வெற்றிடத்தில் குமிழியின்  உட்புற அழுத்தம் 
\(\rho =\frac { 4s }{ r } \)
குமிழியின்  பருமன் \(V=\frac { 4 }{ 3 } \pi { r }^{ 3 }\)
PV  = ஒரு மாறிலி 
\(\frac { 4s }{ R } \times \frac { 4 }{ 3 } \pi { r }^{ 3 }=\frac { 4s }{ { r }_{ 1 } } \times \frac { 4 }{ 3 } { \pi { r } }_{ 1 }^{ 3 }+\frac { 4s }{ { r }_{ 2 } } \times \frac { 4 }{ 3 } { \pi { r } }_{ 2 }^{ 3 }\)
\({ R }^{ 2 }={ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ r }_{ 2 }^{ 2 }={ 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 }=25\)
R = 5cm 

(i) இயங்கும் பாய்மத்தின் வேகம் மாறுநிலைத் திசைவேகத்தை (v_c) விட அதிகமானால் இயக்கமானது  சுழற்சி ஓட்டமாகிறது.
(ii) ஒரு படகின் அல்லது கப்பலின் பின்புறமுள்ள நீரின் ஓட்டம் மற்றும் இயங்கும் பேருந்தின் பின்புறமுள்ள காற்று ஓட்டம் ஆகியவை சுழற்சி ஓட்டத்திற்குச் சில எடுத்துக்காட்டுகள் ஆகும்.
(iii) இரு வகையான இயக்கத்தின் வேறுபாட்டினை ஒரு அகன்ற குழாய் பாயும நீரினுள் அதன் அச்சின் வழியே  ஒரு துளை மூலம் மைய செலுத்துவதன் மூலம் எளிதாக விளக்கலாம்.
(iv) பாய்மத்தின் திசைவேகம் குறைவாக உள்ள பொது நேர்கோட்டுப் பாதையில்  செல்லும் மாறாக திசைவேகமானது  ஒரு குறிப்பிட்ட  மதிப்பை விட அதிகமானால் மையமானது பரவி ஒழுக்கற்ற இயக்கத்தை காட்டும் .எனவே  இயக்கமானது சுழற்சி ஓட்டமாக மாறுகிறது.வளைந்து நெளிந்து செல்லும் இயக்கத்தினால் சூழல் ஓட்டம் உருவாகி அதன் விளைவாக அதிக ஆற்றல் அழிக்கப்படுகிறது.                          

(i) பாய்மம் என்பது அதன் மீது புறவிசை செலுத்தப்பட்டால்  பாயத் தொடங்கும் பொருளாகும்.அது செலுத்தப்பட்ட  விசைக்கு மிகக் குறைந்த  எதிர்ப்பை அளிக்கிறது.குறைவான பரப்பில் விசை செயல்பட்டால் அதன் தாக்கம் அதிகமாகவும் , அதிகமான பரப்பில் குறைவாகவும்  இருக்கும். இந்த கருத்தானது அழுத்தம் எனப்படும் ஒரு அளவை உறுதிப்படுத்துகிறது.
(ii) ஓரலகு பரப்பில் செயல்படும் விசையே அழுத்தம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.

\(P=\frac { F }{ A } \)
(iii) அழுத்தம் ஒரு ஸ்கேலர் அளவாகும் , அதன் SI  அலகு மற்றும் [பரிணாமங்கள் முறையே Nm^-2 அல்லது பாஸ்கல் (Pa) மற்றும்  [ML ^-1T ^-2]  ஆகும்                   

\({ a }_{ 1 }{ v }_{ 1 }=30\quad { a }_{ 2 }{ v }_{ 2 }\Rightarrow \pi { r }_{ 1 }^{ 2 }{ v }_{ 1 }=30\pi { r }_{ 2 }^{ 2 }{ v }_{ 2 }\)
\({ v }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 30 } { \left( \frac { { r }_{ 1 } }{ { r }_{ 2 } } \right) }^{ 2 }{ v }_{ 1 }\)
\(\Rightarrow { v }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 30 } \times { \left( \frac { 0.8\times { 10 }^{ -2 }m }{ 0.4\times { 0.4 }^{ -2 }m } \right) }^{ 2 }\times \left( 0.33{ ms }^{ -1 } \right) \)
v₂ = 0.044 m s^-1

கோளத்தின் ஆரம் R = 1.5 cm 
நிறை m =0.038 kg 
கோளத்தின் பருமன் v=\(\frac {4}{3}\pi \)R³
=\(\frac {4}{3}\)×(3.14)×(1.5×10^-2)³ = 1.413 × 10^-5m³
எனவே, அடர்த்தி 
\(\rho =\frac { m }{ V } =\frac { 0.038kg }{ 1.413\times { 10 }^{ -5 }{ m }^{ 3 } } =2690{ kgm }^{ 2 }\)
எனவே, கோளத்தின் ஒப்படர்த்தி 
\(=\frac { 2690 }{ 1000 } =2.69\)

