ஒழுங்கான வடிவம் மற்றும் சீரான நிறையைப் பெற்றிருக்கும் பொருட்களில் நிறைமையானது பொருளின் வடிவில் மையத்தில் அமைந்திருக்கும் (உ.ம்) வட்டம், கோளம்

எந்த ஒரு அளவீட்டின் முடிவுகளும் சில துல்லியமற்ற தன்மையை உள்ளடக்கியிருக்கும். இயற்பியல் அளவு ஒன்றை அளவீடு செய்யும்போது ஏற்படும் நிலையற்ற தன்மை 'பிழை' எனபப்டும். எனவே இயற்பியல் அளவின் உண்மையான மதிப்பிற்கும் அளந்தறியப்பட்ட மதிப்பிற்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு பிழையாகும்.
(Error) பிழை = உண்மையான மதிப்பு -கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு
இதனால், இம்மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படும் கணக்கீடுகளும் பிழையாக அமையும்.
எந்த ஒரு ஆய்விலும் மிகச் சரியான அளவீடுகளை எடுக்க முடியாது

(i) சோலார் வருடம்: பூமியால் தான் அச்சில் சூரியனை ஒரு முழு சுற்று சுற்றி வர ஆகும் கால அளவு
1 சோலார் வருடம் = 365.25 சராசரி 
சோலார் நாட்கள் = 366.25 செட்ரியல் நாட்கள்
(ii) லீப் வருடம்: ஒரு வருடம் 4 ஆல் மீதியின்றி பகுபடுமானால் அது லீப் வருடம். இதில் பிப்ரவரி மாதத்திற்கு 29 நாட்கள் ஆகும்.

ஏனெனில் துப்பாக்கியை வெடிக்கச் செய்யும் போது அதன் நிலைத் தன்மை வேறுபடுகிறது இதனை சரிசெய்யும் பொருட்டு நாம் தோள்பட்டையில் துப்பாக்கியை தாங்கிக் கொள்ளும்.

படம் (1) லிருந்து
\(F-f_k =m \times a \)
500 - 400 = 25a 
\(\therefore a =\frac{100}{25}=4 m / s^2\)
படம் (2) லிருந்து
\(F-f_k =m \times a  \)
\(a =\frac{0}{25}=0\)

ஒரு பொருளானது, சமநிலையில் இருக்கும் போது, எதிர்கடிகார திசையில் திருப்புத் திறன்களின் கூடுதல், திருப்பு புள்ளியில் கடிகார திசையில், திருப்புத் திறன்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

தொலைவு d = 6.3 × 10¹⁰ m
நேரம் t = 7 நிமிடம் = 7 × 60 s.
துடிப்பின் திசைவேகம் v = ?
துடிப்பின் திசைவேகம்
\(v={2d\over t}={2\times6.3\times10^{10}\over 7\times60}=3\times10^8ms^{-1}\)

(i) திண்மப்பொருளில் P என்ற புள்ளியில் F விசை செயல்படுகிறது என கொள்க. விசை F ஆனது தளம் ABP ல் அமையாமல் இருக்கலாம். அச்சு AB யில் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியை ஆதிப்புள்ளி O என எடுத்துக்கொள்வோம்.

