11th Public Exam March 2019 Important 5 Marks Questions

11ஆம் வகுப்பு Business Maths and Statistics / வணிகக் கணிதம் மற்றும் புள்ளியியல் தமிழ் மீடியம் | மாதிரி வினாத்தாள்கள் | முக்கிய வினாக்கள் | கேள்வி விடை தொகுப்பு | வினாத்தாள்கள் | பொதுத்தேர்வு மாதிரி வினாத்தாள்கள் , Business Maths and Statistics / வணிகக் கணிதம் மற்றும் புள்ளியியல் பாடத்திற்கான மாதிரி வினாத்தாள்கள், முக்கிய கேள்வி-விடைகள், ஒருமார்க் கேள்விகள், காலாண்டு & பொதுத்தேர்வு கேள்வித் தொகுப்புகள்

Questions:

Generic 3

6 x 3 = 18

ஒரு இல்லத்தரசி F₁ மற்றும் F₂ என்ற இரண்டு வகையான உணவுகளைக் குறைந்த பட்சம் 6 அலகுகள் வைட்டமின் A மற்றும் 9 அலகுகள் வைட்டமின் B உள்ள கலவையாக அமைக்க விரும்புகிறார். F₁ வகை உணவில் ஒரு கிலோவிற்கு 4 அலகு வைட்டமின் A யையும் மற்றும் 6 அலகு வைட்டமின் B யையும் உள்ளடக்கியுள்ளது. F₂ என்ற உணவில் ஒரு கிலோவிற்கு 5 அலகு வைட்டமின் A யையும் மற்றும் 2 அலகு வைட்டமின் Bயையும் உள்ளடக்கியுள்ளது. இந்த கலவையின் விலையைக் குறைக்கும் விதத்தில் மேற்கண்டவற்றை நேரியல் திட்டமிடல் கணக்காக அமைக்கவும்.

ஒட்டுறவுக்கெழு பகுப்பாய்வின் இரு தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடுகளாவன 2X=8–3Y மற்றும் 2Y=5–X ஆகும். தொடர்பு போக்குக் கெழுக்கள் மற்றும் ஒட்டுறவுக் கெழு ஆகியவற்றைக் காண்க.

கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் 1+2+3+...+n=\(\frac{n(n+1)}{2} \),(அனைத்து n∈N) என நிறுவுக.

cos 20⁰ cos 40⁰ cos60⁰ cos80⁰ = \(\frac { 1 }{ 16 } \) என நிறுவுக

f(x) = a^x, a≠1 மற்றும் a > 0 க்கு வரைபடம் வரைக.

\(\left| \begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 0 \end{matrix} \right| \)என்ற அணிக்கோவையின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் சிற்றணிக்கோவை மற்றும் இணைக்காரணிகள் காண்க.

Generic 5

23 x 5 = 115

ஒரு திட்டத்தின் கால அட்டவணை பின்வருமாறு

செயல்	1-2	2-3	2-4	3-5	4-6	5-6
கால அளவு (நாட்களில்)	6	8	4	9	2	7

இதற்கான வலையமைப்பை வரைக. மேலும் எல்லா திட்ட செயலுக்கும் முந்தைய தொடக்க காலம் (EST), முந்தைய முடிவு காலம் (EFT), சமீபத்திய தொடக்க காலம் (LST) மற்றும் சமீபத்திய முடிவு காலம் (LFT) காண்க. தீர்வுக்கு உகந்த பாதையையும், திட்டம் முடிவடைய ஆகும் காலத்தையும் காண்க

x₁ + 2x₂ \(\ge \) 10; 3x₁ + 4x₂ \(\le \) 24 மற்றும் x₁ \(\ge \) 0, x₂ \(\ge \) 0 என்ற கட்டுப்பாடுகளுக்கு இணங்க Z = 200x₁ + 500x₂ - ன் சிறும மதிப்பைக் காண்க.

ஒரு கட்டுமானத் திட்டத்தின் செயல்கள் மற்றும் அது தொடர்பான தகவல்கள் கீழ்க்காணும் அட்டவணையில் தரப்பட்டுள்ளது.

