நிலை ஆற்றல் = நேர்க்கோட்டு இயக்க ஆற்றல் + சுழற்சி இயக்க ஆற்றல் 
\(m g h= \frac{1}{2} m v^2+\frac{1}{2} I \omega^2  \)
\(=\frac{1}{2} m v^2+\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} M R^2 \times \frac{v^2}{R^2}\left(\omega=\frac{v}{R}\right)  \)
\(= \frac{1}{2} m v^2+\frac{1}{5} m v^2  \)
\(= \frac{7}{10} M v^2  \)
\(m g h =\frac{7}{10} m v^2  \)
\(g h =\frac{7 v^2}{10} \quad v^2=\frac{10 g h}{7}  \)
\(\therefore v =\sqrt{\frac{10 g h}{7}}\)

i) திண்மப் பொருள் ஒன்றின் மீது சுழலும் அச்சைப் பொருத்து புறதிருப்பு விசை செயல்படும்போது சுழலும் பொருளானது அச்சைப் பொறத்து கோண முடுக்கத்தைப் பெறுகிறது.
ii) திருப்பு விசைக்கும் கோண முடுக்கத்திற்கும் இடையோன தொடர்பு எண்மதிப்பில் \(\tau =l\alpha \)
iii) இங்கு l என்பது திண்மப்பொருளின் நிலைமைத்திருப்புத்திறன் ஆகும்.
iv) சுழற்சி இயக்கத்தில் திருப்பு விசை என்பது நேர்க்கோட்டு இயக்கத்தில் விசைக்குச் சமானமானது.

i) ஒரு புள்ளி நிறை என்பது எவ்விதவடிவமும் அளவும் இல்லாமல் சுழியற்றநிறையைக் கொண்டதாக அனுமானிக்கப்பட்ட ஒரு புள்ளியாகும்.
ii) M₁, M₂, M₃ .... M_n என்ற புள்ளி நிறைகளைக் கொண்ட தொகுப்பின் நிறை மையத்தைக் கண்டறிய, முதலில் நாம் அதிப்புள்ளியையும் தகுந்த ஆயு அச்சு அமைப்பையும் தெரிவு செய்யவேண்டும்.
iii) படத்தில் காட்டியுள்ளபடி X₁, X₂, X₃ ...... Xn ஆகியவை X அச்சில் புள்ளி நிறைகளின் ஆயு அச்சு நிலைகளாகக் கருதுவோம்.
iv) X_cm என்பது எல்லாபுள்ளி நிறைகளின் நிறை மைய நிலையின் X ஆயத் தொலைவு.
v) \(X _{cm} =\frac {\Sigma m_ix _i }{\Sigma m _i }\) எனில் அதன் சமன்பாடு
vi) இங்கு \(\Sigma m_i \) என்பது எல்லாத் துகள்களின் மொத்தநிறை அதாவது M என்பது
vii) \(\Sigma m_i \) = M ஆகும்
viii) \(X _{cm} =\frac {\Sigma m_ix _i }{M }\)
ix) இதைப்போன்றே பரவலாய் அமைந்துள்ள புள்ளி நிறைகளின் நிறை மையத்திற்கான y, z ஆயத்தொலைவுகளையும் நாம் கண்டறியலாம்.
x) \(Y _{cm} =\frac {\Sigma m_iy _i }{M }\)
xi) \(Z _{cm} =\frac {\Sigma m_iz _i }{M }\)
xii) ஆகவே, கார்ட்டீசியன் ஆய அச்சு அமைப்பில் இப்புள்ளி நிறைகளின் நிறை மையத்தின் நிலை (X_cm, Y_cm, Z_cm) ஆகும். பொதுவாக, நிறைமையத்தின் வெக்டர் வடிவம்
xiii) \(\vec { { r }_{ cm } } =\frac { \Sigma { m }_{ \overrightarrow { { ir }_{ l } } } }{ M } \)  

