\({-1\over\sqrt {10}}\)

\(\theta ={ tan }^{ -1 }(7)\)

8P₃ = 8 \(\times \)7 \(\times \) 6 = 336.

f(x) = g(x) (கொடுக்கப்பட்டது)
\(\Rightarrow\)       2x² – 1 = 1–3x
2x² +3x – 2 = 0
(x+2) (2x–1) = 0
\(\therefore\)   x = –2,\(x=\frac { 1 }{ 2 } \)
சார்பகம் \(\left\{ -2,\frac { 1 }{ 2 } \right\} \)

\({ 160 }^{ o }=160\times \frac { \pi }{ 180 } =\frac { 8 }{ 9 } \pi \)

கொடுக்கப்பட்ட கோடு x-y+5 = 0
P(2, 2) என்ற புள்ளியிலிருந்து உள்ள செங்குத்து தொலைவு  = \(\left| \frac { 2-2+5 }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } } \right| \)
= \(\left| \frac { 5 }{ \sqrt { 2 } } \right| \) = \(\frac { 5 }{ \sqrt { 2 } } \)
(0,0) லிருந்து உள்ள தொலைவு = \(\left| \frac { 5 }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } } \right| =\left| \frac { 5 }{ \sqrt { 2 } } \right| =\frac { 5 }{ \sqrt { 2 } } \)
கொடுக்கப்பட்ட கோடு (0, 0) மற்றும் (2, 2) புள்ளியிலிருந்து சம தொலைவில் உள்ளது

\(\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ -1 & 4 \end{matrix} \right| \) = (2)(4)-(-1)4
= 8 + 4 = 12

இடைநிலைக்கான கணக்கீடு பின்வருமாறு:

X	f	cf
0-10	20	20
10-20	25	45
20-30	32	77
30-40	40	117
40-50	42	159
50-60	35	194
60-70	10	204
70-80	8	N=212

\(\frac { N }{ 2 } =\frac { 212 }{ 2 } \)=106, குவிவு அலைவெண் 106-க்கான பிரிவு இடைவெளி (30-40) ஆகையால்,
பிரிவு இடைநிலை அளவுக்கான ஒத்த மதிப்புகள் L=30, pcf =77, f =40 மற்றும் c=10
இடைநிலை= \(\left( \frac { \left( \frac { N }{ 2 } \right) -pcf }{ f } \right) \times c\)
இடைநிலை=\(30+\left( \frac { 106-77 }{ 40 } \right) \times 10\)
∴ இடைநிலை=37025 (இருதசம இடதிருத்தமாக)
இடைநிலையிலிருந்து சராசரி விலக்கத்திற்கான கணக்கீடு.

X	f	M	|D|=X-37.25|	f(D)
0-10	20	5	32.25	645
10-20	25	15	22.25	556.25
20.30	32	25	12.25	392
30-40	40	35	2.25	90
40-50	42	45	7.75	325.5
50-60	35	55	17.75	621.25
60-70	10	65	27.75	277.5
70-80	8	75	37.75	302
	N=212			Σf|D|=3209.5

இடைநிலையைப் பொறுத்தச் சராசரி விலக்கம் =\(\frac { \Sigma f|D| }{ N } =\frac { 3209.5 }{ 212 } \)=15.14
இடைநிலையைப் பொறுத்தச் சராசரி விலக்கக் கெழு = 
=0.4064=0.41(இருதசம இடதிருத்தமாக).

\(\frac { 56 }{ 33 } \)

ஒரு கிலோ வெங்காயம், கோதுமை,அரிசியின் மொத்த விலைகள் முறையே x ,y ,z என்க.
4x + 3y + 2z = 320
2x + 4y + 6z = 560
6x + 2y + 3z = 380
இதனை   
 \(\left[ \begin{matrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 320 \\ 560 \\ 380 \end{matrix} \right] \)என எழுதலாம்.
AX = B
இங்கு,  \(A=\left[ \begin{matrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{matrix} \right] ,X= \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \)மற்றும் \(B =\left[ \begin{matrix} 320 \\ 560 \\ 380 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=\left[ \begin{matrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{matrix} \right]\)=50≠0
A^–1 யைக் காணஇயலும்.
A₁₁ = 0 A₁₂ = 30 A₁₃ = –20
A₂₁ = –5 A₂₂ = 0 A₂₃ = 10
A₃₁ = 10 A₃₂ = –20 A₃₃ = 10
[A_ij] =\(\left[ \begin{matrix} 0 & 30 & -20 \\ -5 & 0 & 10 \\ 10 & -20 & 10 \end{matrix} \right]\)
adj A = [A_ij]^T
=\(\left[ \begin{matrix} 0 & 5 & -10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{matrix} \right]\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adjA\)
=\(\frac{1}{50}=\left[ \begin{matrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{matrix} \right]\)
X=A^-1B
=\(\frac{1}{50}=\left[ \begin{matrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} 320 \\ 560 \\ 380 \end{matrix} \right] \)
=\(\frac{1}{5}=\left[ \begin{matrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} 32 \\ 56 \\ 38 \end{matrix} \right] \)
=\(\frac{1}{5}=\left[ \begin{matrix} 0 & -280 & +380 \\ 960 & 0 & -760 \\ -640 & +560 & +380 \end{matrix} \right]\)=\(\frac{1}{5}=\left[ \begin{matrix} 100 \\ 200 \\ 300 \end{matrix} \right] \)
\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \)=\(\left[ \begin{matrix} 20 \\ 40 \\ 60 \end{matrix} \right] \)

x = 20, y = 40, z = 60
ஒரு கிலோ வெங்காயத்தின் விலை =ரூ20.
ஒரு கிலோ கோதுமையின் விலை =ரூ 40
ஒரு கிலோ அரிசியின் விலை =ரூ 60

இங்கு y என்பது எழுத்தரின் ஊதியம் எனவும், x-யை எழுத்தரின் பணி ஆண்டு எனவும் கொள்க.