செயல்	1-2	1-3	2-3	2-4	3-4	4-5
கால அளவு (வாரங்களில்)	22	27	12	14	6	12

இதற்கான வலையமைப்பை வரைக. மேலும் எல்லா திட்ட செயலுக்கும் முந்தைய தொடக்க காலம் (EST), முந்தைய முடிவு காலம்(EFT), சமீபத்திய தொடக்க காலம் (LST) மற்றும் சமீபத்திய முடிவு காலம் (LFT) காண்க. தீர்வுக்கு உகந்த பாதையையும்திட்டம் முடிவடைய ஆகும் காலத்தையும் காண்க.

10.

கீழே தரப்பட்டுள்ள தகவல்களுக்கு வலையமைப்பை வரைக. மேலும் எல்லா திட்ட செயலுக்கும் முந்தைய தொடக்க காலம் (EST), முந்தைய முடிவு காலம் (EFT), சமீபத்திய தொடக்க காலம் (LST) மற்றும் சமீபத்திய முடிவு காலம் (LFT) காண்க. தீர்வுக்கு உகந்த பாதையையும், திட்டம் முடிவடைய ஆகும் காலத்தையும் காண்க.

வேலை	1-2	1-3	2-4	3-4	3-5	4-5	4-6	5-6
காலம்	6	5	10	3	4	6	2	9

11.

கீழேக் கொடுக்கப்பட்டுள்ள எல்லா திட்ட செயலுக்கும் முந்தைய தொடக்க காலம் (EST), முந்தைய முடிவு காலம்(EFT), சமீபத்திய தொடக்க காலம் (LST) மற்றும் சமீபத்திய முடிவு காலம் (LFT) காண்க. தீர்வுக்கு உகந்த பாதையையும், திட்டம் முடிவடைய ஆகும் காலத்தையும் காண்க.

செயல்	1-2	1-3	1-5	2-3	2-4	3-4	3-5	3-6	4-6	5-6
காலம்(வாரங்களில்)	8	7	12	4	10	3	5	10	7	4

12.

மாறிகள் X, Y-ன் சராசரிகளையும் அவற்றிக்கிடையேயான ஒட்டுறவுக் கெழுவையும் கீழேக் கொடுக்கப்பட்டுள்ள இரு தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடுகளிலிருந்து காண்க.
4X–5Y+33 = 0
20X–9Y–107 = 0

13.

தந்தையர் மற்றும் அவர்தம் மகன்களின் உயரங்கள் (செ.மீ-ல்) கீழேக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

தந்தையின் உயரம்:	158	166	163	165	167	170	167	172	177	181
அவர்தம் மகனின் உயரம்	163	158	167	170	160	180	170	175	172	175

இவற்றிக்கான தொடர்புப் போக்குக் கோடுகளைக் காண்க. மேலும் தந்தையின் உயரம் 164 செ.மீ எனும்போது மகனின் உயரத்தை மதிப்பிடுக.

14.

பின்வரும் விவரங்களுக்கு இடைநிலையைப் பொறுத்து சராசரி விலக்கத்தைக் காண்க.

மதிப்பு	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
அலைவெண்	6	7	15	16	4	2

15.

முதல் பையில் 3 சிவப்பு மற்றும் 4 கருப்பு நிறப்பந்துகளும் இரண்டாம் பையில் 5 சிவப்பு மற்றும் 6 கருப்பு நிறப்பந்துகளும் உள்ளன. ஒரு பந்து சமவாய்ப்பு முறையில் ஏதேனும் ஒரு பையிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டு அது சிவப்பு எனக் கண்டறியப்படுகிறது. அது முதலாம் பையிலிருந்து தேந்தெடுக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

16.

கீழ்க்காணும் விவரங்களுக்கு மேல்கால்மானங்கள், கீழ்கால்மானங்கள், D4 மற்றும் P60 P75 ஆகியவற்றைக் காண்க.

இடைவெளி	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
அலைவெண்	12	19	5	10	9	6	6

17.

என்க. ஆய்லரின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி \(x.\frac { \partial u }{ \partial x } +y.\frac { \partial u }{ \partial y } \)=3 எனக் காட்டுக

18.

p = 50-3x என்ற தேவை விதியைக் கொண்டு தேவை நெகிழ்ச்சி,சராசரி வருவாய் மற்றும் இறுதிநிலை வருவாய்க்கு இடையேயுள்ள தொடர்பினைச் சரிபார்

19.

