நிறை = 1 kg
திசைவேகம் V = 20 m/s
\(\mathrm{h}=18 \mathrm{~m} \)
\(\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2\)
நிலை ஆற்றல் P.E = mgh
\(=1 \times 10 \times 18 \)
\(=180 \mathrm{~J}\)
இயக்க ஆற்றல் K.E \(=\frac{1}{2} m v^2\)
\(=\frac{1}{2} \times 1 \times(20)^2 \)
\(=200 \mathrm{~J}\)
இயக்க ஆற்றலின்
இழப்பு = K.E - P.E 
= 200 - 180 
= 20 J

ஈர்ப்பு மாறிலி
\(\mathrm{G}=\frac{F r^2}{m_1 m_2}\)
G - இன் பரிமாணம்
\(\Rightarrow \frac{\left[M L T^{-2}\right]\left[L^2\right]}{[M][M]}=\frac{M L^3 T^{-2}}{M^2}=M^{-1} L^3 T^{-2}\)

ஆரத்தின் பிழை = 2 %
\(\Delta r=\frac{2}{100}=0.02\)
கோளத்தின் பருமன்
\(\mathrm{V} =\frac{4}{3} \pi r^3  \)
\(\frac{d V}{V} =\frac{4}{3} \pi \times 3 r^2 d r  \)
\(=3 d r=3 \times(2 \%)  \)
\(\frac{d V}{V} =6 \%\)

\(v_0=r w \quad \therefore v_0 \propto r\)
சீரான சக்கரத்தில் பரியில் (rim) உள்ள புள்ளிக்கும் மையத்திற்கும் உள்ள தொலைவு (ஆரம்) \(=\sqrt{2} r\)
∴ அதன் வேகம் \(=\sqrt{2} \mathrm{v}_0\)

\(tan\theta \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \Rightarrow \theta ={ 30 }^{ o }\)

வட்டத்தின் ஆரம் r = 3.12 m
வட்டத்தின் பரப்பு A = πr²
= 3.14 x (3.12)² 
\(=3.14 \times 3.12 \times 3.12=30.5660 \mathrm{~m}^2  \)
\(\mathrm{~A} =30.6 \mathrm{~m}^2\)

வட்டத்தின் ஆரத்திற்கு சமமான நீளமுடைய வட்டவில் அந்த வட்டத்தின் மையத்தில் தாங்கும் கோணம் ரேடியன் எனப்படும்.
1 ரேடியன் \(=\frac{180}{\pi}\)  டிகிரி = 57,295⁰

\(\vec{A} =5 \hat{i}-3 \hat{j} \)
\(\vec{B} =4 \hat{i}-6 \hat{j} \)
முக்கோணத்தின் பரப்பு \(=\frac{1}{2}|\vec{A} \times \vec{B}|\)
\(\vec{A} \times \vec{B} =(5 \hat{i}-3 \hat{j}) \times(4 \hat{i}+6 \hat{j}) \)
\(=[30-(-12)] \hat{k}=42 \hat{k} \)
\(|\vec{A} \times \vec{B}| =42 \)
\(\therefore \frac{1}{2}|\vec{A} \times \vec{B}| =21 \)
பரப்பு = 21 அலகுகள் 

நீரூற்றிலிருந்து வரும் நீா் வட்டப் பாதை இயக்கம் உடையது. எனவே
மையநோக்கு முடுக்கம் \(=\frac{v^2}{r}\)
மைய நோக்கு முடுக்கத்தை புவி ஈர்ப்பு முடுக்கம் அளிக்கிறது.
\(\therefore \mathrm{g}=\frac{v^2}{r}\)
அல்லது \(\mathrm{r}=\frac{v^2}{g}\)
நீரூற்றை சுற்றி ஈரமாகும் பகுதியின் பரப்பு \(=\pi r^2\)
\(=\pi\left(\frac{v^2}{g}\right)^2=\frac{\pi v^4}{g^2}\)