ஆண்டு(x)	ஊதியம்(y)
2012(x1)	20,000 (y1)
2017(x2)	25,000(y2)
2020	?

மேற்பட்ட விவரங்களிலிருந்து x,y -ன் ஒரு படிச்சமன்பாடானது
  \(\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \)
\(\frac { y-20,000 }{ 25,000-20,000 } =\frac { x-2012 }{ 2017-2012 } \)
\(\frac { y-20,000 }{ 5000 } =\frac { x-2012 }{ 5 } \)
 y = 1000x - 2012000 + 20,000
 y = 1000x - 19,92,000
2020 ஆம் ஆண்டு அவரது சம்பளம்
  y = 1000 (2020) - 19,92,000
 y = ரூ 28000

பகுதியை ஒரு படிகாரணிகளின் பெருக்கங்களாக எழுதுக
(x² - 4)(x + 1)=(x - 2)(x + 2)(x + 1)
\(\frac{x+1}{({x}^{2}-4)(x+1}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+2)}+\frac{C}{(x+1)}\)என்க .....(1)
இரு புறமும் (x–2)(x+2)(x+1) ஆல் பெருக்க
x + 4 = A(x + 2)(x + 1)+ B(x - 2)(x + 1)+ C(x - 2)(x + 2)  .....(2)
x = –2 என (2) ல் பிரதியிட
-2 + 4 = A(0)+ B(-4)(-1)+ C(0)​
\(B=\frac{1}{2}\)
x = 2 என (2) ல் பிரதியிட
2 + 4 = A(4)(3)+ B(0)+ C(0)​
\(A=\frac{1}{2}\)
x = –1 என (2) ல் பிரதியிட​​​​​​​
-1 + 4 = A(0)+ B(0)+ C(-3)(1)​
C =-1
\(\frac{x+4}{({x}^{2}-4)(x+1)}=\frac{1}{2(x-2)}+\frac{1}{2(x+2)}+\frac{1}{(x+1)}\)

Y=0.48 X + 67.72; X = 0.91Y-41.35; Y = 72.52

இங்கு P=30,000 ; a = 675 ; k = 2, i = ?
P =\(\frac { \frac { a }{ i } }{ k } \)
30,000 =\(\frac { 675 }{ \frac { i }{ 2 } } \)
=  \(\frac { 675 }{ \frac { i }{ 2 } } \)
= \(\frac { 1350 }{ i } \)
= \(\frac { 1350 }{ 30,000 } \)
= \(\frac { 135 }{ 3000 } \)
=0.045
வட்டி வீதம் = 0.045\(\times \)100%
வட்டி வீதம் = 4.5 %

p = 40–x
 x = 40-p 
\(\frac { dx }{ dp } \)= -1
தேவை நெகிழ்ச்சி : η_d =-\(\frac { p }{ x } .\frac { dx }{ dp } \)
= \(\frac { 40-x }{ x } \)
கணக்கின் படி η_d =1
∴   \(\frac { 40-x }{ x } \) =1
 2x = 40
∴  x = 20 அலகுகள்

9 y

\(L\left[ f\left( x \right) \right] _{ x=3 }=\underset { x\rightarrow 3^{ - } }{ lim } f\left( x \right) \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } f\left( 3-h \right) ,x=3-h\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| \left( 3-h \right) -3 \right| }{ \left( 3-h \right) -3 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| -h \right| }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { h }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } -1\quad =-1\)
\(R\left[ f\left( x \right) \right] _{ x=3 }=\underset { x\rightarrow 3^{ + } }{ lim } f\left( x \right) \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } f\left( 3+h \right) \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| \left( 3+h \right) -3 \right| }{ \left( 3+h \right) -3 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| h \right| }{ h } \)
\(\quad =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } 1\quad =1\)

\(Adj \ A=​\left[ \begin{matrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)

y = f(x) = |x|
\(=\begin{cases} x,x\ge0 \\ -x,x<0 \end{cases}\)
x க்கு சில உகந்த மதிப்புகளை தெரிவு செய்து y இன் மதிப்புகளை கணக்கிடுக
இவ்வாறாக கீழ்கண்ட அட்டவணையை நாம் பெறுகிறோம்.

x	-2	-1	0	1	2
y	2	1	0	1	2

(-2, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) ஆகிய புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து மென்மையான வளைவரையால் இணைக்கவும்.f(x) இன் வரைபடமானது படத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

\(|A|=\left| \begin{matrix} -2 & 6 \\ 3 & -9 \end{matrix} \right| =0\)
A என்பது பூச்சிய கோவை அணி. எனவே A^-1 -யைக் காணஇயலாது

வழிகளின் எண்ணிக்கை = 6!/3! = 120

x + y = n
3 + 2 = 5 = n
nC₄ = 5C₄ = 5C₁ = 5