித்தனியே C என்ற மூன்றாவது அமைப்புடன் வெப்பத் தொடர்பிலுள்ளன. (b) A மற்றும் B அமைப்பு இரண்டும் வெப்பத்தொடர்பில் இருப்பின் அவையிரண்டும் ஒன்றுடன் ஒன்று வெப்பச்சமநிலையில் இருக்கும்.
(viii) வெப்ப இயக்கவியலின் சுழி விதியானது வெப்பநிலையைக் கண்டறியப்பயன்படுகிறது. நாக்கின் அடியில் வைத்துக்கொள்ளும்போது வெப்பநிலைமானி உடலுடன் வெப்பச் சமநிலையை அடையும். இந்நிபந்தனையின்படி வெப்பநிலைமானியின் வெப்பநிலை உடல் வெப்பநிலைக்குச் சமமாக இருக்கும் இதன் அடிப்படையில்தான் நமது உடலின் வெப்பநிலை கண்டறியப்படுகிறது.

ஒலியின் எதிரொலிப்பின் பயன்கள்:
இதயத்துடிப்புமானி 
இது ஒலியின் பன்மடங்கான எதிரொளிப்பின் தத்துவத்தில் இயங்குகிறது.

இது மூன்று பகுதிகளை கொண்டது.
(i) இதயத்தின் மீது வைக்கும் பகுதி 
(ii) காதில் வைக்கும் பகுதி 
(iii) ரப்பர் குழாய்
(i) இதயத்தின் மீது வைக்கும் பகுதி : இது சிறிய தட்டு வடிவிலான ஒத்ததிர்வுச் சவ்வு. இது ஒலியை மிக நுண்ணியமாக உணரும். மேலும் உணர்ந்த ஒலியை பெருக்கும்.
(ii) காதில் வைக்கும் பகுதி: இது உலோகக் குழாய்களால் ஆனது. இது இதயத்திலிருந்து உணர்ந்த ஒளியை கேட்கப் பயன்படுகிறது.
(iii) ரப்பர் குழாய்: இது இதயம் மீது வைக்கும் பகுதியையும் இணைக்கிறது. இதயம் மீது வைக்கும் பகுதியின் சவ்வு உணர்ந்த ஒலியை காதில் வைக்கும் பகுதிக்கு எடுத்துச் செல்கிறது. நுரையீரலின் சத்தம் அல்லது இதயத்தின் துடிப்பு அல்லது உடல் உள் உறுப்புகள் ஏற்படுத்தும் ஒலியை உணர்ந்து, அதை காதில் வைக்கும் பகுதிக்கு ரப்பர் குழாயில் ஏற்படும் பன்மடங்கு எதிரொலிப்பு மூலம் எடுத்துச் செல்கிறது.
எதிர் முழக்கம் (Reverberation):
மூடிய அறை ஒன்றினுள் ஒலி தொடர்ந்து சுவர்களினால் எதிரொலிக்கப்படும்போது, ஒளிமூலம் ஒலி ஏற்படுத்துவதை நிறுத்திய பிறகும், ஒலிமூலம் ஒலி ஏற்படுத்துவதை நிறுத்திய பிறகும், ஒலி மீது (reverberation) இருக்கும் நிகழ்வு எதிர் முழக்கம் எனப்படும். ஒலி மூலம் ஒலி ஏற்படுத்துவதை நிறுத்திய பிறகு ஒலி கேட்கும் நேரம் "எதிர் முழக்க நேரம்" (reverberation time) எனப்படும். எதிர் முழக்க நேரம் கூடத்தில் ஒளியின் தனியில்ப்பைப் பாதிக்கும். எனவே, அரங்கங்கள் உகந்த அளவு எதிர் முழக்க நேரம் அமையுமாறு அமைக்கப்படுகிறது.

புறவிசை F வலதுபுறம் நோக்கி செலுத்தப்படுவதாகக் கொள்வோம். ஒவ்வொரு சுருள்வில்லின் சுருளமாறிலி வெவ்வேறானவை மேலும் அவற்றுக்கிடையேயான பிணைப்பு இறுக்கமாக (rigid) இருப்பதில்லை. ஆதலால் அவை வெவ்வேறு நீளத்திற்கு நீட்சியடைகின்றன.