\(\tan { \alpha } =\frac { 1 }{ 7 } ,\sin { \beta } =\frac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \) எனில் \(\alpha +2\beta =\frac { \pi }{ 4 } \) , ( \(0<\alpha <\frac { \pi }{ 2 } \)மற்றும் \(0<\beta <\frac { \pi }{ 2 } \)) என நிறுவுக

20.

y = sin (log x) எனில், x²y₂+xy₁+y = 0 எனக் காட்டுக

21.

\(A=\left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)ன் நேர்மாறு காண்க

22.

x-y+2 =0 என்ற இயக்குவரையும் (1,3) என்ற குவியத்தையும் உடைய பரவளையத்தின் சமன்பாடு காண்க

23.

நிறுவுக: \(\frac { \sin { \left( { 180 }^{ o }+A \right) } \cos { \left( { 90 }^{ o }-A \right) } \tan { \left( { 270 }^{ o }-A \right) } }{ \sin { \left( { 540 }^{ o }-A \right) } \cos { \left( { 360 }^{ o }+A \right) } \csc { \left( { 270 }^{ o }+A \right) } } =-\sin { A } \cos ^{ 2 }{ A } \)

24.

மூன்று எண்களின் கூடுதல் 20. முதல் எண்ணை 2 ஆல் பெருக்கி, இரண்டாவது எண்ணைக் கூட்டி, மூன்றாவது எண்ணைக் கழிக்க, கிடைக்கும் மதிப்பு 23 ஆகும். முதல் எண்ணை மூன்றால் பெருக்கி வரும் மதிப்புடன் இரண்டு மற்றும் மூன்றாம் எண்களைக் கூட்ட கிடைக்கும் மதிப்பு 46 எனில் அந்த எண்களை நேர்மாறு அணிமுறையில் காண்க.

25.

நேர்மாறு அணி முறையில் தீர்க்க : 3x-2y+3z=8; 2x+y-z=1; 4x-3y+2z=4

26.

ax²+5xy-6y²+12x+5y+c = 0 என்ற சமன்பாட்டால் குறிக்கப்படும் நேர்க்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில் a மற்றும் c--ன் மதிப்புகளைக் காண்க

27.

\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & 4 \\ 2 & 5 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{matrix} \right] \) எனில் A^-1 காண்க.

28.

கீழ்காணும் பின்னங்களை பகுதி பின்னங்களாக மாற்றுக:\(\frac{x-2}{(x+2)(x-1)^2}\)

29.

\(\frac{x+4}{({x}^{2}-4)(x+1)}\)ஐ பகுதி பின்னங்களாக மாற்றுக.

Generic 2

1 x 2 = 2

30.

\(\cos { A } =\frac { 4 }{ 5 } \) மற்றும் \(\cos { B } =\frac { 12 }{ 13 } \) \(,\frac { 3\pi }{ 2 }\) , எனில் \(\sin { \left( A-B \right) } \) ஆகியவற்றின் மதிப்பு காண்க

Visit QB365-SLMS - https://www.qb365.in/slms/

Answers Key:

Generic 3

6 x 3 = 18

(i) மாறிகள்:
(ii) கலவையில் F₁ உணவு x₁ கி.கி மற்றும் F₂ உணவு x₂ கி.கி உள்ளது என்க.
(iii) குறிக்கோள் சார்பு: x₁ கி.கி F₁ உணவின் விலை = 50 x₁
x₂ கி.கி F₂ உணவின் விலை = 70x₂
விலையானது சிறுமமாக்கப்பட வேண்டும்.
எனவே Z = 50x₁ + 70x₂ - ஐ மீச்சிறிதாக்குக.
(iv) கட்டுப்பாடுகள்:
கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களிலிருந்து நாம் பின்வரும் அட்டவணையை அமைப்போம்

வளங்கள்	உணவு (கிகி)		தேவை
வளங்கள்	F₁ (x₁)	F₂(x₂)	தேவை
வைட்டமின் A (அலகுகள் / கிகி)	4	5	6
வைட்டமின் B (அலகுகள் / கிகி)	6	3	9
விலை (ரூ/கிகி)	50	70

4 x₁ + 5x₂ \(\ge \) 6
6x₁ + 3x₂ \(\ge \) 9
மற்றும் x₁, x2 \(\ge \) 0 என்ற கட்டுப்பாடுகளுக்கு இணங்க
Z = 50 x₁ + 70x₂ - ன் மீச்சிறு மதிப்பைக் காண்க.

