முதல் பொருளின் நிறை m என்க, மற்றும் அதன் தொடக்க திசைவேகம் u₁ = 10 m s^-1. எனவே இரண்டாேது பொருளின் நிறை 2 m மற்றும் அதன தொடக்க திசைவேகம்
\({ u }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } { u }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( 10ms^{ -1 } \right) \)
\({ V }_{ 1 }=\left( \frac { { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } } \right) { u }_{ 1 }+\left( \frac { 2{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } } \right) { u }_{ 2 }\)
\({ V }_{ 1 }=\left( \frac { { m }-{ 2m } }{ { m }+{ 2m } } \right) 10+\left( \frac { 2{ \times 2m } }{ { m }+2{ m } } \right) 5\)
\({ V }_{ 1 }=-\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) 10+\left( \frac { 4 }{ 3 } \right) 5=\frac { -10+20 }{ 3 } =\frac { 10 }{ 3 } \)
\({ V }_{ 1 }=3.33ms^{ -1 }\)
\({ V }_{ 2 }=\left( \frac { 2{ m }_{ 1 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \right) { u }_{ 1 }+\left( \frac { { m }_{ 2 }-{ m }_{ 1 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \right) { u }_{ 2\\ }\)
\({ V }_{ 2 }=\left( \frac { { 2m } }{ { m }+{ 2m } } \right) 10+\left( \frac { 2{ m-m } }{ { m }+2{ m } } \right) 5\)
\({ V }_{ 2 }=-\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) 10+\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) 5=\frac { 20+5 }{ 3 } =\frac { 25 }{ 3 } \)
V₂ =8.333 ms^-1
v₁ மற்றும் v₂ ஆகி்ய இரு வேகங்களும் நேர்க்குறியாக உள்ளதால் அவை இரண்டும் முறையை 3.33 m s^-1 மற்றும் 8.33 m s^-1 என்ற திசை வேகங்களுடன் மோதலுக்கு முன் இயங்கிய திசையிலேயே இயங்குகின்றன.

வாகனத்தின் இயந்திரம், எதிர்க்கும் விசைக்கெதிராக வேலை செய்து வாகனத்தை ஒரு முடுக்கத்துடன் இயக்க வேண்டும். எனவே வாகனத்தின் இயந்திரம் வெளிப்படுத்தும் திறன்
P = (எதிர்க்கும் விசை + (நிறை × முடுக்கம்)) (திசைவேகம்)
\(\mathrm{P}=\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{F}\right) \mathrm{v}  \)
\(\mathrm{P}=\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{V}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{ma}\right) \mathrm{V}  \)
\(=(500+(1250 \times 0.2))(30)=22.5 \mathrm{~kW} \)

(a) சுருள்வில் விசை ஒரு ஆற்றல் மாற்றா விசை ஆகையால் மொத்த  ஆற்றல் மாறிலி ஆகும்.
x = 10 m எனும்போது மொத்த ஆற்றல் ழுமுவதும் நிலை ஆற்றலாக மட்டுமே இருக்கும்
\(E=U=\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \times (1)\times \left( { 10 } \right) ^{ 2 }=50J\)
பொருள் சமநிலையைக் கடக்கும்போது, நிலை (x = 0), நிலை ஆற்றலானது
\(U=\frac { 1 }{ 2 } \times (1)\times \left( 0 \right) =0J\)
இந்நிலையில் முழு ஆற்றலும் இயக்க ஆற்றலாக மட்டுமே உள்ளது.
\(E=K E=\frac{1}{2} m v^2=50 \mathrm{~J}\)
வேகம்
\(v=\sqrt{\frac{2 K E}{m}}=\sqrt{\frac{2 \times 50}{2}}=\sqrt{50} \mathrm{~ms}^{-1} \approx 7.07 \mathrm{~ms}^{-1}\)
(b) சுருள்வில்லின் மீள்விசை F = - kx என்பதால் பொருளானது நடுநிலையைக் கடக்கும் போது அது எவ்விசையையும் உணராது. நடுநிலையில் பொருளானது மிக வேகமாக நகருகிறது என்பதை அறியவும். பொருளானது x = + 10 m (நீட்சி) என்ற நிலையில் உள்ளபோது விசை F = - kx
F = - (1) (10) = - 10 N இங்கு எதிர்குறியானது விசை நடுநிலையை நோக்கி, அதாவது எதிர் x- அச்சை நோக்கி உள்ளதைக் குறிக்கிறது. மேலும் பொருளானது
x = - 10 m (அமுக்கம்) என்ற நிலையில் உள்ளபோது அது உணரும் விசை
F= - (1) (-10) = + 10 N. இங்கு நேர்க்குறியானது விசை நேர் x – அச்சை நோக்கி உள்ளதைக் குறிக்கிறது
x = ± 10 m என்ற நிலையில் பொருளானது இந்த இரு விளிம்பு புள்ளிகளிலும் பெரும விசையை உணர்ந்தாலும் கணநேர ஓய்வு நிலைக்கு வருகிறது.