(ii) செலுத்தப்பட்ட விசை Fன் காரணமாக சுருள்கள் அதனுடைய சமநிலையிலிருந்து (நீட்சியடையாநிலை) நீட்சியடைந்த தொலைவுகள் முறையே x₁ மற்றும் x₂ என்க.
எனவே நிறை புள்ளியின் மொத்த இடப்பெயர்ச்சி
x =x₁+x₂   .....(i)
ஹீக்கின் விதியிலிருந்து
F=-k_s(x₁+x₂) ⇒ x₁+x₂=-\(\frac { F }{ { k }_{ s } } \)  .....2
சுருள்வில்கள் தொடரிணைப்பில் உள்ளதால்
-k₁x₁=-k₂x₂=F
⇒ x₁=-\(\frac { F }{ { k }_{ 1 } } \) மற்றும் x₂=\(\frac { F }{ { k }_{ 2 } } \)    ....(3)
(iii) எனவே சமன்பாடு 3 ஐ சமன்பாடு 2 இல் பிரதியிட்டு தொகுபயன் சுருள்மாறிலியைக் கணக்கிட முடியும்.
-\(\frac { F }{ { k }_{ 1 } } -\frac { F }{ { k }_{ 2 } } =-\frac { F }{ { k }_{ s } } \)
\(\frac { 1 }{ { k }_{ s } } =\frac { 1 }{ { k }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { k }_{ 2 } } \)     ....(4)
அல்லது
k_s=\(\frac { { k }_{ 1 }{ k }_{ 2 } }{ { k }_{ 1 }+{ k }_{ 2 } } \)Nm^-1   ....(5)
(iv) "n" சுருள்வில்கள்களை தொடரிணைப்பில் இணைப்பதாக கொண்டால் தொடரிணைப்பின் தொகுபயன் சுருள் மாறிலி.
\(\frac { 1 }{ { k }_{ s } } =\frac { 1 }{ { k }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { k }_{ 2 } } +\frac { 1 }{ { k }_{ 3 } } +....\frac { 1 }{ { k }_{ n } } =\overset { n }{ \underset { i=1 }{ \Sigma } } \frac { 1 }{ { k }_{ i } } \)
அனைத்து சுருள் மாறிலிகளும் சமம் எனில் அதாவது
\(\frac { 1 }{ { k }_{ s } } =\frac { n }{ k } \Rightarrow { k }_{ s }=\frac { k }{ n } \)   ....(6)
தொகுபயன் சுருள்மாறிலி "n" மடங்கு குறையும் என்பதை இது காட்டுகிறது.
(v) ஆகவே, சுருள்வில்கள் தொடரிணைப்பில் இணைக்கப்படும் பொழுது தொகுபயன் சுருள்மாறிலியானது தனித்த சுருள் மாறிலியைவிட குறைவாக இருக்கும்..
சமன்பாடு 3 லிருந்து நாம் பெறுவது
k₁x₁=k₂x₂
இறுக்கப்பட்ட நீளம் அல்லது நீட்சியடைந்த நீளம் x1 மற்றும் x2க்கான தகவு
\(\frac { { x }_{ 2 } }{ { x }_{ 1 } } =\frac { { k }_{ 1 } }{ { k }_{ 2 } } \)    .....(7)
(vi) முதல் மற்றும் இரண்டாவது சுருள்வில்லில் தேக்கி வைக்கப்பட்டுள்ள மீள் நிலையாற்றல் முறையே  
V₁=\(\frac{1}{2}\)k₁x₁² மற்றும் V₁=\(\frac{1}{2}\)k₂x₂² எனில் அவற்றின் தகவு
\(\frac { { V }_{ 1 } }{ { V }_{ 2 } } =\frac { \frac { 1 }{ 2 } { k }_{ 1 }{ x }_{ 1 }^{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 2 } { k }_{ 2 }{ x }_{ 2 }^{ 2 } } =\frac { { k }_{ 1 } }{ { k }_{ 2 } } \left( \frac { { x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 } } \right) ^{ 2 }=\frac { { k }_{ 2 } }{ { k }_{ 1 } } \).

ஆய அச்சு அமைப்பை பொருத்து நிறை மையத்தின் நிலையை கீழ்கண்ட மூன்று வழிகளில் காணலாம்.
(i) நிறைகள் நேர் x - அச்சில் உள்ள போது: படத்தில் காட்டுப்பட்டுள்ளதைப்போல் m₁, m₂ என்ற நிறைகள் தன்னிச்சையாக எடுக்கப்பட்ட ஆதிபுள்ளியைப் பொருத்து நேர் X அச்சில் முறையே x₁ மற்றும் x₂ நிலைகளில் உள்ளதாக எடுத்துக்கொள்வோம். நேர் X அச்சிலேயே x_CM என்ற தொலைவில் அமைந்த நிறைமையத்தின் சமன்பாடானது.
\(x_{CM}={m_1x_1+m_2x_2\over m_1+m_2}\)
(ii) நிறையில் ஏதேனும் ஒன்று ஆதியுடன் ஒன்றியுள்ளபோது: படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளவாறு ஏதேனும் ஒரு நிறை ஆய அச்சின் ஆதிபுள்ளியோடு ஒன்றியுள்ள போது கணக்கீடானது இன்னும் எளிதாக்கப்படுகிறது.புள்ளி நிறை m₁ ஆதிபுள்ளியோடு ஒன்றும்போது அதன் நிலை x₁ சுழியாகிறது அதாவது x₁ சுழியாகிறது. அதாவது x₁ = 0 எனவே,
\(x_{CM}={m_1(0)+m_2x_2\over m_1+m_2}\)
இதை மேலும் எளிதாக்கும் போது
\(x_{CM}={m_2x_2\over m_1+m_2}\)
(iii) நிறைமையானது ஆதியுடன் ஒன்றியுள்ள போது:
ஆய அச்சு அமைப்பின் ஆதிபுள்ளியானது நிறை மையத்தோடு ஒன்றியுள்ளபோது x_CM = 0 மேலும் படத்தில் காட்டியுள்ளபடி நிறை m₁ன் நிலையானது எதிர்குறி X அச்சில் அமையும். எனவே இதன் நிலை எதிர்குறியாக இருக்கும்.
\(0={m_1(-x_i)+m_2x_2\over m_1+m_2}\)
0 = m₁(-x₁)+m₂x₂
m₁x₁ = m₂x₂
மேல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு திருப்புத்திறன்களின் தத்துவம் எனப்படுகிறது.

