குரங்கு மரக்கிளையை விடும் போது புவியீர்ப்பு முடுக்கம் g கொண்ட கீழ் நோக்கிய செங்குத்து  இயக்கத்தை மேற்கொள்கிறது. எந்த ஒரு நேரம் t யிலும் அதன் இயக்கச் சமன்பாடு பின்வருமாறு
\({ y }_{ m }=h-\frac { 1 }{ 2 } { gt }^{ 2 }\) .....(1)
துப்பாக்கியிலிருந்து பாய்ந்து செல்லும் குண்டு, கிடைத்தள மற்றும் செங்குத்து திசைவேகச் கூறுகளைப் பெற்றுள்ளது.
\({ v }_{ 0x }={ v }_{ 0 }cos\theta ;{ v }_{ 0y }={ v }_{ 0 }sin\theta \) ....(2)
வேட்டைக்காரருக்கும், குரங்கிற்கும் உள்ள கிடைத்தளத் தொலைவு d என்க. t நேரத்தில் துப்பாக்கி குண்டு கடந்த கிடைத்தளத் தொலைவு 
x = v_0x t = v₀ cos\(\theta\)
துப்பாக்கி குண்டு கிடைத்தளத்தில் x = d என்ற நிலையில் உள்ளபோது, d = v_0xT இதிலிருந்து T = d/v_0x எனப் பெறலாம்.
T என்ற இந்நேரத்தில், துப்பாக்கிக்குண்டு கடந்த செங்குத்துத் தொலைவு
\({ y }_{ b }={ v }_{ 0y }T-\frac { 1 }{ 2 } g{ T }^{ 2 }=\frac { { v }_{ 0y }d }{ { v }_{ 0x } } -\frac { 1 }{ 2 } { gT }^{ 2 }\)
\({ y }_{ b }=\frac { { dv }_{ 0 }sin\theta }{ { v }_{ 0 }cos\theta } -\frac { 1 }{ 2 } { gT }^{ 2 }\)
=d tan\(\theta\) - \(\frac { 1 }{ 2 } \)gT² ....(3)
 ஆனால், படத்திலிருந்து tan\(\theta\) = \(\frac { h }{ d } \)
h = d tan\(\theta\)
இதனை சமன்பாடு (3) இல் பிரதியிடும் போது
\({ y }_{ b }=h-\frac { 1 }{ 2 } { gT }^{ 2 }\) ......(4)
எனக் கிடைக்கும்.
இதேநேரம் 'T' இல், குரங்கின் செங்குத்து நிலையினை சமன்பாடு (1) லிருந்து கீழ்க்கண்டவாறு கணக்கிடலாம்.
\({ y }_{ m }=h-\frac { 1 }{ 2 } { gT }^{ 2 }\) ......(5)
'T' என்ற இந்நேரத்தில் குரங்கு மற்றும் துப்பாக்கி குண்டு இவ்விரண்டின் y கூறுகளும் சமமதிப்பினைப் பெற்றுள்ளதை கவனிக்கவும். இதிலிருந்து துப்பாக்கி குண்டு குரங்கினைத் தாக்கும் என அறியலாம்.

கொடுக்கப் பட்ட அளவீடுகள் 2.36 cm, 2.27 cm, 2.26 cm, 2.28 cm, 2.31 cm, 2.28 cm மற்றும் 2.29 cm ஆகும்.
சராசரி \(\overline { l } \) = \(\frac { 2.36+2.27+2.26+2.28+2.31+2.28+2.29 }{ 7 } \)
\(\frac { 16.05 }{ 7 } =2.29\) cm
அளவீடுகளின்தனிப்பிழைகள்
\(\Delta { l }_{ 1 }\) = 2.29 - 2.36 = -0.07
\(\Delta { l }_{ 2 }\) = 2.29 - 2.27 = 0.02
\(\Delta { l }_{ 3 }\) = 2.29 - 2.26 = 0.03
\(\Delta { l }_{ 4 }\)= 2.29 - 2.28 = 0.01
\(\Delta { l }_{ 5 }\)=2.29 - 2.31 = -0.02
\(\Delta { l }_{ 6 }\)=2.29 - 2.28 = 0.01
\(\Delta { l }_{ 7 }\)= 2.29 - 2.29 = 0.00
சராசரி தனிப்பிழை \({ \Delta l }_{ mean }-\frac { 0.07+0.02+0.03+0.1+0.02+0.01+0.00 }{ 7 } \)
\(=\frac { 0.16 }{ 7 } =0.02\)
ஒப்பிட்டுப்பிழை
\(=\frac { \Delta { l }_{ mean } }{ \overline { l } } =\pm \frac { .02 }{ 2.29 } =\pm 8.7\times { 10 }^{ 3 }\)
விழுக்காட்டுப்பிழை = \(\pm 8.7\times { 10 }^{ 3 }\times 100\)
\(=\pm (8.7\times { 10 }^{ 1 })=0.9\)%

1.தனிப்பிழை (Absolute error) ஓர் அளவின் உண்மையான மதிப்பிற்கும் அளவிடப்பட்ட மதிப்பிற்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு தனிப்பிழை எனப்படும் n முறை 'a' சோதனை நிகழ்த்தப்பட்ட 'a' என்ற ஒரு அளவின் அளவிடப்பட்ட மதிப்புகள்
a₁,a₂, a₃, .....a_n எனில் அவற்றின் கூட்டுச் சராசரி மதிப்பே அந்த அளவின் உண்மையான மதிப்பு (a_m) என அழைக்கப்படுகிறது.
\(a_m={a_1+a_2+a_3+......+a_n\over n}\)
அல்லது 
\(a_m={1\over n} \sum^n_{i=1}ai\)
அளவிடப்பட்ட மதிப்புகளின் தனிப்பிழைகள் 
\(\triangle a_1=|a_m-a_1|\)
\(\triangle a_2=|a_m-a_2|\)
.........................
........................
\(\triangle a_n=|a_m-a_n|\)
2.சராசரி தனிப்பிழை (Mean absoulte error)சராசரி தனிப் பிழை என்பது அனைத்து அளவுகளின் தனிப் பிழைகளின் எண் மதிப்புகளின் கூட்டுச் சராசரி ஆகும்.
\(a_m={|\triangle a_1|+|\triangle a_2|+|\triangle a_3|+......+|\triangle a_n|\over n}\)
அல்லது 
\(a_m={1\over n} \sum^n_{i=1}|\triangle ai|\)
a_m என்பது உண்மையான மதிப்பு, \(\triangle a_m \) என்பது சராசரி தனிப் பிழை எனில், அளவுகளின் எண் மதிப்புகள் (a_m+\(\triangle a_m \)) மற்றும் (a_m-\(\triangle a_m \)) இடையில் இருக்கும்.
3.ஒப்பிட்டுபிழை (Relative error) சராசரி தனிப்பிழைக்கும், சராசரி மதிப்பிற்கும் (உண்மை மதிப்பிற்கும்) இடையேயான தகவு ஒப்பிட்டுப் பிழை எனப்படும். இது பின்னப் பிழை அல்லது சார்புப் பிழை எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

\(={\triangle a_m \over a_m}\)
அளவிடப்பட்ட பொருளின் மொத்த பரிமாணத்துடன் ஒப்பிடும்போது தனிப் பிழை எவ்வளவு பெரியது என்பதை விவரிப்பதே ஒப்பீட்டுப் பிழையாகும்.
எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கார் 62km h^-1 வேகத்தில் செல்லும்போது வேகாமணி காட்டும் அளவு 60 km h^-1 இங்கு தனிப்பிழை 62-60=2 km h^-1 ஆகும். ஒப்பீட்டு பிழை எனபப்டும்.
(iv) விழுக்காட்டுப்பிழை (Percebtage error):
ஒப்பீட்டுப் பிழையினை விழுக்காட்டில் குறிப்பிட்டால், அது விழுக்காட்டுப் பிழை எனப்படும்.
விழுக்காட்டுப் பிழை சுழிக்கு மிக அருகில் இருந்தால், அந்த அளவீடு உண்மையான அளவிற்கு மிக அருகில் எடுக்கப்பட்ட அளவீ டாகும். இது சரியானதும், ஏற்றுக் கொள்ளக்கூடியதும் ஆகும். இப்பிழைகள் துல்லியமற்ற கருவியினால் ஏற்படுகிறதா அல்லது தவறான பரிசோதனை முறைகளால் ஏற்படுகிறதா என்பதைப் புரிந்துகொள்வது அவசியமாகிறது. 

நீரில் ஒலியின் வேகம் =1450 ms^-1
கால தாமதம் T =110.35
எதிரிக் கப்பலின் தொலைவு D=\(\frac{vT}{2}\)
=\(\frac { 1450\times 110.3 }{ 2 } \)
=\(\frac { 159935 }{ 2 } \)
=79967 m
∴ எதிரிக் கப்பலின் தொலைவு =79.96 km

1 A⁰ = 100 pm ⇒ 30 pm =0.3 A⁰
pm =pico  (10^-12m)
A= (10^-10)m
ஹீலியம் (He) நியூக்ளியஸின் பருமன்
\(\frac{4}{3}\) x 3.14 (0.3 x 10^-10)m³
=1.256 x 10^-30 m³
ஒரு மோலில்
ஹீலியம் (He) அணுவின்
எண்ணிக்கை =அவகேட்ரோ எண் (N)
=6.023 x 10²³
ஒரு மோல் ஹீலியம் அணுவின் அணுப் பருமன் (V')
=V' = V x N
=1.256 x 10^-30 x 6.023 x 10²³
=7.564 x 10^-7 m

முக்கிய எண்ணுருக்களை கணக்கிடுவதன் விதிகள் 

வ.எண்	விதிகள்	எடுத்துக்காட்டு
1.	சுழியற்ற அனைத்து எண்களும் முக்கிய எண்ணுருக்கள் ஆகும்.	1342 ஆனது நான்கு முக்கிய எண்ணுருக்களை கொண்டது.
2.	சுழியற்ற இரு எண்களுக்கு இடைப்பட்ட சுழிகள் முக்கிய எண்ணுருக்கள் ஆகும்.	2008 ஆனது நான்கு முக்கிய எண்ணுருக்களை கொண்டது
3.	சுழியற்ற எண்களுக்கு வலது புறமும் ஆனால் தசம புள்ளிக்கு இடது புறமும் உள்ள சுழிகள் முக்கிய எண்ணுருக்கள் ஆகும்	30700 ஆனது ஐந்து முக்கிய எண்ணுருக்களை கொண்டது.
4.	a. தசம புள்ளி அற்ற ஒரு எண்ணில் இறுதியாக வரும் சுழிகள் முக்கிய எண்ணுருக்கள் ஆகாது. b.அலகுடன் எழுதப்படும் இயற்பியல் அளவீடுகளில் வரும் எல்லா சுழிகளும் முக்கிய எண்ணுருக்களே	1.30700 ஆனது மூன்று முக்கிய எண்ணுருக்கள் கொண்டது. 2.30700m ஆனது ஐந்து முக்கிய எண்ணுருக்கள் கொண்டது.
5.	ஒன்றை விடக் குறைவான தசம எண்ணில், தசமபுள்ளிக்கு வலது புறமும் ஆனால் முதல் சுழியற்ற எண்ணுக்கு இடதுபுறமும் வரும் சுழிகள் முக்கிய எண்ணுருக்கள் இடதுபுறமும் வரும் சுழிகள் முக்கிய எண்ணுருக்கள் ஆகாது	0.00345 ஆனது மூன்று முக்கிய எண்ணுருக்களை கொண்டது
6.	தசமபுள்ளிக்கு வலது புறம் உள்ள சுழிகளும் தசம எண்ணில் சுழியற்ற எண்ணின் வலது புறமும் உள்ள சுழிகள் முக்கிய எண்ணுருக்கள் ஆகும்.	40.00 முக்கிய எண்ணுரு நான்கு கொண்டது. 0.030400 முக்கிய எண்ணுரு ஐந்து கொண்டது.
7.	முக்கிய எண்ணுருக்கள் அலகிடும் முறையை பொருத்தது அல்ல	1.53 cm, 0.0153 m, 0.0000153km ஆகியவை மூன்று முக்கிய எண்ணுரு கொண்டது.