\(\bar { X } \)=13; \(\bar { Y}\)=17 மற்றும் r =0.6

P(n) என்ற கூற்று கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்பக்கப்படுகிறது
n∈N க்கு P(n)= 1+2+3+...+n=\(\frac{n(n+1)}{2} \) என்க.
படி 1: n =1 என பிரதியிடவும்
P(1) ன் LHS = 1
P(1) ன் RHS = \(\frac{1(1+1)}{2} \)=1
LHS = RHS
∴ P(1) என்பது உண்மையாகும்.
படி 2: n = k என்பதற்கு மேற்கண்டகூற்று உண்மை என்க.
i.e., P(k) என்பது உண்மையாகும்
P(k) = 1 + 2 + 3+… + k = \(\frac{k(k+1)}{2} \) என்பது உண்மையாகும்.
படி 3: P(k + 1) என்பது உண்மையென நிரூபிக்க
LHS = P(k + 1) = 1+2+3+……….+k+(k+1)
= P(k) + k +1
=\(\frac{k(k+1)}{2} \)+k+1
=\(\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} \)=\(\frac{(k+1)(k+2)}{2} \)=RHS
∴ P(k +1) என்பது உண்மையாகும்
இவ்வாறாக P(k) என்பது உண்மையெனில் P(k +1) என்பது உண்மையாகும்.
∴ P(n) என்பது அனைத்து n∈N க்கும் உண்மையாகும்.
ஆகவே 1+ 2 + 3 +… +n = \(\frac{n(n+1)}{2} \),n∈N என்ற கூற்று உண்மையாகும்.

f(x) இன் சார்பகம் R மற்றும் வீச்சகம் (0, ∞) மேலும் இதன் வளைவரையானது (0, 1) இன் வழிச் செல்லும் என்பதை நாம் அறிவோம்.
வகை (i) a > 1 எனில்
y = f(x) = ax
\(=\begin{cases}<1,x<0 \\=1,x=0\\>1,x>0 \end{cases}\)
இங்கு x இன் மதிப்பு அதிகரிக்கும் போது, y இன் மதிப்பு அதிகரிக்கிறது. மற்றும் y > 0 ஆகும்.

வகை (ii) 0 < a < 1 எனில்
y = f(x) = a^x= \(\begin{cases}>1,x<0 \\ =1,x=0\\<1,x>0 \end{cases}\)
இங்கு x ன் மதிப்பு அதிகரிக்கும்போது y ன் மதிப்பு குறைகிறது. மற்றும் y > 0 ஆகும்.

3 இன் சிற்றணிக்கோவை M₁₁=\(\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-5=-5
1 இன் சிற்றணிக்கோவை M₁₂ =\(\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-20=-20
2 இன் சிற்றணிக்கோவை M₁₃ =\(\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \)=2-8=-6
2 இன் சிற்றணிக்கோவை M₂₁ =\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-2=-2
2 இன் சிற்றணிக்கோவை M₂₂ =\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-8=-8
5 இன் சிற்றணிக்கோவை M₂₃ = \(\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right|\)=3-4=-1
4 இன் சிற்றணிக்கோவை M₃₁ = \(\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| \)=5-4=1
1 இன் சிற்றணிக்கோவை M₃₂ = \(\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| \)=15-4=11
0 இன் சிற்றணிக்கோவை M₃₃ =\(\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right| \)=6-2=4
3 இன் இணைக்காரணி A₁₁=(-1)¹⁺¹M₁₁=M₁₁=-5
1 இன் இணைக்காரணி A₁₂ =(-1)¹⁺² M₁₂=-M₁₂=20
2 இன் இணைக்காரணி A₁₃ =(-1)¹⁺³M₁₃=M₁₃=-6
2 இன் இணைக்காரணி A₂₁ =(-1)²⁺¹M₂₁=-M₂₁=2
2 இன் இணைக்காரணி A₂₂=(-1)²⁺²M₂₂=M₂₂=-8
5 இன் இணைக்காரணி A₂₃ =(-1)²⁺³M₂₃=-M₂₃=1
4 இன் இணைக்காரணி A₃₁ =(-1)³⁺¹M₃₁=M₃₁=1
1 இன் இணைக்காரணி A₃₂ =(-1)³⁺²M₃₂=-M₃₂=-11
0 இன் இணைக்காரணி A₃₃=(-1)³⁺³M₃₃=M₃₃=4

