(999)⁵ = (1000 - 1)⁵
\(=5 C_0(1000)^5-5 C_1(1000)^4+5 C_2(1000)^3 -5 C_3(1000)^2+5 C_4(1000)-5 C_5\)
= 1000,000,000,000,000 - 5 (1,000,000,000,000) + 10 (1,000,000,000) -10 (1000,000) + 5 (1000)-1
= 1000000000000000 - 5000000000000 + 10000000000 - 10000000+ 5000 1
= 99 500 999 000 4999

(101)⁴ = (100 + 1)⁴
= 4C₀ (100)⁴ + 4C₁ (100)³ (1)¹ + 4C₂ (100)² (1)² + 4 C₃ (100)¹ (1)³ + 4 C₄(1)⁴
= 100,000,000 + 4 (1,000,000) + 6 (10000) + 4 (100) + 1
= 10,40,60,401

\(\frac{1}{9!}+\frac{1}{10!}=\frac{n}{11!}\)
\(\frac{1}{9!}+\frac{1}{10\times9!}=\frac{n}{11!}\)
\(\frac{1}{9!}+[1+\frac{1}{10!}]=\frac{n}{11!}\)
\(\frac{1}{9!}\times\frac{11}{10}=\frac{n}{11!}\)
\(n=\frac{11!\times11}{9!\times10}\)
\(=\frac{11!\times11}{10!}\)
\(n=\frac{11\times10!\times11}{1!0}\)
n =121

\(\frac{7!}{6!}=\frac{7\times6!}{6!}=7\)

\(\frac { 4x+1 }{ (x-2)(x+1) } =\frac { A }{ x-2 } +\frac { B }{ x+1 } \)
⇒ \(\frac { 4x+1 }{ (x-2)(x+1) } =\frac { A(x+1)+B(x-2) }{ (x-2)(x+1) } \)
⇒ 4x + 1 = A(x + 1) + B(x - 2)
x = 2 ன் 
9 = A(2 + 1)
\(\Rightarrow A=\frac{9}{3}=3\)
x = -1ன் 
-4 + 1 = B(-1 - 2)
⇒ -3 = -3B  ⇒ \(\ B=1 \)
\(\frac { 4x+1 }{ (x-2)(x+1) } =\frac { 3 }{ x-2 } +\frac { 1 }{ x+1 } \)

\(\frac { 3x+7 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { 3x+7 }{ (x-1)(x-2) } =\frac { A }{ x-2 } +\frac { B }{ x-1 } \)
\(\frac{3 x+7}{(x-1)(x-2)}=\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}\)
\(3 x+7=A(x-2)+B(x-1)\)  ...(1)
x = 1ன் 
\(3+7=\mathrm{A}(1-2) \Rightarrow \mathrm{A}=-10\)
x = 2 ன் 
\(6+7=\mathrm{B}(2-1) \Rightarrow \mathrm{B}=13\) 
\(\therefore\)\(\frac { 3x+7 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } \)=\(\frac { -10 }{ x-1 } + \frac { 13 }{ x-2 } \)

\(\frac { 1 }{ \left( { x }^{ 2 }-1 \right) } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ x+1 } \)என்க
இருபுறமும் (x - 1)(x + 1) ஆல் பெருக்க
1 = A(x+1)+B(x -1)    .........(1)
x =1 எனில்,  1=A(2)
\(\therefore\) A =\(\frac{1}{2}\)
x=–1 எனில், 1 = A(0)+B(-2)
\(\therefore\)  B=- \(\frac{1}{2}\)

\((\frac{x}{3}+9y)^{9}\) என்பதனை (x+a)ⁿ உடன் ஒப்பிடுக n = 9 எனில் பத்து உறுப்புகளை (இரட்டை படை) நாம் பெறுகிறோம்.
∴ இதன் விரிவில் உள்ள இரண்டு நடு உறுப்புகள் முறையே
ஃ \(\frac{t_{n+1}}{2},\frac{t_{n+3}}{2}\) அதாவது \(\frac{t_{9+1}}{2},\frac{t_{9+3}}{2}\) ஆகும்.
ஆகவே, t₅ மற்றும் t₆ என்பன நடு உறுப்புகளாகும்.
(x + a)ⁿ ன் விரிவில் பொது உறுப்பு
t_r+1=nC_rx^n-r a^r  --- (1)
r = 4 என (1) ல் பிரதியிட 
\(t_{4+1}=t_5=9C_4(\frac{x}{3})^{5}.(9y)^{4}\)
\(=9C_4\frac{x^{5}}{3^{5}}.9^{4}y^{4}\)
\(=\frac{9\times8\times7\times6}{4\times3\times2\times1}.\frac{x^{5}}{3^{5}}.9^{4}y^{4}\)
=3402 x⁴y⁴
r = 5என (1) ல் பிரதியிட
\(t_{5+1}=t_6=9C_5(\frac{x}{3})^{4}.(9y)^{5}\)
\(=9C_5\frac{x^{4}}{3^{4}}.9^{5}y^{5}\)
= 91854 x⁴y⁵