காற்றின் தடையின் காரணத்தினால் பாராசூட் மெதுவாகக் கீழிறங்குகிறது. கீழே விழும் பாராசூட்டின் மீது செயல்படும் விசைகள்
1. கீழ்நோக்கிய காற்றின் தடை
2. மேல்நோக்கிய ஈர்ப்பு விசை
ஈர்ப்புவிசை காற்றின் தடை விசையை விட அதிகம்.
பாராசூட் திறக்கப்பட்டவுடன் காற்றின் தடை அதிகரிக்கும். எனவே பராசூட் மெதுவாகக் கீழிறங்குகின்றது

i) நியூட்டனின் மூன்றாவது விதிப்படி ஒவ்வொரு வினைக்கும் எதிரான அதே அளவிலான வினை ஏற்படும்.
ii) இதன்படி உள்ளிருந்து நாம் காரினை தள்ளும் போது அதற்கு இணையான எதிர்வினையை அது ஏற்படுத்தும்.எனவே காரினை நாம் உள்ளிருந்து தள்ளும் போது எதிர்வினையின் காரணமாக நாம் பின்னோக்கி செல்கிறோம் கார் நிலைத் தன்மையை பெறுகிறது.
iii) ஆகையால் காரினை உள்ளிருந்து தள்ளுவதால் பயனில்லை.

புவியிலிருந்து ஜுபிடரின் தொலைவு \((x)=824.7 \times 10^6 \mathrm{~km}\)
அளவிடப்பட்ட கோணவிட்டம் \((\theta)=35.72^{\prime \prime}\)
\(1^{\prime \prime} =4.85 \times 10^{-6}\) ரேடியன் 
\(\therefore \theta =35.72 \times\left(4.85 \times 10^{-6}\right)\) ரேடியன் 
∴ ஜுபிடரின் விட்டம் \(b=x \times \theta\)
\(\mathrm{x}=\frac{b}{\theta}\)
\(\mathrm{b} =824.7 \times 10^6 \times 173.242 \times 10^{-6}  \)
\(\therefore \mathrm{b} =142,872.6 \times 10^{6-6}  \)
\(=1.428 \mathrm{~km}\)

திண்மப் பொருளின் நேர்க்கோட்டு உந்தம் மற்றும் கோண உந்தம் மாறிலியாக இருந்தால் அப்பொருளானது, எந்திரவியல் சமநிலையில் உள்ளது எனலாம்.

பரிமாண பகுப்பாய்வின் வரம்புகள்:
(i) எண்கள் TT, e (ஆய்லா் எண்) போன்ற பரிமாணமற்ற மாறிலிகளின் மதிப்பை இம்முறையின் மூலம் பெற முடியாது.
(ii) கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவு வெக்டா் அளவா? அல்லது ஸ்கேலா் அளவா? என்பதை இம்முறை மூலம் தீா்மானிக்க முடியாது.
(iii) திரிகோணமிதி, அடுக்குக்குறி மற்றும் மடக்கை சாா்புகள் உள்ளடங்கிய சமன்பாடுகளின் தொடா்புகளைக் கண்டறிய இம்முறையில் இயலாது.
(iv) மூன்றுக்கு மேற்பட்ட இயற்பியல் அளவுகள் உள்ளடங்கிய சமன்பாடுகளுக்கு இம்முறையைப் பயன்படுத்த இயலாது.
(v) இம்முறையில் ஒரு சமன்பாடு பரிமாணமுறையில் சரியானதா, என்றே மெய்ப்பிக்க முடியும் அதன் உண்மையான சமன்பாட்டைக் கண்டறிய முடியாது.
(vi) எடுத்துக்காட்டாக, s = ut + 1/3 at² என்பது பரிமாண முறைப்படி சரி. ஆனால் உண்மையான சமன்பாடு s = ut + 1/2 at² ஆகும்.

எந்தவொரு கணத்திலும், பொருள் ஒன்றின் முடுக்கம் என்பது அதன் திசைவேக மாறும் வீதத்திற்கு சமமாகும்.
முடுக்கம் \(\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{d t} \) இது ஒரு வெக்டா் அளவு.

நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி :
1) ஒரு பொருளின் மீது செயல்படும் விசையானது அந்தப் பொருளின் உந்த மாறுபாட்டு வீதத்திற்கு சமமாகும்.
2) \(\vec { F } =\frac { \vec { dp } }{ dt } \)

p = mv என்க
10 g நிறையுடைய பொருளின் உந்தம்
p = 0.01 × 10 = 0.1 kg m s^-1
1 kg நிறையுடைய பொருளின் உந்தம்
p = 1 × 10 = 10 kg m s^-1
இரண்டும் ஒரே வேகத்தில் சென்றாலும் கனமான பொருளின் உந்தம், லேசான பொருளின் உந்தத்தை விட 100 மடங்கு அதிகம் என்பதை இந்த எடுத்துக்காட்டிலிருந்து அறியலாம்.

சுழற்சி ஆரம் என்பது சுழலும் அச்சிலிருந்து சமமான புள்ளி நிறை துகளின் செங்குத்து தொலைவு ஆகும்.

நிறை மையத்திற்கான மேற்கண்ட சமன்பாட்டின் மூலம், x அச்சில் முறையே x₁ மற்றும் x₂ தொலைவில் அமைந்துள்ள m₁, m₂ என்ற இரண்டு புள்ளி நிறைகளின் நிறை மையத்தைக் கண்டறிவோம்.
இந்நேர்வில் ஆய அச்சு அமைப்பைப் பொருத்து நிறை மையத்தின் நிலையைக் கீழ்க்கண்ட மூன்று வழிகளில் காணலாம்.
                   