(ii) புள்ளி O வைப்பொருத்து F ன் திருப்புவிசை \(\tau =\vec r \times \vec F \) மேலும் அச்சின் திசையில் இத்திருப்பு விசையின் கூறானது அச்சைப் பொருத்து விசையின் திருப்பு விசையாகும்.
(iii) இதனை கண்டறிய நாம் முதலில் திருப்புவிசை வெக்டர் \(\tau =\vec r \times \vec F \) க்கும் மற்றும் அச்சு AB க்கும் இடையேயான கோணம் \(\phi \) யை காணவேண்டும். (விசையின் தளம் ABP யில் இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்க)
(iv) AB யை பொருத்து உலா திருப்புவிசை என்பது AB இன் வழியாகச் செல்லும் திருப்பு விசை \(\left| \vec r \times \vec F \right|\)யின் கிடைத்தளக்கூறு \(\left| \vec r \times \vec F \right|cos \phi \)ஆகும்.அதைபோல AB க்கு செங்குத்தான திருப்புவிசை \(\left| \vec r \times \vec F \right|sin \phi \) அச்சைபொருத்து ஒரு பொருளின்மீது செயல்படும் திருப்புவிசை அப்பொருளின் அச்சைபொருத்து சுழல்கிறது.
(v) மேலும் அச்சுக்கு செங்குத்தாக உள்ள திருப்பு விசை சூழல் அச்சை பொருத்து சுழற்றுகிறது. இவை இரண்டு ஒரே நேரத்தில் திண்மப் பொருளின்மீது செயல்படும் போது பொருளானது அச்சுச் சுழற்சியை (precession) மேற்கொள்ளும்.

முடியாது. தரையானது குதிரையின் காலுக்கு கொடுக்கும் முன்னோக்கிய எதிர்விசையின் கிடைத்தளக் கூறுதான், குதிரை வண்டியை இழுத்துக் கொண்டு முன்னே செல்ல முடிகிறது. வெற்றிடத்தில் எதிர் விசை கிடையாது. எனவே வெற்றிடத்தில் ஒரு குதிரை, வண்டி ஒன்றை இழுத்துக்கொண்டு ஓட முடியாது.

ஏற்கனவே அணுவின் திட்ட அடிப்படையில் SI அலகு முறையில் மீட்டர் நீளத்திலும், காலம் செக்கண்டிலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த வரையறைகள் வேறு கோள்களிலும் மாறாது. ஆனால் நிறையின் அலகான கிலோகிராம், புரோட்டான் போன்ற அடிப்படை துகள்களின் நிறையால் இதுவரை வரையறுக்கப்படவில்லை. எனவே வேறு கோளில் மனிதன் உள்ள போது நிறையின் அடிப்படை அளவில் மாற்றம் நிகழும்.

பொருளொன்றின், தானே இயங்க முடியாதத் தன்மை அல்லது தனது இயக்க நிலையைத் தானே மாற்றிக்கொள்ள, இயலாதத்தன்மைக்கு நிலைமம் என்று பெயர்.
i) ஓய்வில் நிலைமம்
ஓய்வு நிலையிலுள்ள பேருந்து ஒன்று இயங்கத்தொடங்கும் போது அப்பேருந்தில் உள்ள பயணிகள் நிலைமத்தின் காரணமாக திடீரென்று பின்னோக்கித் தள்ளப்படுகின்றன. ஏனெனில் பயணியின் உடல் நிலைமைப்பண்பின் காரணமாக தொடா்ந்து ஒய்வுநிலையிலேயே இருக்க முயல்கிறது. ஆனால் பேருந்து இயங்கத் தொடங்குகிறது. இதன் காரணமாகவே பயணிகளின் உடல் பின்னோக்கித் தள்ளப்படுகிறது.
தனது ஓய்வு நிலையைத் தானே மாற்றிக்கொள்ள இயலாத பொருளின் தன்மை, ஓய்வில் நிலைமம் எனப்படும்.
ii) இயக்கத்தில் நிலைமம்
இயக்கத்திலுள்ள ஒரு பேருந்தின் தடையை (Brake) திடீரென்று அழுத்தும்போது, பேருந்தில் உள்ள பயணிகள் நிலைமத்தின் காரணமாக முன்னோக்கித் தள்ளப்படுகின்றனர். ஏனெனில், பயணியின் உடல் நிலைமப்பண்பின் காரணமாக தொடா்ந்து இயக்க நிலையிலேயே இருக்க முயல்கிறது. ஆனால் பேருந்து ஓய்வுநிலைக்கு வரத்தொடங்குகிறது.
மாறாத்திசை வேகத்திலுள்ள ஒரு பொருள் தனது இயக்க நிலையைத் தானே மாற்றிக்கொள்ள இயலாதத் தன்மை, இயக்கத்தில் நிலைமம் எனப்படும்.
iii) இயக்கத் திசையில் நிலைமம்
ஒரு முனையில் கல் கட்டப்பட்ட, சுழற்சி இயக்கத்திலுள்ள கல்லின் கயிறு திடீரென்று அறுபட்டால், கல் தொடர்ந்து வட்டப்பாதையில் சுற்ற முடியாது. அக்கல் படத்தில் இல் காட்டியுள்ளவாறு வட்டத்தின் தொடுகோட்டுப்பாதையில் செல்லும். ஏனெனில் வெளிப்புற விசை செயல்படாதவரை பொருளினால் தானே தன்னுடைய இயக்கத்திசையை மாற்றிக் கொள்ள இயலாது.
தனது இயக்கத்திசையினைத் தானே மாற்றிக்கொள்ள இயலாத பொருளின் தன்மை, இயக்கத்திசையில் நிமைம் எனப்படும்.