i) ஒரு அளவீடு நுட்பமானது எனில் அது துல்லியத்தன்மை கொண்டது என்பது பொருள் அல்ல .எனினும் ஒரு அளவீடு தொடர்ச்சியாகத்  துல்லியத்தன்மை கொண்டது  எனில் அது நுட்பமான அளவீடு ஆகும். ஒரு கட்டிடத்தின் வெளியில் உண்மையான வெப்பநிலை 40^oC என்க. ஒரு வெப்பநிலை மானி அந்த வெப்பநிலையை 40^oC என அளவிட்டால், அந்த வெப்பநிலை  அந்த  துல்லியத்தன்மை வாய்ந்தது எனலாம். அந்த வெப்பநிலை மானியால் தொடர்ச்சியாக சரியான வெப்பநிலையை அளவிட முடிகின்றது எனில் அது  நுட்பமானது எனக் கூறலாம்.
ii) ஒரு காட்சி உதாரணம் இலக்கு நோக்கு அம்பு எய்தும் எடுத்துக்காட்டு  துல்லியத்தன்மை மற்றும் நுட்பத்தின் வேறுபாட்டினை விளக்க உதவுகிறது.படம் (அ), இலக்கின் மையப்புள்ளியை நோக்கிக் குறிவைத்து அம்புகள் எயிதப்படுகின்றன. ஆனால்  அம்புகள் அந்தப் புள்ளியைச் சுற்றிய வெவ்வேறு பகுதிகளை அடைகிறது. எனவே அம்பு எய்தல்  துல்லியத்தன்மையும், நுட்பமும் அற்றது.
iii) படம்(ஆ) அனைத்து அம்புகளும் ஒரே இடத்திற்கு அருகில் பாய்ந்துள்ளன.ஆனால் மையப்புள்ளி அடையவில்லை. எனவே அவை நுட்பமானவை ஆனால் துல்லியத்தன்மை அற்றவை. படம் (இ), அனைத்து அம்புகளும் மையப்புள்ளிக்கு அருகில் பாய்ந்துள்ளன. எனவே அவை  துல்லியத்தன்மையும் நுட்பமும் கொண்டவை.
iv) எண் மதிப்பிலான எடுத்துக்காட்டு ஒரு குறிப்பிட்ட நீலத்தின் உண்மையான மதிப்பு 5.678 cm. சோதனையில் 0.1 cm, பகுதிறன் கொண்ட கருவியைக் கொண்டு அளவிடும் போது 5.5 cm என அளவிடப்படுகிறது.மற்றொரு சோதனையில் 0.01 cm, பகுதிறன் கொண்ட கருவியைக் கொண்டு 5.38 cm என அளவிடப்படுகிறது முதல் அளவீட்டின்போது கண்டறியப்பட்ட அளவு உண்மை அளவிற்கு அருகில் உள்ளது. எனவே அது அதிக     துல்லியத்தன்மை வாய்ந்தது. ஆனால் குறைந்த நுட்பம் கொண்டது. இதற்கு மாறாக இரண்டாவது அளவீட்டின்போது  கண்டறியப்பட்ட அளவு குறைந்த  துல்லியத்தன்மையும் அதிக நுட்பமும் கொண்டது.

(i) தொகையிடல் என்பது பரப்பினைடக் கண்டறியும் ஒரு செயலாகும், சில ஒழுங்கான வடிவங்களுக்கு எளிதாக பரப்பினைக் கண்டறியலாம். அனால் ஒழுங்கற்ற வடிவங்களின் பரப்பினை அவ்வாறு காணமுடியாது. இத்தகைய நேர்வுகளில் தொகை நுண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி எளிமையாக பரப்பினைக்கணக்கிடலாம். 
(ii) எடுத்துக்காட்டாக படத்தில் காட்டியுள்ள செவ்வகம் மற்றும் ஒழுங்கற்ற வளைகோடு ஆகியவற்றைக் கருதுக. செவ்வகத்தின் பரப்பு A = நீளம் x அகலம் =(b-a ) c  என எளிதாகக் கண்டறியலாம். ஆனால் பரப்பை அவ்வாறு காண முடியாது.

(iii) f(x) என்ற சார்பாகக் கருதப்படும் ஒழுங்கற்ற வளைக்கோட்டிற்கு கீழே உள்ள பரப்பு கட்டப்பட்டுள்ளவாறு செவ்வகப் பட்டைகளாகப் பிரித்து, அவற்றின் கூடுதலை ஒழுங்கற்ற வளைகோட்டிற்க்கு கீழே உள்ள பரப்பின் தோராயமாகக் கொள்ளலாம். 
\(A\approx f(a)\Delta x+f\left( { x }_{ 1 } \right) \Delta x+f\left( { x }_{ 2 } \right) \Delta x+f\left( { x }_{ 3 } \right) \Delta x\)
(iv) இங்கு f(a) என்பது x =a என்ற நிலையில் f (x )இன் மதிப்பாகும், மேலும் f(x₁) என்பது  x=x₁ என்ற நிலையில் f(x) இன் மதிப்பாகும், இவ்வாறே மற்ற மதிப்புகளையும் காண வேண்டும். செவ்வகப்பட்டைகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது, பரப்பை அளவிடுதலின் துல்லியத்தன்மை மென்மேலும் அதிகரிக்கும்.

(v) வளைகோட்டிற்கு கீழே உள்ள பரப்பினை N பட்டைகளாகப் படுக்கும்போது, வளைகோட்டிற்குக்  கீழே உள்ள பரப்பை 
\(A=\sum _{ n=1 }^{ N }{ f({ x }_{ n })\Delta { x }_{ n } } \)
செவ்வகப் பட்டைகளின் எண்ணிக்கை ஈரிலா மதிப்பினை நெருங்கும்போது N \(\rightarrow \infty \)அவற்றின் கூடுதல், தொகையிடலாக மாறுகிறது.
\(A=\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } \)
(குறிப்பு : N \(\rightarrow \infty \)எனில் \(\Delta x\rightarrow 0\))
(vi) இந்த தொகையிடல் வளைகோடு f(x) க்கு கீழே உள்ள மொத்தப் பரப்பினைக் கொடுக்கிறது.
எடுத்துக்காட்டுகள் 
பொருளொன்று a புள்ளியிலிருந்து b புள்ளிக்கு ஒரு பரிமாண இயக்கத்தில் நகரும்போது விசை f(x) ஆல்  செய்யப்பட்ட வேலையை கீழ்கண்டவாறு குறிப்பிடலாம்.
\(W=\int _{ a }^{ b }{ F(x)dx } \)
(இங்கு ஸ்கேளலர் பெருக்கல் அவசியமில்லை. ஏனெனில் பொருள் ஒரு பரிமாண இயக்கத்தை மேற்கொள்கிறது) 
1. விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை, விசை-இடப்பெயர்ச்சி வளைகோட்டிற்கு கீழே உள்ள பரப்பிற்குச் சமம் என்பதை படம் காட்டுகிறது.

2. t =0மற்றும் t=t1 என்ற சிறிய காலா இடைவெளியில் விசையினால் ஏற்பட்ட கணத்தாக்கை தொகையிடல் மூலம் கணக்கிடலாம்.
கணத்தாக்கு I =\(\int _{ 0 }^{ t1 }{ Fdt } \)
விசைச்சார்பு f(t) மற்றும் நேரம் (t) வரைபடத்தின் பரப்பு கணத்தாக்கிற்குச் சமம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

(i) எந்த ஒரு இயற்பியல் அளவும், கணிதவியலின் ஒரு சார்பாக (function) குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக வெப்பநிலை T ஐக் கருதுவோம். சுற்றுச்சூழலின் வெப்பம் நாள் முழுவதும் ஒரே சீராக இருப்பதில்லை. அது நண்பகலில் அதிகரிக்கவும், மாலை வேளையில் குறையவும் செய்கிறது. 
(ii) நாம் கருதும் எந்தவொரு 't' நேரத்திலும் வெப்பநிலை T ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பினைப் பெற்றிருக்கும். கணித விதிகளின் அடிப்படையில் இதனை 'T (t)'எனக் குறிப்பிடலாம். மேலும் இதனை "நேரத்தைச் சார்ந்த வெப்பநிலை" என அழைக்கலாம்.
(iii) இதிலிருந்து அறிந்து கொள்வது என்னவெனில் நேரம் 't' கொடுக்கப்பட்டால், அந்த சார்பு  'T (t )' கொடுக்கும் இதேபோன்று x அச்சின் திசையில் செல்லும் பேருந்து ஒன்றின் இயக்கத்தினை x(t) எனக் குறிப்பிடலாம். அதாவது x என்பது நேரத்தைச் சார்ந்த ஒரு சார்பு அச்சினைக் குறிக்கிறது.
(iv) f(x)=x² என்ற சார்பைக் கருதுக. சில நேரங்களில் இதனை y=x² எனவும் குறிப்பிடலாம் இங்கு y என்பது x ஐச் சார்ந்த மாறி, ஆனால் x என்பது சார்பற்ற மாறி ஆகும். x  இல் மாற்றம் ஏற்படும் என்பதை இது உணர்கிறது.
(v) இயற்பியல் அளவு ஒன்றினைச் சார்பு வடிவில் குறிப்பிட்ட பின்பு, அந்த சார்பு நேரத்தைப் பொறுத்து எவ்வாறு மாறுபடுகிறது (அல்லது)இயற்பியல் அளவு சார்பற்ற மாறிகளைப் பொறுத்து எவ்வாறு மாறுபடுகிறது என்பதை அறியலாம். எந்த ஒரு இயற்பியல் அளவில் ஏற்படும் மாற்றத்தையும் பகுத்து ஆராய நுண்கணிதம் (Calculus) என்ற கணிதவியலின் பிரிவு பயன்படுகிறது. 
(vi) y =f(x) என்பது ஒரு சார்பு எனில் x ஐப் பொறுத்து y இன் முதல் வகைக்கெழுவை \(\frac {dy}{dx}\)எனக் குறிப்பிடலாம். கணிதவியலின்படி y = f(x) என்பது x இந்த பல்வேறு மதிப்புகளுக்கு y -இல் ஏற்படும் மாற்றத்தை இது எடுத்துக்காட்டுகிறது.
(vii) கணித கோட்பாட்டின்படி வகைக்கெழு \(\frac {dy}{dx}\) கீழ்கண்டவாறு வரையறை செய்யப்படுகிறது.
\(\frac {dy}{dx}\)=\(\underset { \Delta x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { y(x+\Delta x)-y(x) }{ \Delta x } \)
\(=\underset { \Delta x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \Delta y }{ \Delta x } \)
\(\Delta x \)சுழியினை நெருங்கும்போது \((\Delta x\rightarrow 0)\frac { \Delta y }{ \Delta x } \)
\(\frac {dy}{dx}\)அடையும் எல்லையை காட்டுகிறது.