Generic 5

23 x 5 = 115

தீர்வுக்கு உகந்த பாதை 1-2-3-5-6 மற்றும் திட்டம் நிறைவு செய்யும் காலம் 30 நாட்கள்

x₁ = 4; x₂ = 3 மற்றும் Z_min= 2300

தீர்வுக்கு உகந்த பாதை 1-2-3-4-5 மற்றும் திட்டம் நிறைவு செய்யும் காலம் 52 நாட்கள்

10.

தீர்வுக்கு உகந்த பாதை 1-2-4-5-6 மற்றும் மொத்தக் கால அளவு 31 நாட்கள்

11.

செயல்	காலம்(வாரங்களில்)	EST	EFT	LST	LFT
1-2	8	0	8	0	8
1-3	7	0	7	8	15
1-5	12	0	12	9	21
2-3	4	8	12	11	15
2-4	10	8	18	8	18
3-4	3	12	15	15	18
3-5	5	12	17	16	21
3-6	10	12	22	15	25
4-6	7	18	25	18	25
5-6	4	17	21	21	25

தீர்வுக்கு உகந்த பாதை 1-2-4-6 மற்றும் திட்டம் நிறைவு செய்யும் காலம் 25 வாரங்கள்

12.

4X–5Y+33 = 0 ... (1)
20X–9Y–107 = 0 ...(2) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க.
நாம் பெறுவது Y = 17
Y-ன் மதிப்பை சமன்பாடு (1)-ல் பிரதியிட,
நாம் பெறுவது X =13
எனவே \(\bar { X } \)=13 மற்றும் \(\bar { Y } \)=17
ஒட்டுறவுக் கெழுவைக் கணக்கிடுதல்
சமன்பாடு (1) என்பதனை Y ன் மீது X ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு என்க.
4X =5Y–33
X =\(\frac{1}{4}\)(5Y–33)
X =\(\frac{5}{4}\)Y-\(\frac{33}{4}\)
b_xy =\(\frac{5}{4}\)=1.25
சமன்பாடு (2) என்பதனை X-ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு என்க.
9X =20X–107
Y=\(\frac{1}{9}\)(20X–107)
Y =\(\frac{20}{9}\)X -\(\frac{107}{9}\)
b_yx =\(\frac{20}{9}\)=2.22
ஆனால் இது சாத்தியமல்ல ஏனெனில் இரண்டு தொடர்புப் போக்குக் கெழுக்களின் மதிப்புமே, ஒன்றை விட பெரியதாக இருக்கிறது. எனவே நம்முடைய மேற்கண்ட அனுமானம் தவறு. எனவே சமன்பாடு (1) என்பதனை X -ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு எனவும் மற்றும் சமன்பாடு (2) என்பதனை Y ன் மீது X ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு எனவும் கருதவும். ஆதலால் நாம் பெறுவது
b_yx =\(\frac{4}{5}\)=0.8
மற்றும் b_xy =\(\frac{9}{20}\)=0.45
ஒட்டுறவுக் கெழு r =\(\pm \sqrt { b_{ xy }\times { b }_{ xy } } \)
r=\(\sqrt { 0.45\times 0.8 } \)=0.6

13.

Y=0.6102X + 66.12; X=0.556Y + 74.62 மக னின் உயரம் = 166.19

14.

இடை நிலை =28, MD = 10.16

15.

35/68

16.

