P(n) என்ற கூற்று கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்பக்கப்படுகிறது n (n + 1) (n + 2) (6 ஆல் வகுபடும் எண்) 
படி 1: n = 1 என பிரதியிட
1(1 + 1)(1 + 2) = 6 (6 ஆல் வகுபடும் எண்) 
i.e., P(1) உண்மை ஆகும்.
படி 2: n = k என்பதற்கு மேற்கண்டகூற்று உண்மை என்க.
i.e. k (k + 1) (k + 2) (6 ஆல் வகுபடும் எண்) 
⇒ k(k + 1)(k + 2) = 6m
படி 3: P( + 1) உண்மை என நிரூபிக்க வேண்டும்
(k + 1) : (k + 1)(k + 2)(k + 3).
= (k + 1)(k + 2)(k) + 3 (k + 1)(k + 2)
= 6λ+3(k+1)(k+2)
வழக்கு (1) : k என்பது ஒற்றைப்படை என்றால், k + 1 சமமாக இருப்பதால், இரண்டாவது சொல் 6 இன் பெருக்கமாக இருக்கும்
வழக்கு (2): k என்பது k + 2 சமமாக இருந்தால், இரண்டாவது சொல் 6 இன் பெருக்கமாக இருக்கும்
(k + 1) (6 ஆல் வகுபடும் எண்) 
எனவே, P (k +1) ம் உண்மை ஆகிறது.
கணிதத் தொகுத்தறிதல் விதிப்படி P(k) உண்மை எனில் P (k +1) ம் உண்மை ஆகிறது.
∴ n ன் அனைத்து இயல் மதிப்புகளுக்கும் P (n) உண்மை ஆகிறது.

\(\frac{9}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x+2)}+\frac{C}{(x+2)^2} \) ...(1)
(x - 1)(x + 2)²ஆல் இருபுறமும் பெருக்க
\(\therefore \)9 = A(x + 2)² + B(x - 1)(x + 2)+ C(x - 1)   … (2)
x = –2 என (2) ல் பிரதியிட
9 = A(0)+ B(0)+ C(-2 - 1)
\(\therefore \) C = –3
x = 1 என (2) ல் பிரதியிட
9 = A(3)² + B(0)+ C(0)
\(\therefore \)A = 1
x² இன் கெழுக்களை  சமன்பாடு (2) ல் இருபுறமும் சமன்படுத்த
0 = A + B
B = –A
\(\therefore \)B = –1
A, B மற்றும் C ன் மதிப்புகளை (1) ல் பிரதியிட
\(\frac{9}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x+2)}+\frac{3}{(x+2)^2}\)

8C₂ =\(\frac{8\times 7}{2\times1}=28\)

8P₃ = 8 \(\times \)7 \(\times \) 6 = 336.

(n + 2)! = 60(n - 1)!
(n + 2)(n + 1)(n)(n - 1)! = 60(n - 1)!
(n + 2)(n + 1)(n) = 60
(n + 2)(n + 1)(n) = 5 \(\times \) 4  \(\times \) 3
n = 3

\(\frac { 4x+1 }{ (x-2)(x+1) } =\frac { A }{ x-2 } +\frac { B }{ x+1 } \)
⇒ \(\frac { 4x+1 }{ (x-2)(x+1) } =\frac { A(x+1)+B(x-2) }{ (x-2)(x+1) } \)
⇒ 4x + 1 = A(x + 1) + B(x - 2)
x = 2 ன் 
9 = A(2 + 1)
\(\Rightarrow A=\frac{9}{3}=3\)
x = -1ன் 
-4 + 1 = B(-1 - 2)
⇒ -3 = -3B  ⇒ \(\ B=1 \)
\(\frac { 4x+1 }{ (x-2)(x+1) } =\frac { 3 }{ x-2 } +\frac { 1 }{ x+1 } \)

\(\frac { 3x+7 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { 3x+7 }{ (x-1)(x-2) } =\frac { A }{ x-2 } +\frac { B }{ x-1 } \)
\(\frac{3 x+7}{(x-1)(x-2)}=\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}\)
\(3 x+7=A(x-2)+B(x-1)\)  ...(1)
x = 1ன் 
\(3+7=\mathrm{A}(1-2) \Rightarrow \mathrm{A}=-10\)
x = 2 ன் 
\(6+7=\mathrm{B}(2-1) \Rightarrow \mathrm{B}=13\) 
\(\therefore\)\(\frac { 3x+7 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } \)=\(\frac { -10 }{ x-1 } + \frac { 13 }{ x-2 } \)

(x+a)ⁿ என்பதன் விரிவில் பொது உறுப்பு  t_r+1=nC_rx^n-r a^r ஆகும். ... (1)
\((x-\frac{3}{x^{2}})^{10}\) ன் 5வது உறுப்பைக் காண சமன்பாடு (1) –ல் n – க்கு 10 – யும் r க்கு 4 –யும்
பிரதியிட  
t₄₊₁=t₅ 10C₄(x)⁶ \((x-\frac{3}{x^{2}})^{4}\) (இங்கு n = 10 , x = x , a = –\(\frac{3}{x^{2}}\))
=10C₄(x)⁶ \(\frac{3^{4}}{x^{8}}\)
=\(\frac{17010}{x^{2}}\) 

(x+a)ⁿ=nC₀xⁿa⁰+nC₁x^n-1a¹+nC₂x^n-2a²+....+nC_rx^n-ra^r+.....+nC_n-1x¹a^n-1+nC_nx⁰aⁿ
(2x+3y)ⁿ=5C₀(2x)⁵+5C₁(2x)⁴(3y)+5C₂(2x)³(3y)²+5C₃(2x)²(3y)³+5C₄(2x)(3y)⁴+5C₅(3y)⁵
= 32x⁵+5(16)x⁴(3y)+\(\frac{5\times4}{2\times1}\)(8x³)(9y²)+\(\frac{5\times4\times3}{3\times2\times1}\)4y²(27y³)+5(2y)81y⁴+243y⁵
= 32x⁵ + 240x⁴y + 720x³y² + 1080x²y³ + 810xy⁴ + 243y⁵

MATHEMATICS என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துக்களின் எண்ணிக்கை = 11
M என்ற எழுத்து 2 முறையும்
T என்ற எழுத்து 2 முறையும்
A என்ற எழுத்து 2 முறையும் மீதமுள்ள எழுத்துக்கள் தலா ஒரு முறையும் இடம் பொறுகிறது.
எனவே அனைத்து எழுத்துக்களையும் பயன்படுத்தி அமைக்கப்படும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை =\(\frac{11!}{2!2!2!}\)

ஒன்பதாவது இலக்கத்தை பூஜ்ஜியத்தால் நிரப்ப முடியாது
ஒன்பதாம் இடத்தை 9 வழிகளில் நிரப்பலாம்
எட்டாவது இடத்தை 9 வழிகளில் நிரப்பலாம்
ஏழாவது இடத்தை 8 வழிகளில் நிரப்பலாம் மற்றும் பல வழிகளின் எண்ணிக்கை
= 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2
= 9 x 9!

இணைகரங்களின் எண்ணிக்கை = 4C₂ x 3C₂

\((\sqrt{2})^8=2^4=16\)

nC₀ + nC₁ + nC₂ + nC₃ + ... +nC_n = 2n மற்றும்  nC₀ = 1

வழிகளின் எண்ணிக்கை = 5C₄ = 5C₁ = 5

x + y = n
3 + 2 = 5 = n
nC₄ = 5C₄ = 5C₁ = 5