தீர்வுக்கு உகந்த பாதை 1-2-3-5-6 மற்றும் திட்டம் நிறைவு செய்யும் காலம் 30 நாட்கள்

0.905

0.225

Q₁=\(\left( \frac { N }{ 4 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =\(\frac{67}{4}\)=16.75 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு. எனவே Q₁ ஆனது (20-30) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது மற்றும் அதன் தொடர்புடைய மதிப்புகள்
L=20; \(\frac{N}{4}\)=16.75; pcf=12; f=19; c=10 ஆகும்.
Q₁=L\(\left( \frac { \frac { N }{ 4 } -cf }{ f } \right) \times c\)
Q₁=20+\(\left( \frac { 16.75-12 }{ 19 } \right) \times 10\) =20+2.5 =22.5
Q₃=\(\left( \frac { 3N }{ 4 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =50.25 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு
Q₃ ஆனது (50-60) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது மற்றும் அதன் தொடர்புடைய மதிப்புகள்
L=50, \(\left( \frac { 3N }{ 4 } \right) \) =50.25; pcf=46, f=9, c=10
Q₃=L+\(\left( \frac { \frac { 3N }{ 4 } -pcf }{ f } \right) \times c\)
Q₃=50+\(\left( \frac { 50.25-25 }{ 9 } \right) \times 10\)=54.72
D₄=L+\(\left( \frac { \frac { 4N }{ 10 } -pcf }{ f } \right) \times c\)
D₄=\(\left( \frac { 4N }{ 10 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =26.8 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு D₄ ஆனது (20-30) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது மற்றும் அதன் தொடர்புடைய மதிப்புகள்
L =20, \(\frac{4N}{10}\)=26.8; pcf=12, f=19, c=10
D₄=20+\(\left( \frac { 26.8-12 }{ 19 } \right) \times 10\)
=27.79
P₇₅=\(\left( \frac { 75N }{ 100 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =50.25 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு P₇₅ (20-30) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது மற்றும் அதன் தொடர்புடைய மதிப்புகள்
L=50; \(\frac { 75N }{ 100 } \)=50.25; pcf=46, f=9, c=10
P₇₅=L+\(\left( \frac { \frac { 75N }{ 100 } -pcf }{ f } \right) \times c\)
=\(50+\left( \frac { 50.25-46 }{ 9 } \right) \times 10\)
=54.72

20%

x அலகுகள் உற்பத்திக்கான மொத்த வருவாய் ;R =p x
 = (2530 – 5x)x
= 2530 x–5x²
அலகிற்கான வரி ரூ.2 வீதம் செலுத்தப்பட்ட வரித் தொகை =2x 
∴ வரி விதிக்கப்பட்ட பின் மொத்த செலவு C(x) + 2x =\(\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \)-5x²+28x+10+2x
இலாபம் = மொத்த வருவாய் -(மொத்த செலவு + வரி)
P =(2530–5x)x- (\(\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \)-5x²+28x+10+2x)
= \(-\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \)+2500x-10
\(\frac { dp }{ dx } \)= -x²+2500
\(\frac { d^{ 2 }p }{ dx^{ 2 } } \) = -2x 
\(\frac { dp }{ dx } \)= 0 ⇒ 2500- x²=0
⇒ x² = 2500
∴  x = 50 (-50 ஏற்புடையதல்ல)
x = 50 எனில்  \(\frac { d^{ 2 }p }{ dx^{ 2 } } \)= 2\(\times \)50 < 0
x = 50-ல் P ஆனது பெருமம் அடைகிறது
P = 2530 – 5(50)
 = ரூ.2280

P(n) = 5²ⁿ - 1 (24 ஆல் வகுபடும் எண்) 
படி 1: n = 1 என பிரதியிட
5²(1) - 1 = 25 - 1 = 24 (24 ஆல் வகுபடும் எண்) 
i.e., P(1) உண்மை ஆகும்.
படி 2: n = k என்பதற்கு மேற்கண்டகூற்று உண்மை என்க.
∴ 5^2k - 1 (24 ஆல் வகுபடும் எண்) 
⇒ 5^2k - 1 = 24m
⇒ 5^2k = 24m + 1    ...(1)
படி 3: P( + 1) உண்மை என நிரூபிக்க வேண்டும்
P(k + 1) = 5^2(k+1) - 1
= 5^2k+2 - 1 = 5^2k.5² - 1
= (24m + 1)25 - 1
= 24m. 25 + 25 - 1
= 24m + 25 - 24
= 24(25m + 1)
(24 ஆல் வகுபடும் எண்) 
எனவே, P (k +1) ம் உண்மை ஆகிறது.
கணிதத் தொகுத்தறிதல் விதிப்படி P(k) உண்மை எனில் P (k +1) ம் உண்மை ஆகிறது.
∴ n ன் அனைத்து இயல் மதிப்புகளுக்கும் P (n) உண்மை ஆகிறது.