இயக்கத்தின் வகைகள். அன்றாட வாழ்வில் கீழ்கண்ட வகையான இயக்கங்களை நாம் காணலாம்.
(i) நேர்கோடு இயக்கம் 
ஒரு பொருள் நேர்கோட்டில் இயங்கினால் அவ்வியக்கம் நேர்கோட்டு இயக்கம் என அழைக்கப்படும்.
எடுத்துக்காட்டுகள் 
1. நேரான ஓடுபாதையில் ஓடம் தடகள வீரர்
2. புவியினை நோக்கி விழும் பொருள்.
(ii) வட்ட இயக்கம் 
வட்டப்பாதையில் இயங்கும் பொருளின் இயக்கம் வட்ட இயக்கம் என அழைக்கப்படும்.
1. கயிற்றில் கட்டப்பட்டு சுழற்றப்படும் கல்.
2. புவியினைச் சுற்றி வரும் செயற்கைக் கோளின் இயக்கம்.
(iii) சுழற்சி இயக்கம் 
எந்த ஒரு திண்மப்பொருளின் ஒரு அச்சினைப் பொறுத்து சுழலும் போது, அவ்வியக்கம் சுழற்சி இயக்கம் என அழைக்கப்படும். அச்சுழற்சியின் போது திண்மப்பொருளில் உள்ள எந்த ஒரு புள்ளியும் அவ்வச்சினை பொறுத்து வட்ட இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும் (சூழல் அச்சில் உள்ள புள்ளியைத் தவிர்த்து.
1. அச்சினைப் பொறுத்து சுழலும் வட்ட வடிவத்தட்டு.
2. அச்சினைப் பொறுத்து தன்னைத்தானே சுற்றும் புவி.
(iv) அதிர்வு இயக்கம் 
பொருளொன்று நிலையான ஒரு புள்ளியைப் பொறுத்து முன்னும் பின்னும் இயக்கத்தினை மேற்கொண்டால், அவ்வியக்கம் அதிர்வியக்கம் எனப்படும். சில நேரங்களில் இவ்வியக்கம் அலைவு இயக்கம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டுகள் 
1. கிட்டார் (guitar) இசைக்கருவியில் உள்ள அதிர்வடையும் கம்பி.
2. ஊஞ்சலின் இயக்கம்.
மேலே கூறப்பட்ட இயக்கங்கள் மட்டுமல்லாமல் நீள்வட்ட இயக்கம் மற்றும் வரிச்சுருள் இயக்கம் (Helical) போன்ற வேறு இயக்கங்களும் நடைமுறையில் சாத்தியமாகும்.

(1) f(x) என்ற சார்பாகக் கருதப்படும் ஒழுங்கற்ற வளைகோட்டிற்கு கீழே உள்ள பரப்பினை படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
(2) செவ்வகப் பட்டைகளாகக் பிரித்து, அவற்றின் கூடுதலை ஒழுங்கற்ற வளைகோட்டிற்குக் கீழே உள்ளபரப்பின் தோராயமாகக் கொள்ளலாம்.
A≈ f(a)Δx+f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+f(x₃)Δx
(3) இங்கு f(a) என்பது x =a என்ற நிலையில் f(x) இன் மதிப்பாகும், மேலும் f(x) என்பது x=x₁ என்றநிலையில் f(x0 இன் மதிப்பாகும்.
(4) இவ்வாறே மற்ற மதிப்புகளையும் காண வேண்டும்.
(5) செவ்வகப்பட்டைகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது, பரப்பை அளவிடுதலின் துல்லியத்தன்மை மென்மேலும் அதிகரிக்கும்.
(6) வளைகோட்டிற்குக் கீழே உள்ள பரப்பினை N பட்டைகளாகப் பகுக்கும்போது, வளை கோட்டிற்குக் கீழே உள்ள பரப்பை
(7) \(A\approx \overset { N }{ \underset { n=1 }{ \Sigma } } f(x_{ n })\triangle x_{ n }\) எனக் குறிப்பிடலாம்.
(8) செவ்வகப் பட்டைகளின் எண்ணிக்கை ஈரிலா மதிப்பினை நெருங்கும் போது N⟶∞ அவற்றின்  கூடுதல், தொகையிடலாக மாறுகிறது.
(9) A =\(\int _{ a }^{ h }{ f(x)dx } \) குறிப்பு: N⟶∞, எனில் Δx⟶0
(10) இந்த தொகையிடல், வளைகோடு f(x) க்கு கீழே உள்ள மொத்த பரப்பினைக் கொடுக்கிறது.

ஸ்கேலர் பெருக்கல்:
இரண்டு வெக்டர்களின் ஸ்கேலர் பெருக்கல் (புள்ளிப் பெருக்கல்) என்பது, அவ்விரண்டு வெக்டர்களின் எண்மதிப்புகள் மற்றும் அவ்விரண்டு வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்கல் பலனுக்குச் சமமாகும்.
\(\vec { A } \).\(\vec { B } \)=AB cosθ. இங்கு A மற்றும் B ஆகியவை மற்றும் வெக்டர்களின் எண்மதிப்புகள் ஆகும். \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) என்ற இரண்டு வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் θ.
வெக்டர் பெருக்கல்:
இரண்டு வெக்டர்களின், வெக்டர் பெருக்கல் அல்லது குறுக்கு பெருக்கல் செய்யும்போது கிடைக்கும் தொகுபயன் வெக்டரின் எண்மதிப்பானது, அவ்விரு வெக்டர்களின் எண்மதிப்புகளின் பெருக்கல்பலன் மற்றும் அவ்வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தின் சைன்மதிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்கல் பலனுக்குச் சமமாகும். மேலும் வலதுகை திருகுவிதி அல்லது வலதுகை பெருவிரல் விதியின் அடிப்படையில், தொகுபயன் வெக்டரின் திசையானது, இரண்டு வெக்டர்களின் தளத்திற்குச் செங்குத்துத் திசையில் இருக்கும்

\(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) என்ற இரண்டு வெக்டர்களின், வெக்டர் பெருக்கலினால் கிடைக்கும் தொகுபயன் வெக்டர் \(\vec { c } \) ஐ கீழ்க்கண்டவாறு குறிப்பிடலாம்.
\(\vec { C } =\vec { A } \times \vec { B } =(AB\quad sin\theta )\hat { n } \)
.\(\vec { A } \) x \(\vec { B } \) இன்  அலகு வெக்டர் \(\hat { n } \) ன் திசை, அதாவது \(\vec { c } \) இன் திசை, \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) வெக்டர்களினாலான தளத்திற்குச் செங்குத்தாக இருக்கும். மேலும் வலதுகை திருகு ஒன்றை \(\vec { A } \) வெக்டரில் இருந்து (முதல் வெக்டர்) \(\vec { B } \) வெக்டரை நோக்கி (இரண்டாவது வெக்டர் ) அவற்றின் சிறிய கோணத்தின் வழியே சுழற்றும் போது திருகு முன்னேறும் திசையில் \(\vec { c } \) வெக்டரின் திசை இருக்கும்.

(i) எறிபொருளின் இயக்கம்:
பொருள் ஒன்று \(\vec{u}\) என்ற தொடக்கத் திசைவேகத்துடன் கிடைத்தளத்துடன் θ கோணம் உருவாக்கும் திசையில் எறியப்படுவதைக் கருதுவோம்.
\(\vec{u}=u_x \hat{i}+u_y \hat{j}\). இதில் \(\mathrm{u}_x=\mathrm{u} \cos \theta\) என்பது கிடைமட்டக்கூறு திசைவேகமாகும்.
\(\mathrm{u}_{y^{\prime}}=\mathrm{u} \sin \theta\) என்பது செங்குத்துக்கூறு திசைவேகமாகும்.
புவி ஈர்ப்பு முடுக்கமானது செங்குத்துக்கூறு திசைவேகத்திற்கு u_y, எதிரானத் திசையில் செயல்படுவதால் செங்குத்துக்கூறு திசைவேகம் படிப்படியாக குறைந்து எறிபொருள் பெரும உயரம் அடையும்போது சுழியாகிறது. எனவே பெரும உயரத்திலிருந்து பொருளானது இதே புவி ஈர்ப்பு விசையின் காரணமாக தரையை வந்தடைகிறது.
இயக்கம் முழுவதும் புவி ஈர்ப்பு முடுக்கம் கிடைத்தளக்கூறு திசைவேகத்தில் எவ்வித பாதிப்பையும் ஏற்படுத்தாது. எனவே எறிபொருளானது பெரும உயரம் சென்று மீண்டும் தரையை வந்தடையும் வரை கிடைத்தளக்கூறு \(\left(\mathrm{u}_x=\mathrm{u} \cos \theta\right)\) திசைவேகத்தில் மாற்றமில்லை.
எனவே t காலத்திற்குப் பின் கிடைத்தளத்தில் பொருளின் திசைவேகம்
\(v_{\mathrm{x}} -\mathrm{u}_{\mathrm{x}} + \mathrm{a}_{\mathrm{x}} \mathrm{t}  \)
\(=\mathrm{u}_{\mathrm{x}} \ \left[\because \mathrm{a}_{\mathrm{x}}=0\right]  \)
\(=\mathrm{u} \cos \theta\)
t காலத்தில் கிடைத்தளத்தில் பொருள் பயணம் செய்த தூரம்
\(S_x =u_x t+\frac{1}{2} a_x t^2  \)
\(\mathrm{x} =u \cos \theta \times t  \)
\(\therefore \mathrm{t} =\frac{x}{u \cos \theta}\)    .....(1)

t காலத்திற்குப்பின் செங்குத்து இயக்கத்தில்
\(\mathrm{v}_{\mathrm{y}} =\mathrm{u}_{\mathrm{y}}+\mathrm{a}_{\mathrm{y}}^{\mathrm{t}}  \)
\(=\mathrm{u} \sin \theta \mathrm{gt} \)    .....(2)
\([\because \mathrm{u}_y=\mathrm{u} \sin \theta\) மற்றும் \(\mathrm{a}_{\mathrm{y}}=-\mathrm{g}]\)
அதே t நேரத்தில் செங்குத்தாக பொருள் பயணம் செய்த தூரம்
\(\mathrm{S}_y =\mathrm{u}_y \mathrm{t}+\frac{1}{2} a_y t^2  \)
\(\mathrm{y} =u \sin \theta \times t-\frac{1}{2} g t^2 \)
\([\because \mathrm{S}_{\mathrm{y}}.=\mathrm{y}, \overrightarrow{\mathrm{u}}_{\mathrm{y}}=\mathrm{u} \sin \theta\)  மற்றும் \(\mathrm{a}_{\mathrm{y}}=-\mathrm{g}]\)
சமன்பாடு (1) - ல் உள்ள tன் மதிப்பை பிரதியிட
\(y=u \sin \theta \frac{x}{u \cos \theta}-\frac{1}{2} g \frac{x^2}{u^2 \cos ^2 \theta}  \)
\(y=x \tan \theta-\frac{1}{2} g\left[\frac{x^2}{u^2 \cos ^2 \theta}\right]\)
எறிபொருள் பயணம் செய்த பாதை தலைகீழான ஒரு பரவளையம் ஆகும்.
(ii) பெரும உயரம்:
எறிபொருள் ஒன்று தனது பயணத்தின் போது கடந்த பெரும செங்குத்துத் தூரம் பெரும் உயரம் எனப்படும்.
செங்குத்துத்தான இயக்கத்தில்
\(v_y^2 =u_y^2+2 a y s  \)
\(u_y =\mathrm{u} \sin \theta, \text { ay }=-\mathrm{g}  \)
\(\mathrm{s} =\mathrm{h}_{\max }\)
மேலும் பெரும உயாத்தில் v_y = 0 என்பதை பிரதியிட்டால்
\(0 =\mathrm{u}^2 \sin ^2 \theta-2 \mathrm{gh}_{\max }  \)
\(\mathrm{h}_{\max } =\frac{u^2 \sin ^2 \theta}{2 g}\)
(iii) கிடைத்தள நெடுக்கம்:
பொருள் எறியப்பட்ட புள்ளிக்கும் அதே கிடைத்தளத்தில் எறிபொருள் தரையை வந்தடையும் புள்ளிக்கும் இடைப்பட்டத் தொலைவு கிடைத்தள நெடுக்கம் (R) எனப்படும்.
நெடுக்கம் = திசைவேகத்தில் கிடைத்தளக்கூறு x பறக்கும் காலம்
\(=u \cos \theta \times T_f  \)
\(=u \cos 0 \times \frac{2 u \sin \theta}{g}\left[\because T_f-\frac{2 u \sin \theta}{g}\right]  \)
\(=\frac{2 u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}  \)
\(\mathrm{R} =\frac{u^2 \sin 2 \theta}{g}(\because 2 \sin \theta \cos \theta=\sin 2 \theta)\)

கிரிக்கெட் பந்தின் இயக்கத்தை எறிபொருளின் இயக்கமாகக் கருதலாம். நாம் முன்னர் பார்த்தபடி கிடைத்தளத் தொலைவு
\(R = {u^2 \sin 2\theta \over g }\)
ஆரம்பத்திசை வேகம் u = 30 m s^-1
எறிகோணம் θ =  0°
கிரிக்கெட் பந்தின் கிடைத்தள நெடுக்கம்
\(R={{(30)}^{2}\times \sin 60°\over 10}={900\times{\sqrt{3}\over2}\over 10}=77.94m\)
கிடைத்தள நெடுக்கம் மைதானத்தின் எல்லையான 75 மீட்டரை விட அதிகமாக உள்ளது. எனவே, பந்து எல்லையைக் கடந்து பறந்து வீரருக்கு ஆறு ரன்களைப் பெற்றுத்தரும்.

