ஒட்டுறவுக் கெழு r =\(\frac { N\Sigma XY-(\Sigma X)(\Sigma Y) }{ \sqrt { N\Sigma { X }^{ 2 }-(\Sigma X)^{ 2 } } \sqrt { N\Sigma { Y }^{ 2 }-(\Sigma Y)^{ 2 } } } \)
=\(\frac { 9(597)-(45\times 108) }{ \sqrt { 9(285)-(45)^{ 2 }\times \sqrt { 9(1356)-(108^{ 2 }) } } } \)
r =+0.95

S = {1,2,3,4,5,6} என்பது கூறுவெளி என அறிகிறோம்.
இங்கு A = {3,6} ; B = { 2,4,6} எனவே (A\(\cap \)B) ={6}
P(A)=\(\frac { 2 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 3 } \)
P(B) =\(\frac { 3 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 2 } \)  மற்றும் P(A\(\cap \)B)=\(\frac{1}{6}\)
தெளிவாக, P(A\(\cap \)B) = P(A) P(B)
எனவே A மற்றும் B ஆகியவை சாரா நிகழ்வுகளாகும்.

x²e^x(x+3)

\(\tan { 2A } =\frac { 2\tan { A } }{ 1-\tan ^{ 2 }{ A } } \)
\(A={ 30 }^{ o }\) என பிரதியிட கிடைக்கப் பெறுவது
\(\tan { { 60 }^{ o } } =\frac { 2\tan { { 30 }^{ o } } }{ 1-\tan ^{ 2 }{ { 30 }^{ o } } } \)
\(=\frac { 2.\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } }{ 1-\frac { 1 }{ 3 } } =\frac { \frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } }{ \frac { 2 }{ 3 } } =\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \times \frac { 3 }{ 2 } \)
\(=\sqrt { 3 } \)

வட்டத்தின் சமன்பாடு (x-h)² + (y-k)² =r²
இங்கு (h,k) = (3,-1) மேலும் r =4
(x-3)² + (y+1)² =16
x²-6x+9+y²+2y+1 = 16
x²+y²-6x+2y-6 = 0

\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \)
\(\left[ { A }_{ ij } \right] =\left[ \begin{matrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
adj A = [Aij]^T
\(=\left[ \begin{matrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)
 

(i) மாறிகள்
(ii) x₁, x₂ முறையே மேசை மற்றும் நாற்காலிகளின் எண்ணிக்கை என்க.
(iii) குறிக்கோள் சார்பு
x₁ மேசைகளின் இலாபம் = 50 x₁
x₂ நாற்காலிகளின் இலாபம் = 15 x₁
மொத்த இலாபம் = 50 x₁ + 15x₂
இதனை Z=50x₁ + 15x₂, என எழுதலாம் மீப்பெரு இலாபம் பெற Z=50x₁ + 15x₂,-ஐ மீப்பெரிதாக்க வேண்டும்.
(iv) கட்டுப்பாடுகள்
வியாபாரியிடம் அதிக பட்சமாக 60 பொருள்களை வைப்பதற்கான இடவசதி உள்ளது.
x₁ + x₂ \(\le \) 60
x₁ மேசைகளின் விலை = ரூ 500 x₁
x₂ நாற்காலிகளின் விலை =ரூ 200 x₂
மொத்த விலை = 500x₁ + 200 x₂,
மொத்த விலை 10000க்கு மேல் இருக்கக் கூடாது.
500x₁ + 200 x₂ \(\le \) 10000
5x₁ + 2x₂ \(\le \) 100
(v) குறை குறியற்ற நிபந்தனைகள்:
மேசை மற்றும் நாற்காலிகளின் எண்ணிக்கை குறை குறியற்றவை என்பதால் x₁ \(\ge \) 0, x₂ \(\ge \)0 ஆகும்.
எனவே நேரியல் திட்டமிடல் கணக்கு (I.P.P) கீழ்க்கண்ட வடிவத்தைப் பெறுகிறது.
x₁ + x₂ \(\le \) 60
5x₁ + 2x₂ \(\le \) 100
x₁, x₂ \(\ge \)0 என்ற கட்டுப்பாடுகளுக்கு இணங்க,
Z=50x₁ + 15x₂ -ன் மீப்பெருமதிப்பைக் காண்க.

