\(v_0=r w \quad \therefore v_0 \propto r\)
சீரான சக்கரத்தில் பரியில் (rim) உள்ள புள்ளிக்கும் மையத்திற்கும் உள்ள தொலைவு (ஆரம்) \(=\sqrt{2} r\)
∴ அதன் வேகம் \(=\sqrt{2} \mathrm{v}_0\)

சறுக்கலின்றி, உருளும் திண்ம
உருளையின் முடுக்கம்
\(a_1=\frac{g \sin \theta}{1+\frac{K^2}{r^2}}\)
கீழ்நோக்கி (சறுக்கும்போது, முடுக்கம் \(\mathrm{a}_2=\mathrm{g} \sin \theta\)
\(\therefore \frac{a_1}{a_2} =\frac{g \sin \theta /\left(1+K^2 / r^2\right)}{g \sin \theta}  \)
\(=\frac{1}{1+\frac{K^2}{r^2}}\)
திண்மக் கோளத்திற்கு
\(\frac{K^2}{r^2}=\frac{2}{5}\)
∴ முடுக்கங்களின் தகவு
\(\frac{a_1}{a} =\frac{1}{1+\frac{2}{5}}  \)
\(=\frac{1}{\frac{(5+2)}{5}}=\frac{1}{7 / 5}  \)
\(=\frac{5}{7}  \)
\(\therefore a_1: a_2 =5: 7\)

\(K \cdot E =\frac{1}{2} I \omega^2 \quad L=I \omega  \)
\(\therefore K \cdot E =\frac{L^2}{2 I}  \)
\(\therefore K \cdot E \quad(E) \propto L^2  \)
\(E_1 \propto L_1^2 ; \quad E_2 \propto L_2^2  \)
\(\therefore \frac{E_1}{E_2} =\left(\frac{L_1}{L_2}\right)^2 \)
\(E_1=E \quad E_2 =E / 2=L_1=L \quad L_2=?  \)
\(\frac{E}{E / 2} =\left(\frac{L}{L_2}\right)^2  \)
\(\frac{2 E}{E} =\left(\frac{L}{L_2}\right)^2 \therefore\left(\frac{L}{L_2}\right)^2=2  \)
\(\therefore \frac{L}{L_2} =\sqrt{2}  \)
\(\therefore L_2 =\frac{L}{\sqrt{2}}\)

கோளகத்தின் நிறை m=20kg 
ஆரம் r=0.25m 
கோணத்தின் திசைவேகம் =ω=5rad s^-1
கோணத்தின் உந்தம் L=Iω=\(\frac{2}{5}\)mr²ω
=\(\frac{2}{5}\)x20x(0.25)²x5=40x(0.0625)=2.5
L=2.5kgm²s^-1

எலக்ட்ரானின் நிறை m =9x 10^-31kg
எலக்ட்ரானின் வட்டப் பாதையின் ஆரம்
r=0.53 Ao =0.53x 10^-10m
எலக்ட்டரானின் திசை வேகம் v =2.2x 10⁶ms^-1
எலக்ட்ரானின் கோண உந்தம் L=Iω
எலக்ட்ரானின் நிறையை புள்ளி நிறையாக எடுத்துக் கொள்க.
இதன் நிலைமைத் திருப்புத்திறன் I=mr²
மேலும்\(​​\omega=\frac{v}{r}\) என்ற தொடர்பையும் பயன்படுத்தும்போது
கோண உந்தம் L=mr²\(\frac{v}{r}\)x =mvr
=9.1x 10^-31x 2.2x 106x 0.53x 10^-10
L = 10.61 × 10⁻³⁵= 1.06 × 10⁻³⁴ kg m2 s⁻¹

1. நீர் வரும் குழாயை மூடுதல் (அ) திறத்தல்
2. பேனா மூழையைத் திருப்புதல்சுழற்றுதல்
3. காரின் சுழற்று சக்கரத்தை சுழற்றுதல்

பொருளின் ஒட்டு மொத்த எடையும் செறிந்துள்ளபுள்ளிக்கும், சுழற்சி அச்சுக்கு இடைப்பட்ட செங்குத்து தொலைவு சுழற்சி ஆரம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.

1. இடப்பெயர்வு நிலை
2. சுழற்சி சமநிலை
3. ஓய்வுச் சமநிலை
4. இயக்கச் சமநிலை
5. உறுதிச் சமநிலை
6. உறுதியற்ற சமநிலை
7. நடுநிலை சமநிலை

பொருளின் ஒட்டு மொத்த எடையும் செயல்படும் புள்ளி அப்பொருளின் ஈர்ப்பின் மையம் எனப்படும்.