i) நிறைகள் நேர் X அச்சில் உள்ளபோது
படத்தில் காட்டப்படுள்ளதைப் போல m₁, m₂ என்ற நிறைகள் தன்னிச்சையாக எடுக்கப்பட்ட ஆதிப்புள்ளியைப் பொருத்து நேர் X அச்சில் முறையே x₁ மற்றும் x₂ நிலைகளில் உள்ளதாக எடுத்துக் கொள்வோம்.
நேர் X அச்சிலேயே x_cm என்ற தொலைவில் அமைந்த நிறை மையத்தின் சமன்பாடானது
\({ x }_{ cm }=\frac { { m }_{ 1 }{ x }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }{ x }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
ii) நிறைகளில் ஏதேனும் ஒன்று ஆதியுடன் ஒன்றியுள்ளப் போது
படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளவாறு ஏதேனும் ஒரு நிறை ஆய அச்சின் ஆதிப்புள்ளியோடு ஒன்றியுள்ளபோது கணக்கீடான இன்னும் எளிதாக்கப்படுகிறது,
புள்ளி நிறை m₁ ஆதிபுள்ளியோடு ஒன்றும்போது, அதன் நிலை x₁ சுழியாகிறது. அதாவது x₁ = 0 எனவே
\({ x }_{ cm }=\frac { { m }_{ 1 }{ (0) }+{ m }_{ 2 }{ x }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \) இதை மேலும் எளிதாக்கும் போது
                  \({ x }_{ cm }=\frac { { m }_{ 2 }{ x }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
iii) நிறைமையானது ஆதியுடன் ஒன்றியுள்ள போது
1. ஆய அச்சு அமைப்பின் ஆதிபுள்ளியானது நிறை மையத்தோடு ஒன்றியுள்ளபோது x_cm =0. மேலும் படத்தில் காட்டியுள்ளபடி நிறை m₁ன் நிலையானது எதிர்குறி x அச்சில் அமையும்.எனவே இதன் நிலை எதிர்குரியாக இருக்கும்.
2. \(0={m_1(-x_1)+m_2x_2\over m_1+m_2}\)
3. \(O= m_1(-x_1)+m_{2_{x_2}}⇒m_1{x_1}=m_{2_{x_2}}\)
4.மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு திருப்புத்திறன்களின் தத்துவம் எனப்படுகிறது.
iv) சுழற்சி ஆரத்திற்கான சமன்பாட்டை பெறுக.
நிலைமத் திருப்புத்திறனிற்கான கோவை என்பது பொருளின் நிறை, வடிவம், அளவு மட்டுமல்லாமல் சுழலும் அச்சைப் பொருத்து அதன் நிலையையும் சேர்த்ததாக இருக்க வேண்டும் 
இது போன்றசமன்பாடானது சீரற்றவடிவம் மற்றும் சீரற்றநிறை பரவல் கொண்ட பொருட்களுக்கும் திருப்புத்திறனின் பொதுவான சமன்பாடு I=MK²
இங்கு, m என்பது பொருளின் மொத்தநிறை மற்றும் k என்பது சுழற்சி ஆரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
ஒரு பொருளின் சுழற்சி ஆரம் என்பது சுழலும் அச்சிலிருந்து சமான புள்ளி நிறை துகளின் செங்குத்து தொலைவு ஆகும்.
சுழற்சி ஆரத்தின் அலகு, தொலைவைப் போன்றே மீட்டர்(m) ஆகும். அதன் பரிமாணம் ஆகும்.
சுழற்சி இயக்கத்தில் இயங்கும் திண்மப் பொருளானது m₁, m₂, m₃, ......m_n என்ற புள்ளி நிறைகளால் ஆனதாக கருதுவோம்.
இந்நிறைகளை சுழற்சி அச்சிலிருந்து முறையே r₁, r₂, r₃, ........ r_n, தொலைவில் உள்ளன.
அந்த பொருளின் நிலைமத் திருப்புத்திறன்
\(l=∑_{i=1}^{n}\ m_ir_i^2=+m_1r^2_1+m_2r^2_2+m_3r^2_3+...+m_nr^2_n\)
"n" எண்ணிக்கை கொண்ட அனைத்து புள்ளி நிறைகளின் நிறையை சமம் எனக் கொண்டால்
m = m₁ = m₂ = m₃ = ... m_n
பிறகு
\(l=mr_1^2+mr_2^2+mr_3^3+...+mr_n^2\)
\(={m(r_1^2+r_2^2+r_3^3+...+r_n^2)}\)
\(=nm({r_1^2+r_2^2+r_3^3+...+r_n^2\over n})\)
l=MK²
இங்கு nm  என்பது பொருளின் மொத்த நிறை M மற்றும் K என்பது சுழற்சி ஆரம் ஆகும்.
\(K=\sqrt{r_1^2+r_2^2+r_3^3+...+r_n^2\over n}\)
மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் சுழற்சி ஆரம் K என்பது, சுழலும் அச்சைப் பொருத்து புள்ளி நிறைகளின் செங்குத்து தொலைவில் இருமுடி மூலத்தின் சராசரியின் வர்க்கத்திற்கு சமமாகும்.