\(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=(5\hat{i}+7\hat{j}-4\hat{k})+(6\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k})=11\hat{i}+10\hat{k}-2\hat{k}\)
\(=11\hat { i } +10\hat { j } -2\hat { k } \)
\(\vec { B } +\vec { A } =\left( 6\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\left( 5\hat { i } +7\hat { j } -4\hat { k } \right) \)
\(=\left( 6+5 \right) \hat { i } +\left( 3+7 \right) \hat { j } +\left( 2-4 \right) \hat { k } \)
\(=11\hat { i } +10\hat { j } -2\hat { k } \)
\(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=(5\hat{i}+7\hat{j}-4\hat{k})-(6\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k})=-\hat{i}+4\hat{j }-6\hat{k}\)
\(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\hat{i}-4\hat{j}+6\hat{k}\)
\(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}\) மற்றும் \(\overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}\) ஒன்றுக்கொன்று சமம், ஆனால் \(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}\) மற்றும் \(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}\) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று எதிராக உள்ளதை கவனிக்கவும்.

தானாக விழும் பொருளுக்கு, செங்குத்தான கீழ்நோக்கிய தொடக்க திசைவேகம் = 0. அதே போன்று கிடைத்தளத்தில் எறியப்பட்ட பொருளின் செங்குத்தான கீழ்நோக்கிய தொடக்க திசைவேகம் = 0. எனவே எந்தவொரு கணத்திலும் அவை கடக்கும் செங்குத்துத் தொலைவுகள் சமமாக அமையும்.

ஆரம் = R
\(v_1^2-v_2^2 =4 \mathrm{gr}\)     ....(1)
இழுவிசை \(\mathrm{T}_2=\frac{m v_2^2}{r_2}-m g\)
T₂ = 0 உண்மையான திசைவேகம்
\(0 =\frac{m v_2^2}{r}-m g  \)
\(\frac{m v^2}{r} =m g  \)
\(v_2^2=\operatorname{rg} \therefore v_2=\sqrt{g r} \)   ....(2)
(2) யை (1) இல் பிரதியிட
\(v_1^2-(\sqrt{g r})^2 =4 \mathrm{gr}  \)
\(v_1^2-g r =4 \mathrm{gr}  \)
\(v_1^2 =4 \mathrm{gr}+\mathrm{gr}=5 \mathrm{gr}  \)
\(\mathrm{v}_1 =\sqrt{5 g r}\)

\(\mathrm{F}=\mathrm{kv}^2\)
k- இன் பரிமாணம்
= F- இன் பரிமாணம் / V²- இன் பரிமாணம்
\(=\frac{M L T^{-2}}{\left(L T^{-1}\right)^2}=\frac{M L T^{-2}}{L^2 T^{-2}} \)
\(=M L^{1-2} T^{-2+2}=M L^{-1} T^0\)

(i) கோண உந்தம் மற்றும் கோணதிசைவேகம் திண்மப் பொருள் ஒன்று நிலையான அச்சைப் பற்றி சுழல்கிறது. ஒரு புள்ளி நிறை m ஆனது படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு வட்ட இயக்கத்தை மேற்கொள்கிறது.