உராய்வின்றி உள்ள A  - ன் இயக்க ஆற்றல் = \(k_A={1\over 2}m(2gh)\)
நழுவுதல்லற்ற B - ன் உருளுதலின் இயக்க ஆற்றல் = \(k_B={1\over 2}m\left( 2gh\over 1+k^2/R^2\right)\)
நழுவி உருளுதலுடன் கூடிய C - ன் இயக்க ஆற்றல் = \(k_C={1\over2}m^2gh\)

மீட்டர் அளவுகோல் தீக்குச்சியைவிட நீளத்திலும், அளவிலும் பெரியது.
எனவே அதன் ஈர்ப்பு மையத்தை எளிதில் அறிய முடியும்.
தீக்குச்சி அளவில் சிறியது மேலும் அதன் ஈர்ப்பு மையம் சிறிய அளவில் இருக்கும். ஆகையால் தீக்குச்சியை விரல் நுனியில் சமன் செய்வது கடினமாக உள்ளது.
ஆனால் ஈர்ப்புமையம் பெரிதாக உள்ள மீட்டர் அளவுகோலை எளிதில் விரல் நுனியில் சமன் செய்ய இயலுகிறது.

\(\overset { \rightarrow }{ r } =(7\hat { i } +4\hat { j } -2\hat { k } )\)
\(\overset { \rightarrow }{ F } =(4\hat { i } -3\hat { j } +5\hat { k } )\)
திருப்பு விசை, \(\overset { \rightarrow }{ \tau } =\overset { \rightarrow }{ r } \times \overset { \rightarrow }{ F } \)
\(\overset { \rightarrow }{ \tau } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 7 & 4 & -2 \\ 4 & -3 & 5 \end{matrix} \right| \)
\(\overset { \rightarrow }{ \tau } =\hat { i } (20-6)-\hat { j } (35+8)+\hat { k } (-21-16)\)
\(\hat { \tau } =(14\hat { i } -43\hat { j } -37\hat { k } )Nm\)

பொருளொன்றின் ஒட்டு மொத்த நிறையும் செறிந்திருப்பதாகத் தோன்றும் புள்ளியானது பொருளின் நிறை மையம் எனப்படும்.

தூய உருளுதலுக்கான நிபந்தனைகள்:
(i) நோ்க்கோட்டு இயக்க ஆற்றல் + சுழற்சி இயக்க ஆற்றல் = மொத்த இயக்க ஆற்றல்
(ii) தொடுபுள்ளியில், புள்ளியின் சார்பு இயக்கம் (உருளுதல்) இருக்காது
(iii) பொருளின் உருளுதலில், முடுக்கம் அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறையலாம். திடீரென இந்த நிலை ஏற்பட்டால் பொருளானது நழுவலாம் அல்லது சறுக்கலாம்.

சுழற்சி ஆரம் என்பது சுழலும் அச்சிலிருந்து சமமான புள்ளி நிறை துகளின் செங்குத்து தொலைவு ஆகும்.

ஒரு புள்ளி அல்லது அச்சைப் பொருத்து பொருளின் மீது செய்படுத்தப்படும் புறவிசையின் திருப்புத்திறன் திருப்பு விசை என வரையறுக்கப்படுகிறது.
\(\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}.\)  இதன் அலகு Nm.

செங்குத்து அச்சுத் தேற்றமானது மெல்லிய பொருட்களுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது. மெல்லிய சமதளப் பரப்பிற்கு செங்குத்தான அச்சைப் பற்றிய நிலைமத் திருப்புத்திறனானது அந்த தளத்திலேயே அமைந்த ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான இரு அச்சுக்களைப் பற்றிய நிலைமத்திருப்புத்திறன்களின் கூடுதலுக்கு சமம். இந்த மூன்று அச்சுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகவும் ஒரு பொதுப் புள்ளியில் சந்திக்குமாறு அமைந்திருக்கும்.
X மற்றும் Y அச்சுகளினால் ஆன தளத்தில் Z அக்சுக்கு செங்குத்தான மெல்லிய பொருளின் தளம் எனது Z அச்சிற்கு செங்குத்தாக அமைந்துள்ளது எனக் கொள்க. X மற்றும் Y அச்சுகளைப் பொருத்த நிலைமத் திருப்புத் திறன்கள் முறையே I_X மற்றும் I_Y எனில் Z அச்சைப் பொருத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன் I_Z ஆகும். எனவே, செங்குத்து அச்சுத் தேற்றத்தின் சமன்பாடு,
l_z =  l_x + l_y
இதனை நிரூபிக்க புறக்கணிக்கத்தக்க (negligible) தடிமன் கொண்ட மெல்லிய பொருளின் மீது ஆதிப்புள்ளி O வைக் கருதுக. படத்தில் காட்டப்பட்டது போல் Z அச்சுக்கு செங்குத்தாக X, Y அச்சுகளால் ஆன தளம் உள்ளது. இம்மெல்லிய பொருளானது m நிறை கொண்ட பல துகள்களால் ஆனது எனக் கொள்க O விலிருந்து ஆய புள்ளிகள் (x, y) உடைய P என்ற புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம்.