(i) வென்சுரிமானி பெர்னெளலியின் தேற்றப்படி செயல்படுகிறது.அதன்படி வரிச்சீர் ஓட்டத்தில் உள்ள அமுக்க இயலாத பாகுநிலையற்ற, ஓரலகு நிறையுள்ள  நீர்மத்தின் அழுத்த ஆற்றல் , இயக்க ஆற்றல், மற்றும் நிலையாற்றல் ஆகியவற்றின் கூட்டுத் தொகை மாறிலியாகும்.
(ii) இக்கருவியானது ஒரு குழாயின் வழியே செல்லும்  அமுக்க இயலாத நிர்மம் பாயும் விதத்தை அல்லது  பாயும் வேகத்தை அளவிட உதுவுகிறது.
\(V=aA\sqrt { \frac { 2\left( \triangle p \right) }{ \rho \left( { A }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) } } \)                        

பரப்பு இழுவிசைக்கு எதிராக திரவத்தின் ஓரலகு பரப்பின் மேற்பரப்பை அதிகரிக்கச் செய்யப்படும் வேலை திரவத்தின் பரப்பு ஆற்றல் என அழைக்கப்படுகிறது.

இது Jm^-2 அல்லது Nm^-1 என்ற அலகால் குறிக்கப்படுகிறது.      

ஸ்டோக்  r ஆரமுள்ள கோளப் பொருளின் மீது செயல்படும் பாகியல் விசை F ஆனது.
(i) கோளத்தின் ஆரம் (r)
(ii) கோளத்தின்  திசைவேகம் (v ) மற்றும் 
(iii) திரவத்தின் பாகியல் எண்  ஆகியவற்றை சார்ந்தது  என்ற முடிவைப் பெற்றார் .
எனவே  Fa n^xr^yv^z \(\Rightarrow\) F = kn^xr^yv^z,
இங்கு k என்பது ஒரு பரிணாமற்ற் மாறிலி.
பரிமாணங்களைப் பயன்படுத்தி மேற்கண்ட சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்.
[MLT^-2] = k [ML^-1T^-1]^x [L]^y x [LT^-1]^z
தீர்வு காண , x  = 1, y  = 1 மற்றும் z  = 1 எனவே  F = kn rv  சோதனை மூலம் k  = 6\(\pi \) என ஸ்டாக் கண்டறிந்தார் . இந்த தொடர்பு ஸ்டோக்  விதி எனப்படும்.                    

ஒரு பாகுநிலை ஊடகத்தின் வழியே தானே விழும் ஒரு பொருளானது அடையும் பெரும மாறா திசைவேகம்  முற்றுத்திசைவேகம் (V_T ) எனப்படும்.  

பொருளின் மூழ்கிய பகுதி இடம்பெயரச் செய்த  திரவத்தின் எடை , பொருளின் எடைக்கு சமமானால் அந்தப் பொருள் அத்திரவத்தில் மிதக்கும் '' என்பது மிதத்தல் விதியாகும்.              

(i) பொருளொன்று ஒரு மாய்மத்தில் பகுதியகவோ அல்லது முழுவதுமாகவோ மூழ்கியிருந்தால் அது இடம் பெயரச் செய்த பாய்மத்தின் எடைக்கு  சமமான  மேல்நோக்கிய உந்து விசையை  அது உணர்கிறது மற்றும் உந்து விசையானது  இடம் பெயர்ந்த திரவ ஈர்ப்பு மையம் வழியாக செயல்படுகிறது.
(ii) உந்து விசை அல்லது மிதிப்பு விசை  = இடம் பெயர்ந்த திரவத்தின் எடை.                

பெரும்பாலான நிகழ்வுகளின் மீட்சிப் பண்புடைய  பொருளில் வெப்பநிலை  உயர்த்தப்படும்போது  அதன் மீட்சி குறைகிறது. ஆனால் 'இன்வார் ' உலோகத்தில் எந்த மாற்றம் இராது.          

பாய்ஸன் விகிதம் : ஒப்புமைக் குறுக்கத்திற்கும் (பக்கவாட்டுத்திரிபு )  ஒப்புமைக் விரிவாக்கத்திற்கு (நீள்வாட்டுத்திரிபு )இடையே உள்ள விகிதம் பாய்ஸன் விகிதம் என வரையறுக்கப்படுகிறது. அதன் குறியீடு  u ஆகும்.       
    

தகைவு : ஒரலகு பரப்பில் செயல்படும் விசை தகைவு  எனப்படும் 

தகைவின்  SI அலகு Nm^-2 அல்லது பாஸ்கல் (Pa ) மற்றும் அதன் பரிமாணம் [ML^-1T^-2]ஆகும் . தகைவு  ஒரு டென் சர் (tensor)ஆகும் 
திரிபு : திரிபு என்பது விசை செயல்படுத்தப்பட்டால்  ஒரு பொருள் நீக்கப்படும் அல்லது உருகுலையும்  அளவாகும்.பொருளின் அளவில் சிறிய மாற்றம்  ஏற்படுவதை திரிபு  கையாள்கிறது .

