X என்பது விற்பனை மற்றும் Y என்பது விளம்பர செலவு என்க.
\(\bar { X } \)=40, \(\bar { Y } \)=6, σx=10, σய=1.5 மற்றும் r =0.9 என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
y ன் x மீது ன் தொடர்புப் போக்கு சமன்பாடு
\(X-\bar { X } =r\frac { { \sigma }_{ x } }{ { \sigma }_{ y } } (Y-\bar { Y } )\)
X-40=(0.9)\(\frac{10}{1.5}\)(Y–6)
X–40 = 6Y–36
X = 6Y
விளம்பரச் செலவு ரூ.10 கோடி அதாவது Y=10 எனில், விற்பனை X =6(10)+4=64 ஆகும்.

Σxy=120, Σx²=90, Σy²=640 என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
r =\(\frac { \Sigma xy }{ \sqrt { \Sigma x^{ 2 }\Sigma { y }^{ 2 } } } =\frac { 120 }{ \sqrt { 90(640) } } =\frac { 120 }{ \sqrt { 57600 } } =\frac { 120 }{ 240 } \)
∴ r=0.5

y = A sin x + B cos x
y₁ = A cos x – B sin x
y₂ = –A sin x –B cos x
y₂ = –y
y₂ + y = 0

x =10p-20p-p² 
 = -p²-20+10p+5-5
x-5 = -p²+10p-25
=-(p²-10p+25)
=  -(p-5)²
X= x-5 மற்றும் P =P-5 என்க.
X = -P² அதாவது P² =-X
இது கீழ்ப்புறம் திறப்புடைய பரவளையம்.
∴ மேலும் x =5 விலை P =5 அதாவது பரவளையத்தின் முனையில் விலை உச்சமாகும்

\({22 }°{ 30 }^{ \prime }\)

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்             3x-4y-13=0,8x-11y=33              ....(1)
                                                        8x-11y = 33                              .....(2)  
                                                        2x-3y-7= 0                               .....(3)
புள்ளி வழிக் கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு  \(\left| \begin{matrix} { a }_{ 1 } & b_{ 1 } & c_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & b_{ 2 } & c_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & b_{ 2 } & c_{ 3 } \end{matrix} \right| \) =0
\(\left| \begin{matrix} 3 & -4 & -13 \\ 8 & -11 & -33 \\ 2 & -3 & -7 \end{matrix} \right| \)    =3(77-99)+4(-56+66)-13(-24+22)
          = -66+40+26  = 0
⇒    கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு புள்ளி வழிக் கோடுகள் ஆகும்
ஒருங்கமைப் புள்ளியைக் காண
 சமன்பாடு  (1) \(\times\) 2  ⇒  6x-8y = 26
 சமன்பாடு  (3) \(\times\) 3  ⇒  6x-9y = 21
                                    ____________
                                        y =5
                                    ____________
y=5 எனும்பொழுது சமன்பாடு (2) லிருந்து 8x= 88
                    x =11
∴ ஒருங்கமைப் புள்ளி   (11.5)

\(\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ -1 & 4 \end{matrix} \right| \) = (2)(4)-(-1)4
= 8 + 4 = 12

\(\bar { X } =\frac { \Sigma X }{ N } =\frac { 338 }{ 7 } \)=48.29
\(\bar { Y } =\frac { \Sigma Y }{ N } =\frac { 361 }{ 7 } \)=5157
(i) X ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குக் கெழு
b_yx =\(\frac { N\Sigma dxdy-(\Sigma dx)(\Sigma dy) }{ N\Sigma dx^{ 2 }-(\Sigma dx)^{ 2 } } \)
=\(\frac { 7(732)-(2)(11) }{ 7(774)-(2)^{ 2 } } \)
=\(\frac { 5124-22 }{ 5418-4 } \)
=\(\frac { 5102 }{ 5414 } \)
=0.942
b_yx =0.942
(ii) X ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குக் சமன்பாடு
\(Y-\bar { Y } ={ b }_{ yx }(X-\bar { X } )\)
Y–51.57 = 0.942(X–48.29 )
Y = 0.942X – 45.49+51.57=0.942 x -45.49+51.57
Y = 0.942X + 6.08
∴ X -ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குக் சமன்பாடு Y=0.942X +6.08
எனும்பொழுது Y ன் மதிப்பீடு X =55
Y= 0.942(55)+6.08=57.89