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
\(\frac { 7x-1 }{ { x }^{ 2 }-5x+6 } =\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-3)}........(1)\)
இருபுறமும் (x–2)(x–3), ஆல் பெருக்க
7x - 1 = A(x - 3)+ B(x - 2)  ......(2)
x = 3 என சமன்பாடு (2) ல் பிரதியிட
21 – 1 = B (1)
\(\Rightarrow \) B = 20
x = 2 என சமன்பாடு (2)ல் பிரதியிட
14 - 1 = A(-1)
\(\Rightarrow \)  A = -13
A மற்றும் B யின் மதிப்புகளை (1)ல் பிரதியிட
\(\frac { 7x-1 }{ { x }^{ 2 }-5x+6 } =\frac{-13}{(x-2)}+\frac{20}{(x-3)}\)

(1 + x)²ⁿ
2n 
நடு உறுப்பைக் காண \(t_{\frac{n}{2}+1}=t_{\frac{2 n}{2}+1}=t_{n+1}\)
\(r=n\)
\(t_{r+1}=n C_r x^{n-r} a^r\)
\(t_{n+1}=2 n C_n(1)^{2 n-n} x^n\)
\(=2 n C_n \cdot x^n\)
\(n C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}\)
\(=\frac{(2 n) !}{n !(2 n-n) !} x^n\)
\(=\frac{(2 n)(2 n-1)(2 n-2)(2 n-3) \ldots 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2.1}{n ! n !} x^n\)
\(=\frac{(2 n)(2 n-2) \ldots 4.2(2 n-1)(2 n-3) \ldots 5.3 .1}{n ! n !} x^n\)
\(=\frac{2^n(n(n-1) \ldots 2.1)(2 n-1)(2 n-3) \ldots 5.3 .1}{n ! n !} x^n\)
\(=\frac{2^n \cdot n !(2 n-1)(2 n-3) \ldots 5 \cdot 3 \cdot 1}{n ! n !} x^n\)
\(=\frac{1.3 .5 \ldots(2 n-3)(2 n-1) 2^n x^n}{n !}\)

\(\frac{1}{\left(x^2+4\right)(x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{x^2+4}\)
(Since x² + 4 cannot be factorised into linear factors)
\(\frac{1}{\left(x^2+4\right)(x+1)}=\frac{A\left(x^2+4\right)+(B x+C)(x+1)}{x^2+4}\)
\(1=A\left(x^2+4\right)+(B x+C)(x+1)\) ...(1)
x = -1 என (1) –ல் பிரதியிட
1 = c(5) \(\Rightarrow\) \(c=\frac { 1 }{ 5 } \)
x² இன் கெழுக்களை சமன்பாடு (1) இன் இருபுறமும் சமன்படுத்த
0 =A + B \(\Rightarrow\) \(B= -A = \frac { -1 }{ 5 } \)
x = 0 என (1) –ல் பிரதியிட,
1 = 4A + C
\(1=\frac{4}{5}+C\)
\(C=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\)
\(\frac{1}{\left(x^2+4\right)(x+1)}=\frac{1}{5(x+1)}+\frac{\frac{-1}{5} x+\frac{1}{5}}{x^2+4}\)
\(=\frac{1}{5(x+1)}+\frac{1-x}{5\left(x^2+4\right)}\).

\(\frac { { x }^{ 2 }-3 }{ (x+2)({ x }^{ 2 }+1) } =\frac { A }{ x+2 } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
⇒ \(\frac { { x }^{ 3 }-3 }{ (x+2)({ x }^{ 2 }+1) } =\frac { A({ x }^{ 2 }+1)+(Bx+C)(x+2) }{ (x+2)({ x }^{ 2 }+1) } \)
⇒ x² - 3 = A(x² + 1) + (Bx + C) (x + 2)   ...(1)
x = -2என (1) –ல் பிரதியிட
4 - 3 = A(4 + 1) ⇒ 1 ⇒ 5A ⇒ \(A=\frac{1}{5}\)
x² இன் கெழுக்களை சமன்பாடு (1) இன் இருபுறமும் சமன்படுத்த
1 = A + B
\(1=\frac{1}{5}+B\)
\(B=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
x = 0 என (1) –ல் பிரதியிட
\(-3=A+2 C\)
\(-3=\frac{1}{5}+2 C\)
\(2 C=-3-\frac{1}{5}=-\frac{16}{5}\)
\(C=-\frac{8}{5}\)
\(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}=\frac{1}{5(x+2)}+\frac{\frac{4 x}{5}-\frac{8}{5}}{x^2+1}\)
\(=\frac{1}{5(x+2)}+\frac{4(x-2)}{5\left(x^2+1\right)}\).