Z அச்சைப் பொருத்து துகளின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் mr² 
Z அச்சை பொருத்து மெல்லிய பொருளின் முழுவதற்குமான நிலைமதிருப்புத்திறன்  
I_z = Σmr²
இங்கு r² = x² + y²
எனவே I_z = Σm(x² + y²)
I_z = Σmx² + Σmy²
இதில் Σmx² என்பது y அச்சைப் பொருத்து நிலைமத் திருப்புத்திறனாகவும், அதே போல் Σmy² என்பது x அச்சைப் பொருத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன் எனப்படும். எனவே 
 I_X = Σmy² மற்றும் I_Y = Σmx²
l_z சமன்பாட்டில் பிரதியிட
l_z =  l_x + l_y
செங்குத்து அச்சுத் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.

திண்மப் பொருளின் நோ்க்கோட்டு, உந்தம் மற்றும் கோண உந்தம் மாறிலியாக இருந்தால் அப்பொருளானது எந்திரவியல் சமநிலையில் உள்ளது எனலாம். 
ஒரு பொருளின் நேர்க்கோட்டு உந்தம் மாறிலி எனில், அப்பொருளின் மீது செயல்படும் நிகரவிசை சுழியாகும்.
\(\vec{F}_{\text {net }}=0\)     ...(1)
இந்நிபந்தனையின் படி பொருளானாது இடப்பெயர்வில் சமநிலையில் உள்ளது. இதன்படி, பொருளின் மீது வெவ்வெறான திசைகளில் செயல்படும் \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1, \overrightarrow{\mathrm{F}}_2, \overrightarrow{\mathrm{F}}_3\) என்ற விசைகளின் வெக்டர் கூடுதல் சுழியாகிறது.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3+\cdots+\overrightarrow{\bar{F}}_{\mathrm{n}}=0\)    ....(2)
பொருளின் மீது \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1, \overrightarrow{\mathrm{F}}_2, \overrightarrow{\mathrm{F}}_3 \ldots\)என்ற விசைகள் வெவ்வேறான திசைகளில் செயல்படுகின்றன எனில் அவற்றின் விளைவை முறையே கிடைத்தள மற்றும் செங்குத்து கூறுகளின் மூலம் தீர்வு காணலாம். இந்நிகழ்வில் கிடைத்தளச் சமநிலைக்கோ செங்குத்து சமநிலைக்கோ சாத்தியம் உள்ளது.
இதேபோல் கோண உந்தம் மாறிலியாக உள்ள போது பொருளின் மீதான நிகர திருப்பு விசை சுழியாகும்.
\(\vec{\tau}_{\text {net }}=0\)  ....(3)
இந்நிபந்தனையின்படி. பொருளானாது சுழற்சி சமநிலையில் உள்ளது, சுழற்சிச் சமநிலையில் வெவ்வேறான சுழற்சியை உருவாக்கும் திருப்பு விசைகள்  \(\vec{\tau}_1, \vec{\tau}_2, \vec{\tau}_3 \ldots\) ஆகியவற்றின் வெக்டா் கூடுதல் சுழியாகிறது.
\(\vec{\tau}_1+\vec{\tau}_2+\vec{\tau}_3+\cdots+\vec{\tau}_{\mathrm{n}}=0\)
மேலும் ஒரு திண்மப்பொருளின் மீது நிகர விசையும், நிகர திருப்பு விசையுமம் சுழியாக இருந்தால் அத்திண்மப் பொருள் எந்திரவியல் சமநிலையில் உள்ளது என கூறலாம்.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {net }}=0\) மற்றும் \(\vec{\tau}_{\text {net }}=0\)
விசைகளும், திருப்பு விசைகளும் வெக்டா் அளவு என்பதால் இதன் திசைகளை தக்க குறியீடுகளுடன் பயன்படுத்த வேண்டும்.