பரிமாணங்களில் ஒருப்படித்தான நெறிமுறைப்படி ஒரு சமன்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பின் பரிமாணங்களும் சமமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, v² = v² + 2as என்ற சமன்பாட்டில் v², u²மற்றும் 2as ஆகியவற்றின் பரிமாணங்கள் ஒத்ததாகவும்[L²T^-2] க்கு சமமாகவும் இருக்கும்.
பயன்கள்:
இம்முறையானது,
(i) இயற்பியல் அளவு ஒன்றை ஒரு அலகிடும் முறையிலிருந்து மற்றொரு அலகிடும் முறைக்கு மாற்றப் பயன்படுகிறது.
(ii) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு பரிமாண முறைப்படி சரியானதா என சோதிக்கப் பயன்படுகிறது.
(iii) வெவ்வேறு இயற்பியல் அளவுகளுக்கிடையே உள்ள தொடா்பினைப் பெற பயன்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு-1
பரிமாணங்கள் முறையில் 76 cm பாதரச அழுத்தத்தை Nm^-2 என மாற்றுதல்.
தீர்வு
CGS முறையில் 76 cm பாதாச அழுத்தம் (P₁) = 76 x 13.6 x 980 dyne cm^-2
SI முறையில் P - ன் மதிப்பு (P₂) = ?
அழுத்தத்தின் பரிமாண வாய்ப்பாடு \(\left[M L^{-1} T^{-2}\right]\)
\(\mathrm{P}_1\left[M_1^a L_1^b T_1^c\right] =\mathrm{P}_2\left[M_2^a L_2^b T_2^c\right]  \)
\(\therefore P_2 =P_1\left[\frac{M_1}{M_2}\right]^a\left[\frac{L_1}{L_2}\right]^b\left[\frac{T_1}{T_2}\right]^c  \)
\(\mathrm{M}_1 =1 \mathrm{~g} ; \quad \mathrm{M}_2=1 \mathrm{~kg}  \)
\(\mathrm{~L}_1 =1 \mathrm{~cm} ; \quad \mathrm{L}_2=1 \mathrm{~m}  \)
\(\mathrm{~T}_1 =1 \mathrm{~s} ; \quad \mathrm{T}_2=1 \mathrm{~s} \)
எனவே \(\mathrm{a} =1 \mathrm{~b}=-1 \mathrm{c}=-2\)
\(\therefore P_2 =76 \times 13.6 \times 980\left[\frac{1 \mathrm{~g}}{1 \mathrm{~kg}}\right]^{\mathrm{l}}\left[\frac{1 \mathrm{~cm}}{1 \mathrm{~m}}\right]^{-1}\left[\frac{1 \mathrm{~s}}{1 \mathrm{~s}}\right]^{-2} \)
\(=76 \times 13.6 \times 980\left[\frac{10^{-3} \mathrm{~kg}}{1 \mathrm{~kg}}\right]^1\left[\frac{10^{-2} \mathrm{~m}}{1 \mathrm{~m}}\right]^{-1}\left[\frac{1 \mathrm{~s}}{1 \mathrm{~s}}\right]^{-2} \)
\(=76 \times 13.6 \times 980 \times\left[10^{-3}\right] \times 10^2 \)
\(=1.01 \times 10^5 \mathrm{Nm}^{-2}\)
\(\frac{1}{2} m v^2=m g h\) என்ற சமன்பாட்டை பரிமாணப்பகுப்பாய்வு முறைப்படி. சரியானதா என கண்டறிதல்.
\(\frac{1}{2} m v^2\) இன் பரிமாண வாய்ப்பாடு \(=\lceil\mathrm{M}\rceil\left\lceil\mathrm{LT}^{-1}\right\rceil^2=\left\lceil\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right\rceil \)
mgh  இன் பரிமாண வாய்ப்பாடு \(=[\mathrm{M}]\left[\mathrm{LT}^{-2}\right][\mathrm{L}]=\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right\rceil \)
\(\therefore\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right] =\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right]\)
இருபுறங்களிலும் பரிமாணங்கள் சமம். எனவே \(\frac{1}{2} m v^2=m g h\) என்ற சமன்பாடு பரிமாண முறைப்படி சரி.
தனி ஊசலின் அலைவு நேரத்திற்கான கோவையை பரிமாண முறையில் பெறுதல். அலைவு நேரமானது. (i) ஊசல் குண்டின் நிறை 'm' (ii) ஊசலின் நீளம் 'l' (iii) அவ்விடத்தில் புவியீ்ர்ப்பு முடுக்கம் g ஆகியவற்றைச் சார்ந்தது.' (மாறிலி k = 2π)
\(T \propto m^a l^b \dot{g}^c \)
\(T=k \cdot m^{\mathrm{a}} l^{\mathrm{b}} g^c\)
k என்பது பரிமாணமற்ற மாறிலி. மேற்கண்ட சமன்பாட்டில் பரிமாணங்களை பிரதியிட
\({\left[\mathrm{T}^{\mathrm{l}}\right] } =\left[\mathrm{M}^{\mathrm{a}}\right]\left[\mathrm{L}^{\mathrm{b}}\right]\left[\mathrm{LT}^{-2}\right] \)
\({\left[\mathrm{M}^0 \mathrm{~L}^0 \mathrm{~T}^1\right] } =\left[\mathrm{M}^{\mathrm{a}} \mathrm{L}^{\mathrm{b}+\mathrm{c}^2} \mathrm{~T}^{-2 \mathrm{c}}\right]\)
சமன்பாட்டின் இருபுறமும் உள்ள M, L, T ன் படிகளை சமன் செய்ய
\(\mathrm{a}=0, \mathrm{~b}+\mathrm{c}=0 .-2 \mathrm{c}=1\)
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க
\(\mathrm{a}=0, \mathrm{~b}=1 / 2 \)  மற்றும் c = -1 / 2
a,b மற்றும் c மதிப்புகளை சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட
\(\mathrm{T}=\mathrm{k} \cdot \mathrm{m}^0 l^{1 / 2} g^{-1 / 2}  \)
\(\mathrm{~T}=\mathrm{k}\left(\frac{l}{g}\right)^{1 / 2}=k \sqrt{\frac{l}{g}}\)
சோதனை மூலம் பெறப்பட்ட k யின் மதிப்பு k = 2 π, எனவே
\(\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)

அளவிடும்போது முழையான பிழைகள், ஓழுங்கற்ற பிழைகள் மற்றும் மொத்தப்பிழைகள் ஆகிய மூன்று வகையான பிழைகள் ஏற்படலாம்.
(i) முறையான பிழைகள் (Systematic errors)
முறையான பிழைகள் என்பது தொடர்ச்சியாக மீண்டும் மீண்டும் ஒரே மாதிரி உருவாகும் பிழைகள் ஆகும். இப்பிழைகள் ஆய்வின் ஆரம்பம் முதல் முடிவு வரை தொடர்ந்து நிகழும் பிரச்சனையால் ஏற்படுகின்றன. முறையான பிழைகள் கீழ்கண்டவாறு வகைப்படுத்தப்படுகின்றன 
1. கருவிப் பிழைகள் (Instrumental errors)
ஒரு கருவியானது தயாரிக்கப்படும்போது முறையாக அளவீடு (Calibration) செய்யப்படவில்லை எனில் கருவிப் பிழைகள் தோன்றலாம். முனை தேய்ந்த மீட்டர் அளவுகோலைக் கொண்டு ஒரு அளவை அளவீடு செய்யும்பொழுது பெறப்பட்ட முடிவுகள் பிழையாக இருக்கும். இந்த வகையான பிழைகளை கருவிகளை கவனமாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் சரிசெய்ய முடியும்.
2. பரிசோதனையின் குறைபாடுகள் அல்லது செய்முறையில் குறைபாடுகள் (Imperfection in instrumental techniques)
சோதனை செய்யும் கருவிகளை அமைக்கும் போது, ஆய்வகச் சூழலில் ஏற்படும் சில தவறுகளால் இப்பிழைகள் தோன்றுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக,கலோரிமானி கொண்டு சோதனை நிகழ்த்தும் போது வெப்பக் காப்பீடு சரியாக செய்யப்படவில்லை எனில் கதிர்வீச்சு முறையில் வெப்ப இழப்பு ஏற்படும் இதனால் பெறப்படும் முடிவுகள் பிழையாக அமையும்.அதனைத் தவிர்க்கத் தேவையான திருத்தங்களை மேற்கொள்ள வேண்டும்.
3. தனிப்பட்டபிழைகள் (Personal errors)
இப்பிழைகள் சோதனையின் போது அளவிடுபவரின் செயல்பாட்டால் உருவாகிறது. கருவியின் தவறான ஆரம்பச் சீரமைவுகள் அல்லது முறையற்ற முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கையால் அல்லது கவனக்குறைவாக உற்று நோக்கினால்,அளவிடுபவரால் ஏற்படுகிறது.
4. புறக்காரணிகளால் ஏற்படும் பிழைகள் (Errors due to external causes)
சோதனையின் போது புறச்சூழலில் ஏற்படும் மாறுபட்டால் அளவிடுதலில் பிழைகள் ஏற்படும் .எடுத்துக்காட்டாக,வெப்பநிலை மாறுபாடு, ஈரப்பதம் அல்லது அழுத்தத்தால் ஏற்படும் மாற்றம் போன்றவை அளவீட்டின் முடிவுகளைப் பாதிக்கும்.
5. மீச்சிற்றளவு பிழைகள் (Least count Errors)
ஓர் அளவுகோலால் அளக்கக்கூடிய மிகச்சிறிய அளவு மீச்சிற்றளவு எனப்படும். மேலும் அதனால் ஏற்படும் பிழைகள் மீச்சிற்றளவு பிழைகள் எனப்படும். அளவிடும் கருவியின் பகுதிறன் மதிப்பைச் சார்ந்து இப்பிழைகள் ஏற்படுகின்றன. இவ்வகைப் பிழைகளை உயர் நுட்பம் கொண்ட கருவிகளைப் பயன்படுத்துவதால் குறைக்க முடியும்.
(ii) ஒழுங்கற்ற பிழைகள் (Random Errors)
அழுத்தம், வெப்பநிலை, அளிக்கப்படும் மின்னழுத்தம் போன்றவற்றால் சோதனையில் ஏற்படும் தொடர்பற்ற மாறுபாடுகளால்,சமவாய்ப்பு பிழைகள் ஏற்படும் தொடர்பற்ற மாறுபாடுகளால்,சமவாய்ப்பு பிழைகள் ஏற்படுகின்றன சோதனையை உற்று நோக்குபவரின் கவனக்குறைவால் ஏற்படும் பிழையாலும்,அளவிடுபவர் செய்யும் பிழையினாலும் இவ்வகை பிழைகள் ஏற்படலாம். ஒழுங்கற்ற பிழைகள்,வாய்ப்பு பிழைகள் (Chance Errors) எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.
எடுத்துக்காட்டாக, திருகு அளவியைக் கொண்டு ஒரு கம்பியின் தடிமனை அளக்கும் சோதனையைக் கருதுவோம். ஒவ்வொரு முறையும் வேறுபட்டஅளவீடுகள் கூட்டுச் சராசரி எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.
ஒரு சோதனையில் n எண்ணிக்கையில் எடுக்கப்பட்ட அளவீடுகள் a₁,a₂,a₃............a_n
எனில், கூட்டுச் சராசரி \(a_m={a_1+a_2+a_3+.......+a_n\over n}\)  ....(1) 
அல்லது \(a_m=1/n\sum a_i\)   ....(2)
அளவீடுகளின் கூட்டுச் சராசரி மதிப்பு என்பது சிறந்த சாத்தியமான நிகழக்கூடிய உண்மை மதிப்பு ஆகும்.
(iii) மொத்தப் பிழைகள் (Gross Errors)
உற்று நோக்குபவரின் கவனக் குறைவின் காரணமாக ஏற்படும் பிழைகள் மொத்தபிழைகள் எனப்படும்.
கருவியை முறையாகப் பொருந்தாமல் அளவீடு எடுத்தல். பிழையின் மூலத்தினையும், முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளையும் கவனத்தில் கொள்ளாமல் தவறாக அளவீடு எடுத்தல். தவறாக உற்று நோக்கியதைப் பதிவிடுதல். கணக்கீட்ழன் போது தவறான மதிப்பீடுகளைப் பயன்படுத்துதல். சோதனை செய்பவர் கவனமாகவும்,விழிப்புடனும் செயல்பட்டால் இப்பிழைகளைக் குறைக்கலாம்.