நியூட்டன் விதிகள்:
(1) ஒரு பொருளின் மீது வெளிப்புற விசை ஒன்று செயல்படாதவரை, அது தனது ஓய்வு நிலையிலோ அல்லது மாறாத் திசைவேகத்திலுள்ள சீரான இயக்க நிலையிலோ தொடா்ந்து இருக்கும்.
(2) ஒரு பொருளின் மீது செயல்படும் விசையானது அந்தப் பொருளின் உந்த மாறுபாட்டு வீதத்திற்கு சமமாகும்.
(3) எந்தவொரு செயல் விசைக்கும் சமமான எதிர் செயல்விசை உண்டு.
விளக்கம்:
(1) நியூட்டன் விதிகள் வெக்டா் விதிகளாகும். \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{ma}\) என்ற சமன்பாட்டை, கார்டீசியன் ஆயக்கூறுகளின் அடிப்படையில் கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.
\(F_x \hat{i}+F_y \hat{j}+F_z \hat{k}=m a_x \hat{i}+m a_y \hat{j}+m a_z \hat{k}\)
இருபுறமும் ஒப்பிட,
\(F_x=m a_x \)
\(F_y=m a_y  \)
\(F_z=m a_z\)
இதிலிருந்து நாம் அறிய வேண்டியது என்னவெனில், y திசையில் செயல்படும் வினை, x திசையில் ஏற்படும் முடுக்கத்தை எவ்விதத்திலும் பாதிக்காது. அதே போன்று F_z ஆனது a_y மற்றும் a_x ஐ எவ்விதத்திலும் பாதிக்காது.
(2) ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் (t), பொருள் அடையும் முடுக்கம், அதே நேரத்தில் அப்பொருளின் மீது செயல்படுமு வினையினை மட்டுமே சார்ந்தது. இதனை இவ்வாறு எழுதலாம்.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}(\mathrm{t})=\mathrm{ma}(\mathrm{t})\)
பொருளின் முடுக்கம். கடந்தகால விசையைச் சார்ந்ததல்ல. எடுக்துக்காட்டாக. பந்து வீச்சாளரால் வீசப்பட்ட பந்து, அவரின் கரத்தை விட்டு விடுபட்ட பின்பு பந்து, புவியீர்ப்பு விசை மற்றும் காற்றின் உராய்வுவிசை இவைகளை மட்டுமே உணரும். பந்தின் முடுக்கம் அது எவ்வளவு வேகத்தில் வீசப்பட்டது என்பகை பொருத்து அமையாது.
(3) பொதுவாக பொருளின் இயக்கம் விசையின் திசையிலிருந்து மாறுபட்டு அமையலாம்.
(a) விசையும் இயக்கமும் ஒரே திசையில் அமைதல்.
(எ.கா.) மரத்திலிருந்து கீழே விழும் பழத்தின் இயக்கம்.
(b) விசையும் இயக்கமும் வெவ்வேறு (செங்குத்து) திசைகளில் அமைதல்.
(எ.கா.) நிலா புவியினை நோக்கி ஒரு விசையை உணா்கிறது. ஆனால் நிலா புவியை ஒரு நீள் வட்டப்பாதையில் சுற்றி வருகிறது.
(c) விசையும் இயக்கமும் எதிரெதிர் திசையில் அமைதல்
(எ.கா.) பொருளை. புவியீர்ப்பு விசைக்கு எதிராக மேல்நோக்கி எறிதல்.
(d) சுழிநிகர விசையுடன் பொருளின் இயக்கம் அமைதல்.
(எ.கா.) மழைத்துளி மாறாத்திசைவேகத்துடன் தரையில் விழுதல்.
(4) ஒரு பொருளின் மீது பல்வேறு விசைகள், \(\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3 \ldots \ldots . \vec{F}_n\) செயல்படும் போது, நிகரவிசை \(\left(\vec{F}_{n e t}\right)\), தனித்தனி வெக்டா் கூடுதலுக்குச் சமம்.
\(\vec{F}_{\text {net }}=\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_{3 \ldots} \vec{F}_n\)
(5) நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியை பொருளின் இடப்பெயர்ச்சி வெக்டரின் இரண்டாம்படி வகைக்கெழு வடிவத்திலும் எழுதலாம்.
\(\vec{F}=m \frac{d^2 \vec{r}}{d t^2}\)
இதிலிருந்து நாம் அறிந்துகொள்வது என்னவெனில், எப்பொழுதெல்லாம் இடப்பெயர்ச்சி வெக்டரின் இரண்டாம் வகைக்கெழு சுழியல்லாத மதிப்பினை பெறுகிறதோ அப்பொழுதெல்லாம் பொருளின் மீது விசை செயல்படுகிறது.
(6) பொருளின் மீது எவ்விதமான விசையும் செயல்படாத நிலையில் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி \(m=\frac{d \vec{v}}{d t}=0\).. அதாவது பொருள் மாறாத் தினைவேகத்துடன் இயங்குகிறது என்று நமக்கு உணர்த்துகிறது. நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி, முதல் விதியோடு இயல்பாக பொருந்துவதை நாம் உணரலாம். இருப்பினம் அவை இரண்டும் ஒன்றையொன்று சாராத தனித்தனி விதிகளாகும். ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றை தருவிக்க இயலாது.
(7) நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி காரணம் மற்றும் விளைவு வகையைச் சார்ந்தது. விசை ஒரு காரணம் எனில் முடுக்கம் அதற்கான விளைவு ஆகும். எனவே விதியின் சரியான வடிவம் \(m \vec{a}=\vec{F}.\)