m₁ மற்றும் m₂ நிறை கொண்ட இரண்டு கனச் செவ்வகத் துண்டுகளைக் கருதுக.(m₁>m₂) அவை இரண்டும் உராய்வற்ற,வழுவழுப்பான சமதளப் பி[பரப்பில் ஒன்றை ஒன்று தொட்டுக் கொண்டு உள்ளன.
(i) F என்ற கிடைத்தள விசையைச் செலுத்தும்போது இவ்விரண்டு துண்டுகளும் a என்ற ,முடுக்கத்துடன் விசையின் திசையிலேயே இயங்குகின்றன.
(ii) முடுக்கம் ஐ கண்டறிய நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.(கூட்டு நிறை m =m₁+m₂)        
(iii) இரு நிறைகள் கொண்ட இவ்வமைப்பு நேரக்குறி x  அச்சு திசையில் இயங்கினால் சமன்பாட்டினை வெக்டர் கூறு வடிவில் எழுதலாம். \(\vec { F } =m\vec { a } \)என்ற சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் வெக்டர் கூறுகளை ஒப்பிட F =ma என கிடைக்கும்.
இங்கு m=m₁+m₂ ஆகும்.
அமைப்பின் முடுக்கம்\(\therefore \) a =\(\frac { F }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
(iii) நிறை m₁ தனது இயக்ககத்தின் காரணமாக, நிறை m₂ வின் மீது செலுத்தும் விசை தோடு விசை (contact force) எனப்படும். நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிப்படி, நிறை நிறை மீது இதற்குச் சமமான எதிர்திசையில் அமைந்த ஒரு எதிர்விசையை (\({ \vec { f } }_{ 21 }\)) செலுத்தும்.
\(\therefore F\hat { i } -{ f }_{ 21 }\hat { i } ={ m }_{ 2 }a\hat { i } \)
சமன்பாட்டின் இருபுறமும் கூறுகளை ஒப்பிடும் போது 
F-f₂₁=m₁a 
f₂₁=F -m₁a 
a =\(\frac { F }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
F-f₂₁=m₁a
f₂₁=F-m₁\(\left( \frac { F }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \right) \)
f₂₁=F\(\left[ 1-\frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \right] \)
f₂₁=\(\frac { F{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
(iv) f₂₁ வின் எண்மதிப்பு எதிர்விசையை ஏற்படுத்தும் நிறை m2 வை சார்ந்திருப்பதை அறியலாம். இங்கு விசை எதிர்குறி x-அச்சுத்திசையில் செயல்படுவதை நினைவில் கொள்ளவும். மீது செயல்படும் எதிர் விசை வெக்டர் குறியீட்டின் படி
\({ \vec { f } }_{ 12 }=-\frac { F{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \hat { i } \)
நிறை m₂ வைப் பொறுத்தவரை அச்சுத் திசையில் அதன்மீது m₁ நிறை ஏற்படுத்தும் ஒரே ஒரு மட்டுமே கிடைத்தளத் திசையில் செயல்படுகிறது. (c) ல் m₂ நிறை வின் விசைப்படம் கட்டப்பட்டுள்ளது. நிறை m₂ விற்கு நியூட்டன் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்தினால் \({ f }_{ 21 }\hat { i } ={ m }_{ 2 }a\hat { i } \)  சமன்பாட்டின் இரு புறமும் கூறுகளை ஒப்பிடும் போது 
f₂₁=m₂a 

a=\(\frac { F }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
பிரதியிடும் போது 
f₂₁=\(\frac { F{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
எனவே, தொடுவிசையின் எண் மதிப்பு f₂₁ =\(\frac { F{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
இது நேரக்குறி க்ஸ் அச்சுத் திசையில் செயல்படும்.
வெக்டர் குறியீட்டின் படி நிறை m₁, நிறை m₂ மீது செலுத்தும் விசை \({ \vec { f } }_{ 21 }=-\frac { F{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
இங்கு\({ \vec { f } }_{ 21 }=-{ \vec { f } }_{ 21 }\) என்பதைக் கவனிக்க. இது நியூட்டனின் மூன்றாம் விதியை உறுதிப்படுத்துகிறது.