(i) சிறிய தொலைவுகளை அளவிடுதல் திருகு அளவி மற்றும் வெர்னியர் அளவி திருகு அளவி
திருகு அளவியானது 50 mm வரையிலான பொருட்களின் பரிமாணங்களை மிகத்துல்லியமாக அளவிடப் பயன்படும் கருவியாகும். இக்கருவியின் தத்துவம் திருகின் வட்ட இயக்கத்தைப் பயன்படுத்தி பெரிதாக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டு இயக்கமாகும். திருகு அளவியின் மீச்சிற்றளவு 0.01 mm ஆகும்.
வெர்னியர் அளவி
துளையின் ஆழம் அல்லது துளையின் விட்டம் போன்ற அளவீடுகளை அளக்கப்பயன்படும் பன்முகமத்தன்மை (versatile) கொண்டகருவி வெர்னியர் அளவி ஆகும். வெர்னியர் அளவியின் மீச்சிற்றளவு 0.1 mm (பொதுவாக)

(ii) நீண்ட தொலைவுகளை அளவிடுதல்
முக்கோண முறை (Triangulation method) இடமாறு தோற்றமுறை (Parallax method) துடிப்பு முறை (Radar method) ஆகிய முறைகளைப் பயன்படுத்தி மிக நீண்ட தொலைவுகளை அளவிடலாம்.
முக்கோண முறையின் மூலம் ஒரு பொருளின் உயரத்தை அளவிடுதல் 
AB = h என்பது அளக்க வேண்டிய மரத்தின் உயரம் அல்லது கோபுரத்தின் உயரம் எனக். B யிலிருந்து x தொலைவில் உள்ள C என்ற இடத்தில் உற்று நோக்குபவர் இருப்பதாகக் கொள்வோம்.
C -லிருந்து வீச்சை அளப்பவர் A -வுடன் ஏற்படுத்தும் ஏற்றக் கோணம் <\(ACB=\theta\)
செங்கோண முக்கோணம் ABC-யிலிருந்து  

\(\tan \theta ={AB\over BC}={h\over x}\) அல்லது உயரம் h = x tan θ
தொலைவு x ஐ அறிந்திருந்தால்,உயரம் h ஐப் பெறலாம்.
ரேடார் துடிப்பு முறை
ரேடாா் (RADAR) என்பது RAdio Detection And Ranging என்பதன் சுருக்கமாகும்.
ரேடாரைக் கொண்டு செவ்வாய் போன்ற புவிக்கு அருகில் உள்ள கோளின் தொலைவை துல்லியமாக அளவிட முடியும்.
இம்முறையில் புவிப்பரப்பிலிருந்து ரேடியோ பரப்பி (Transmitter) மூலம் ரேடியோ அலைத்துடிப்புகள் பரப்பப்பட்டு, கோளிலிருந்து எதிரொளிக்கப்பட்ட துடிப்புகள் ஏற்பி (Receiver) மூலம் உணரப்படுகிறது.
ரேடியோ அலை பரப்பியிலிருந்து அனுப்பப்பட்டதற்கும் ஏற்பியல் பெறப்பட்டதற்கும் இடையேயான நேர இடைவெளி t எனில் கோளின் தொலைவினை கீழ்க்கண்ட தொடா்பு மூலம் பெற முடியும்.
வேகம் = கடந்த தொலைவு / எடுத்துக் கொண்ட நேரம் 
தொலைவு (d) = ரேடியோ அலைகளின் வேகம் x எடுத்துக்கொண்ட நேரம் எனவே கோளின் தொலைவு
\(\mathrm{d}=\frac{v \times t}{2}\)
இங்கு v என்பது ரேடியோ அலைகளின் வேகம். ரேடியோ அலைகள் சென்று வந்தடைய ஆகும் நேரம் t.
இம்முறை மூலம் புவிப்பரப்பிலிருந்து ஓர் விமானம் எவ்வளவு உயரத்தில் பறந்து கொண்டிருக்கிறது எண்பதையும் கண்டறியலாம்.

x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 3 என்ற இரண்டு புள்ளிகளைக் கருதினால் y₁ = 4 மற்றும் y₂ = 9 என்ற இரண்டு புள்ளிகள் கிடைக்கும்.
இங்கு \(\triangle x=1\) மற்றும் \(\triangle y = 5\)
எனவே, \({\triangle y \over \triangle x}={9-4\over 3-2}=5\)
x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 2.5   எனில்
y₁ = 4 மற்றும் y₂ = (2.5)² = 6.25 எனக் கிடைக்கும்.
இங்கு \(\triangle x=0.5={1\over 2}\) மற்றும் \(\triangle y = 2.25\)
எனவே, \({\triangle y \over \triangle x}={6.25-4\over 0.5}=4.5\)
x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 2.25 எனில்
y₁ = 4 மற்றும் y₂ = 5.0625 எனக் கிடைக்கும்
இங்கு \(\triangle x=0.25={1\over 4}\) மற்றும்  \(\triangle y=1.0625\)
எனவே, \({\triangle y\over \triangle y}={5.0625-4\over 0.25}={(5.0625-4)\over{{1\over4}}}=4(5.0625-4)=4.25\)
x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 2.1 எனில்
y₁ = 4 மற்றும் y₂ = 4.41 எனக் கிடைக்கும்
இங்கு \(\triangle x=0.1={1\over 10}\) மற்றும்  \(\triangle y=0.41\)
\({\triangle y\over \triangle y}={(4.41-4)\over{{1\over10}}}=10(4.41-4)=4.1\)

CGS முறையில் 76 cm பாதரச அழுத்தம்
(P₁) = 76 × 13.6 × 980 dyne cm^-2
SI முறையில் P- ன் மதிப்பு (P₂) = ?
அழுத்தத்தின் பரிமாண வாய்ப்பாடு [ML^-1T^-2]
\(P_1[M_1^aL_1^bT_1^c]=P_2[M_2^aL_2^bT_2^c]\)
\(∴\ P_2=P_1\left[M_1\over M_2\right]^a\left[L_1\over L_2]\right]^b\left[T_1\over T_2\right]^c\)
M₁ = 1 g; M₂ = 1 kg
L₁ = 1 cm; L₂ = 1 m
T₁= 1 s; T₁ = 1 s
எனவே a = 1 b = -1 மற்றும் c = -2 என்பதால்
\(∴\ P_2=76\times13.6\times980\left[1g\over 1kg\right]^1\left[1cm\over 1m\right]^{-1}\left[1s\over 1s\right]^{-2}\)
\(=76\times13.6\times980\left[10^{-3}kg\over 1kg\right]^{1}\left[10^{2}m\over 1m\right]^{-1}\left[1s\over 1s\right]^{-2}\)
= 76 × 13.6 × 980 × [10⁻³] × 10²
= 1.01 × 10⁵ N m⁻²

வெக்டர்களின் முக்கோணவிதிப்படி
தொகுபயன் வெக்டர் \(\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}\) என எழுதலாம்.
கீழ்கண்ட படம் வெக்டர்களின் கூடுதலை எவ்வாறு முக்கோணவிதியின் அடிப்படையில் காணலாம் என்பதை விளக்குகிறது.

தொகுபயன் வெக்டரின் \((\overrightarrow{R})\) எண்மதிப்பு
\(R=|\overrightarrow{R}|=\sqrt{5^2+7^2+2\times5\times7\ \cos\ 60°}\)
\(R=\sqrt{25+49+{70\times1\over 2}}=\sqrt{109}\) அலகுகள்
\(\overrightarrow{R}\) மற்றும் \(\overrightarrow{A}\) க்கு இடையே உள்ள கோணம் \(\alpha\) (தொகுபயன் வெக்டரின் திசை) கீழ்கண்டவாறு கணக்கிடப்படுகிறது.
\(\tan \alpha ={B \sin \theta \over A +B \ \cos \theta }\)     (2.2)
எனவே,
\(\tan\alpha =\frac { 7\times sin60^{ 0 } }{ 5+7cos60^{ 0 } } =\frac { 7\sqrt { 3 } }{ 10+7 } =\frac { 7\sqrt { 3 } }{ 17 } \cong 0.713\)
\(\therefore \alpha \cong 35^{ 0 }\)

10^-5 m முதல் 10² m வரையிலான தொலைவுகளை நேரடி முறையில் அளக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக 10^-3 முதல் 1 m வரையிலான தொலைவை 1 மீட்டர் அளவுகோலைக் கொண்டு அளக்க முடியும். 10^-4 m வரையிலான தொலைவை வெர்னியர் அளவி கொண்டும், 10^-5 வரையிலான தொலைவை திருகு அளவி கொண்டு அளக்க முடியும்.

(i) அளவு ஒன்றை அளந்தறிய அதற்கு ஒப்பிடு  செய்ய ஒரு படித்தர அளவு தேவை
(ii) அளவு ஒன்றின் எண் மதிப்பு (numerical valve) (n), அலகு எத்தனை முறை உள்ளடக்கியது என்பது கொண்டு இயற்பியல் அளவு (R) அளக்கப்படுகிறது. Q=nu

படத்தில் எதிர்க்குறி x, y மற்றும் 2 அச்சு திசையில் செயல்படும் ஓரலகு வெக்டர்களைக் காட்டுகிறது. அவை முறையே \(-\widehat { i } ,-\widehat { j } \) மற்றும் \(-\widehat { k } \) ஆகும்.