(ii) சுழலும் அச்சிலிருந்து r தொலைவில் புள்ளிநிறை m அமைந்துள்ளது. வட்டப்பாதையில் எந்தவொரு கணத்திலும் நேர்கோட்டு உந்தமானது தொடுகோட்டு திசையில் இருக்கும்.
(iii) கோண உந்தம் \(\vec L\)ஆனது \(\vec r\)மற்றும் \(\vec p\)க்கு வட்டப்பாதையில் செங்குத்தாக இருக்கும். எனவே கோண உந்தம் சுழலும் அச்சின் திசையில் அமையும். இந்நிகழ்வில் θ என்பது \(\vec r\)க்கும் p க்கும் இடைப்பட்ட கோணம் உந்தம் (L) இன் எண் மதிப்பு θ = 90⁰ எனும்போது 
L = r mv sin 90⁰ = r mv 
(iv) இங்கு v என்பது நேர்கோட்டு திரைவேகம் வட்ட இயக்கத்தில் கோண திசை வேகத்திற்கும் நேர்கோட்டு திசை வேகத்திற்கான  தொடர்பு v = rω
L = r mr ω
L = (mr²) ω
(v) L மற்றும் ω ஆகியவற்றின் திசை சுழலும் அச்சின் திசையிலேயே இருக்கும், மேய்ந்த சமன்பாட்டின் வெக்டர் வடிவம்.
\(\vec L(mr^2)\vec ω\)
சமன்பாடு mr² ω, mr² \(\vec ω\) கோவை உறுப்பு mr² புள்ளி நிறையின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் ஆகும். திண்மப் பொருளானது புள்ளி நிறைபோன்ற பல துகள்களினால் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது.
(vi) எனவே திண்மப் பொருளின் நிலைம திருப்புத்திறன் என்பது அப்புள்ளி நிறைகளின்  நிலைமத் திருப்புத்திறன் கூட்டுத் தொகை \((I=∑m_ir_i^2)\)ஆகும், எனவே பொருளின் கோண உந்தமானது.
\(\vec L=(∑m_ir_i^2)\vec ω\)
\(\vec L=I\vec ω\)

இரு அளவுகளைப் பெருக்குவதால் ஏற்படும் பிழைகள்:
1.\(\triangle A \)மற்றும் \(\triangle B\) என்பன முறையே A, B என்ற அளவுகளின் தனிப் பிழைகள் என்க 
அவற்றின் பெருக்கல்பலன் Z=AB 
Z இன் பிழை \(\triangle Z\) ஆகும்.  
\(Z \pm \triangle Z=(A\pm \triangle A)(B\pm \triangle B)\)
\(=(AB)\pm (A \triangle B )\pm (B\triangle A)\pm (\triangle A. \triangle B)\)
இடது புறத்தை Z ஆலும் வலது புறத்தை AB யிலும் வகுக்க நாம் பெறுவது.
\(1\pm {\triangle Z\over Z }=1\pm {\triangle B \over B}\pm {\triangle A \over A}\pm {\triangle A \over A}.{\triangle B\over B}\)
\({\triangle A \over A},{\triangle B \over B}\) ஆகியவை மிகக் குறைந்த அளவு.எனவே அவற்றின் பெருக்கல்  \({\triangle A \over A}.{\triangle B \over B}\) புறக்கணிக்கப்படுகிறது.
இன் பெரும பின்னப் பிழை \({\triangle Z \over Z }=\pm ({\triangle A \over A}+{\triangle B \over B})\) இரு அளவுகளைப் பெருக்குவதால் ஏற்படும் பெருமப் பின்னப் பிழையானது தனித்தனி அளவுகளின் பின்னப் பிழைகளின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
2.இரு அளவுகளை வகுப்பதால் ஏற்படும் பிழைகள் 
1.\(\triangle A \)மற்றும் \(\triangle B\) என்பன முறையே A, B என்ற அளவுகளின் தனிப் பிழைகள் என்க 
அவ்வற்றின் பின்னம் \(Z={A\over B}\)
Z ன் \(\triangle Z \) பிழை ஆகும்.
\(Z \pm \triangle Z ={A \pm \triangle A\over B \pm \triangle B}={{A(1\pm {\triangle A \over A})\over B(1 \pm {\triangle B \over B})}}\)
\(={A\over B}(1\pm {\triangle A \over A})(1 \pm {\triangle B \over B})^{-1}\)
அல்லது 
\(Z \pm \triangle Z =Z ​​​​(1\pm {\triangle A \over A})(1 \mp {\triangle B \over B})\)
[x<<1] ஆக இருக்கும்போது (1+x)ⁿ \(\approx 1+nx]\)
இருபுறமும் Z ஆல் வகுக்க,
 \(=1\pm {\triangle Z\over Z}=(1\pm {\triangle A \over A})(1 \mp {\triangle B \over B})\)
\(=1\pm{\triangle A\over A}\mp{\triangle B \over B}\mp {\triangle A \over A}.{\triangle B \over B}\)
\(\triangle A/ A , \triangle B / B\) மிகக் குறைவு, எனவே அவற்றின் பெருக்கல்பலன் புறக்கணிக்க தக்கது. Z இன் பெரும பின்னப்பிழை, \({\triangle Z\over Z}=( {\triangle A \over A}+{\triangle B \over B})\)
இரு அளவுகளை வகுப்பதால் பெறப்படும் பெருமபின்னப் பிழையானது தனித்தனி அளவுகளின் பின்னப்பிழைகளின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