இடைவெளி Cl	அலைவெண் f	குவிவு அலைவெண் cf
10-20	12	12
20-30	19	31
30-40	5	36
40-50	10	46
50-60	9	55
60-70	6	61
70-80	6	N=67
	N=67

Q₁=\(\left( \frac { N }{ 4 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =\(\frac{67}{4}\)=16.75 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு. எனவே Q₁ ஆனது (20-30) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது மற்றும் அதன் தொடர்புடைய மதிப்புகள்
L=20; \(\frac{N}{4}\)=16.75; pcf=12; f=19; c=10 ஆகும்.
Q₁=L\(\left( \frac { \frac { N }{ 4 } -cf }{ f } \right) \times c\)
Q₁=20+\(\left( \frac { 16.75-12 }{ 19 } \right) \times 10\) =20+2.5 =22.5
Q₃=\(\left( \frac { 3N }{ 4 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =50.25 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு
Q₃ ஆனது (50-60) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது மற்றும் அதன் தொடர்புடைய மதிப்புகள்
L=50, \(\left( \frac { 3N }{ 4 } \right) \) =50.25; pcf=46, f=9, c=10
Q₃=L+\(\left( \frac { \frac { 3N }{ 4 } -pcf }{ f } \right) \times c\)
Q₃=50+\(\left( \frac { 50.25-25 }{ 9 } \right) \times 10\)=54.72
D₄=L+\(\left( \frac { \frac { 4N }{ 10 } -pcf }{ f } \right) \times c\)
D₄=\(\left( \frac { 4N }{ 10 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =26.8 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு D₄ ஆனது (20-30) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது மற்றும் அதன் தொடர்புடைய மதிப்புகள்
L =20, \(\frac{4N}{10}\)=26.8; pcf=12, f=19, c=10
D₄=20+\(\left( \frac { 26.8-12 }{ 19 } \right) \times 10\)
=27.79
P₇₅=\(\left( \frac { 75N }{ 100 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =50.25 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு P₇₅ (20-30) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது மற்றும் அதன் தொடர்புடைய மதிப்புகள்
L=50; \(\frac { 75N }{ 100 } \)=50.25; pcf=46, f=9, c=10
P₇₅=L+\(\left( \frac { \frac { 75N }{ 100 } -pcf }{ f } \right) \times c\)
=\(50+\left( \frac { 50.25-46 }{ 9 } \right) \times 10\)
=54.72

17.

\(u=log\frac { { x }^{ 4 }+y^{ 4 } }{ x+y } \)
\({ e }^{ u }=\frac { { x }^{ 4 }+y^{ 4 } }{ x+y } =f(x,y)\) ...(1)
f(x,y) =\(\frac { { x }^{ 4 }+y^{ 4 } }{ x+y } \) என்பதை எடுத்துக்கொள்வோம்
f(tx,ty) = \(\frac { { t }^{ 4 }{ x }^{ 4 }+{ t }^{ 4 }{ y }^{ 4 } }{ tx+ty } ={ t }^{ 3 }\left( \frac { { x }^{ 4 }+{ y }^{ 4 } }{ x+y } \right) ={ t }^{ 3 }f(x,y)\)
∴ f என்ற சமப்படித்தான சார்பின் படி 3 ஆகும்
ஆய்லரின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த \(x.\frac { \partial u }{ \partial x } +y.\frac { \partial u }{ \partial y } \)=3f
f(x,y) = e^u என்பதை எடுத்துக்கொள்வோம்
\(x.\frac { \partial { e }^{ u } }{ \partial x } +y.\frac { \partial { e }^{ u } }{ \partial y } ={ 3e }^{ u }\)
∴ \({ e }^{ u }x.\frac { \partial u }{ \partial x } +{ e }^{ u }y.\frac { \partial u }{ \partial y } ={ 3e }^{ u }\)
\(x.\frac { \partial u }{ \partial x } +y.\frac { \partial u }{ \partial y } =3\)

18.