எந்த ஒரு ஆய அச்சுத் தொகுப்பினைப் பொறுத்து பொருளொன்றின் நிலை குறிப்பிடப்படுகின்றதோ அந்த ஆய அச்சுத்தொலைவிற்கு குறிப்பாயம் என்று பெயர் ஓய்வு அல்லது இயக்கத்தினைப் புரிந்து கொள்வதற்கு தகுந்த நிலையான குறிப்பாயம் தேவை.

(i) சோலார் வருடம்: பூமியால் தான் அச்சில் சூரியனை ஒரு முழு சுற்று சுற்றி வர ஆகும் கால அளவு
1 சோலார் வருடம் = 365.25 சராசரி 
சோலார் நாட்கள் = 366.25 செட்ரியல் நாட்கள்
(ii) லீப் வருடம்: ஒரு வருடம் 4 ஆல் மீதியின்றி பகுபடுமானால் அது லீப் வருடம். இதில் பிப்ரவரி மாதத்திற்கு 29 நாட்கள் ஆகும்.

கோணத் திசைவேகம் மற்றும் வீதம் கோணமுடுக்கம் எனப்படும்.\(\overrightarrow { \alpha } =\frac { d\overrightarrow { w } }{ dt } \)
இது ஒரு வெக்டர் அளவாகும். இதன் திசை கோணத் திசையிலேயே இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

துகள் ஒன்று சம கால அளவுகளில் சம அளவு இடப்பெயர்ச்சிகளை மேற்கொண்டால், அத்திசைவேகம் சீரான திசைவேகம் எனப்படும்.

(1) துகள் ஒன்று நேர்க்கோட்டில் இயங்கினால் அவ்வியக்கம் ஒருபரிமாண இயக்கம் எனப்படும்.
(2) சிலநேரங்களில் இவ்வியக்கம் நேர்க்கோட்டு இயக்கம் ((Linear motionl Rectilinear motion) எனவும் என அழைக்கப்படும்.
(3) இவ்வகை இயக்கத்தில் மூன்று செங்குத்து ஆய அச்சுகளில் ஏதேனும் ஒரு ஆயு அச்சுக்கூறு எண்மட்டுமே நேரத்தைப் மாற்றமடையும்.
(4) (எ.கா) நேரான இருப்புப்பாதையில் இயங்கும் இரயில் வண்டி, புவிஈர்ப்பு விசையால் தடையின்றி தானே விழும் பொருள்.

1.மற்ற இயற்பியல் அளவுகளை அளவிடுவதற்காக அடிப்படை அலகுகளின் தகுந்த பெருக்கல் அல்லது வகுத்தல்களின் அடுக்குகளால் பெறப்படும் அலகுகள், வழி அலகுகள்.
2.அடிப்படை அளவுகளால் குறிப்பிடக்கூடிய அளவுகள் வழி அளவுகள் எனப்படும்.
3.(எ.கா)பரப்பு, கன அளவு, அடர்த்தி 

1.அளவிடப்படக்கூடியதும், அதன் மூலம் இயற்பியல்விதிகளை விவரிக்கத்தக்கதுமான அளவுகள் இயற்பியல் அளவுகள் எனப்படுகின்றன.
2.எடுத்துக்காட்டு நீளம்,நிறை,காலம், விசை ஆற்றல் மற்றும் பல.

எண்மதிப்பு மற்றும் திசை இவை இரண்டினாலும் குறிப்பிடக்கூடிய அளவுகள் வெக்டர் எனப்படும். வடிவியல், திசையைக் காட்டும் ஒரு கோட்டுத்துண்டு வெக்டரைக் குறிக்கும். எடுத்துக்காட்டுகள் விசை, திசைவேகம், இடப்பெயர்ச்சி, முடுக்கம், நிலைவெக்டா்கள், நேர்க்கோட்டு உந்தம் மற்றும் கோண உந்தம்.

\(\vec{A} =5 \hat{i}-3 \hat{j} \)
\(\vec{B} =4 \hat{i}-6 \hat{j} \)
முக்கோணத்தின் பரப்பு \(=\frac{1}{2}|\vec{A} \times \vec{B}|\)
\(\vec{A} \times \vec{B} =(5 \hat{i}-3 \hat{j}) \times(4 \hat{i}+6 \hat{j}) \)
\(=[30-(-12)] \hat{k}=42 \hat{k} \)
\(|\vec{A} \times \vec{B}| =42 \)
\(\therefore \frac{1}{2}|\vec{A} \times \vec{B}| =21 \)
பரப்பு = 21 அலகுகள் 

அ) \(\vec a\) = மாறிலி,
ஆ) \(\vec v\) = மாறிலி,
இ) \(\vec a\) = மாறிலி ஆனால் முதல் வரைபடத்தில் உள்ளதை விட அதிகம்,
ஈ) \(\vec a\)  = மாறி

திருகு அளவியின் மீச்சிறு அளவு =\({Pitch\over No.of divisions}\)
\(={1\over 100}\)
=0.01mm
=0.001cm
வெர்னியரின் மீச்சிறு அளவு =1MSD-1VSD=1-\({19\over20}\)
\(={1\over20}\)
=0.05
=0.005cm
மீச்சிறு அளவினை ஒப்பிட திருகு அளவியே சிறந்ததாக உள்ளது.

அதிர்வடையும் கம்பியின் அதிர்வெண் \(=v \propto \frac{1}{l} \sqrt{\frac{F}{m}}\)
அதிர்வெண்ணின் பரிமாணம் \(=\mathrm{M}^0 \mathrm{~L}^0 \mathrm{~T}^{-1}\)
நீளத்தின் பரிமாணம் \(=\mathrm{M}^0 \mathrm{LT}^0\)
விசையின் பரிமாணம் \(=\mathrm{MLT}^{-2}\)
நிறையின் பரிமாணம் \(=\mathrm{M}^1 \mathrm{~L}^0 \mathrm{~T}^0\)
அதிர்வெண் \(\gamma=K[F]^{\mathrm{x}}[\mathrm{m}]^{\mathrm{y}}[l]^{\mathrm{z}}\)
பரிமாணங்களின் மூலம்,
\(M^0 L^0 T^{-1}=\left[M L^{-2}\right]^x[M]^y[L]^z  \)
\(M^0 L^0 T^{-1}=M^{x+y} L^{x+z} T^{-2 x}\)
படிகளை ஒப்பிட, x + y = 0
x + z = 0 
-2x  = -1 
\(\therefore x =\frac{-1}{-2}  \)
\(x =\frac{1}{2} \)
\(z =-x=-\frac{1}{2}  \)
\(y =-x=-\frac{1}{2} \)
k = 1 
\(\therefore \gamma =1[F]^{1 / 2}[\mathrm{~m}]^{-1 / 2}[\mathrm{~L}]^{-1 / 2}  \)
\(\therefore \gamma  \propto \frac{1}{l} \sqrt{\frac{F}{m}}\)

\(\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}=2+12+30=44\)
\(\overrightarrow{A}\) வெக்டரின் எண்மதிப்பு
\(A =\sqrt{4+16+25}=\sqrt{45}\) அலகுகள்
\(\overrightarrow{B}\) வெக்டரின் எண்மதிப்பு 
\(B =\sqrt {1+9+36}=\sqrt{46}\) அலகுகள்
 இரண்டு வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்
\(\theta={\cos}^{-1}\left( {\overrightarrow{A}.\overrightarrow{B}\over AB} \right)\)
\(={\cos}^{-1}\left( {44\over\sqrt{44\times46}} \right)={\cos}^{-1}\left( {44\over45.49} \right)\)
\(={\cos}^{-1}(0.967)\)
\(\therefore \theta\cong15°\)

இயற்பியலில் சில வெக்டர் அளவுகள், மற்றொரு வெக்டரின் ஸ்கேலர் மடங்காக இருப்பதைக் காணலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக
(1) விசை \(\overrightarrow{F} = m \overrightarrow{a }\) இங்கு நிறை ‘m’ ஒரு நேர்க்குறி ஸ்கேலர் மற்றும் முடுக்கம் \(\overrightarrow{a }\) ஒரு வெக்டர் ஆகும். இங்கு விசையின் திசையிலேயே பொருள் முடுக்கமடைகிறது.
(2) உந்தம் \(\overrightarrow{p} = m \overrightarrow{v }\) இங்கு என்பது பொருளின் திசைவேகம். எனவே, இங்கு பொருள் இயங்கும் திசையிலேயே நேர்கோட்டு உந்தமும் செயல்படுகிறது.
(3) ஒரு மின்புலத்தால், மின்னூட்டமுள்ள ஒரு துகளின் மீது செயல்படும் விசை \(\overrightarrow{F} = q \overrightarrow{E}\). இங்கு 'q' என்பது மின்னூட்டம், ஒரு ஸ்கேலர் மற்றும் மின்புலம் \(\overrightarrow{E}\) ஒரு வெக்டர். விசை \(\overrightarrow{F}\)இன் திசை மின்னூட்டம் நேர்க்குறி எனில் \(\overrightarrow{E}\) இன் திசையிலும், மின்னூட்டம் எதிர்க்குறி எனில் \(\overrightarrow{E}\) திசைக்கு எதிர்த்திசையிலும் இருக்கும்.

18.4

நீளம் l = (5.7 ± 0.1) cm
அகலம் b = (3.4 ± 0.2) cm
பிழை எல்லையுடன் கூடிய பரப்பு (A + ΔA) =?
பரப்பு A = l × b = 5.7 × 3.4 = 19.38 = 19.4 cm²
\({ΔA\over A}=\left({Δl\over l}+{Δb\over b}\right)\)
\(ΔA=\left({Δl\over l}+{Δb\over b}\right)A\)
\(ΔA=\left({0.1\over5.7}+{0.2\over3.4}\right)\times19.4\)
= (0.0175 + 0.0588) × 19.4
= 1.48 = 1.5
பிழை எல்லையுடன் கூடிய பரப்பு
A = (19.4 ± 1.5) cm²

கோணம் θ = 60˚
மரத்திற்கும் புள்ளிக்கும் இடையேயான தொலைவு (x) = 50 m
மரத்தின் உயரம் (h) = ?
முக்கோண முறைப்படி \(\tan\theta ={h \over x }\)
h = x tan θ
h = 50 × tan 60°
= 50 × 1.732
∴ மரத்தின் உயரம் h = 86.6 m

இடப்பெயர்ச்சியின் பரிமாணம் s = [L]
ஆரம்பத் திசைவேகத்தின் பரிமாணம் u = [LT¹]
காலத்தின் பரிமாணம் t = [T]
முடுக்கத்தின் பரிமாணம் a = [LT²]
பரிமாணத்தின் ஒரு படித்தான நெறி முறைப்படி,
இடது புறப் பரிமாணங்கள் = வலது புறப் பரிமாணங்கள்
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் பரிமாணங்களைப் பிரதியிட
s = ut +1/4 at²,
\(\frac { 1 }{ 4 } \) ஓர் எண், பரிமாணங்கள் அற்றது
[L] = [LT^-1] [T¹] + [LT^-2] [T²]
[L] = [L] + [L]
இடதுபுறம் உள்ள பரிமாண வாய்ப்பாடும் வலதுபுறம் உள்ள பரிமாண வாய்ப்பாடும் சமம்; எனவே, இச்சமன்பாடு பரிமாண முறைப்படி சரியான சமன்பாடாகும்.     