1.செங்குத்து ஏத்தி விசை மற்றும் பெரும உராய்வு விசை (f_s ^max)ஆகிய இரண்டின் தொகுபயனுக்கும் (R) செங்குத்து எதிர்விசை (N) க்கும் இடையேயான கோணம் உராய்வுக் கோணம் எனப்படுகிறது.
2.\(R=\sqrt { ({ f }_{ s }^{ max })^{ 2 } } +N^{ 2 }\)
3.\(tan\theta=\frac{f_s^{max}}{N}\)
4.உராய்வுத் தொடர்புகளிலிருந்து f_s^max=\(\mu_k N\) ஆக இருக்கும்போது பொருள் சறுக்கத் துவங்கும் அதனை கீழ்காணுமாறும் எழுதலாம்.
5.\(\frac{f_s^{max}}{N}=\mu_s\)
6.ஆகியவற்றிலிருந்து ஓய்வுநிலை உராய்விற்கான குணகம்.
7.\(\mu_s=tan\theta\)
8.ஓய்வுநிலை உராய்விற்கான குணகம் உராய்வுக் கோணத்தின் டான்ஜென்ட் (tan θ) சமமாக இருக்கும்.

மையவிலக்கு விசை F_cf = mω² R cosθ
புவியின் கோணத் திசைவேகம் \((ω)={2\pi \over T }\)
இங்கு T என்பது புவியின் அலைவு நேரம் (24 மணிநேரம்)
\(ω={2\pi\over 24\times60\times60}={2\pi\over 86400}\)
= 7.268 x 10^-5rad sec^-1
புவியின் ஆரம் R = 6400 km = 6400 × 10³ m
சென்னையின் குறுக்கு கோடு (Latitude) = 13°
F_cf = 60 × (7.268 × 10^-5)² × 6400 × 10³ × cos (13°) = 1.9678 N
60 kg நிறையுடைய மனிதரொருவர் உணரும் மையவிலக்குவிசை தோராயமாக 2 நியூட்டனாகும். ஆனால் புவியின் ஈர்ப்பு விசையின் காரணமாக 60 kg நிறையுடைய அம்மனிதர் உணரும் விசை = mg = 60 × 9.8 = 588 N. இந்த விசைமையவிலக்கு விசையை விட மிக அதிகம்

