4 அலகுகள்

A = \(\left[ \begin{matrix} 8 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right] \)
|A|=\(\left| \begin{matrix} 8 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right| \)
= 24 – 8 = 16
≠ 0
∴ A என்ப து பூச்சியமற்ற கோவை அணி ஆகும்

\(\left| \begin{matrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{matrix} \right| \)= x²-(x – 1)(x + 1)
= x² – (x² – 1)
= x² – x² + 1 = 1

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x²+4xy+y²=0
இங்கு a=1, b=1 மற்றும் h=2.
இரட்டை நேர்க்கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் 'θ' என்க.
θ=tan^-1\([|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}|]\)
=tan^-1\([|\frac{2\sqrt{4-1}}{2}|]\)
=tan^-1(√3)
θ=\(\frac{\pi}{3}\)

\({ y }^{ 2 }=-\frac { 9 }{ 2 } x\)

2x+y-7=0

\(\left|\begin{array}{ccc} x & 2 & -1 \\ 2 & 5 & x \\ -1 & 2 & x \end{array}\right|=0\)
x(5x - 2x)-2(2x + x)-1 (4 + 5) = 0
3x² - 6x - 9 = 0
x² - 2x - 3 = 0 (÷3)
(x - 3)(x + 1) = 0
\(x=+3,-1\)

4(nC₂)=(n + 2)C₃
\(4\frac{n(n-1)}{1\times2}=\frac{(n+2)(n+1)(n)}{1\times2\times3}\).
12(n - 1) = (n+2) (n+1)
12(n - 1) = (n² + 3n + 2)
n² - 9n + 14 = 0
(n - 2)(n - 7) = 0 \(\Rightarrow\) n = 2,n = 7

B = \(\begin{bmatrix}3 & 1 \\ -1 & 3\end{bmatrix}\)
\(A=\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{array}\right)\)
\(|A|=9+1=10 \neq 0\)
\({A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{1}\over{10}}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3\end{bmatrix}\)
\(\frac { 1 }{ 10 } \left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right] \)

(i) 5, 6, 7, 8 மற்றும் 9 ஐப் பயன்படுத்தும் ஒரு இலக்க எண்ணின் எண் 5 ஆகும்.
(ii) 5, 6, 7, 8 மற்றும் 9 ஐப் பயன்படுத்தும் இரண்டு இலக்க எண்ணின் எண்ணிக்கை 5 x 4 = 20
(iii) 5, 6, 7, 8 மற்றும் 9 ஐப் பயன்படுத்தும் மூன்று இலக்க எண்ணின் எண்ணிக்கை 5 x 4 x 3 = 60
(iv) கூட்டல் கொள்கை மூலம் மொத்த எண்களின் எண்ணிக்கை = 5 + 20 + 60 = 85

புள்ளி வழிக் கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு
\(\left| \begin{matrix} { a }_{ 1 } & b_{ 1 } & c_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & b_{ 2 } & c_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & b_{ 2 } & c_{ 1 } \end{matrix} \right| =0\)
 \(\left| \begin{matrix} 3 & -5 & -11 \\ 5 & 3 & -7 \\ 1 & k & 0 \end{matrix} \right| =0\)
1(35 + 33) – k(–21+ 55) = 0
⇒ 34k = 68  ∴ k = 2

\({ \left( x+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ 2n }\)
t_{r+ 1} = nC_r x^n-r a^r
\(\therefore\)  t_r+1 = 2nC_r x^2n-r \({\left( {{1}\over{x}} \right)}^{r}\) = 2nC_r x^2n-r \({\left( {{1}\over{x}} \right)}^{r}\) = 2nC_r x^2n-2r
x - யை சாராத உறுப்பைக் காண x –ன் அடுக்கை ‘0’ விற்கு சமன்படுத்த
  2n = 2r \(\Rightarrow\) r = n
\(\therefore\)  t_r+1 = 2nC_n.x^2n-2n = 2nC_n
\(={{2n!}\over{n!n!}}={{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)......4,3,2,1}\over{n!n!}}\)
\(={{[(2n)(2n-2)(2n-4)...4.2][(2n-1)(2n-3)......3.1]}\over{n!n!}}\)
\(={{2^n(n)(n-1)(n-2).2.1.[(2n-1)(2n-3)....3.1]}\over{n!n!}}\) 
\(=\frac{2^n . n !(2 n-1) \ldots 5.3 .1}{n ! n !}\)
\(=\frac{1.3 .5 \ldots(2 n-1) 2^n}{n !}\)