முதலில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள கட்டுப்பாடுகளுக்கு இணங்க ஏற்புடைய பகுதியைக் காண்க.
இரண்டு பொதுவான தீர்மான மாறிகள் x₁ மற்றும் x₂ குறை குறியற்றவையாக (x₁, x₂ \(\ge \) 0) இருப்பதால் ஏற்புடையப் பகுதி காலமானப் பகுதியில் அமையும் அனைத்துக் கட்டுப்பாடுகளையும் சமன்பாடு வடிவில் எழுதுக.
x₁ + 4x₂ = 24
3x₁ + x₂ = 21
x₁ + x₂ = 9
x₁ + 4x₂ = 24 என்ற நேர்க்கோடானது (0, 6) மற்றும்  (24, 0) என்றப் புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும்.
[x₁ + 4x₂ = 24 இல் x₁ = 0 எனப் பிரதியிட x₂ = 6 எனக் கிடைக்கும்.
அதேபோல் x₂ = 0 எனப் பிரதியிட x₁ = 24 எனக் கிடைக்கும்.]
x₁ + 4x₂ = 24 என்ற கோட்டின் மீதோ அல்லது அதற்குக் கீழோ வரும் புள்ளிகள் x₁ + 4x₂ \(\le \) 24 கட்டுப்பாட்டைப் பூர்த்தி செய்யும்.
3x₁ + x₂ = 21 என்ற நேர்க்கோடானது (0, 21) மற்றும் (7, 0) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும்.
3x₁ + x₂ = 21 என்ற கோட்டின் மீதோ அல்லது அதற்குக் கீழோ வரும் புள்ளிகள் 3x₁ + x₂ \(\le \) 21 என்ற கட்டுப்பாட்டைப் பூர்த்தி செய்யும்.
x₁ + x₂ = 9 என்ற நேர்கோடானது (0, 9) மற்றும் (9, 0 ) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும். 
x₁ + x₂ = 9 என்ற கோட்டின்  மீதோ அல்லது அதற்குக் கீழோ வரும் புள்ளிகள் x₁ + x₂ \(\le \) 9 கட்டுப்பாட்டைப் பூர்த்தி செய்யும்.

கணக்கில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளக் கட்டுப்பாட்டிற்கிணங்க வரையப்பட்டுள்ளது. நிழலிடப்பட்ட OABCD என்ற பகுதியே தீர்வுச் பகுதியின் முனைப்புள்ளிகள் முறையே O(0,0) A(7,0); B(6,3) [x₁ + x₂ = 9 மற்றும் 3 x₁ + x₂ = 21 என்ற வெட்டும் புள்ளி B ஆகும்)];C(4,5) x₁ + x₂ = 9 மற்றும் x₁ + 4x₂ = 24] என்ற கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி C ஆகும்) D(0, 6).

குறிக்கோள் சார்பின் பெரும மதிப்பானது C என்ற புள்ளியில் கிடைக்கிறது. எனவே x₁ = 4, x₂ = 5, Z -ன் பெரும மதிப்பு = 33. 