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

மதிப்பெண்கள்	m	f	log m	f log m
0.10	5	8	0.6990	5.5920
10-20	15	12	1.1761	14.1132
20-30	25	18	1.3979	25.1622
30-40	35	8	1.5441	12.3528
40-50	45	6	1.6532	9.9192
		N=52		Σf log m=67.1394

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

C(x) = 50+4x+3\(\sqrt {x}\)
இறுதிநிலைச் செலவு (MC) =\(\frac { dC }{ dx } =\frac { d }{ dx } \) [C(x)]
 =\(\frac { d }{ dx } \)[50+4x+3\(\sqrt {x}\)] =4+\(\frac { 3 }{ 2\sqrt { x } } \)
x =9 எனும்போது, \(\frac { dC }{ dx } =4+\frac { 3 }{ 2\sqrt { 9 } } \)
=4\(\frac { 1 }{ 2 } \)=ரூ.4.50
∴ 9 அலகுகள் உற்பத்திக்கான இறுதி நிலைச் செலவு ரூ.4.50

x³+y³=3axy 
இருபுறமும் x ஐ பொறுத்து வகைக்கெழு காண,
\(\frac{d}{dx}(x^{3}+y^{3})=\frac{d}{dx}(3axy)\)
\(3x^{2}+3y^{2}\frac{dy}{dx}=3a[x\frac{dy}{dx}+y]\)
\(x^{2}+y^{2}\frac{dy}{dx}=ax\frac{dy}{dx}+ay\)
\((y^{2}-ax)\frac{dy}{dx}=(ay-x^{2})\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{ay-x^{2}}{y^{2}-ax}\)

(x + a)ⁿ– ன் விரிவில் பொது உறுப்பு t_r+1=nC_rx^n-r a^r  --- (1)
\((2x^{2}-\frac{3}{x})^{11}\) என்பதனை (x + a)ⁿ உடன் ஒப்பிடுக
\(t_{r+1}=11C_r(2x^{2})^{11-r}(\frac{-3}{x})^{r}\)
=\(11C_r2^{11-r}x^{2(11-r)}(-3)^{r}(\frac{1}{x})^{r}\)
=\(11C_r 2^{11-r}(-1)^{r}.3^{r}x^{22-3r}\)
x¹⁰ -ன் கெழுவைக்காண 22–3r = 10 என்க.
⇒ r = 4
r = 4 என (1) ல் பிரதியிட,
\(t_{5}=11C_42^{11-4}3^{4}x^{10}= 11C_4.2^{7}3^{4}x^{10}\)
∴ x¹⁰ - ன் கெழு 11C₄2⁷3⁴.

\({ y }^{ 2 }=-\frac { 9 }{ 2 } x\)

nC_x = nC_y , எனில் x + y = n என்ற பண்பின்படி
nC₄ = nC₆ எனில்,
n = 4 + 6 = 10
12C_n = 12C₁₀
= 12C₂ 
\(=\frac{12\times11}{1\times2}=66\)

B= \(\left[ \begin{matrix} 0.8 & 0.2 \\ 0.9 & 0.7 \end{matrix} \right] \)
I-B=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)-\(\left[ \begin{matrix} 0.8 & 0.2 \\ 0.9 & 0.7 \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} 0.2 & -0.2 \\ - 0.9 & 0.3 \end{matrix} \right] \)
|I-B|=  \(\left[ \begin{matrix} 0.2 & -0.2 \\ - 0.9 & 0.3 \end{matrix} \right] \)
=(0.2)(0.3)-(-0.2)(-0.9)
=0.06-0.18
=0.12<0
|I-B| என்பது குறை எண்.
ஃஹாக்கின்ஸ்-சைமன் [Hawkins-simon] நிபந்தனைகள் நிறைவு செய்யப்படவில்லை. எனவே பொருளாதாரக் கட்டமைப்புக்கு செயல்படும் வகையில் இல்லை.

y = f(x) = x²- 5 என்க.
x க்கு சில உகந்த மதிப்புகளை தெரிவு செய்து y இன் மதிப்புகளை கணக்கிடுக.
இவ்வாறாக கீழ்கண்ட அட்டவணையை நாம் பெறுகிறோம்.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	4	-1	-4	-5	-4	-1	4

(-3, 4), (-2, -1), (-1, -4), (0, -5), (1, -4), (2, -1), (3, 4) ஆகிய புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து மென்மையான வளைவரையால் இணைக்கவும்.
f(x) இன் வரைபடமானது படத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