m = 100 kg, h = 10 m
பாதை (1) இன் வழியே:
பொருளை 10 m உயரத்திற்குத் தூக்கத் தேவையான சிறும விசை F₁ ஆனது புவியீர்ப்பு விசைக்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும்.
F₁ = mg = 100 × 10 = 1000 N
பாதை (1)இன் வழியே நகர்ந்த தொலைவு h = 10 m
பாதை (1) இன் வழியே பொருளின் மீது செய்யப்பட்ட வேலை
W = Fh = 1000 × 10 = 10,000J
பாதை (2) இன் வழியே:
சாய்தளத்தின் வழியே பொருளைக் கொண்டு செல்ல பொருளின் மீது நாம் செலுத்தும் சிறும விசை F₂ ஆனது mg-க்கு சமமாக இல்லை, மாறாக
mg sinθ-க்கு சமமாகும். இங்கு θ = 30°
mg sin θ  = 100 x 10 x sin30⁰
= 100 x 10 x 0.5 = 500 N
எனவே (mg sinθ < mg)
சாய்தளப் பாதையின் நீளமானது
\(l=\frac{h}{\sin 30^{\circ}}=\frac{10}{0.5}=20 \mathrm{~m}\)
பாதை (2) இன் வழியே பொருளின் மீது செய்யப்பட்ட
வேலை W = F₂l = 500 × 20 = 10,000 J
புவியீர்ப்பு விசையானது ஆற்றல் மாற்றா விசை என்பதால் புவியீர்ப்பால் பொருளின் மீது செய்யப்பட்ட வேலை அதனை கொண்டு சென்ற பாதையைச் சார்ந்ததல்ல.
இரு பாதைகளிலும் புவியீர்ப்பு விசையால் செய்யப்பட்ட வேலை 10,000 J ஆகும்.
பாதை (1) இன் வழியே: குறைவான தொலைவு நகர்த்த புவியீர்ப்புக்கு எதிராக அதிகமான விசை செலுத்த வேண்டியுள்ளது.
பாதை (2) இன் வழியே: அதிகமான தொலைவு நகர்த்த புவியீர்ப்புக்கு எதிராக குறைவான விசை செலுத்த வேண்டியுள்ளது.
சாய்தளத்தின் வழியே செலுத்தப்பட வேண்டிய விசை குறைவாக உள்ளதால் சாய்தளத்தின் வழியாக பொருளை எடுத்துச் செல்வது எளிதாக உள்ளது.

m = 2 kg, d  = 10 m, F_ext = 20 N, μ_k = 0.9
ஒரு பொருள்  கிடைமட்ட பரப்பில் இயங்கும்போது அது இரு விசைகளைப் பெறுகிறது
(a) புற விசை F_ext = 20 N
(b) இயக்க உராய்வு விசை
f_k = μ_k mg = 0.9 x (2) x 10 = 18 N
புறவிசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை
W_ext = Fd = 20 x 10 = 200 J
இயக்க உராய்வு விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை
W_k = f_kd = (-18) × 10 = -180 J
இங்கு எதிர்க்குறியானது இயக்க உராய்வு விசை, இடப்பெயர்ச்சியின் திசைக்கு எதிராக உள்ளதைக் குறிக்கிறது.
பொருளின் மீது செய்யப்பட்ட மொத்த  வேலை
W_total = W_ext + W_k = 200 – 180 = 20 J
உராய்வு விசை ஒரு ஆற்றல் மாற்றும் விசை என்பதால் புறவிசையால் கொடுக்கப்பட்ட 200 J இல் 180 J இழக்கப்பட்டது மற்றும் இதனை மீட்டெடுக்க இயலாது.