இது பரிணாமற்ற மற்றும் அலகு அற்ற அளவு ஆகும்.

பாஸ்கல் விதியின் கூற்றானது ஒரு திரவத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியில் அழுத்தம் மாறினால் அந்த மாறுபாடு மதிப்பு குறையாம திரவம் முழுவதற்கும் பரப்பப்படுகிறது.
நிரூபணம்:
(i) பாஸ்கல் விதியின் ஒரு செயல்முறை பயன்பாடு, குறைவான விசையைக் கொண்டு அதிக பளுவைத் தூக்க பயன்படும் நீரியல் தூக்கி (Hydraulic lift) ஆகும். இது ஒரு விசைப் பெருக்கி. இது A மற்றும் B என்ற ஒன்றுடன் ஒன்று கிடைமட்டக் குழாயால் இணைக்கப்பட்டு திரவத்தால் நிரப்பப்பட்ட இரு உருளைகளைக் கொண்டுள்ளது.
(ii) அவற்றினுள் A₁ மற்றும் A₂ (A₂ > A₁) குறுக்குவெட்டுப்பரப்புக்கள் கொண்ட உராய்வற்ற பிஸ்டன்கள் பொருத்தப்பட்டுள்ளன. சிறிய பிஸ்டனின் மீது நோக்கிய விசை F செலுத்தப்படுவதாக் கொண்டால் இந்த பிஸ்டனுக்கு கீழ் உள்ள திரவத்தின் அழுத்தம் P(இங்கு \(p=\frac { { F }_{ 1 } }{ { A }_{ 1 } } \)) என்ற மதிப்பிற்கு அதிகரிக்கிறது.
(iii) ஆனால் பாஸ்கல் விதிப்படி, இந்த அதிகரிக்கப்பட்ட அழுத்தம் P அனைத்து திசைகளிலும் மதிப்பு குறையாமல் பரப்பப்படுகிறது. எனவே பிஸ்டன் B - இந்த மீது ஒரு அழுத்தம் செலுத்தப்படுகிறது. பிஸ்டன் B - இந்த மீது மேல்நோக்கிய விசை
\({ F }_{ 2 }=P\times { A }_{ 2 }=\frac { { A }_{ 2 } }{ { A }_{ 1 } } \times { A }_{ 2 }\Rightarrow { F }_{ 2 }\frac { { A }_{ 2 } }{ { A }_{ 1 } } \times { F }_{ 1 }\)
(iv) எனவே சிறிய பிஸ்டன் A இந்த மீது உள்ள விசையை மாற்றுவதன் மூலம் பிஸ்டன் B -இந்த மீதுள்ள விசையானது \(\frac { { A }_{ 2 } }{ { A }_{ 1 } } \) என்ற காரணியின் அளவுக்கு உயர்த்தப்பட்டுள்ளது. இந்த காரணி நீரியல் தூக்கியின் இயந்திர இலாபம் எனப்படும்.

ஹீக் விதி: சிறிய அளவிலான உருகுலைவிற்கு தகைவு மற்றும் திரிபு ஒன்றுக்கொன்று நேர்வகித்ததில் உள்ளது.
(i) இதனை O என்ற நிலையான புள்ளியில் தொங்கவிடப்பட்ட L நீளமும் , A என்ற சீரான குறுக்கு வெட்டுப்பரப்பும் கொண்ட ஒரு மெல்லிய கம்பியை நீட்சியடையச் (சுருள்வில் போன்று நீட்சியடையும்)செய்வதன் மூலம் எளிமையாக சார்பார்கலாம்.
(ii) கம்பியின் மற்றொரு முனையில் ஒரு தட்டு மற்றும் ஒரு குறிமுள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன.கம்பியில் உருவாகும் நீட்சி ஒரு வெர்னியர் அளவுகோல்  அமைப்பினை பயன்படுத்தி அளவிடப்படுகிறது.சோதனையிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட F என்ற ஒரு பளுவிற்கு கம்பியில் உருவான நீட்சிㅿLஆனது அதன் குறுக்குவெட்டு பரப்பிற்கு (A) எதிர்விகிதத்திலும் உள்ளது.
(iii) Fஜ X -அச்சிலும் , Lஐ Y-அச்சிலும் கொண்டு ஒரு வரைபடம் வரையப்படுகிறது. அது ஆதிப்புள்ளி வழியே செல்லும் ஒரு நேர்கோடாகும் .
எனவே   L= (சாய்வு )F 
V=AL என்ற பருமனால் பெருக்கவும் , வகுக்கவும் செய்ய 
F(சாய்வு ) = \(\frac { AL }{ AL } \triangle L\)



எனவே \(\frac { F }{ A } a\left( \frac { \triangle L }{ L } \right) \sigma a\varepsilon \)
அதாவது மிட்சி எல்லையில் தகைவானது திரிபுக்கு நேர்விகிதத்தில் உள்ளது.