0.727

Q₁=\(\left( \frac { N }{ 4 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =\(\left( \frac { 67 }{ 4 } \right) \)=16.75 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு எனவே Q1 ஆனது (20-30) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது.
L=20, \(\frac { N }{ 4 } \)=16.75; pcf=12, f=19, c=10
Q₁=L+\(\left( \frac { \frac { N }{ 4 } -pcf }{ f } \right) \times c\)
Q₁=20+\(\left( \frac { 16.75-12 }{ 19 } \right) \times 10\)=20+2.5=22.5
Q₃=\(\left( \frac { 3N }{ 4 } \right) \)ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =50.25 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு
எனவே Q₃ ஆனது (50-60) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது.
L=50, \(\frac { 3N }{ 4 } \)=50.25; pcf=46, f=9, c=10
Q₃=L+\(\left( \frac { \frac { 3N }{ 4 } -pcf }{ f } \right) \times c\)
Q₃=50+\(\left( \frac { 50.25-46 }{ 9 } \right) \times 10\)=20+2.5=22.5
QD =\(\frac{1}{2}\)(Q₃ – Q₁)
=\(\frac { 50.25-46 }{ 9 } \)=16.11
∴ QD=16.11

500 பங்குகள்,  ரூ.625

ரூ.13240, ரூ.36420, இயந்திரம் B வாங்கலாம்

\(x={1\over2}\)

f(x) = x²
\(L\left[ { f }^{ ' }\left( 1 \right) \right] =\underset { x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ lim } \frac { f\left( x \right) -f\left( 1 \right) }{ x-1 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f\left( 1-h \right) -f\left( 1 \right) }{ 1-h-1 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left( 1-h \right) ^{ 2 }-1 }{ -h } \)
\(=\ \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 1+{ h }^{ 2 }-2h-1 }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \left( -h+2 \right) \)
=2
\(R \left[ { f }^{ ' }\left( 1 \right) \right] =\underset { x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ lim } \frac { f\left( x \right) -f\left( 1 \right) }{ x-1 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f\left( 1+h \right) -f\left( 1 \right) }{ 1+h-1 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left( 1+h \right) ^{ 2 }-1 }{ h } \)
\(=\ \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 1+{ h }^{ 2 }+2h-1 }{ h } \)
\(=\ \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \left( h+2 \right) \)
=2
இங்கு, \(L\left[ { f }^{ ' }\left( 1 \right) \right] = R\left[ { f }^{ ' }\left( 1 \right) \right] \)
x = 1 இல் சார்பு f(x) ஆனது வகையிடத்தக்கது ஆகும். மேலும்
f^l(1) = 2.

B =\(\begin{bmatrix} 0.4 & 0.1 \\ 0.7 & 0.7 \end{bmatrix}\)
I - B =\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0.4 & 0.1 \\ 0.7 & 0.7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.6 & -0.1 \\ -0.7 & 0.3 \end{bmatrix}\)
|I - B| = \(\begin{bmatrix} 0.6 & -0.1 \\ -0.7 & 0.3 \end{bmatrix}\)
|I - B| = 0.18 - 0.07 = 0.11 > 0
\(\therefore \) ( I - B)^-1 = \(\frac { 1 }{ |I-B| } adj(I-B)=\frac { 1 }{ 0.11 } \begin{bmatrix} 0.3 & 0.1 \\ 0.7 & 0.6 \end{bmatrix}\)
இதனை  X = (I - B)^-1 D இங்கு D = \(\left[ \frac { 6.8 }{ 10.2 } \right] \)
X = \(\frac { 1 }{ 0.11 } \begin{bmatrix} 0.3 & 0.1 \\ 0.7 & 0.6 \end{bmatrix}\left[ \frac { 6.8 }{ 10.2 } \right] =\frac { 1 }{ 0.11 } \left[ \frac { 0.3\times6.8+0.1\times10.2 }{ 0.7\times6.8+0.6\times10.2 } \right] \)
=\(\frac { 1 }{ 0.11 } \left[ \frac { 2.04+1.02 }{ 4.76+6.12 } \right] =\frac { 1 }{ 0.11 } \left[ \frac { 3.06 }{ 10.88 } \right] =\left[ \frac { 27.81 }{ 98.90 } \right] \)
A = 250.36 டன்கள் B = 62.44 டன்கள்