ஹைட்ரஜன் அணு ஒரு புரோட்டானையும் ஒரு எலக்ட்ரானையும் பெற்றுள்ளது, புரோட்டானின் நிறையுடன் ஒப்பிடும்போது எலக்ட்ரானின் நிறையை புறக்கணிக்கலாம். 
புரோட்டானின் நிறை = 1.67 × 10⁻²⁷kg.
ஒரு ஹைட்ரஜன் மூலக்கூறு=2 ஹைட்ரஜன் அணுக்கள் = 2 × 1.67 × 10⁻²⁷kg.
சராசரி வேகம் 
\(\bar { { v } } \sqrt { \frac { 8KT }{ \pi m } } =1.60\sqrt { \frac { kT }{ m } } =1.60\sqrt { \frac { { \left( 1.38\times 10 \right) }^{ -23 }\times \left( 300 \right) }{ 2({ 1.67\times 10 }^{ -27 }) } } =1.78\times { 10 }^{ 3 }{ ms }^{ -1 }\)
(போல்டஸ்மென் மாறிலி k = 1.38 × 10⁻²³ J K^-1)
\({ v }_{ rms }\sqrt { \frac { 3KT }{ m } } =1.73\sqrt { \frac { kT }{ m } } =1.73\sqrt { \frac { { \left( 1.38\times 10 \right) }^{ -23 }\times \left( 300 \right) }{ 2({ 1.67\times 10 }^{ -27 }) } } =1.93\times { 10 }^{ 3 }{ ms }^{ -1 }\)
மிகவும் சாத்தியமான வேகம் 
\({ v }_{ mp }\sqrt { \frac { 2KT }{ m } } =1.41\sqrt { \frac { kT }{ m } } =1.41\sqrt { \frac { { \left( 1.38\times 10 \right) }^{ -23 }\times \left( 300 \right) }{ 2({ 1.67\times 10 }^{ -27 }) } } =1.57\times { 10 }^{ 3 }{ ms }^{ -1 }\)
இங்கு v_rms > \(\bar { v } \) > v_mp என்பதைக் கவனிக்கவும்.

நுண்புழை நுழைவு: ஒரு நேர்க்குத்தான குழாயில் நீர்மம் மேலேறுவது அல்லது கீழிறங்குவது நுண்புழை நுழைவு அல்லது நுண்புழைச் செயல்பாடு எனப்படும். நுண்புழைக் குழாயின் விட்டதைப் பொறுத்து நீர்மம் மாறுபட்ட உயரங்களுக்கு மேலேறும் அல்லது கீழிறங்கும்.
நுண்புழையேற்ற முறையில் பரப்பு இழுவிசையைக் காணல்:
திரவமும், காற்றும் சந்திக்குமிடத்தில் உள்ள வளைந்த பரப்பின் மீது ஏற்படும் அழுத்த வேறுபாடே திரவமானது நுண்புழைக் குழாயில் மேலேறுவதற்கு காரணமாக அமைகிறது. (ஈர்ப்பின் விளைவைப் புறக்கணிக்க). மிக நுண்ணிய குழாய்களில் நுண்புழை யேற்றமானது அதிகமாக உள்ளது. இந்நிகழ்வானது இழுவிசையின் வெளிப்பாடாகும்.
நுண்புழையேற்றத்திற்கும் பரப்பு இழுவிசைக்கும். (T) உள்ள தொடர்பைப் பெற நுண்புழைக் குழாய் ஒன்று கொள்கலனினுள்ள நீரில் அமிழ்த்தி வைத்திருப்பதாக கருத்துக. நுண்புழைக் குழாயில் நீரானது பரப்பு இழுவிசையின் காரணமாக ஹ உயரத்திற்கு மேலேறுகிறது.
பரப்பு இழுவிசையின் காரணமாக ஏற்படும் விசை F_T  ஆனது தொடும்புள்ளியில் தொடுகோட்டின் வழியே கீழ்நோக்கியும், அதன் எதிர் திசை மேல்நோக்கியும் செயல்படுகின்றன. பரப்பு இழுவிசை T ஆனது இருகூறுகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது.
1. கிடைத்தளக் கூறு \(Tsin\theta \)
2. செங்குத்துக்கூறு \(Tcos\theta \) பிறைத்தளத்தின் சுற்றளவு முழுவதும் மேல்நோக்கி செயல்படுகிறது.
= \(T\left( cos\theta \right) \left( 2\pi r \right) =2\pi T\cos { \theta } \)
இங்கு \(\theta \) என்பது சேர்க்கோணம், r என்பது குழாயின் ஆரமாகும்.\(\rho \) என்பது நீரின் அடர்த்தி மற்றும் h என்பது குழாயில் நீர் மேலேறும் உயரம் எனில் 
(குழாயின் நீர்மத் தாம்பத்தின் கன அளவு v) = (rஆரமும் h உயரமும் உடைய நீர்மத் தம்பத்தின் கன அளவு )+(r ஆரமும் h உயரமும் உடைய நீர்மத் தம்பத்தின் கன அளவு- ர் ஆரமுடைய அரைக்கோளத்தின் கன அளவு)