விசை \(\vec { F } =mg\left( -\hat { j } \right) =-mg\hat { j } \)
இடப்பெயர்ச்சி வெக்டர் \(d\vec { r } =dx \hat {i}+dy\hat { j } \)
(இடப்பெயர்ச்சி இரு பரிமாணத்தில் உள்ளதால் அலகு வெக்டர்கள் \(\hat{i}\) மற்றும் \(\hat{j}\) பயன்படுத்தப்படுகிறது)
(a) இயக்கமானது செங்குத்தாக மட்டும் உள்ளதால், இடப்பெயர்ச்சியின் கிடைத்தளக்கூறு dx சுழியாகும். எனவே பாதை 1 இன் வழியே விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை (h தொலைவிற்கு)
W_{பாதை1}  = \(\int _{ A }^{ B }{ \vec { F } .d\vec { r } = } \int _{ A }^{ B }{ (-mg\hat { j } ).\left( dy\hat { j } \right) } \)
 = \(-mg\int _{ 0 }^{ h }{ dy } =-mgh\)
பாதை 2 இல் செய்யப்பட்ட மொத்த வேலை
W_{பாதை2} = \(\int _{ A }^{ B }{ \vec { F }. d\vec { r } =\int _{ A }^{ C }{ \vec { F } .d\vec { r } } +\int _{ C }^{ D }{ \vec { F } .d\vec { r } } +\int _{ D }^{ B }{ \vec { F } .d\vec { r } } } \)
ஆனால்
\(\int _{ A }^{ C }{ \vec { F } .d\vec { r } =\int _{ A }^{ C }{ \left( -mg\hat { j } \right) .\left( dx\hat { i } \right) } } =0\)
= \(\int _{ C }^{ D }{ \vec { F } .d\vec { r } = } \int _{ C }^{ D }{ (-mg\hat { j } ).\left( dy\hat { j } \right) } \)
= \(-mg\int _{ 0 }^{ h }{ dy } =-mgh\)
\(\int _{ D }^{ B }{ \vec { F.d } \vec { r } = } \int _{ D }^{ B }{ \left( -mg\hat { j } \right) \left( dy\hat { j } \right) =0 } \)
எனவே பாதை 2 இன் வழியே விசையினால் செய்யப்பட்ட மொத்த வேலை
W_{பாதை2} =\(\int _{ A }^{ B }{ \vec { F.d } \vec { r } =-mgh } \)
ஆற்றல் மாற்றா விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை பாதையைச் சார்ந்ததல்ல என்பதை அறியவும்

சுருள்வில் மாறிலி K = 0.1 N m^-1
இடப்பெயர்ச்சி x = 25 cm = 0.25 m
(a) சுருள்வில்லில் சேமிக்கப்பட்ட நிலை ஆற்றல்
\(U=\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \times 0.1\times ({ 0.25 })^{ 2 }=0.0031J\)
b) சுருள்வில் விசை  \(\vec { F } \) ஆல் செய்யப்பட்ட வேலை W_s மதிப்பு
\(\mathrm{W}_{\mathrm{s}}=\int_{\mathrm{n}}^x \overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{s}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{r}}=\int_n^x(-\mathrm{k} x \hat{\mathrm{i}}) \cdot(\mathrm{d} x \hat{\mathrm{i}})\)
சுருள்வில்விசை \(\vec { F } _s\) எதிர்க்குறி x அச்சின் திசையில் செயல்படுகிறது. அதேசமயம் நீட்சியானது நேர்க்குறி x அச்சின் திசையில் செயல்படுகிறது
\(\mathrm{W}_{\mathrm{s}}=\int_0^x(-\mathrm{k} x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2} \mathrm{k} x^2 \)
\(\mathrm{~W}_{\mathrm{s}}=-\frac{1}{2} \times 0.1 \times(0.25)^2=-0.0031 \mathrm{~J}\)
வெளிப்புற அமைப்பால் செய்யப்பட்ட வேலையின் மூலம் நிலை ஆற்றலை வரையறுக்கலாம். நிலை ஆற்றலில் உள்ள நேர்க்குறி, ஆற்றலானது அமைப்பிலிருந்து பொருளுக்கு மாற்றப்படுவதைக் குறிக்கிறது. ஆனால் இந்நேர்வில் மீள் விசையால் செய்யப்பட்ட வேலை எதிர்க்குறி மதிப்புடையது. ஏனென்றால் மீள்விசையானது இடப்பெயர்ச்சியின் திசைக்கு எதிர்த்திசையில் செயல்படுகிறது
(c) அமுக்கத்தின் போதும் பொருளில்  அதே அளவு நிலை ஆற்றல் சேமிக்கப்படுகிறது.
\(U=\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=0.0031J\)
அமுக்கப்படும் போதும் சுருள்வில் மீள் விசையால் செய்யப்பட்ட வேலை
\(W_s=\int_o^x \vec{F}_s \cdot \vec{d} r=\int_o^x(k x \hat{i}) \cdot(-d x \hat{i})\)
அமுக்கப்படும் நேர்வில் சுருள்வில் மீள்விசை நேர்க்குறி x அச்சை நோக்கி செயல்படுகிறது. மற்றும் இடப்பெயர்ச்சியானது எதிர்க்குறி x அச்சின் திசையில் உள்ளது.
\({ W }_{ s }=\int _{ 0 }^{ x }{ (-kx)dx=-\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=-0. 0031 J} \)