11 விளையாட்டு வீரர்கள் அடங்கிய கிரிக்கெட்குழுவை கீழ்க்கண்ட வழிகளில் அமைக்கலாம்
(i) 3 பந்து வீச்சாளர்கள், 1 இலக்குநிலை காப்பாளர் மற்றும் 7 ஏனைய விளையாட்டு வீரர்கள் அடங்கிய குழு
4C₃ ×  2C₁ × 10C₇ வழிகளில் அமைக்கலாம்
4C₃ × 2C₁ × 10C₇ = 4C₁× 2C₁ ×10C₃
= 960 வழிகளில் அமைக்கலாம்
(ii) 3 பந்து வீச்சாளர்கள், 2 இலக்கு நிலை காப்பாளர்கள் மற்றும் 6 ஏனைய விளையாட்டு வீரர்கள் அடங்கிய குழு
4C₁× 2C₂×10C₆
4C₁× 2C₂ ×10C₆ = 4C₁ × 2C₂ ×10C₄
= 840 வழிகளில் அமைக்கலாம்
(iii) 4 பந்து வீச்சாளர்கள், 1 இலக்குநிலை காப்பாளர் மற்றும் 6 ஏனைய விளையாட்டு வீரர்கள் அடங்கிய குழு 4C₄ × 2C₁ × 10C₆
4C₄ × 2C₁ × 10C₄ = 420 வழிகளில் அமைக்கலாம்
(iv) 4 பந்து வீச்சாளர்கள், 2 இலக்குநிலை காப்பாளர் மற்றும் 5 ஏனைய விளையாட்டு வீரர்கள் அடங்கிய குழு
4C₄ × 2C₂ × 10C₅
4C₄ × 2C₂ × 10C₅ = 252 வழிகளில் அமைக்கலாம்.
கூட்டலின் எண்ணுதல் கொள்கைப்படி, கிரிக்கெட் குழுவை அமைக்கும் மொத்த  வழிகளின்
எண்ணிக்கை = 960+840+420+ 252
= 2472 வழிகள்.

\(A . A=I \left(\because \mathrm{AA}^{-1}=\mathrm{I}\right. and \left.\mathrm{A}^{-1}=\mathrm{A}\right)\)
\(A \cdot A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -2 \\ 4 & -3 & 4 \\ 4 & -4 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -2 \\ 4 & -3 & 4 \\ 4 & -4 & 5 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{ccc} 1+8-8 & -2-6+8 & 2+8-10 \\ -4-12+16 & 8+9-16 & -8-12+20 \\ -4-16+20 & 8+12-20 & -8-16+25 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=I\)
A இன் நேர்மாறு அணி A

LHS = \(\begin{vmatrix}-a^2&ab&ac\\ab&-b^2&bc\\ac&bc&-c^2 \end{vmatrix}\)
R1 ஐ a ஆல், R2 ஐ b ஆல், R3 ஐ முறையே பெருக்கி, abc ஆல் வகுக்கிறது,
LHS = \(abc\begin{vmatrix}-a&b&c\\a&-b&c\\a&b&-c \end{vmatrix}\)
LHS = \(a^2b^2c^2\begin{vmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1 \end{vmatrix}\)
\(R_2 \rightarrow R_2+R_1, R_3 \rightarrow R_3+R_1\)
\(=a^2b^2c^2\begin{vmatrix}0&0&2\\1&-1&1\\1&1&-1 \end{vmatrix}\)
\(=a^2 b^2 c^2[-1(0-4)]=4 a^2 b^2 c^2\)
= RHS.

X என்பது பாடம் 1 எனவும் மற்றும் Y என்பது பாடம் 2 எனவும் கருதவும்.

\({ \rho }=1-\frac { 6\Sigma { d }^{ 2 } }{ N(N^{ 2 }-1) } \)
\(\rho =1-\frac { 6(142) }{ 11(11^{ 2 }-1) } \)
\({ \rho }=1-\frac { 852 }{ 1320 } \)=0.354

(i) இங்கு இருவரும் கடக்கும் தூரம் மாறாதது. எனவே இங்கு இசைச்சராசரியைக் கொண்டு சராசரியைக் காண்பது பொருத்தமானது.
HM=\(\frac { n }{ \frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } } \)
=\(\frac { 2 }{ \frac { 1 }{ 40 } +\frac { 1 }{ 30 } } =\frac { 2 }{ \frac { 7 }{ 120 } } \)
=\(\frac { 2\times 120 }{ 7 } \)=34.3 கிமீ/லிட்டர்
(ii) இங்கு திரவ எரிபொருளின் பயன்பாடு நிலையானது. எனவே இங்கு கூட்டுச் சராசரியை கணக்கிடுவது மிகச் சரியான தீர்வு ஆகும்.