வளையம் வட்டத்தட்டு உள்ளீடற்ற கோலம் மற்றும் திண்ம கோளம் ஆகிய நான்கின் சுழற்சி ஆரங்கள் K ஆனது R, \(\sqrt{1\over 2}R,\ \sqrt{2\over 3}R, \sqrt{2\over 5}R\)
இதன் எண்வடிவு முறையே 1R, 0.707R, 0.816R, 0.632R  ஆகும்.நேரத்திற்கான சமன்பாடு
\(t=\sqrt{2h\left(1+{K^2\over R^2}\right)\over g\ \sin^2\theta}\)
சுழற்சி ஆரம் குறைவாகப் பெற்றுள்ள பொருள் அடிப்பகுதியை அடைய குறைந்த நேரத்தை எடுத்துக் கொள்ளும் சாய்தளத்தில் பொருட்கள் வந்தடையும் வரிசை. முதலில் திண்மக்கோளம் இரண்டாவது வட்டத்தட்டு மூன்றாவது உள்ளீடற்ற கோளம் நான்காவது வளையம் என அமையும்.

M நிறையும் l நீளமும் உடைய ஒரு சீரான நீள் அடர்த்தி கொண்ட தண்டினைக் (uniform rod) கருதுக. அதன் ஒரு முனை படத்தில் காட்டியுள்ளபடி ஆதிப்புள்ளியுடன் ஒன்றியிருப்பதாக எடுத்துக்கொள்வோம். தண்டானது X அச்சில் வைக்கப்பட்டுள்ளது. தண்டினுடைய நிறை மையத்தைக் கண்டறிய, ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து x தொலைவில் dx நீளமும் dm என்ற மீநுண் நிறையும் கொண்ட சிறுபகுதியை எடுத்துக் கொள்வோம்.

தண்டின் நீள் அடர்த்தி (ஓரலகு நீளத்திற்கான நிறை) \(\lambda =\frac { M }{ l } \).
சிறிய பகுதியின் நிறை \(dm=\frac { M }{ l } dx\) தண்டின் நிறை மையத்திற்கான சமன்பாட்டை கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.
\({ X }_{ CM }=\frac { \int { xdm } }{ \int { dm } } \)
\({ X }_{ CM }=\frac { \int _{ 0 }^{ t }{ \left( \frac { M }{ l } dx \right) } }{ M } =\frac { 1 }{ l } \int _{ 0 }^{ l }{ x } dx\)
=\(\frac { 1 }{ l } \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ l }=\frac { 1 }{ l } \left( \frac { { l }^{ 2 } }{ 2 } \right) \)
\({ X }_{ CM }=\frac { l }{ 2 } \)
நிலை \(\frac { l }{ 2 } \) என்பது தண்டின் வடிவியல் மையமாகும். இதிலிருந்து சீரான தண்டினைப் பொறுத்தவரை அதன் வடிவியல் மையத்திலேயே (Geometric center) நிறை மையம் அமையும் என்ற முடிவிற்கு வரலாம்.

1. பொருளானது ஈர்ப்பு மையத்தில் நிறுத்தப்பட்டுள்ள போது திண்மப் பொருளில் உள்ள எல்லா புள்ளி நிறைகளின் மீது செயல்படும் திருப்புவிசைகளின் தொகுபயன் சுழியாகும்.
2. மேலும் பொருளின் எடையானது சுழலியக்கப்புள்ளியில் செயல்படும் செங்குத்து விசையினால் சமன்செய்யப்படுகிறது.
3. பொருளானது உறுதி சமநிலையில் கிடைக்கை நிலையிலேயே அமைந்திருக்கும்.

