ஒட்டுறவுக் கெழு r =\(\frac { N\Sigma XY-(\Sigma X)(\Sigma Y) }{ \sqrt { N\Sigma { X }^{ 2 }-(\Sigma X)^{ 2 } } \sqrt { N\Sigma { Y }^{ 2 }-(\Sigma Y)^{ 2 } } } \)
=\(\frac { 9(597)-(45\times 108) }{ \sqrt { 9(285)-(45)^{ 2 }\times \sqrt { 9(1356)-(108^{ 2 }) } } } \)
r =+0.95

S = {1,2,3,4,5,6} என்பது கூறுவெளி என அறிகிறோம்.
இங்கு A = {3,6} ; B = { 2,4,6} எனவே (A\(\cap \)B) ={6}
P(A)=\(\frac { 2 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 3 } \)
P(B) =\(\frac { 3 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 2 } \)  மற்றும் P(A\(\cap \)B)=\(\frac{1}{6}\)
தெளிவாக, P(A\(\cap \)B) = P(A) P(B)
எனவே A மற்றும் B ஆகியவை சாரா நிகழ்வுகளாகும்.

ரூ 12500

C(x)=  \(\frac { 1 }{ 3 } \)x³+4x²-25x+7
(i) சராசரிச் செலவு (AC) = \(\frac { C }{ x } \)
= \(\frac { 1 }{ 3 } \)x²+4x-25+\(\frac { 7 }{ x } \)
(ii) சராசரி மாறும் செலவு (AVC) = \(\frac { f(x) }{ x } \)
=  \(\frac { 1 }{ 3 } \)x²+4x-25
(iii) சராசரி மாறாச்செலவு   (AFC) = \(\frac { k }{ x } \)
= \(\frac { 7 }{ x } \)
(iv) இறுதி நிலைச் செலவு (MC) = \(\frac { dC }{ dx } \)(or) (C(x))
=\(\frac { d }{ dx } \)[\(\frac { 1 }{ 3 } \)x³+4x-25+7]
= x²+8x−2
(v) இறுதி நிலைச் சராசரி செலவு ஆகியவற்றைக் காண்க (MAC) =\(\frac { d }{ dx } \)[AC]
=  [\(\frac { 1 }{ 3 } \)x³+4x-25+\(\frac { 7 }{ x } \)]
=\(\frac { 2 }{ 3 } \)x+4-\(\frac { 7 }{ x^{ 2 } } \)

t cost

2cos13A sin15A = sin(13A+15A)-sin (13A-15A)
=sin 28A+sin2A

\(\sqrt { 20 } \) அலகுகள்

5 சிறுவர்கள் 5P₅ = 5! இல் ஒரு வரிசையில் அமரலாம் ஏற்பாடு பின்வருமாறு இருக்க முடியும்.
GB GB GB GB GB GB
இரண்டு பெண்களும் ஒன்றுசேரக்கூடாது என்பதால், நாங்கள் 3 பெண்களை 6 இடங்களில் ஏற்பாடு செய்யலாம், அதை 6P₃ வழிகளில் செய்யலாம்.
மொத்த எண். இருக்கை ஏற்பாடு
\(=5 ! \times 6 P_3=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6 \times 5 \times 4\)
= 14400

\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=1 (1இன் சிற்றணிக்கோவை) –2 (2 இன் சிற்றணிக்கோவை) +4(4 இன் சிற்றணிக்கோவை)
\(=1\left| \begin{matrix} 3 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} -1 & 0 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \)
=0 –0 –52 = –52.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x²+4xy+y²=0
இங்கு a=1, b=1 மற்றும் h=2.
இரட்டை நேர்க்கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் 'θ' என்க.
θ=tan^-1\([|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}|]\)
=tan^-1\([|\frac{2\sqrt{4-1}}{2}|]\)
=tan^-1(√3)
θ=\(\frac{\pi}{3}\)

60x₁ + 120x₂ \(\le \) 12000 8x₁ + 5x₂ \(\le \) 600; 3x₁ + 4x₂ \(\le \) 500 மற்றும்  x₁, x₂ \(\ge \) 0 என்ற கட்டுப்பாடுகளுக்கு இணங்க Z = 30x₁ + 40x₂ என்ற குறிக்கோள் சார்பின் பெரும மதிப்பு காண்க.