\(\vec { X } =\frac { 40\times 2+30\times 2 }{ 4 } \)=35
∴ எனவே, சராசரி வேகம் =35 கிமீ/லிட்டர்.

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

u = x²(y–x) + y² (x–y)
\(\frac { \partial u }{ \partial x } \) = 2xy–3x²+y²
 \(\frac { \partial u }{ \partial y } \)= x²+2xy –3y²
 \(\frac { \partial u }{ \partial x } +\frac { \partial u }{ \partial y } \) = –2x²–2y²+4xy
 = -2(x²+y²−2xy)
= -2(x-y)²

C=56-8x+x²
x-ஐ பொறுத்து வகையிட,
\(\frac { dC }{ dx } \) = -8+2x
\(\frac { d^{ 2 }C }{ dx^{ 2 } } \) = 2
\(\frac { dC }{ dx } \) ⇒ -8+2x=0
∴ x = 4
x = 4 எனில் \(\frac { { d }^{ 2 }C }{ { dx }^{ 2 } } \)= 2> 0
∴ x = 4-ல் C ஆனது பெருமத்தை அடைகிறது.
∴ உற்பத்தி செலவின் மீச்சிறு மதிப்பு C (4) = 56-32+16
= 40
மேலும் அதற்கான உற்பத்தி அளவு x= 4 அலகுகள்

\(x^{ sinx }\left[ \frac { sinx }{ x } +cosxlogx \right] \)

f(x) = x³ என்க.
f(x+h)=(x+h)³
\(\frac { d }{ dx } \left( f\left( x \right) \right) =\underset { h\rightarrow { 0 } }{ lim } \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow { 0 } }{ lim } \frac { \left( x+3 \right) ^{ 3 }-{ x }^{ 3 } }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow { 0 } }{ lim } \frac { 3{ x }^{ 2 }h+3xh^{ 2 }+{ h }^{ 3 } }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow { 0 } }{ lim } \left( 3{ x }^{ 2 }+3xh+{ h }^{ 2 } \right) \)
=3x²+3x(0)+(0)²
=3x²
\(\frac { d }{ dx } \left( { x }^{ 3 } \right) =3{ x }^{ 2 }\)

(101)⁵ = (100 + 1)⁵
= (100)⁵ + 5C₁ (100)⁴ + 5C₂ (100)³ + 5C₃ (100)² + 5C₄ (100) + 5C₅
= 10000000000+ 5(100000000) + 10(1000000) + 10(10000) + 5(100) + 1
= 10000000000 + 500000000 + 10000000 + 100000 + 500 + 1
= 10510100501

C(0,0)  , r = 4

MATHEMATICS என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துக்களின் எண்ணிக்கை = 11
M என்ற எழுத்து 2 முறையும்
T என்ற எழுத்து 2 முறையும்
A என்ற எழுத்து 2 முறையும் மீதமுள்ள எழுத்துக்கள் தலா ஒரு முறையும் இடம் பொறுகிறது.
எனவே அனைத்து எழுத்துக்களையும் பயன்படுத்தி அமைக்கப்படும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை =\(\frac{11!}{2!2!2!}\)

5C₀ + 5C₁ + 5C₂ + 5C₃ + 5C₄ + 5C₅ + (5C₁ + 5C₂ + 5C₃ + 5C₄)
= 2⁵ + (2⁵ - (5C₀ + 5C₅)
= 32 + 32 - (1 + 1)
= 64 - 2 = 2⁶ - 2