\(V={ \pi r }^{ 2 }h+\left( { \pi r }^{ 2 }\times r-\cfrac { 2 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 } \right) \Rightarrow V\)
= \({ \pi r }^{ 2 }h+\cfrac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 }\)
மேல் நோக்கிய விசையானது நீரின் மேற்பரப்பிற்கு மேலே குழாயில் ஏறியுள்ள நீர்மத் தம்பத்தின் எடையைச் சமன் செய்கிறது. எனவே 
 \(2\pi rT\cos { \theta } ={ \pi r }^{ 2 }\left( h+\cfrac { 1 }{ 3 } r \right) \rho g\)
\(\Rightarrow \quad T=\cfrac { r\left( h+\cfrac { 1 }{ 3 } r \right) \rho g }{ 2\cos { \theta } } \)
நுண்புழைக் குழையானது மிக நுண்ணியதாக r ஆரம் கொண்டிருப்பின் (மிகக் குறைவான ஆரம்) உயரம் h உடன் ஒப்பிட \(\cfrac { r }{ 3 } \) ஆனது புறக்கணிக்கத்தக்கது. எனவே 
\(T=\cfrac { r\rho gh }{ 2\cos { \theta } } \)
h உயர்த்திறுக்  மேலேறும்போது  
\(h=\cfrac { 2Tcos }{ r\rho g } \Rightarrow h\propto \cfrac { 1 }{ r } \)
நுண்புழை ஏற்றமானது (h) குழாயின் ஆரத்திற்கு (r) எதிர்த்தகவல் உள்ளது என்பதை இது குறிக்கிறது. குழாயின் ஆரம் குறைய நுண்புழையேற்றம் அதிகமாகும்.

\(\vec F\)என்ற விசையினால் \(\vec {dr}\) என்ற இடப்பெயர்ச்சிக்கு செய்யப்பட்ட வேலை 
\(W=\int\vec F.\vec {dr}\)   ....(1)
சமன்பாட்டு (1) இன் இடது பக்கத்தில் உள்ளதை இவ்வாறு எழுதலாம்
\(W=\int dW=\int \frac{dw}{dt}dt\)   ...(2) 
(dt ஆல் பெருக்கவும் வகுக்கவும் செய்ய)
திசைவேகம் \(\vec v=\frac{\vec {dr}}{dt}\) என்பதால் \(\vec {dr}=\vec v\ dt\)
சமன்பாடு (1) இன் வலது பக்கத்தில் உள்ளதை இவ்வாறு எழுதலாம்
\(\int\vec F.\vec {dr}=\int (\vec F.\frac{\vec {dr}}{dt})dt=\int (\vec F.\vec v)\ [\therefore\vec v=\frac{\vec {dr}}{dt}]\)   ...(3) 
சமன்பாடு (2) மற்றும் (3) ஐ சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட 
\(\int\frac{dw}{dt}dt=\int(\vec F.\vec v)dt\)
\(\int(\frac{dw}{dt}-\vec F.\vec v)dt=0\)
இந்த தொடர்பானது dt  இன் எந்த ஒரு தன்னிச்சையான மதிப்பிற்கும் சரியாக உள்ளது. அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள மதிப்பு சுழியாக இருக்க வேண்டும் என்பதை குறிக்கிறது.
அதாவது
\(\frac{dw}{dt}-\vec F.\vec v=0\)  அல்லது
\(\frac{dw}{dt}=\vec F.\vec v\)   ...(4) 
எடுத்துக்காட்டுகள்:
1250 kg நிறையுள்ள ஒரு வாகனம் ஒரு சமமான நோ் சாலையில் 0-.2 ms^-2 முடுக்கத்துடன் 500 N என்ற எதிர்க்கும் புறவிசைக்கெதிராக இயக்கப்படுகிறது. வாகனத்தின் திசைவேகம் 30 ms^-1 எனில் வாகனத்தின் இயந்திரம் வெளிப்படுத்தும் திறனைக் கணக்கிடுதல்.
தீர்வு:
வாகனத்தின் இயந்திரம், எதிர்க்கும் விசைக்கெதிராக வேலை செய்து வாகனத்தை ஒரு முடுக்கத்துடன் இயக்க வேண்டும். எனவே வாகனத்தின் இயந்திரம் வெளிப்படுத்தும் திறன்
P = (எதிர்க்கும் விசை + (நிறை x முடுக்கம்)) (திசைவேகம்)
\(\mathrm{P} =\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{F}\right) \mathrm{v}  \)
\(\mathrm{P} =\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{ma}\right) \mathrm{v}  \)
\(=(500+(1250 \times 0.2))(30)=22.5 \mathrm{~kW}\)
⇒ மோட்டார்கள், இயந்திரங்கள், சில தானியங்கி வாகனங்கள்