\(AB=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac { -4 }{ 35 } & \frac { 11 }{ 35 } & \frac { -5 }{ 35 } \\ \frac { -1 }{ 35 } & \frac { -6 }{ 35 } & \frac { 25 }{ 35 } \\ \frac { 6 }{ 35 } & \frac { 1 }{ 35 } & \frac { -10 }{ 35 } \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \frac { 1 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} -4 & 11 & -5 \\ -1 & -6 & 25 \\ 6 & 1 & -10 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} 35 & 0 & 0 \\ 0 & 35 & 0 \\ 0 & 0 & 35 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 35 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] =I\)
\(BA=\left[ \begin{matrix} \frac { -4 }{ 35 } & \frac { 11 }{ 35 } & \frac { -5 }{ 35 } \\ \frac { -1 }{ 35 } & \frac { -6 }{ 35 } & \frac { 25 }{ 35 } \\ \frac { 6 }{ 35 } & \frac { 1 }{ 35 } & \frac { -10 }{ 35 } \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} -4 & 11 & -5 \\ -1 & -6 & 25 \\ 6 & 1 & -10 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(​​=\frac { 1 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} 35 & 0 & 0 \\ 0 & 35 & 0 \\ 0 & 0 & 35 \end{matrix} \right] =\frac { 35 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] =I\)
AB = BA = I
ஆகையால் A மற்றும் B அணிகள் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறு ஆகும்.

\(\frac{1}{\left(x^2+4\right)(x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{x^2+4}\)
(Since x² + 4 cannot be factorised into linear factors)
\(\frac{1}{\left(x^2+4\right)(x+1)}=\frac{A\left(x^2+4\right)+(B x+C)(x+1)}{x^2+4}\)
\(1=A\left(x^2+4\right)+(B x+C)(x+1)\) ...(1)
x = -1 என (1) –ல் பிரதியிட
1 = c(5) \(\Rightarrow\) \(c=\frac { 1 }{ 5 } \)
x² இன் கெழுக்களை சமன்பாடு (1) இன் இருபுறமும் சமன்படுத்த
0 =A + B \(\Rightarrow\) \(B= -A = \frac { -1 }{ 5 } \)
x = 0 என (1) –ல் பிரதியிட,
1 = 4A + C
\(1=\frac{4}{5}+C\)
\(C=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\)
\(\frac{1}{\left(x^2+4\right)(x+1)}=\frac{1}{5(x+1)}+\frac{\frac{-1}{5} x+\frac{1}{5}}{x^2+4}\)
\(=\frac{1}{5(x+1)}+\frac{1-x}{5\left(x^2+4\right)}\).

எண்ணில் x இன் சமத்துவ இணை திறன்
kx = 4 (2n) + 1 (x)
kx = 9x

\(|A|=4-2=2\)
\(A(\operatorname{adj} A)=|A| I=\left(\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)\)

\(\left|\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ x & 2 & x \\ 1 & 3 & x \end{array}\right|=0 \Rightarrow-1\left[x^2-x\right]=0\)
\(\Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow x=0,1\)

\(n P_r =720(\mathrm{nCr}) \)
\(\frac{n !}{(n-r) !} =720\left(\frac{n !}{r !(n-r) !}\right) \)
\(r ! =720 \)
\(r ! =6 ! \)
r = 6

வழிகளின் எண்ணிக்கை = 5C₄ = 5C₁ = 5