ஒவ்வொரு H-அணுவின் நிறை =1.7 x 10^-27 Kg
சுழலும் அச்சிலிருந்து ஒவ்வொரு H-அணுவின் தொலைவு = 2 x 10^-10 m
ஹைட்ரஜன் மூலக்கூறுவின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் \(\mathrm{I}=\mathrm{mr}^2+\mathrm{mr}^2\)
\(\mathrm{I} =2 \mathrm{mr}^2  \)
\(\mathrm{I} =2 \times 1.7 \times 10^{-27} \times\left(2 \times 10^{-10}\right)^2  \)
\(=3.14 \times 4 \times 10^{-27-20}  \)
\(=13.6 \times 10^{-47}  \)
\(\therefore \mathrm{I} =1.36 \times 10^{-46} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}{ }^2\)

(i) புள்ளி E யைப் பொருத்து திருப்புவிசை சுழி.
(E வழியாக \(\vec {F}\) செயல்படுவதால்).
புள்ளி D யைப் பொருத்து திருப்புவிசை சுழி.
(D வழியாக \(\vec {F}\)செயல்படுவதால்).
புள்ளியைப் பொருத்து திருப்புவிசை \((\vec{OE}) \times \vec {F}\) அச்சுகள் AB மற்றும் CD க்கு செங்குத்தாக அமையும்.
புள்ளி B யைப் பொருத்து திருப்புவிசை \((\vec{BE}) \times \vec {F}\) அச்சுகள் AB மற்றும் CD க்கு செங்குத்தாக அமையும்.
(ii) அச்சு DE யைப் பொருத்து திருப்புவிசை சுழி
( \(\vec {F}\)ஆனது DE க்கு இணையாக உள்ளதால்).
அச்சு CD யைப் பொருத்து திருப்புவிசை சுழி
(\(\vec {F}\) ஆனது CD யை வெட்டிச் செல்வதால்).
அச்சு AB யைப் பொருத்து திருப்புவிசை சுழி
(\(\vec {F}\)ஆனது AB க்கு இணையாக உள்ளதால்).
அச்சு BG யைப் பொருத்து திருப்புவிசை சுழி
(\(\vec {F}\) ஆனது BG யை வெட்டிச் செல்வதால்)
ஓர் அச்சைப் பற்றிய விசையின் திருப்பு விசை ஆதிப்புள்ளியை அந்த அச்சிலேயே தேர்ந்தெடுத்தால் ஆதியை தேர்ந்தெடுப்பதை சார்ந்திராமல், அமையும். இதனை கீழ்க்கண்டவாறு காணலாம்.
திண்மப் பொருளொன்றில் உள்ள AB என்ற சுழற்சி அச்சில் உள்ள O என்ற ஆதிப்புள்ளியை எடுத்துக்கொள்வோம். புள்ளி P யின் மீது விசை \(\vec {F}\) செயல்படுவதை படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு கருதுவோம்.
இப்போது அச்சில் ஏதேனும் ஒரு இடத்தில் மற்றொரு புள்ளி O' ஐ படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு, தேர்வு செய்ய வேண்டும்.


O' யைப் பொருத்த விசையின் திருப்பு விசை
\(\vec { O'P } \times \vec { F } =(\vec { O'O } +\vec { OP } )\times \vec { F } \)
=\((\vec { O'O } \times \vec { F } )+(\vec { OP } \times \vec { F } )\)
\(\vec { O'O } \times \vec { F } \) என்பது \(\vec { O'O } \) க்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், இப்பகுதியானது AB வழியாக எந்த கூறையும் பெற்றிருப்பதில்லை. எனவே \(\vec { O'P } \times \vec { F } ,\vec { OP } \times \vec { F } \) ஆகியவை AB வழியாக சம கூறினைப் பெற்றிருக்கும்.