(a) அலகு
அளவீட்டு முறை என்பது அடிப்படையில், ஓர் ஒப்பீட்டு முறையே ஆகும். அளவு ஒன்றை அளந்தறிய, நாம் எப்பொழுதும் அதனை ஒரு படித்தர அளவுடன் ஒப்பிடுகிறோம். இந்த படித்தர அளவே அலகு ஆகும்.
(b) முழுமைப்படுத்துதல் 
தற்காலத்தில் கணக்கீடு செய்ய கணிப்பான்கள் (Calculator) பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவற்றின முடிவுகள் பல இலக்கங்களைக் கொண்டதாக உள்ளன. கணக்கீட்டில் உள்ளடங்கும் தகவல்களின் (Data) முக்கிய எண்ணுருவைவிட முடிவின் முக்கிய எண்ணுரு அதிகமாக இருக்கக்கூடாது. கணக்கீட்டின் முடிவில் நிலையில்லாத (Uncertain) இலக்கங்கள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை இருப்பின், அந்த எண்ணை முழுமைப்படுத்த வேண்டும்.
(c) பரிமாணமற்ற அளவுகள் 
எந்த இயற்பியல் அளவுகள் பரிமாணம் அற்று இருந்தால் அவை பரிமாணமற்ற அளவுகள் ஆகும்.

(a) f_c < f_a < f_b
(b) λ_b < λ_a < λ_c
எடுத்துக்காட்டு 11.2 லிருந்து அதிர்வெண் ஆனது அலைநீளத்துடன் எதிர்தகவில் உள்ளது என அறிகிறோம். 
f  ∝ 1/λ
பிறகு fλ எதற்குச் சமம்? [அதாவது fλ =?]
தெரியாத இந்த இயற்பியல் அளவை அறிந்து கொள்ள எளிய பரிமாணப் பகுப்பாய்வு உதவுகிறது.
அலை நீளத்தின் பரிமாணம் [λ] = L
அதிர்வெண் f = 1 /அலைவுநேரம் எனவே,
அதிர்வெண்ணின் பரிமாணம் [f]= 1/[T] = T^–1
⇒ [λf] [λ] [f] = LT^–1 = [திசைவேகம்]
எனவே,
திசைவேகம். λf = v  (11.4)
இங்கு, 1 என்பது அலையின் திசைவேகம் அல்லது கட்ட திசைவேகம் (phase velocity) எனப்படும். இது அலை முன்னேறிச் செல்லும் திசைவேகம் ஆகும். அலையின் திசைவேகம் என்பது 1 வினாடியில் அலை கடந்த தொலைவு ஆகும்.

நல்லியல்பு வாயுவின் அக ஆற்றல் அதன் கெல்வின் வெப்பநிலையை மட்டுமே சார்ந்தது. அதன் அழுத்தம் மற்றும் பருமனைச் சார்ந்ததல்ல.

புகழ்பெற்ற இத்தாலிய இயற்பியல் அறிஞர் கலிலியோ புவிக்கு அருகில் மேலிருந்து கீழ் விழும் பொருள்கள் அனைத்தும் புவியினை நோக்கி சம வீதத்தில் முடுக்கமடைகின்றன என கண்டறிந்தார்.

பரப்பு இழுவிசைக்கு எடுத்துக்காட்டுகள்:
(i) நீர்பூச்சிகள் (water bugs) மற்றும் நீர் தாண்டிப் பூச்சிகள் (water striders )நீரின் மேற்பரப்பில் நடக்கின்றன நீர்ம மூலக்கூறுகள் உள்நோக்கி இழுக்கப்படுவதால்  நீரின் மேற்பரப்பானது  மீட்சியுள்ள அல்லது இழுத்துக் கட்டப்பட்ட படலத்தை போன்று செயல்படுகிறது.
(ii) இது நீர் பபூச்சிகளின் எடையை சமன் செய்து  அவை நீரின் மேற்பரப்பில் நடக்க உதவுகிறது. இந்த நிகழ்வை பரப்பு இழுவிசை என அழைக்கின்றோம். வண்ணம்  பூசும் தூரிகையின் முடிகள் நீரிலிருந்துவெளியே எடுத்தால் ஒன்றாக ஒட்டிக் கொள்கின்றன. இதன் காரணம் அவற்றில் உருவான நீர் மெல்லேடுகள் ஒரு சிறும பரப்பிற்கு  சுருங்க முனைவதாகும்.                           

மாறாத வீச்சு மற்றும் அதிர்வெண் உடைய சீரிசை அலைவுகளை தனிச்சீரிஸை இயக்கம் எனலாம். சைன் அல்லது கொசைன் போன்ற தனிச்சீரிசைச் சார்பைக் கொண்டு அலைவுகளைக் குறிப்பிடலாம்.