மனிதனின் வயது = 100 வருடங்கள்
100 வருடத்தில் 76 சாதாரண ஆண்டுகளும் 24 லீப் ஆண்டுகளும் உள்ளன.
மொத்த நாட்கள் = (76 \(\times\)365) + (24\(\times\)366)
= 36524 நாட்கள்
வினாடிகளின் எண்ணிக்கை
= 36524 \(\times\) 24 \(\times\) 3600
= 3.155 \(\times\) 10⁹ நொடிகள்
துடிப்புகளின் எண்ணிக்கை
\(=\frac { 3.155\times 10^{ 9 } }{ 0.8 } =3.94\times { 10 }^{ 9 }\)

\(Q=\frac { { x }^{ 2 }{ y }^{ 3 } }{ z } \) என்க
\(\frac { \Delta x }{ x } =2\)%, \(\frac { \Delta y }{ y } =3\)%, \(\frac { \Delta z }{ z } =1\)%
\(\frac { \Delta Q }{ Q } =2\left( \frac { \Delta x }{ x } \right) +3\left( \frac { \Delta y }{ y } \right) +1\left( \frac { \Delta z }{ z } \right) \)
= 2(2%) + 3(3%) + 1(1%)
\(\frac { \Delta Q }{ Q } \)= 4% + 9% + 1% = 14%

ஆற்றல், நீளம் மற்றும் காலம் இவற்றின் பரிமாணங்கள் முறையே [E], [L] மற்றும் [T] என்க.
விசை = நிறை \(\times \) முடுக்கம்
என்பதை நாம் அறிவோம்

\(=\frac { [E] }{ [{ LT }^{ 2 }][L] } =\frac { [E] }{ [{ L }^{ 2 }{ T }^{ 2 }] } =[{ EL }^{ 2 }{ T }^{ 2 }]\)

A,B மற்றும் C கூறுகள் அமைப்புகளாகக் கொள்வோம்.,​​​​​​
\(\overrightarrow { A } ={ P }_{ x }\hat { i } +{ P }_{ y }\hat { j } +{ P }_{ z }\hat { k } \)
\(\overrightarrow { B } ={ Q }_{ x }\hat { i } +{ Q }_{ y }\hat { j } +{ Q }_{ z }\hat { k } \)
\(\overrightarrow { C } ={ R }_{ x }\hat { i } +{ R }_{ y }\hat { j } +{ R }_{ z }\hat { k } \)
\(\overrightarrow {D}\)என்பது வெக்டரின் கூடுதலாக கொண்டால் 
\(\overrightarrow { D } =(\overrightarrow { A } +\overrightarrow { B } +\overrightarrow { C } )\)
\(=({ A }_{ x }\hat { i } +A_{ y }\hat { j } +A_{ z }\hat { k } )+(B_{ x }\hat { i } +B_{ y }\hat { j } +B_{ z }\hat { k } )+({ C }_{ x }\hat { i } +C_{ y }\hat { j } +C_{ z }\hat { k } )\)
வெக்டர்களின் கூடுதல் பகிர்வு, மற்றும் சேர்ப்பு விதிகளுக்குட்பட்டது எனில் 
\(\therefore \overrightarrow { D } =({ A }_{ x }+B_{ x }+C_{ x })\hat { i } +(A_{ y }+B_{ y }+C_{ y })\hat { j } +({ A }_{ z }+B_{ z }+C_{ z })\hat { k } \)
\(\therefore { S }_{ x }={ A }_{ x }+{ B }_{ x }+{ C }_{ x }\)
\({ S }_{ y }=A_{ y }+B_{ y }+C_{ y }\)
\({ S }_{ z }={ A }_{ z }+B_{ z }+C_{ z }\)

பரிமாணப் பகுப்பாய்வின் வரம்புகள்
1.எண்கள், \(\pi, e \) (ஆய்லர் எண்)போன்ற பரிமாணமற்ற மாறிலிகளின் மதிப்பை இம்முறையின் மூலம் பெற முடியாது.
2. கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவு வெக்டர் அளவா? என்பதை இம்முறை மூலம் தீர்மானிக்க முடியாது.
3. திரிகோணமிதி, அடுக்குக்குறி மற்றும் மடக்கை சார்புகள் உள்ளடங்கிய சமன்பாடுகளின் தொடர்புகளைக் கண்டறிய இம்முறையில் இயலாது.
4.மூன்றுக்கு மேற்பட்ட இயற்பியல் அளவுகள் உள்ளடங்கிய சமன்பாடுகளுக்கு இம்முறையைப் பயன்படுத்த இயலாது.
5.இம்முறைறையில் ஒரு சமன்பாடு பரிமாண முறையில் சரியானதா, என்றே மெய்ப்பிக்க முடியும் அதன் உண்மையான சமன்பாட்டைக் கண்டறிய முடியாது.
எடுத்துக்காட்டாக, s = ut +1/3 at² என்பது பரிமாண முறைப்படி சரி. ஆனால் உண்மையான சமன்பாடு s=ut +1/2 at² ஆகும்.

வெவ்வேறு இயற்பியல் அளவுகளுக்கிடையே உள்ள தொடர்பினைத் தரும் சமன்பாட்டினைப் பெறுதல்.
Q என்ற இயற்பியல் அளவு Q₁,Q₂ மற்றும் Q₃ ஆகியவற்றைப் பொறுத்தது எனில் 
\(Q \alpha Q^a_1Q^b_2Q^c_3\)
\(Q=k Q^a_1Q^b_2Q^c_3\)
இங்கு k- பரிமாணமற்ற மாறிலி Q,Q₁,Q₂,மற்றும்  Q₃ ஆகியவற்றின் பரிமாண வாய்ப்பாட்டை பிரதியிட்டு, பரிமாணத்தின் ஒரு பிடித்தான நெறிமுறைப்படி M,L,T அடுக்குகள் இருபுறமும் சமன்படுத்தப்படுகிறது.
இதன் மூலம் a,b,c -இன் மதிப்புகளைப் பெற்று சமன்பாட்டைப் பெறலாம். 

புவியிலிருந்து நிலவின் தொலைவைக் கணக்கிடுதல் (இடமாறு தோற்றமுறை):
1.படத்தில் C என்பது புவியின் மையம். A மற்றும் B என்பது புவி மேற்பரப்பில் நேர் எதிரெதிரான பகுதிகள். வானியல் தொலை நோக்கியின் உதவியால் A மற்றும் B யிலிருந்து அருகில் உள்ள வின்மீனுக்கும் சந்திரனுக்கும் (M)இடையேயான இடமாறு தோற்றக்கோணம் முறையே \(\theta \)₁மற்றும் \(\theta \)₂ கண்டறியப்படுகிறது.
2.எனவே, புவியிலிருந்து நிலவின் மொத்த இடமாறு தோற்ற கோணம் 
\(\angle AMB =\theta_1+\theta_2=\theta\)
\(\theta = {AB\over AM};AM \approx MC\)
\(\theta = {AB\over AM}\Rightarrow MC={AB\over \theta };AB\) மற்றும் \(\theta\) மதிப்பு அறிந்திருந்தால் புவிக்கும் சந்திரனுக்கும் இடையேயான தொலைவை (MC) கணக்கிடலாம்.

இடமாறு தோற்றமுறையின் மூலம் புவியிலிருந்து சந்திரனின் தொலைவைக் கணக்கிடுதல்.

ஒரு பொருளின் முடுக்கம் 'a' =25ms^-2
n வது செகண்டில் கடந்த தொலைவு =u +\(\frac {a}{2}\)(2n -1)
\(\therefore \) 20 வது செகண்டில் கடந்த தொலைவு =u +\(\frac {a}{2}\)(2n -1)
தொடக்க திசைவேகம் u =0, a =25ms^-2
கடந்த தொலைவு =0+\(\frac{25}{2}\)(2x20-1)
=\(\frac{25}{2}\)x 39
=487.5m 

தொடக்க திசைவேகம் 'u'=0
முடுக்கம் 'a'=0.2ms-2
காலம் (t) =3min =180 seconds 
பேருந்தின் வேகம் v =u +at 
=0+0.2x 180
=36m/s 
இடப்பெயர்ச்சி s=ut+\(\frac {1}{2}\)at²
0x 180+\(\frac {1}{2}\)x 0.2x (180)²
s=0+\(\frac {1}{2}\)x 0.2x 32400
=3240m 
=3.24km 

(1) சீரற்ற இயக்கத்தில் உள்ள பொருளின் திசைவேகம் ஒவ்வொரு நேரத்திலும் மாற்றமடைந்து கொண்டே இருக்கும். அதாவது திசைவேகம் நேரத்தைப் பொருத்து மாற்றமடைந்து கொண்டே இருக்கும். இவ்வகையான இயக்கத்திற்கு முடுக்கிவிடப்பட்ட இயக்கம் என்று பெயர்.
(2) முடுக்கிவிடப்பட்ட இயக்கத்தில், ஓரலகு நேரத்தில் மாற்றமடைந்த பொருளின் திசைவேகம் சமமாக (மாறிலியாக) இருப்பின், அப்பொருள் சீராக முடுக்கிவிடப்பட்ட இயக்கத்தில் உள்ளது எனக் கருதலாம்.
(3) ஓரலகு நேரத்தில் மாற்றமடைந்த பொருளின் திசைவேகம் வெவ்வேறு நேரத்தில் வெவ்வேறாக இருப்பின் அப்பொருள் சீரற்ற முடுக்கிவிடப்பட்ட இயக்கத்தில் உள்ளது எனக் கருதலாம்.

(1) காலத்தில் சார்பாக துகளின் திசைவேகத்தைக் கட்டுவது திசைவேகம் -காலம் வரைபடமாகும்.
(2) v-t வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பரப்பு குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் ஏற்படும் துகளின் இடப்பெயர்ச்சி மாற்றத்தை காட்டுகிறது அல்லது துகள் நகர்ந்த தொலைவைக் காட்டுகிறது.

பரிமாணங்களைப் பொறுத்து, இயற்பியல் அளவுகளை நான்கு வகைப்படுத்த முடியும்.
பரிமாணமுள்ளமாறிகள் 
எந்த ஓர் இயற்பியல் அளவு பரிமாணத்தையும் மாறுபட்ட மதிப்புகளையும் பெற்றள்ளதோ அவை பரிமாணமுள்ள மாறிகள் என அழைக்கப்படுகின்றன.
எ.கா: பரப்பு,கன அளவு, திசைவேகம் மற்றும் பல.
பரிமாணமற்றமாறிகள் 
எந்த இயற்பியல் அளவுகள்  பரிமாணம் அற்ற ஆனால் மாறுபட்ட மதிப்புகள்  கொண்டுள்ளதோ அவை பரிமாணமற்ற  மாறிகள் என அழைக்கப்படுகின்றன
பரிமாணமுள்ளமாறிலிகள் 
எந்த இயற்பியல் அளவுகள் பரிமாணத்துடன் நிலையான மதிப்பைப் பெற்றுள்ளது. அவை பரிமாணமுள்ள மாறிலிகள் என அழைக்கப்படுகிறது. எ.கா: ஈர்ப்பியல்மாறிலி பிளாங்மாறிலி மற்றும் பல.
பரிமாணமற்ற மாறிலிகள் 
ஒரு மாறிலி பரிமாணமற்று இருப்பின் அவை பரிமாணமற்ற மாறிலி எனப்படுகின்றன.
எ.கா: \(\pi,\in\)(ஆய்லர் எண்) எண்கள் மற்றும் பல.