p = 50 - 3x
\(\frac { dp }{ dx } =-3\)
∴ \(\frac { dx }{ dp } =-\frac { 1 }{ 3 } \)
தேவை நெகிழ்ச்சி \(\eta _{ d }=-\frac { p }{ x } .\frac { dx }{ dp } \)
= \(-\frac { 50-3x }{ x } \left( -\frac { 1 }{ 3 } \right) \)
=\(\frac { 50-3x }{ 3x } \) .......(1)
இப்போது வருவாய் R = px
= (50-3x) x
= 50x-3x²
சராசரி வருவாய் AR=p
= 50-3x
இறுதிநிலை வருவாய் MR=\(\frac { dR }{ dx } \)
= 50-6x
∴ \(\frac { AR }{ AR-MR } =\frac { 50-3x }{ (50-3x)-(50-6x) } \)
=\(\frac { 50-3x }{ 3x } \) ..(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து நாம் பெறுவது
\(\eta _{ d }=\frac { AR }{ AR-MR } \)
எனவே சரி,பார்க்கப்பட்டது

19.

20.

21.

\(A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{array}\right)\)
\(|A|=3(12-10)+1(-30+25)+1(30-30)\)
\(=6-5=1 \neq 0\)
A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{array}\right)\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right)\)
\(\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \)

22.

கணக்கின்படி குவியம் F (1, 3) மற்றும் இயக்குவரை x-y+2 = 0
x-y+2 = 0
P(x,y) என்பது பரவளையத்தின் மீதுள்ள புள்ளி என்க பரவளையத்தின் வரையறைப்படி
\(\frac { FP }{ PM } \) = 1
FP = PM
FP² = (x-1)²+(y-3)²
=x²-2x+1+y²-6y+9
PM = \(\pm \frac { (x-y+2) }{ \sqrt { 1+1 } } \)
= \(\pm \frac { (x-y+2) }{ \sqrt { 2 } } \)
PM² = \(\frac { (x-y+2)^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+4-2xy-4y+4x }{ 2 } \)
FP² = PM²
2x²+2y²-4x-12y+20 = x²+y²-2xy-4y+4x+4
பரவளையத்தின் தேவையான சமன்பாடு
⇒ x²+y²+2xy-8x-8y+16 =0

23.

24.

x + y + z = 20
2x + y - z = 23
3x+ y + z = 46
\(\begin{bmatrix} 1&1&1\\2&1&-1\\3&1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 20\\23\\46 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow\) \(A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B\)
\(A=\begin{bmatrix} 1&1& 1\\2&1&-1\\3&1&1 \end{bmatrix},X=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 20\\23\\46 \end{bmatrix}\)
= 1 ( 1 + 1 ) - 1 ( 2 + 3 ) + 1 ( 2 - 3)
= 2 - 5 - 1 = 2 - 6 = - 4 \(\neq \) 0
\(\therefore\) A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -5 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \end{array}\right)\)
\(\therefore{A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{-1}\over{4}}\begin{bmatrix} 2&0&-2\\-5&-2&3\\-1&2&-1 \end{bmatrix}\)
\(X={A}^{-1}B={{-1}\over{4}}\begin{bmatrix}2&0&-2\\5&-2&3\\-1&2&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 20\\23\\46 \end{bmatrix}\)
\(= \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix},={{-1}\over{4}}\begin{bmatrix} 40+0-92\\-100-46+138\\-20+46-46 \end{bmatrix}={{-1}\over{4}}\begin{bmatrix} -5\\-8\\-20 \end{bmatrix}\)
\(X=\begin{bmatrix} 13\\2\\5 \end{bmatrix}\)
\(x=13, y=2, z=5\)

25.

தரவு = \(\left[ \begin{matrix} 3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
இதனை AX = B என்று எழுதலாம்
X = A^–1B
இங்கு \(A=\left[ \begin{matrix} 3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \)மற்றும்\( B=\left[ \begin{matrix} 8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=\left[ \begin{matrix} 3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
=-17≠0
A^–1 யைக் காணஇயலும்.
A₁₁ = –1 A₁₂ = –8 A₁₃= –10
A₂₁ = –5 A₂₂ = –6 A₂₃ = 1
A₃₁ = –1 A₃₂ = 9 A₃₃ = 7
\(|A_ij|=\left[ \begin{matrix} -1 & -8 & -10 \\ -5 & -6 & 1 \\ -1 & 9 & 7 \end{matrix} \right] \)
adj A = [Aij]^T
\(\left[ \begin{matrix} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{matrix} \right] \)
A^–1=\(\frac{1}{|A|}adjA\)
\(=-\frac{1}{17}\left[ \begin{matrix} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{matrix} \right] \)
X=A^-1B
\(=-\frac{1}{17}\left[ \begin{matrix} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{matrix} \right] \)\(\left[ \begin{matrix} 8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
\(=-\frac{1}{17}\left[ \begin{matrix} -17 \\ -34 \\ -51 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\3 \end{matrix} \right] \)
\(\left[ \begin{matrix}x\\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right] \)
x = 1, y = 2 மற்றும் z = 3.