பரிமாணங்களில் ஒருப்படித்தான நெறிமுறைப்படி ஒரு சமன்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பின் பரிமாணங்களும் சமமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, v² = v² + 2as என்ற சமன்பாட்டில் v², u²மற்றும் 2as ஆகியவற்றின் பரிமாணங்கள் ஒத்ததாகவும்[L²T^-2] க்கு சமமாகவும் இருக்கும்.
பயன்கள்:
இம்முறையானது,
(i) இயற்பியல் அளவு ஒன்றை ஒரு அலகிடும் முறையிலிருந்து மற்றொரு அலகிடும் முறைக்கு மாற்றப் பயன்படுகிறது.
(ii) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு பரிமாண முறைப்படி சரியானதா என சோதிக்கப் பயன்படுகிறது.
(iii) வெவ்வேறு இயற்பியல் அளவுகளுக்கிடையே உள்ள தொடா்பினைப் பெற பயன்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு-1
பரிமாணங்கள் முறையில் 76 cm பாதரச அழுத்தத்தை Nm^-2 என மாற்றுதல்.
தீர்வு
CGS முறையில் 76 cm பாதாச அழுத்தம் (P₁) = 76 x 13.6 x 980 dyne cm^-2
SI முறையில் P - ன் மதிப்பு (P₂) = ?
அழுத்தத்தின் பரிமாண வாய்ப்பாடு \(\left[M L^{-1} T^{-2}\right]\)
\(\mathrm{P}_1\left[M_1^a L_1^b T_1^c\right] =\mathrm{P}_2\left[M_2^a L_2^b T_2^c\right]  \)
\(\therefore P_2 =P_1\left[\frac{M_1}{M_2}\right]^a\left[\frac{L_1}{L_2}\right]^b\left[\frac{T_1}{T_2}\right]^c  \)
\(\mathrm{M}_1 =1 \mathrm{~g} ; \quad \mathrm{M}_2=1 \mathrm{~kg}  \)
\(\mathrm{~L}_1 =1 \mathrm{~cm} ; \quad \mathrm{L}_2=1 \mathrm{~m}  \)
\(\mathrm{~T}_1 =1 \mathrm{~s} ; \quad \mathrm{T}_2=1 \mathrm{~s} \)
எனவே \(\mathrm{a} =1 \mathrm{~b}=-1 \mathrm{c}=-2\)
\(\therefore P_2 =76 \times 13.6 \times 980\left[\frac{1 \mathrm{~g}}{1 \mathrm{~kg}}\right]^{\mathrm{l}}\left[\frac{1 \mathrm{~cm}}{1 \mathrm{~m}}\right]^{-1}\left[\frac{1 \mathrm{~s}}{1 \mathrm{~s}}\right]^{-2} \)
\(=76 \times 13.6 \times 980\left[\frac{10^{-3} \mathrm{~kg}}{1 \mathrm{~kg}}\right]^1\left[\frac{10^{-2} \mathrm{~m}}{1 \mathrm{~m}}\right]^{-1}\left[\frac{1 \mathrm{~s}}{1 \mathrm{~s}}\right]^{-2} \)
\(=76 \times 13.6 \times 980 \times\left[10^{-3}\right] \times 10^2 \)
\(=1.01 \times 10^5 \mathrm{Nm}^{-2}\)
\(\frac{1}{2} m v^2=m g h\) என்ற சமன்பாட்டை பரிமாணப்பகுப்பாய்வு முறைப்படி. சரியானதா என கண்டறிதல்.
\(\frac{1}{2} m v^2\) இன் பரிமாண வாய்ப்பாடு \(=\lceil\mathrm{M}\rceil\left\lceil\mathrm{LT}^{-1}\right\rceil^2=\left\lceil\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right\rceil \)
mgh  இன் பரிமாண வாய்ப்பாடு \(=[\mathrm{M}]\left[\mathrm{LT}^{-2}\right][\mathrm{L}]=\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right\rceil \)
\(\therefore\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right] =\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right]\)
இருபுறங்களிலும் பரிமாணங்கள் சமம். எனவே \(\frac{1}{2} m v^2=m g h\) என்ற சமன்பாடு பரிமாண முறைப்படி சரி.
தனி ஊசலின் அலைவு நேரத்திற்கான கோவையை பரிமாண முறையில் பெறுதல். அலைவு நேரமானது. (i) ஊசல் குண்டின் நிறை 'm' (ii) ஊசலின் நீளம் 'l' (iii) அவ்விடத்தில் புவியீ்ர்ப்பு முடுக்கம் g ஆகியவற்றைச் சார்ந்தது.' (மாறிலி k = 2π)
\(T \propto m^a l^b \dot{g}^c \)
\(T=k \cdot m^{\mathrm{a}} l^{\mathrm{b}} g^c\)
k என்பது பரிமாணமற்ற மாறிலி. மேற்கண்ட சமன்பாட்டில் பரிமாணங்களை பிரதியிட
\({\left[\mathrm{T}^{\mathrm{l}}\right] } =\left[\mathrm{M}^{\mathrm{a}}\right]\left[\mathrm{L}^{\mathrm{b}}\right]\left[\mathrm{LT}^{-2}\right] \)
\({\left[\mathrm{M}^0 \mathrm{~L}^0 \mathrm{~T}^1\right] } =\left[\mathrm{M}^{\mathrm{a}} \mathrm{L}^{\mathrm{b}+\mathrm{c}^2} \mathrm{~T}^{-2 \mathrm{c}}\right]\)
சமன்பாட்டின் இருபுறமும் உள்ள M, L, T ன் படிகளை சமன் செய்ய
\(\mathrm{a}=0, \mathrm{~b}+\mathrm{c}=0 .-2 \mathrm{c}=1\)
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க
\(\mathrm{a}=0, \mathrm{~b}=1 / 2 \)  மற்றும் c = -1 / 2
a,b மற்றும் c மதிப்புகளை சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட
\(\mathrm{T}=\mathrm{k} \cdot \mathrm{m}^0 l^{1 / 2} g^{-1 / 2}  \)
\(\mathrm{~T}=\mathrm{k}\left(\frac{l}{g}\right)^{1 / 2}=k \sqrt{\frac{l}{g}}\)
சோதனை மூலம் பெறப்பட்ட k யின் மதிப்பு k = 2 π, எனவே
\(\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)