(i) சிறிய தொலைவுகளை அளவிடுதல் திருகு அளவி மற்றும் வெர்னியர் அளவி திருகு அளவி
திருகு அளவியானது 50 mm வரையிலான பொருட்களின் பரிமாணங்களை மிகத்துல்லியமாக அளவிடப் பயன்படும் கருவியாகும். இக்கருவியின் தத்துவம் திருகின் வட்ட இயக்கத்தைப் பயன்படுத்தி பெரிதாக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டு இயக்கமாகும். திருகு அளவியின் மீச்சிற்றளவு 0.01 mm ஆகும்.
வெர்னியர் அளவி
துளையின் ஆழம் அல்லது துளையின் விட்டம் போன்ற அளவீடுகளை அளக்கப்பயன்படும் பன்முகமத்தன்மை (versatile) கொண்டகருவி வெர்னியர் அளவி ஆகும். வெர்னியர் அளவியின் மீச்சிற்றளவு 0.1 mm (பொதுவாக)

(ii) நீண்ட தொலைவுகளை அளவிடுதல்
முக்கோண முறை (Triangulation method) இடமாறு தோற்றமுறை (Parallax method) துடிப்பு முறை (Radar method) ஆகிய முறைகளைப் பயன்படுத்தி மிக நீண்ட தொலைவுகளை அளவிடலாம்.
முக்கோண முறையின் மூலம் ஒரு பொருளின் உயரத்தை அளவிடுதல் 
AB = h என்பது அளக்க வேண்டிய மரத்தின் உயரம் அல்லது கோபுரத்தின் உயரம் எனக். B யிலிருந்து x தொலைவில் உள்ள C என்ற இடத்தில் உற்று நோக்குபவர் இருப்பதாகக் கொள்வோம்.
C -லிருந்து வீச்சை அளப்பவர் A -வுடன் ஏற்படுத்தும் ஏற்றக் கோணம் <\(ACB=\theta\)
செங்கோண முக்கோணம் ABC-யிலிருந்து  

\(\tan \theta ={AB\over BC}={h\over x}\) அல்லது உயரம் h = x tan θ
தொலைவு x ஐ அறிந்திருந்தால்,உயரம் h ஐப் பெறலாம்.
ரேடார் துடிப்பு முறை
ரேடாா் (RADAR) என்பது RAdio Detection And Ranging என்பதன் சுருக்கமாகும்.
ரேடாரைக் கொண்டு செவ்வாய் போன்ற புவிக்கு அருகில் உள்ள கோளின் தொலைவை துல்லியமாக அளவிட முடியும்.
இம்முறையில் புவிப்பரப்பிலிருந்து ரேடியோ பரப்பி (Transmitter) மூலம் ரேடியோ அலைத்துடிப்புகள் பரப்பப்பட்டு, கோளிலிருந்து எதிரொளிக்கப்பட்ட துடிப்புகள் ஏற்பி (Receiver) மூலம் உணரப்படுகிறது.
ரேடியோ அலை பரப்பியிலிருந்து அனுப்பப்பட்டதற்கும் ஏற்பியல் பெறப்பட்டதற்கும் இடையேயான நேர இடைவெளி t எனில் கோளின் தொலைவினை கீழ்க்கண்ட தொடா்பு மூலம் பெற முடியும்.
வேகம் = கடந்த தொலைவு / எடுத்துக் கொண்ட நேரம் 
தொலைவு (d) = ரேடியோ அலைகளின் வேகம் x எடுத்துக்கொண்ட நேரம் எனவே கோளின் தொலைவு
\(\mathrm{d}=\frac{v \times t}{2}\)
இங்கு v என்பது ரேடியோ அலைகளின் வேகம். ரேடியோ அலைகள் சென்று வந்தடைய ஆகும் நேரம் t.
இம்முறை மூலம் புவிப்பரப்பிலிருந்து ஓர் விமானம் எவ்வளவு உயரத்தில் பறந்து கொண்டிருக்கிறது எண்பதையும் கண்டறியலாம்.