a) நிலையாற்றல் U = m g h = 2 × 10 × 5 = 100 J இங்கு நேர்க்குறியானது பொருளினுள் ஆற்றல் சேமிக்கப்பட்டுள்ளதைக் குறிக்கிறது.
b) இந்த  நிலையாற்றலானது புற விசையை செயல்படுத்தும் வெளிப்புற அமைப்பிலிருந்து பொருளுக்கு மாற்றப்பட்டுள்ளது.
c) பொருளை 5 m உயரத்திற்கு எடுத்துச் செல்ல செயல்படுத்தப்பட்ட புற விசை \(\left( \vec { { F }_{ a } } \right) \) ஆனது \( \vec { { F }_{ a } }=-\vec { { F }_{ g } } \)
\(\vec { { F }_{ a } } =\left( -mg\hat { j } \right) =mg\hat { j } \)
\(\hat { j } \) ஆனது செங்குத்தாக மேல்நோக்கியத் திசையில் செயல்படும் ஓரலகு வெக்டர் ஆகும்.
d) நிலையாற்றலின் வரையறையில் இருந்து, பொருளானது மாறாத் திசைவேகத்தில் நகர்த்தப்பட வேண்டும். எனவே, பொருளின்  மீது செயல்படும் நிகர விசை சுழி ஆகும்.
\(\vec { { F }_{ g } } +\vec { { F }_{ a } } =0\)

(a) பொருளின்  இயக்க ஆற்றல்
\(KE=\frac { { P }^{ 2 } }{ 2m } \)
2 kg நிறையுள்ள பொருளின்  இயக்க ஆற்றல்
\({ KE }_{ 1 }=\frac { \left( 20 \right) ^{ 2 } }{ 2\times 2 } =\frac { 400 }{ 4 } =100J\)
4 kg நிறையுள்ள பொருளின் இயக்க ஆற்றல்
\({ KE }_{ 2 }=\frac { \left( 20 \right) ^{ 2 } }{ 2\times 4 } =\frac { 400 }{ 8 } =50J\)
KE₁ ≠ KE₂  என அறியவும். அதாவது இருபொருட்களும் சம உந்தத்தைப் பெற்றிருந்தாலும் அவற்றின் இயக்க ஆற்றல் சமமல்ல. கனமான பொருள் இலேசான பொருளை விட குறைவான இயக்க ஆற்றலைப் பெற்றுள்ளது. ஏனென்றால் கொடுக்கப்பட்ட  உந்தத்திற்கு இயக்க ஆற்றலானது நிறைக்கு எதிர் விகிதத்தில் உள்ளது \((KE\infty \frac { 1 }{ m } )\)
b) உந்தம் p = mv என்பதால் இரு பொருட்களும் சம வேகத்தைப் பெற்றிருக்காது.

(a) பளுதூக்குபவர் நிறையைத் தூக்கும்போது விசையும் இடப்பெயர்ச்சியும் ஒரே திசையில் உள்ளதால் அவற்றிற்கிடையே உள்ள கோணம் θ = 0°. எனவே பளுதூக்குபவரால் செய்யப்பட்ட வேலை
W_ப.தூ = F_whcos\(\theta\) = F_Wh(cos 0⁰)
= 5000 x 5 x (1) = 25000 J = 25 kJ
(b) பளுதூக்குபவர் நிறையைத் தூக்கும்போது புவியீர்ப்புவிசை கீழ்நோக்கி செயல்படுவதால் விசையும் இடப்பெயர்ச்சியும் எதிரெதிர் திசையில் உள்ளன. எனவே அவற்றிற்கிடையே உள்ள கோணம் θ = 180⁰
W_ஈ = F_ghcos θ = mgh(cos 180⁰)
 = 250 x 10 x 5 x (-1)
= -12500 J =- 12.5 kJ
c) பொருளின் மீது செய்யப்பட்ட நிகர வேலை (மொத்த வேலை)
W_{நிகரம்} = W_ப.தூ + W_ஈ
= 25 kJ  - 12.5 KJ = + 12.5 KJ