X என்பது P-ன் விலை மற்றும் Y என்பது S-ன் இருப்பு என்க.
P-ன் சராசரி மற்றும் திட்டவிலக்கங்கள் ஆகியவை முறையே \(\bar { X } \)=100, σ_x=8. மேலும் S-ன் சராசரி மற்றும் திட்டவிலக்கங்கள் முறையே \(\bar {Y } \)=103, σ_y=4 என கருதவும். இரண்டு வரிசைக்கு இடையேயான ஒட்டுறவுக் கெழு r(X,Y)=0.4 ஆகும்.
Y-ன் மீது X-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு
\(X-\bar { X } =r\frac { { \sigma }_{ x } }{ { \sigma }_{ y } } (Y-\bar { Y } )\)
X–100 = (0.4)\(\frac{8}{4}\)(Y–103)
X–100 = 0.8(Y–103 )
X–0.8Y–17.6 =0 or X=0.8Y+17
X-ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு \(Y-\bar { Y } =r\frac { { \sigma }_{ y } }{ { \sigma }_{ x } } (X-\bar { X } )\)
Y–103=(0.4)\(\frac{4}{8}\)(X-100)
Y–103 = 0.2 (X–100 )
Y–103 = 0.2 X–20
Y = 0.2 X+83 or 0.2 X–Y+83=0

X என்பது பாடம் 1 எனவும் மற்றும் Y என்பது பாடம் 2 எனவும் கருதவும்.

X	Y	Rx	Ry	d=Rx-Ry	d2
40	45	1	4	-3	9
46	46	2	5	-3	9
54	50	3	6	-3	9
60	43	4	3	1	1
70	40	5	1	4	16
80	75	6	11	-5	25
82	55	7	7	0	0
85	72	8	10	-2	4
87	65	9	8	1	1
90	42	10	2	8	64
95	70	11	9	2	4
					Σd2=142

\({ \rho }=1-\frac { 6\Sigma { d }^{ 2 } }{ N(N^{ 2 }-1) } \)
\(\rho =1-\frac { 6(142) }{ 11(11^{ 2 }-1) } \)
\({ \rho }=1-\frac { 852 }{ 1320 } \)=0.354

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

மதிப்பெண்கள்	m	f	log m	f log m
0.10	5	8	0.6990	5.5920
10-20	15	12	1.1761	14.1132
20-30	25	18	1.3979	25.1622
30-40	35	8	1.5441	12.3528
40-50	45	6	1.6532	9.9192
		N=52		Σf log m=67.1394

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

X	log X
85	1.9294
70	1.8451
15	1.1761
75	1.8751
500	2.6990
8	0.9031
45	1.6532
250	2.3979
40	1.6021
36	1.5563
	Σlog X =17.6373

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma logX }{ n } \right) \);
GM=Antilog\(\left( \frac { 17.6373 }{ 10 } \right) \)
=Antilog(1.7637)
GM=58.03

2x²+3xy+5y²=10 
இருபுறமும் x ஐ பொறுத்து வகையிட,
\(\frac{d}{dx}[2x^{2}+3xy+5y^{2}]=\frac{d}{dx}[10]\)
\(4x+3x\frac{dy}{dx}+3y+10y\frac{dy}{dx}=0\)
\((3x+10y)\frac{dy}{dx}=-3y-4x\)
\(\frac{dy}{dx}=-\frac{(3y+4x)}{(3x+10y)}\)
∴ (1, 1) இல் \(\frac{dy}{dx}=-\frac{3+4}{3+10}\)
\(=-\frac{7}{13}\)

\(\left(x+\frac{1}{x^2}\right)^6 = 6 C_0 x^3+6 C_1 x^5\left(\frac{1}{x^2}\right)+6 C_2 x^4\left(\frac{1}{x^2}\right)+6 C_3 x^3\left(\frac{1}{x^2}\right)^3 +6 C_4 x^2\left(\frac{1}{x^2}\right)^4+6 C_5 x\left(\frac{1}{x^2}\right)^5+6 C_6\left(\frac{1}{x^2}\right)^6 \)
\(=x^6+6 x^3+15 x^4\left(\frac{1}{x^4}\right)+20 x^3\left(\frac{1}{x^6}\right)+15 x^2\left(\frac{1}{x^8}\right)+6 x\left(\frac{1}{x^{10}}\right)+\frac{1}{x^{12}}\)
\(=x^6+6 x^3+15+\frac{20}{x^3}+\frac{15}{x^6}+\frac{6}{x^9}+\frac{1}{x^{12}}\)

9x²+16y²+24xy+34x+112y+121 = 0

y = f(x) = x²- 5 என்க.
x க்கு சில உகந்த மதிப்புகளை தெரிவு செய்து y இன் மதிப்புகளை கணக்கிடுக.
இவ்வாறாக கீழ்கண்ட அட்டவணையை நாம் பெறுகிறோம்.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	4	-1	-4	-5	-4	-1	4

(-3, 4), (-2, -1), (-1, -4), (0, -5), (1, -4), (2, -1), (3, 4) ஆகிய புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து மென்மையான வளைவரையால் இணைக்கவும்.
f(x) இன் வரைபடமானது படத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