மனிதரின் நிறை m₁ = 50 kg
படகின் நிறை m₂ = 300 kg
நிலையான உற்றுநோக்குபவரைப் பொருத்து மனிதர் நகரும் திசைவேகம் v₁ = 2 m s^-1 மேலும் படகு நகரும் திசைவேகம் v₂ (கண்டறியப்பட வேண்டியது) என்க.
(i) தரையில் நிலையாக உள்ள உற்றுநோக்குபவரைப் பொருத்து படகின் திசைவேகத்தைக் கணக்கிடுதல்.
அமைப்பின் மீது புறவிசைகள் செயல்படாதபோது, படகு – மனித அமைப்பின் அகவிசையாக செயல்படும் உராய்வின் காரணமாக மனிதன் - படகு அமைப்பு (boat – man system) இயங்குகிறது. ஆகவே நிறை மையத்தின் திசைவேகம் சுழியாகும். ((v_CM = 0).
நிறைமையத்தின் சமன்பாடு (5.7) லிருந்து,
0 = \(\frac { \sum { { m }_{ 1 }{ v }_{ 1 } } }{ \sum { { m }_{ 1 } } } =\frac { { m }_{ 1 }{ v }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }{ v }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
0 = m₁v₁ + m₂v₂ - m₂v₂ = m₁v₁
v₂ =\(\frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 2 } } { v }_{ 1 }\)
v₂ =\(\frac { 50 }{ 300 } \times 2=\frac { 100 }{ 300 } \)
v₂=-0.33 ms^-1
இங்கே, நிலையாக உள்ள உற்றுநநோக்குபவருக்கு எதிர் திசையில் படகு செல்வதை எதிர்குறி காட்டுகிறது.
(ii) நடக்கும் மனிதரைப் பொருத்து படகின் திசைவேகத்தைக் கண்டறிதல் : படகின் சார்புத் திசைவேகத்தை பின்வருமாறு கணக்கிடலாம்.
V₂₁ = V₂ - V₁
இங்கே, V₂₁ என்பது நடக்கும் மனிதரைப் பொருத்து படகின் சார்புத் திசைவேகமாகும்.
V₂₁ =(-0.33) - (2)
V₂₁ = -2.33 ms^-1
மனிதர் தன்னுடைய வலப்புறம் நகரும்போது படகு அவரின் இடதுபுறமாக நகர்வதை விடையில் உள்ள எதிர்குறி காட்டுகிறது.

கோளகத்தின் நிறை m=20kg 
ஆரம் r=0.25m 
கோணத்தின் திசைவேகம் =ω=5rad s^-1
கோணத்தின் உந்தம் L=Iω=\(\frac{2}{5}\)mr²ω
=\(\frac{2}{5}\)x20x(0.25)²x5=40x(0.0625)=2.5
L=2.5kgm²s^-1

புற விசைகள் செயல்படும் போது திண்மப் பொருளின் அணுவிடைத் தொலைவு மாறாது

ஒரு பொருளின் எந்தவொரு அச்சைப் பற்றிய நிலைமத் திருப்புத்திறனானது அதற்கு இணையாக செல்லும் ஈர்ப்பின் மைய அச்சைப் பற்றிய நிலைமைத்திருப்புத்திறன் மற்றும் பொருளின் நிறை, இரு அச்சுகளுக்கிடைப்பட்ட தொலைவில் இருமடியின் பெருக்கற்பலன் ஆகியவற்றின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

பொருள் ஒன்று தன் நிலையான அச்சைப் பற்றி சுழலுமாயின் அது சூழல் இயக்கம் எனப்படும்.

நீர் நிரப்பப்பட்ட பாட்டில் சாய்தளத்தின் அடிப்பகுதி முதலில் அடைகிறது.
ஏனெனில் நீர் நிரப்பப்பட்ட பாட்டிலின் நிலைமதிருப்புத்திறன் மேலும் நீர் நிரப்பிய பாட்டில் சாய்தளத்தில் உருளும் போது அதன் இடம் பெயர்வு இயக்க ஆற்றல் சுழலும் இயக்க ஆற்றலாக மாற்றமடைகிறது.
காலி பாட்டிலின் நிறை மிகக் குறைவாக இருப்பதால் அதன் நிலைமத் திருப்புத்திறன் மிக மிகக் குறைவாக இருக்கும்.