x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 3 என்ற இரண்டு புள்ளிகளைக் கருதினால் y₁ = 4 மற்றும் y₂ = 9 என்ற இரண்டு புள்ளிகள் கிடைக்கும்.
இங்கு \(\triangle x=1\) மற்றும் \(\triangle y = 5\)
எனவே, \({\triangle y \over \triangle x}={9-4\over 3-2}=5\)
x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 2.5   எனில்
y₁ = 4 மற்றும் y₂ = (2.5)² = 6.25 எனக் கிடைக்கும்.
இங்கு \(\triangle x=0.5={1\over 2}\) மற்றும் \(\triangle y = 2.25\)
எனவே, \({\triangle y \over \triangle x}={6.25-4\over 0.5}=4.5\)
x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 2.25 எனில்
y₁ = 4 மற்றும் y₂ = 5.0625 எனக் கிடைக்கும்
இங்கு \(\triangle x=0.25={1\over 4}\) மற்றும்  \(\triangle y=1.0625\)
எனவே, \({\triangle y\over \triangle y}={5.0625-4\over 0.25}={(5.0625-4)\over{{1\over4}}}=4(5.0625-4)=4.25\)
x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 2.1 எனில்
y₁ = 4 மற்றும் y₂ = 4.41 எனக் கிடைக்கும்
இங்கு \(\triangle x=0.1={1\over 10}\) மற்றும்  \(\triangle y=0.41\)
\({\triangle y\over \triangle y}={(4.41-4)\over{{1\over10}}}=10(4.41-4)=4.1\)