எலக்ட்ரானின் நிறை m =9x 10^-31kg
எலக்ட்ரானின் வட்டப் பாதையின் ஆரம்
r=0.53 Ao =0.53x 10^-10m
எலக்ட்டரானின் திசை வேகம் v =2.2x 10⁶ms^-1
எலக்ட்ரானின் கோண உந்தம் L=Iω
எலக்ட்ரானின் நிறையை புள்ளி நிறையாக எடுத்துக் கொள்க.
இதன் நிலைமைத் திருப்புத்திறன் I=mr²
மேலும்\(​​\omega=\frac{v}{r}\) என்ற தொடர்பையும் பயன்படுத்தும்போது
கோண உந்தம் L=mr²\(\frac{v}{r}\)x =mvr
=9.1x 10^-31x 2.2x 106x 0.53x 10^-10
L = 10.61 × 10⁻³⁵= 1.06 × 10⁻³⁴ kg m2 s⁻¹

வாயுவால் பிஸ்டன் மீது செய்யப்பட்ட சிறிய வேலை dW = Fdx வாயுவால் பிஸ்டனின் மீது செலுத்தப்பட்ட விசை F = PA  இங்கு A என்பது   பிஸ்டனின் மீது செலுத்தும் அழுத்தத்தையும் குறிக்கிறது.
dW = PA dx
ஆனால் Adx = dV வாயுவின் விரிவினால் ஏற்பட்ட பருமன் மாறுபட்டு. எனவே வாயு விரிவடைந்ததால்   செய்யப்பட்ட சிறிய வேலை
dW = pdV 
இங்கு dV  நேரக்குறி என்பதை கவனிக்க வேண்டும். ஏனெனில் பருமன் அதிகரிக்கிறது.
பொதுவாக வாயுவின் பருமன் V_i லிருந்து V_f வரை அதிகரிப்பதால் செய்யப்பட்ட வேலையை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்.
\(W=\int _{ { V }_{ i } }^{ { V }_{ f } }{ PdV } \)
அமைப்பின் வேலை செய்யப்பட்டிருப்பின் W எதிர்க்குறி மதிப்பைப் பெறும்.

செயல்படுத்தப்படும் புறவிசைக்கு சரியாக எதிர்திசையில் மற்றொரு விசை செயல்பட்டால் இது சாத்தியமே.அவை இரண்டும் சமமான எண்மதிப்பைக் கொண்டு,ஒன்றுக்கொன்று எதிர் திசையில் செயல்படுவதால், பொருளின் மீது செயல்படும் நிகரவிசை சுழியாகும்.எனவே பொருளானது சுழி முடுக்கத்துடன் இயங்கும்.

புவியிலிருந்து ஜுபிடரின் தொலைவு \((x)=824.7 \times 10^6 \mathrm{~km}\)
அளவிடப்பட்ட கோணவிட்டம் \((\theta)=35.72^{\prime \prime}\)
\(1^{\prime \prime} =4.85 \times 10^{-6}\) ரேடியன் 
\(\therefore \theta =35.72 \times\left(4.85 \times 10^{-6}\right)\) ரேடியன் 
∴ ஜுபிடரின் விட்டம் \(b=x \times \theta\)
\(\mathrm{x}=\frac{b}{\theta}\)
\(\mathrm{b} =824.7 \times 10^6 \times 173.242 \times 10^{-6}  \)
\(\therefore \mathrm{b} =142,872.6 \times 10^{6-6}  \)
\(=1.428 \mathrm{~km}\)

சமன்பாடு (10.29) பயன்படுத்தி, முதலில் சுருள்வில் தராசின் விறைப்பு மாறிலியை நாம் கணக்கிடலாம்.
\(K=\frac { mg }{ l } =\frac { 25\times 11.5 }{ 0.25 } ={ 1150 }Nm^{ -1 }\)
அலைவுகளின் அலைவுநேரம் \(T=2\pi \sqrt { \frac { M }{ k } } \)
இங்கு M என்பது பொருளின் நிறையாகும். M என்பது தெரியாத நிலையாதலால் சமன்பாட்டை மாற்றி அமைக்க நாம் பெறுவது
\(M=\frac { k{ T }^{ 2 } }{ { 4\pi }^{ 2 } } =\frac { \left( 1150 \right) { \left( 0.5 \right) }^{ 2 } }{ { 4\pi }^{ 2 } } =7.3kg\)
பொருளின் மீது செயல்படும் ஈரப்பு விசை
W = Mg = 7.3 × 11.5 = 83.95 N ≈ 84 N