a₁₁ = 50, a₁₂ = 75, x₁ = 200
a₂₁ = 100, a₂₂ = 50, x₂ = 200
\({b}_{11}={{{a}_{11}}\over{{x}_{1}}}={{50}\over{200}}={{1}\over{4}};{b}_{12}=\frac{{a}_{12}}{{x}_{12}}=\frac{75}{200}=\frac{3}{8}\)
\({b}_{21}=\frac{{a}_{11}}{x_1}{{100}\over{200}}={{1}\over{2}};{b}_{22}={{{a}_{22}}\over{{x}_2{}}}={{50}\over{200}}={{1}\over{4}}\)
\(\therefore\)  B \(=\begin{bmatrix} \frac{1}{4}&\frac{3}{8}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4} \end{bmatrix}\)
\(I-B=\begin{bmatrix}1&0\\0&1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \frac{1}{4} &\frac{3}{8}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {{3}\over{4}}&{{-3}\over{8}}\\ -{{1}\over{2}} &{{3}\over{4}} \end{bmatrix}\)
\(|I-B| ={{9}\over{16}}-{{3}\over{16}}={{6}\over{16}}={{3}\over{8}}>0 \)
X = (I - B)^-1 D இங்கு D \(=\begin{bmatrix} 300 \\ 600 \end{bmatrix}\)
\(X=\frac{8}{3}\left(\begin{array}{ll} \frac{1}{4} & \frac{3}{8} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 300 \\ 600 \end{array}\right)\)
\(=\frac{8}{3}\left(\begin{array}{c} 75+225 \\ 150+150 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 800 \\ 800 \end{array}\right)\)

\(A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right)\)
\(A^2=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{ll} 1-2 & -1-3 \\ 2+6 & -2+9 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{array}\right)\)
\(\mathrm{LHS}=A^2-4 A+5 l_2\)
\(=\left(\begin{array}{cc} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{array}\right)-4\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right)+5\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{cc} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 4 & -4 \\ 8 & 12 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{cc} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 1 & 4 \\ -8 & -7 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\)
\(=O=R H S\)
\(\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A\)
\(|A|=3+2=5 \neq 0\)
\(A^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{array}\right)\)
\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \)

x = 2 –ல் தொடர்ச்சியற்ற சார்பாகும்.

A \(=\begin{bmatrix} 1&1&1\\3&4&7\\1&-1&1 \end{bmatrix}\)
\(=(4+7)-1(3-7)+1(-3-4)\)
\(=11+4-7=8\)
\(=\left(\begin{array}{ccc} 11 & 4 & -7 \\ -2 & 0 & +2 \\ 3 & -4 & 1 \end{array}\right)\)
\(\operatorname{adj} A=\left(\begin{array}{ccc} 11 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & -4 \\ -7 & 2 & 1 \end{array}\right)\)
\(\mathrm{A}(\operatorname{adj} A)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 7 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 11 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & -4 \\ -7 & 2 & 1 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{ccc} 11+4-7 & -2+0+2 & 3-4+1 \\ 33+16-49 & -6+0+14 & 9-16+7 \\ 11-4-7 & -2+0+2 & 3+4+1 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{lll} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right)=8\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=|A| I_3\)
\((adj\ A)\ A=\begin{bmatrix}11&-2&3\\4&0&-4\\-7&2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&1&1\\3&4&7\\1&-1&1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 11-6+3&11-8-3&11-14+3\\4+0-4&4+0+4&4+0-4\\-7+6+1&-7+8-1&-7+14+1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8&0&0\\0&8&0\\0&0&8 \end{bmatrix}\) ...(2)
\(|A|.{I}_{3}=8\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8&0&0\\0&8&0\\0&0&8\end{bmatrix}\)  ...(3)
A (adj A) = (adj A) A = |A|I₃.

a = 6, c =6

ரூ 12500

\(2-\sqrt { 3 } \)

\(\frac { -16 }{ 65 } \)

x²+y²+2gf+2fy+c =0 என்ற வட்டத்திற்கு (x₁,y₁) என்ற புள்ளியிலிருந்து வரையப்படும் தொடுகோட்டின் நீளம் 
அதாவது தொடுகோட்டின் நீளம் = \(\sqrt { { x }_{ 1 }^{ 2 }+{ y }_{ 1 }^{ 2 }+{ 2gx }_{ 1 }+2{ 4y }_{ 1 }+8 } \)
= \(\sqrt { { 2 }^{ 2 }+3^{ 2 }+8(2)+4(3)+8 } \)  [இங்கு (x₁,y₁)=(2,3)]
= \(\sqrt { 49 } \)
தொடுகோட்டின் நீளம் = 7 அலகுகள்.