(i) முதலில் கொடுக்கப்பட்ட X-ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு மற்றும் Y-ன் மீது X-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு ஆகியவற்றை இயல்பான வடிவில் மாற்றியமைக்கவும். பின்பு தொடர் போக்குக் கெழுக்களை கண்டுபிடிக்கவும்.
கொடுக்கப்பட்டுள்ள தொடர்புப் போக்குக் கோடுகள்
3X–2Y = 5    ... (1)
X–4Y = 7     ... (2)
X -ன் மீது Yன் தொடர்புப் போக்கு 3X–2Y = 5 என்க.
3X = 2Y+5
X =\(\frac{1}{3}\)(2Y+5)
X=\(\frac{1}{3}\)(2Y+5)
X=\(\frac { 2 }{ 3 } Y+\frac { 5 }{ 3 } \)
Y -ன் மீது X-ன் தொடர்புப் போக்கு கெழு
b_xy =\(\frac{2}{3}\)(<1)
X -ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்கு கெழு
X–4Y = 7
–4Y = –X+7
4Y = X–7
Y=\(\frac{1}{4}\)(X-7)
Y=\(\\ \frac { 1 }{ 4 } X\frac { 7 }{ 4 } \)
∴ X -ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்கு கெழு
b_xy=\(\frac{1}{4}\)(<1)
(ii) ஒட்டுறவுக் கெழு (Coefficient of correlation)
இரண்டு தொடர்புப் போக்குக் கெழுக்களும் மிகை குறியீடு பெற்றிருப்பதால் r-ம் மிகை குறியீடு பெற்றதாக இருக்கும் மற்றும்
r =\(\sqrt { { b }_{ yx }.{ b }_{ xy } } \)
=\(\sqrt { \frac { 2 }{ 3 } .\frac { 1 }{ 4 } } \)
=\(\sqrt { \frac { 1 }{ 6 } } \)
=0.4082
∴ r=0.4082

4X–5Y+33 = 0      ... (1)
20X–9Y–107 = 0    ...(2) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க.
நாம் பெறுவது Y = 17
Y-ன் மதிப்பை சமன்பாடு (1)-ல் பிரதியிட,
நாம் பெறுவது X =13
எனவே \(\bar { X } \)=13 மற்றும் ​​​​​​​\(\bar { Y } \)=17
ஒட்டுறவுக் கெழுவைக் கணக்கிடுதல்
சமன்பாடு (1) என்பதனை Y ன் மீது X ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு என்க.
4X =5Y–33
X =\(\frac{1}{4}\)(5Y–33)
X =\(\frac{5}{4}\)Y-\(\frac{33}{4}\)
b_xy =\(\frac{5}{4}\)=1.25
சமன்பாடு (2) என்பதனை X-ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு என்க.
9X =20X–107
Y=\(\frac{1}{9}\)(20X–107)
Y =\(\frac{20}{9}\)X -\(\frac{107}{9}\)
b_yx =\(\frac{20}{9}\)=2.22
ஆனால் இது சாத்தியமல்ல ஏனெனில் இரண்டு தொடர்புப் போக்குக் கெழுக்களின் மதிப்புமே, ஒன்றை விட பெரியதாக இருக்கிறது. எனவே நம்முடைய மேற்கண்ட அனுமானம் தவறு. எனவே சமன்பாடு (1) என்பதனை X -ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு எனவும் மற்றும் சமன்பாடு (2) என்பதனை Y ன் மீது X ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு எனவும் கருதவும். ஆதலால் நாம் பெறுவது
b_yx =\(\frac{4}{5}\)=0.8
மற்றும் b_xy =\(\frac{9}{20}\)=0.45
ஒட்டுறவுக் கெழு r =\(\pm \sqrt { b_{ xy }\times { b }_{ xy } } \)
r=\(\sqrt { 0.45\times 0.8 } \)=0.6

-0.37

இடை நிலை = 45.14 , MD = 14.30

ரூ.13240, ரூ.36420, இயந்திரம் B வாங்கலாம்

பங்கின் முக மதிப்பு =ரூ.10
20 பங்குகளின் முக மதிப்பு =ரூ.200
ஈவுத் தொகை = \(\frac { 9 }{ 100 } \times 200\)
= ரூ.18 \(\left[ S.I=\frac { PNR }{ 100 } ,N=1 \right] \)
முதலீடு =\(\frac { 18\times 100 }{ 1\times 12 } [P=\frac { 100I }{ NR } \),(N=1)
= ரூ.150
20 பங்குகளின் வாங்கிய விலை ரூ.150
ஒரு பங்கின் சந்தை விலை =ரூ. \(\frac { 150 }{ 20 } \)
= ரூ.7.50

\(\sqrt { 2 } -1\)

\(\frac { \pi }{ 4 } +\frac { x }{ 2 } \)

P(n) = 5²ⁿ - 1 (24 ஆல் வகுபடும் எண்) 
படி 1: n = 1 என பிரதியிட
5²(1) - 1 = 25 - 1 = 24 (24 ஆல் வகுபடும் எண்) 
i.e., P(1) உண்மை ஆகும்.
படி 2: n = k என்பதற்கு மேற்கண்டகூற்று உண்மை என்க.
∴ 5^2k - 1 (24 ஆல் வகுபடும் எண்) 
⇒ 5^2k - 1 = 24m
⇒ 5^2k = 24m + 1    ...(1)
படி 3: P( + 1) உண்மை என நிரூபிக்க வேண்டும்
P(k + 1) = 5^2(k+1) - 1
= 5^2k+2 - 1 = 5^2k.5² - 1
= (24m + 1)25 - 1
= 24m. 25 + 25 - 1
= 24m + 25 - 24
= 24(25m + 1)
(24 ஆல் வகுபடும் எண்) 
எனவே, P (k +1) ம் உண்மை ஆகிறது.
கணிதத் தொகுத்தறிதல் விதிப்படி P(k) உண்மை எனில் P (k +1) ம் உண்மை ஆகிறது.
∴ n ன் அனைத்து இயல் மதிப்புகளுக்கும் P (n) உண்மை ஆகிறது.