1.இம்முறையில் ஒரு இயற்பியல் அளவிற்கு ஒரே ஒரு அலகு மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது.அதாவது இம்முறை ஓர் பங்கீட்டு, பகுத்தறிவுக்கிசைந்த (rationa;method)முறையாகும்.
2.இம்முறையில் அனைத்தும் வழி அலகுகளும்,அடிப்படை அலகுகளில் இருந்து எளிதாக தரவிக்கப்படுகின்றன.எனவே, இது ஓர் ஓரியல் (coherent)அலகு முறையாகும்.
3.இது ஓர் மெட்ரிக் அலகு முறையாதலால் பெருக்கல் ஆகியன 10இன் மடங்குகளாக நேரடியாக தரப்படுகின்றன.

தரையைப் பொருத்து நீச்சல் வீரர் மற்றும் ஆற்று நீரோட்டத்தின் திசை வேகங்கள் முறையே v_s மற்றும் v_r என்க. 
v_s + v_r = 12  ...  (1)
மற்றும் v_s - v_r = 6  ...(2)
இரண்டு சமன்பாடுகளையும் கூட்டும் போது,
2v_s = 12 + 6 = 18 km h^-1 (அல்லது)
v_s = 9 km h^-1
சமன்பாடு (1) இல் இருந்து
9 + v_r = 12 (அல்லது) v_r = 3 km h^-1
நீச்சல் வீரர் ஆற்று நீரோட்டம் பாய்ந்து கொண்டிருக்கும் அதே திசையில் நீந்தும் போது அவரின் தொகுபயன் திசைவேகம் 12 km h^-1.

இரயில் வண்டி A வைப் பொருத்து இரயில் வண்டி B இன் சார்புத் திசைவேகம்,
v_BA = v_B - v_A
= 50 km h^-1 + (-50) km h^-1
= 0 km h^-1
இவ்வாறே, இரயில் வண்டி B ஐப்பொருத்து, இரயில் வண்டி A இன் சார்புத் திசைவேகம் v_AB சுழியாகும்.
எனவே இந்த இரு இரயில் வண்டியும் ஒன்று மற்றொன்றைப் பொருத்து ஓய்வு நிலையில் இருப்பது போலத் தோன்றும்.

இரயில் வண்டி B ஐப் பொருத்து, இரயில்வண்டி A இன் சார்புத் திசைவேகம்,
V_AB = 80 km h^-1 கிழக்கு நோக்கி, அதாவது இரயில் வண்டி B இல் உள்ள பயணிக்கு, இரயில்வண்டி A கிழக்கு நோக்கி 80 km h^-1 திசைவேகத்தில் செல்வது போன்று தோன்றும்.
இரயில் வண்டி A ஐப் பொருத்து, இரயில்வண்டி B இன் சார்புத் திசைவேகம்,
V_BA = 80 km h^-1 மேற்கு நோக்கி, அதாவது இரயில் வண்டி A இல் உள்ள பயணிக்கு, இரயில்வண்டி B மேற்கு நோக்கி 80 km h^-1 திசைவேகத்தில் செல்வது போன்று தோன்றும்.

நாம் அறிந்தபடி வேகம் என்பது, திசைவேகத்தின் எண்மதிப்பு ஆகும். எனவே,
A துகளின் வேகம் \(=|\overrightarrow{V_A}|=\sqrt{{(3)}^{2}+{(-5)}^{2}+{(2)}^{2}}=\sqrt{9+25+4}=\sqrt{38}m\ {s}^{-1}\)
B துகளின் வேகம்  \(=|\overrightarrow{V_B}|=\sqrt{{(1)}^{2}+{(2)}^{2}+{(3)}^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\ m\ {s}^{-1}\)
C துகளின் வேகம் \(=|\overrightarrow{V_C}|=\sqrt{{(5)}^{2}+{(3)}^{2}+{(4)}^{2}}=\sqrt{25+9+16}=\sqrt{50}\ m\ {s}^{-1}\) 
C துகள் மற்ற துகள்களைவிட வேகமாகச் செல்லும்.
\(\sqrt{50}>\sqrt{38}>\sqrt{14}\)

ஒரு கட்டிடத்தின் வெளியில் உண்மையான வெப்பநிலை 40^oC என்க. ஒரு வெப்பநிலைமானி அந்த வெப்பநிலையை 40^oC என அளவிட்டால் அந்த வெப்பநிலை மானி துல்லியத்தன்மை வாய்ந்தது எனலாம். அந்த வெப்பநிலைமானியால் தொடர்ச்சியாக சரியான வெப்பநிலையை அளவிட முடிகின்றது எனில் அது நுட்பமானது எனக் கூறலாம்.
மற்றொரு எடுத்துக்காட்டினைக் கருதுவோம். ஒரு குளிா்பதனி (refrigerator)யின் வெப்பநிலையை ஒரு வெப்பநிலைமானியைக் கொண்டு அளவிடுவதாகக் கொள்வோம். அது \(10.4^{\circ} \mathrm{C}, 10.2^{\circ} \mathrm{C}, 10.3^{\circ} \mathrm{C}, 10.1^{\circ} \mathrm{C}, 10.2^{\circ} \mathrm{C}, 10.1^{\circ} \mathrm{C}, 10.1^{\circ} \mathrm{C}, 10.1^{\circ} \mathrm{C}\) ஆகிய அளவுகளைத் தருகின்றது. குளிர்பதனியின் உண்மையான வெப்பநிலை 9^oC, எனில் அந்த வெப்பநிலைமானி துல்லியத்தன்மை அற்றது (உண்மையான மதிப்பிற்கு 1^oC குறைவாக உள்ளது) ஆனால் அனைத்து அளவிடப்பட்ட அளவுகளும் 10^oC க்கு அருகில் உள்ளதால் அந்த வெப்பநிலைமானி நுட்பமானது.
உங்களின் உண்மையான உயரம் மிகச்சரியாக 5'9'' எனக் கொள்வோம். முதலில் நீங்கள் உங்கள் உயரத்தை ஓர் அளவுகோல் மூலம் அளவிடும் போது 5'0'' என்ற மதிப்பைப் பெறுவீா்கள் என்றால், உங்களுடைய அளவீடு துல்லியத்தன்மை அற்றது. இப்போது உங்கள் உயரத்தை லேசர் அளவுகோல் (laser yardstick) மூலம் அளவிட்டால் உயரம் 5'9" என்ற மதிப்பு கிடைக்கிறது. தற்போது உங்கள் அளவீடு துல்லியத்தன்மை கொண்டது. ஒரு அளவின் உண்மையான மதிப்பைக் கோட்பாட்டு மதிப்பு என்றும் அழைக்கலாம். ஒவ்வொரு பயன்பாட்டிற்கும் தேவையான துல்லியத்தன்மையின் அளவு மிகவும் மாறுபடுகிறது. அளவீடுகளை மிகவும் துல்லியத்தன்மையுடன் பெறுவதும், தொகுப்பதும் மிகவும் கடினமாகும்.
எடுத்துக்காட்டாக அளவுகோல் கொண்டு உங்கள் உயரத்தை பலமுறை அளவீடு செய்யும் பொழுது உயரம் 5'0'' என தொடா்ந்து பெற்றால் எங்களது அளவீடு நுட்பமானது. வெவ்வேறு பயன்பாட்டிற்குத் தேவைப்படும் நுட்பத்தின் அளவு பெரிய அளவில் வேறுபாடு உடையது. சாலை மற்றும் பயன்பாட்டு கட்டுமானம் போன்ற பொறியியல் செயல்திட்டங்களுக்கான அளவீடுகள் மிகவும் நுட்பமான மில்லி மிட்டா் அல்லது அங்குலத்தில் பத்தில் ஒரு பங்கு அளவிற்குத் தேவைப்படுகிறது.

படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு நேர்குறி x அச்சை கிழக்கு திசையாகவும், நேர்குறி y அச்சை வடக்கு திசையாகவும் கருதுக.
 
பயணமுடிவில் P புள்ளியை அடைந்த மனிதரின் நிலை வெக்டர் \(\overrightarrow{r}=-2\hat{i}-3\hat{j}\) ஆகும். மேலும் இடப்பெயர்ச்சியின் திசை தென் மேற்கு ஆகும்.

தானாக விழும் பொருளுக்கு,
\(h =\frac{1}{2} g p t^2  \)
\(\therefore g_p =\frac{2 h}{t^2}=\frac{2+50}{4}=25 m s^{-2}\)

தானாக விழும் பொருளுக்கு, செங்குத்தான கீழ்நோக்கிய தொடக்க திசைவேகம் = 0. அதே போன்று கிடைத்தளத்தில் எறியப்பட்ட பொருளின் செங்குத்தான கீழ்நோக்கிய தொடக்க திசைவேகம் = 0. எனவே எந்தவொரு கணத்திலும் அவை கடக்கும் செங்குத்துத் தொலைவுகள் சமமாக அமையும்.

தானாக விழும் பொருளிற்கு,
\(\mathrm{s}=\frac{1}{2} g t^2\)
அதாவது, \(\mathrm{H}=\frac{1}{2} \times 9.8 \times 4 \times 4=78.4 \mathrm{~m}\)

\(\mathrm{V} =2 \hat{i}+t^2 \hat{j}-9 \hat{k}  \)
\(\vec{a} =\frac{d v}{d t}=2 t \cdot \hat{j} \)
\(\mathrm{t} =\mathrm{t}=0.5 \mathrm{~s} \) எனில் 
\(\mathrm{a} =1 \mathrm{~ms}^{-2}\)

திசைவேகத்தின் திசையும் முடுக்கத்தின் திசையும் ஒரே திசையில் இருந்தால் வேகம் அதிகரிக்கும்,

உட்புகுதிறனின் பரிமாணம்
\(\varepsilon=\left[\mathrm{A}^2 C^2 N^{-1} m^2\right]\)
போல்ட்ஸ்மேன் மாறிலியின் பரிமாணம்
\(k_B=\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}\right]\)
வெப்பநிலை பரிமாணம் = T
ஒரலகு பருமனில் உள்ள மின்னூட்டங்களின் எண்ணிக்கை = பரிமாணம் இல்லை
மின்னூட்டத்தின் பரிமாணம் = AT
நீளத்தின் பரிமாணம் = L
\(\sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{n g^2}}\) இன் பரிமாணம்
\(=\sqrt{\frac{\left[A^2 L^2 N^{-1} m^{-2}\right]\left[M L^2 T^{-2} K^{-1}\right][T]}{[A T]^2}}  \)
\(=\sqrt{L^2}=L\)
= நீளத்தின் பரிமாணம்
\(\therefore l=\sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}}\)

\(\mathrm{F}=\mathrm{kv}^2\)
k- இன் பரிமாணம்
= F- இன் பரிமாணம் / V²- இன் பரிமாணம்
\(=\frac{M L T^{-2}}{\left(L T^{-1}\right)^2}=\frac{M L T^{-2}}{L^2 T^{-2}} \)
\(=M L^{1-2} T^{-2+2}=M L^{-1} T^0\)

அடா்த்தி = 4 g cm³ 
நீளம் = 10 x 10^-2  மீ 
நிறை = 100 x 10³ கி.கி
நீள் அடர்த்தி
\(=\frac{100 \times 10^3}{10 \times 10^{-2}}=\frac{10}{10}=1\) கி.கி / மீ³

h இன் அலகு-(h-பிளாங்க் மாறிலி)-Js
C இன் அலகு-(ஒளியின் திசைவேகம்) ms^-1
G இன் அலகு-(புவி ஈர்ப்பு மாறிலி)- \( \frac{\mathrm{Nm}^2}{\mathrm{~kg}^2}\)
\(\therefore \frac{h c}{G}\) இன் அலகு \(=\frac{J s \times m s^{-1}}{N m^2 / \mathrm{kg}^2} \)
\(=\frac{(\mathrm{Nm}) s \times m \mathrm{~s}^{-1} \times \mathrm{kg}^2}{\mathrm{Nm}^2} \)
\({[J} =\mathrm{Nm}]=\mathrm{kg}^2\)