x²+y²-2x-12y+27 = 0

அகர வரிசைப்படி CHAT என்ற வார்த்தையின் எழுத்து A, C, H, T.
(i) A = 3! இல் தொடங்கும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 6 C தொடங்குகிறது
(ii) CA இல் தொடங்கும் சொற்களின் எண்ணிக்கை 2! = 2 இப்போது CH என்ற வார்த்தைகள் தொடங்குகிறது
(iii) அதன் பிறகு CHAT = 1 என்ற வார்த்தையைப் பெறுவோம் அரட்டையின் தரவரிசை = 6 + 2 + 1 = 9
CHAT என்ற வார்த்தையின் தரம் = 9.

இரட்டைச் சார்பு

b_yx=1.422, Y = 141.67

Y=0.48 X + 67.72; X = 0.91Y-41.35; Y = 72.52

GM= 26.2%

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

Q₁=\(\left( \frac { N+1 }{ 4 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =\(\left( \frac { 43+1 }{ 4 } \right) \)-ன் அளவு
=11 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =20
D₂ =\(\left( \frac { 2(N+1) }{ 10 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =\(\frac{88}{10}\)-ன் அளவு
=8.8 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு=20
P₉₀=\(\left( \frac { 90(N+1) }{ 100 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு
= \(\frac{3960}{100}\)-ன் அளவு =39.6 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =50.

இங்கு n=10, a = 12,000 மற்றும் i =0.15
\(P=\frac { a }{ i } \left[ 1-\frac { 1 }{ (1+i)^{ n } } \right] \)
= \(\frac { 12,000 }{ 0.15 } \left[ 1-\frac { 1 }{ (1+0.15)^{ 10 } } \right] \)
= \(\frac { 12,000 }{ 0.15 } \left[ 1-\frac { 1 }{ (1.15)^{ 10 } } \right] \)
= \(\frac { 12,00,000 }{ 0.15 } \left[ 1-\frac { 1 }{ 4.016 } \right] \)
= 80,000  \(\left[ \frac { 4.016-1 }{ 4.016 } \right] \)
= 80,000\(\left[ \frac { 3.016 }{ 4.016 } \right] \) =60,080
∴ P = ரூ.60,080

\(x=\frac { 20 }{ p+1 } \)
\(\frac { dx }{ dp } =\frac { -20 }{ (p+1)^{ 2 } } \)
தேவை நெகிழ்ச்சி :\(\eta _{ d }=-\frac { p }{ x } .\frac { dx }{ dp } \)
= \(-\frac { p }{ \left( \frac { 20 }{ (p+1) } \right) } .\frac { -20 }{ (p+1)^{ 2 } } \)
= \(\frac { p }{ p+1 } \)
p= 3 ல்,  \(\eta _{ d }=\frac { 3 }{ 4 } \)(அ) 0.75
இங்கு \(|\eta _{ d }|\)<1
∴ தேவை மீள்த்தன்மையற்றது

\(\frac { x-4 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { x-4 }{ (x-1)(x-2) } \)
\(\Rightarrow \frac { x-4 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ x-2 } \)
\(\frac{x-4}{(x-2)(x-1)}=\frac{A(x-1)+B(x-2)}{(x-2)(x-1)}\)
\(\Rightarrow x-4=A(x-2)+B(x-1)\)
x = 2 ன்  (1) பிரதியிட 
\(-2=A \Rightarrow A=-2\)
x = 1 ன் (1) பிரதியிட 
\(-3=B(-1) \Rightarrow B=3\)
\(\therefore \frac { x-4 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { 3 }{ x-1 } -\frac { 2 }{ x-2 } \)

a = ± 1

B \(=\begin{bmatrix} 0.50 & 0.30 \\ 0.41 & 0.33 \end{bmatrix}\)
I - B = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0.50 & 0.30 \\ 0.41 & 0.33 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.50 & -0.30 \\ -0.41 & 0.67 \end{bmatrix}\)
= (0.50) (0.67) - (0.30) (0.41)
\(|I-B|\) = 0.335 - 0.123 = 0.212 >  0
சாத்தியமானது

210 = 1024 (2.x 2... 10 terms)

X=A⁻¹ B

\(\left|\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ x & 2 & x \\ 1 & 3 & x \end{array}\right|=0 \Rightarrow-1\left[x^2-x\right]=0\)
\(\Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow x=0,1\)