R வட்டத்தினுள் அமையும், P வட்டத்திற்கு வெளியே அமையும் Q வட்டத்தின் மேல் அமையும்

a₁₁ = 30, a₁₂ = 40, x₁ = 120
a₂₁ = 20, a₂₂ = 10, x₂ = 60
\({b}_{11}={{{a}_{11}}\over{x_1}}={{30}\over{120}}={{1}\over{4}}\)
\({b}_{12}={{{a}_{12}}\over{{x}_{2}}}={{40}\over{60}}={{2}\over{3}}\)
\({b}_{21}={{{a}_{21}}\over{x_1}}={{20}\over{120}}={{1}\over{6}}\)
\({b}_{22}={{{a}_{22}}\over{{x}_{1}}}={{10}\over{60}}={{1}\over{6}}\)
B =  \(\begin{bmatrix}{{1}\over{4}}&{{2}\over{3}}\\ {{1}\over{6}}&{{1}\over{6}} \end{bmatrix}\)
I - B = \(\begin{bmatrix} 0&0\\0&1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} {{1}\over{4}} &{{2}\over{3}}\\{{1}\over{6}}&{{1}\over{6}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {{3}\over{4}}&{{-2}\over{3}}\\ {{-1}\over{6}}&{{5}\over{6}} \end{bmatrix}\)
\(|I-B|=\frac{3}{4} \times \frac{5}{6}-\frac{2}{3} \times \frac{1}{6}=\frac{5}{8}-\frac{1}{9}=\frac{37}{72}=0\)
ஹாக்கின்ஸ்-சைமனின் இரு நிபந்தனைகளும் நிறைவு செய்யப்பட்டுள்ளது. எனவே இந்த பொருளாதாரக் கட்டமைப்பு செயல்படும் வகையில் உள்ளது.
\({(I-B)}^{-1}={{1}\over{|I-B|}}adj\ (I-B)={{72}\over{37}}\begin{bmatrix}{{5}\over{6}}&{{2}\over{3}}\\{{1}\over{6}}&{{3}\over{4}} \end{bmatrix}\)
X = (I - B)^-1 D இங்கு D = \(\begin{bmatrix} 80\\40 \end{bmatrix}\)
\(={{72}\over{37}}\begin{bmatrix}{{5}\over{6}}&{{2}\over{3}}\\{{1}\over{6}}&{{3}\over{4}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 80 \\ 40 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{72}{37}\left(\begin{array}{cc} 66.67 & +26.67 \\ 13.33 & +30 \end{array}\right)=\frac{72}{37}\left(\begin{array}{l} 93.34 \\ 43.33 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c} 181.63 \\ 84.32 \end{array}\right)\)
x = 181.62, y = 84.32

x + y + z = 20
2x + y - z = 23
3x+ y + z  = 46
\(\begin{bmatrix} 1&1&1\\2&1&-1\\3&1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 20\\23\\46 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow\)   \(A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B\) 
\(A=\begin{bmatrix} 1&1& 1\\2&1&-1\\3&1&1 \end{bmatrix},X=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 20\\23\\46 \end{bmatrix}\)
= 1 ( 1 + 1 ) - 1 ( 2 + 3 ) + 1 ( 2 - 3)
= 2 - 5 - 1 = 2 - 6 = - 4 \(\neq \) 0 
\(\therefore\) A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -5 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \end{array}\right)\)
\(\therefore{A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{-1}\over{4}}\begin{bmatrix} 2&0&-2\\-5&-2&3\\-1&2&-1 \end{bmatrix}\)
\(X={A}^{-1}B={{-1}\over{4}}\begin{bmatrix}2&0&-2\\5&-2&3\\-1&2&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 20\\23\\46 \end{bmatrix}\)
\(= \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix},={{-1}\over{4}}\begin{bmatrix} 40+0-92\\-100-46+138\\-20+46-46 \end{bmatrix}={{-1}\over{4}}\begin{bmatrix} -5\\-8\\-20 \end{bmatrix}\)
\(X=\begin{bmatrix} 13\\2\\5 \end{bmatrix}\)
\(x=13, y=2, z=5\)

210 = 1024 (2.x 2... 10 terms)

5x - 16 = 0
5x = 16
\(x=\frac{16}{5}\)