\(\frac { { x }^{ 2 }-6x+2 }{ { x }^{ 2 }(x+2) } =\frac { A }{ x } +\frac { B }{ { x }^{ 2 } } +\frac { C }{ x+2 } \)
⇒ \(\frac { { x }^{ 2 }-6x+2 }{ { x }^{ 2 }(x+2) } =\frac { Ax(x+2)+B(x+2)+Cx^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }(x+2) } \)
⇒ x² - 6x + 2 = Ax (x + 2) + B (x + 2)+ Cx²   ..(1)
x = -2 என (1) –ல் பிரதியிட
4 + 12+ 2 = \(C(-2)^2\) = C(4)
⇒ 18 = 4C ⇒ C = \(\frac { 18 }{ 4 } =\frac { 9 }{ 2 } \)
x = 0 என (1) –ல் பிரதியிட
2 = B (2) ⇒ B = 1
x² இன் கெழுக்களை சமன்பாடு (1) இன் இருபுறமும் சமன்படுத்த
1 = A + C ⇒ = A + \(\frac { 9 }{ 2 } \) [∵ C=\(\frac { 9 }{ 2 } \)]
⇒ A = \(1-\frac { 9 }{ 2 } =\frac { 2-9 }{ 2 } =\frac { -7 }{ 2 } \)
\(\frac{x^2-6 x+2}{x^2(x+2)}=\frac{-7}{2 x}+\frac{1}{x^2}+\frac{9}{2(x+2)}\).

\(\frac{2 x^2-5 x-7}{(x-2)^3}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3}\)
⇒ \(\frac { 2x^{ 2 }-5x-7 }{ (x-2)^{ 3 } } =\frac { A(x-2)^{ 2 }+B(x-2)+C }{ (x-2)^{ 3 } } \)
⇒ 2x² - 5x - 7 = A(x - 2)² + B(x - 2) + C     ..(1)
x = 2 ன்  (1)
2(4) - 5(2) - 7 = C
C = 8 - 10 - 7 = - 9
2 = A
x = 0
\(-7=A(-2)^2-2 B+C\)
\(-7=2(4)-2 B-9\)
\(-7-8+9=-2 B\)
\(-6=-2 B \Rightarrow B \doteq 3\)
\(\frac{2 x^2-5 x-7}{(x-2)^2}=\frac{2}{x-2}+\frac{3}{(x-2)^2}-\frac{9}{(x-2)^3}\)

\(\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }-1 } =\frac { 1 }{ (x+1)(x-1) } =\frac { A }{ x+1 } +\frac { B }{ x-1 } \)
⇒ \(\frac{1}{(x+1)(x-1)}=\frac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}\)
⇒ 1 = A (x - 1) + B (x + 1)       ...(1)
x = -1 ன்  (1)
1 = A(-2) + 0 ⇒ A = \(\frac { -1 }{ 2 } \)
x = 1 ன்  (1) 
1 = 0 + B(1 + 1) ⇒ 1 = 2B ⇒ B = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\frac{1}{x^2-1}=\frac{-1}{2(x+1)}+\frac{1}{2(x-1)}\).

\(\frac { 1 }{ (x-1)(x+2)^{ 2 } } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ x+2 } +\frac { C }{ (x+2)^{ 2 } } \)
⇒ \(\frac { 1 }{ (x-1)(x+2)^{ 2 } } =\frac { A(x+2)^{ 2 }+B(x-1)(x+2)+C(x-1) }{ (x-1)(x+2)^{ 2 } } \)
⇒ 1 = A (x + 2)² + B (x - 1)(x + 2) + C(x - 1)  ....(1)
x = 1 ன்  (1) ,
1 = A(3)² ⇒ 1 = 9A ⇒ A = \(\frac { 1 }{ 9 } \)
x = -2 ன்  (1) 
1 = C(-2-1) ⇒ 1 = -3 \(\Rightarrow\) C = \(\frac { -1 }{ 3 } \)
\(0=A+B\)
\(B=-A=\frac{-1}{9}\)
\(\frac{1}{(x-1)(x+2)^2}-\frac{1}{9(x-1)}-\frac{1}{9(x+2)}-\frac{1}{3(x+2)^2}\)

\(n P_r =720(\mathrm{nCr}) \)
\(\frac{n !}{(n-r) !} =720\left(\frac{n !}{r !(n-r) !}\right) \)
\(r ! =720 \)
\(r ! =6 ! \)
r = 6

வழிகளின் எண்ணிக்கை = 5C₄ = 5C₁ = 5

nP₂ = 20
n(n - 1) = 5 x 4
n = 5

x + y = n
3 + 2 = 5 = n
nC₄ = 5C₄ = 5C₁ = 5