இங்கு N =5, \(\bar { X } =\frac { \Sigma X }{ N } =\frac { 15 }{ 5 } \)=3, \(\bar { Y } =\frac { \Sigma Y }{ N } =\frac { 25 }{ 5 } \)=5 மற்றும் தொடர்புப் போக்குக் கெழு
b_xy =\(\frac { N\Sigma XY-\Sigma X\Sigma Y }{ N\Sigma Y^{ 2 }-(\Sigma Y)^{ 2 } } =\frac { 5(83)-(15)(25) }{ 5(135)-(25)^{ 2 } } \)
Y-ன் மீது X-ன் தொடர்புப் போக்கு சமன்பாடு
\(X-\bar { X } ={ b }_{ xy }(Y-\bar { Y } )\)
X–3 = 0.8(Y–5 )
X = 0.8 Y–1
Y=12, எனும் பொழுது X-ன் மதிப்பீடு
X = 0.8 (12)–1=8.6
தொடர்புப் போக்குக் கெழு
b_yx =\(\frac { N\Sigma XY-\Sigma X\Sigma Y }{ N\Sigma X^{ 2 }-(\Sigma X)^{ 2 } } \)
=\(\frac { 5(83)-(15)(25) }{ 5(55)-(15)^{ 2 } } \)=0.8
இவ்வாறாக byx =0.8 எனில் X-ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு
\(Y-\bar { Y } ={ b }_{ xy }(X-\bar { X } )\)
Y–5 = 0.8(X–3)
Y = 0.8X + 2.6
X=8 எனும் பொழுது Y-ன் மதிப்பீடு
Y = 0.8(8)+2.6
Y = 9

Q₁ = 30, Q₃ = 70, Q_D = 20 , QD -ன் கெழு = 0.4

x என்பது ஒவ்வொரு பங்கிற்கும் தொகை முதலீடு என்க
முகமதிப்பு = ரூ.100 சந்தை மதிப்பு =ரூ.(89+1) = ரூ.90
பங்குகளின் எண்ணிக்கை = 
 =  \(\frac { x }{ 90 } \)
ஆண்டு வருமானம் = \(\frac { x }{ 90 } \times \frac { 10 }{ 100 } \times 100\)
=     \(\frac { x }{ 9 } \)                                 ..(1)
சந்தை மதிப்பு = ரூ.(90+1)= ரூ.91
பங்குகளின் எண்ணிக்கை = 
=  \(\frac { x }{ 91 } \)
ஆண்டு வருமானம் = \(\frac { x }{ 91 } \times \frac { 7 }{ 100 } \times 100\)
=   \(\frac { x }{ 13} \)                                  ...(2)
 \(\frac { x }{ 9 } \)- \(\frac { x }{ 13} \)=100 என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது 
x = ரூ.2925
∴ ஒவ்வொரு பங்கிலும் செய்யும் முதலீடு =ரூ.2925

\(\frac { 2 }{ 11 } \), \(\alpha +\beta \) முதல் காலப்பகுதியில் அமையும்.

நாம் 7 கொடிகளை ஏற்பாடு செய்ய வேண்டும், அதில் 3 ஒரு வகை மற்றும் மீதமுள்ள 2 வகைகள் ஒவ்வொன்றும் 2.
சிக்னல்களின் மொத்த எண்ணிக்கை \(=\frac { 7! }{ 3!2!2! } \)
= 210

\(A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right)\)
\(A^2=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{ll} 1-2 & -1-3 \\ 2+6 & -2+9 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{array}\right)\)
\(\mathrm{LHS}=A^2-4 A+5 l_2\)
\(=\left(\begin{array}{cc} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{array}\right)-4\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right)+5\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{cc} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 4 & -4 \\ 8 & 12 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{cc} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 1 & 4 \\ -8 & -7 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\)
\(=O=R H S\)
\(\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A\)
\(|A|=3+2=5 \neq 0\)
\(A^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{array}\right)\)
\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \)

\(A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{array}\right)\)
\(|A|=3(12-10)+1(-30+25)+1(30-30)\)
\(=6-5=1 \neq 0\)
A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{array}\right)\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right)\)
\(\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \)

தரவு \(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| =1-2=-1\neq 0\)
∴ A^-1 யைக் காணஇயலும்.
\(\left| B \right| =\left| \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| =0+1=1\neq 0\)
B^-1யைக் காணஇயலும்.
\(AB=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(AB=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \)
=-1≠0
AB^-1 யைக் காணஇயலும்.
\(adj(AB)=\left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(({ AB) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| AB \right| } adj(AB)\)
\(=\frac { 1 }{ -1 } \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right] ...(1)\)
\(adjA=\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| A \right| } adjA\)
\(=\frac { 1 }{ -1 } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \)
\(adjB=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \)
\({ B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| B \right| } adjB\)
\(=\frac { 1 }{ 1 } \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \)
\({ B }^{ -1 }{ A }^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right] ...(2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து (AB)^-1=B^-1A^-1 ஆகும்

\(\left|\begin{array}{cc} 20 & 15 \\ 15 & 5 \end{array}\right|=5 \times 5\left|\begin{array}{ll} 4 & 3 \\ 3 & 1 \end{array}\right|\)
\(=5 \times 5 \times-5\)
\(=-125\)

\(n P_r =720(\mathrm{nCr}) \)
\(\frac{n !}{(n-r) !} =720\left(\frac{n !}{r !(n-r) !}\right) \)
\(r ! =720 \)
\(r ! =6 ! \)
r = 6