(i) A, B என்பன இரு கொடுக்கப்பட்ட கோளங்கள் மற்றும் O என்பது மையப்புள்ளி 
E₁ மற்றும் E₂ ஈர்ப்புப்புலங்கள்
E₁=\(\frac { G\times 100 }{ { (0.5) }^{ 2 } } \) : E₂=\(\frac { G\times 100 }{ { (0.5) }^{ 2 } } \)
E₁, E₂ இவை சமமாகவும் எதிர்திசையிலும் இருப்பதால் மையப்புள்ளி 0 வில் நிகர ஈர்ப்பு புலம் சுழி ஆகும்.
(ii) A, B யினால் மையப்புள்ளி 'O' இல் ஏற்படும் ஈர்ப்பு தன்னிலை ஆற்றல்
V(r)=\(-\frac { G\times 100 }{ (0.5) } -\frac { G\times 100 }{ (0.5) } \)
=-\(\frac { 2G\times 100 }{ 0.5 } \)
=\(\frac { -200\times 6.67\times { 10 }^{ -11 } }{ 0.5 } \)
V(r)=-27x 10^-8 J/kg

அமைப்பானது A யிலிருந்து B க்கு பின்பு A க்கும் செல்வது ஒரு சுழற்சி மாற்றம் இம்முறையில் அக ஆற்றல் \(\triangle U=0\).
வெப்ப இயக்கவியலின் முதல் விதிப்படி
\(\triangle Q =\triangle U +\triangle W \)
\(=\triangle W \) [\(\therefore \triangle U=0\)]
அமைப்பினால் கவரப்பட்ட வெப்பத்தின் அளவு 
=10கலோரி -30ஜூல் 
=(10 x 4.2-30) J
=(42-30)J
\(\therefore \) அமைப்பினால் செய்யப்பட்ட மொத்த வேலை =12J  

1.நிலவில் வளிமண்டல அற்ற நிலை: நிலவின் குறைந்த ஈர்ப்புவிசையின் காரணமாக, நிலவுப் பரப்பில் உள்ள வாயுக்களின் சராசரி இருமுடி மூல வேகமானது அதன் விடுபடு வேகத்தைவிட அதிகமாக உள்ளது. இதன் காரணமாக நிலவுப்பரப்பில் உள்ள அனைத்து வாயுக்களும் நிலவிலிருந்து வெளியேறி விடுகின்றன.
2.புவியின் வளிமண்டலத்தில் ஹைட்ரஜன் வாயுவற்ற நிலை:  ஹைட்ரஜன் வாயுவின் சராசரி இருமுடி மூல வேகமானது, நைட்ரஜனைவிட மிகவும் அதிகமானது. எனவே ஹைட்ரஜன் புவியின் வளிமண்டலத்திலிருந்து எளிதாகத் தப்பிச்சென்றுவிடும்.

மொத்த நிறை  = 30 kg \(\Rightarrow \) m1 = m2 20 kg 
= 30 kg  - 20 kg 
இயக்க ஆற்றல் m1 and  m2 = 400 J 
m₃ ன் இயக்க ஆற்றல் m₃ = ?
\({ v }_{ 3 }=\sqrt { \frac { 2\left( { E }_{ 1 }+{ E }_{ 2 } \right) }{ \left( { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } \right) } } \)
\({ v }_{ 3 }=\sqrt { \frac { 2\times 400 }{ 20 } } \)
\({ v }_{ 3 }=\sqrt { \frac { 800 }{ 20 } } \)
= \(\sqrt { 40 } \)
v₃ = 6.32 ms^-2    

(i) t =0 to t =3
திசைவேகம் t =0ல் 
திசைவேகம் t =3 செகண்டில் v =30m/s 
எனில் திசைவேகம் v யிலிருந்து
v =u +at 
முடுக்கம் a =\(\frac {u}{t }\)=\(\frac {30}{3}\)=ms^-2
0 to 3 sec கடந்த தொலைவு 
s =ut \(\frac{1}{2}\)at²
தொடக்க திசைவேகம் u =0 மற்றும் t =0
s =ut \(\frac{1}{2}\)at²
=0x 3+\(\frac{1}{2}\)x 10(3)²

s=45m 

சோப்புக் குமிழியானது இரு மேற்பரப்புகளைக் கொண்டிருப்பதால் மேற்பரப்பில் ஏற்பட்ட அதிகரிப்பு 
\(\Delta \)A = A₂−A₁
= 2(100-50) × 10^-4m² = 100 × 10^-4m²
எனவே செய்யப்பட்ட வேலை 
\(W=T\times \Delta A\Rightarrow T=\frac { W }{ \Delta A } =\frac { 2.4\times { 10 }^{ -4 } }{ 100\times { 10 }^{ -4 }{ m }^{ 2 } } =2.4\times { 10 }^{ -2 }{ Nm }^{ -1 }\)

இதிலிருந்து நாம் அறிவது கம்பியில் ஏற்படும் அலையின் திசைவேகம் மாறிலி. அதிர்வெண் அதிகரிக்கும்போது அலைநீளம் குறைகிறது. மறுதலைக்கும் (vice vrsa) இது பொருந்தும். அவற்றின் பெருக்குத்தொகையான திசைவேகம் நிலையாக (மாறாமல் இருக்கிறது)