26.

a = 6, c =6

27.

\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 2 & 4 & 4 \\ 2 & 5 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{matrix} \right| =2\left| \begin{matrix} 5 & 4 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| \)
=2(15-20)-4(6-8)+4(10-10)
=2(-5)-4(-2)+4(0)
=-10+8+0=-2≠0
A என்பது பூச்சியமற்ற கோவை அணி ஆகையால்,A^-1யைக் காணஇயலும்
A₁₁=-5; A₂₁=8;A₃₁=-4
A₁₂=2; A₂₂=-2; A₃₂=0
A₁₃=0; A₂₃=-2; A₃₃=2
\(\left[ { A }_{ ij } \right] =\left[ \begin{matrix} -5 & 2 & 0 \\ 8 & -2 & -2 \\ -4 & 0 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(adj\quad A=\left[ \begin{matrix} -5 & 8 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| A \right| } adj\quad A=\frac { 1 }{ -2 } \left[ \begin{matrix} -5 & 8 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} \frac { 5 }{ 2 } & -4 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \)

28.

\({{x-2}\over{(x+2){(x-1)}^{2}}}={{A}\over{x+2}}+{{B}\over{x-1}}+{{C}\over{{(x-1)}^{2}}}\)
\(\frac{x-2}{(x+2)(x-1)^2}=\frac{A(x-1)^2+B(x+2)(x-1)+C(x+2)}{(x+2)(x-1)^2}\)
X - 2 = A(x - 1)²+ B(x +2)(x - 1)+ C(x + 2) ..(1)
x = -2 ன் (1)
-2 - 2 = A (-3)2 \(\Rightarrow\) - 4 = 9 A \(\Rightarrow\) A = \({{-4}\over{9}}\)
x = 1 ன் (1)
1- 2 = C(1 + 2) \(\Rightarrow\) -1 = 3C \(\Rightarrow\) C = \({{-1}\over{3}}\)
0 = A + B
\(B=-A=\frac{4}{9}\)
\(\therefore\) \({{x-2}\over{(x+1){(x-1)}^{2}}}-{{-{{4}\over{9}}}\over{x+2}}+{{{{4}\over{9}}}\over{x-1}}+{{-{{1}\over{3}}}\over{{(x-1)}^{2}}}+{{-4}\over{9(x+2)}}+{{4}\over{9(x-1)}}-{{1}\over{3{(x+1)}^{2}}}\)

29.

பகுதியை ஒரு படிகாரணிகளின் பெருக்கங்களாக எழுதுக
(x² - 4)(x + 1)=(x - 2)(x + 2)(x + 1)
\(\frac{x+1}{({x}^{2}-4)(x+1}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+2)}+\frac{C}{(x+1)}\)என்க .....(1)
இரு புறமும் (x–2)(x+2)(x+1) ஆல் பெருக்க
x + 4 = A(x + 2)(x + 1)+ B(x - 2)(x + 1)+ C(x - 2)(x + 2) .....(2)
x = –2 என (2) ல் பிரதியிட
-2 + 4 = A(0)+ B(-4)(-1)+ C(0)
\(B=\frac{1}{2}\)
x = 2 என (2) ல் பிரதியிட
2 + 4 = A(4)(3)+ B(0)+ C(0)
\(A=\frac{1}{2}\)
x = –1 என (2) ல் பிரதியிட
-1 + 4 = A(0)+ B(0)+ C(-3)(1)
C =-1
\(\frac{x+4}{({x}^{2}-4)(x+1)}=\frac{1}{2(x-2)}+\frac{1}{2(x+2)}+\frac{1}{(x+1)}\)