\(2x-3=A\cfrac { d }{ dx } \left( 10-7x-{ x }^{ 2 } \right) +B\) 
2x-3 = A(-7-2x)+B
Comparing the coefficients like terms, we get,
2 = -2A⇒A=-1
-3=-7A+B
-7(-1)+B =-3
7+B = -3
B = -3 -7 =-10
ஃ2x-3 = -I (-7-2x)-10
\(\therefore \int { \cfrac { 2x-3 }{ \sqrt { 10-7x-{ x }^{ 2 } } } dx=\int { \cfrac { -1(-7-2x)-10 }{ \sqrt { 10-7x-{ x }^{ 2 } } } } } \) 
= \(-\left[ 2\sqrt { 10-7x-{ x }^{ 2 } } \right] -10{ I }_{ 1 }\) 
\({ I }_{ 1 }=\int { \cfrac { dx }{ \sqrt { 10-7x-{ x }^{ 2 } } } } \) 
Now 10-7x-x² = - (x²+ 7x-10)
= \(-\left[ { x }^{ 2 }+2\left( \cfrac { 7 }{ 2 } \right) x-10+\cfrac { 49 }{ 4 } -\cfrac { 49 }{ 4 } \right] \)
= \(-\left[ \left( x+\cfrac { 7 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\cfrac { 89 }{ 4 } \right] =\left( \cfrac { \sqrt { 89 } }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\left( x+\cfrac { 7 }{ 2 } \right) ^{ 2 }\) 
\({ I }_{ 1 }=\int { \cfrac { dx }{ \left( \frac { \sqrt { 89 } }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\left( x+\frac { 7 }{ 2 } \right) ^{ 2 } } } \) 
= \({ sin }^{ -1 }\left( \cfrac { x+\frac { 7 }{ 2 } }{ \cfrac { \sqrt { 89 } }{ 2 } } \right) ={ sin }^{ -1 }\left( \cfrac { 2x+7 }{ \sqrt { 89 } } \right) \) 
Substituting 1 value in (1) we get
\(I=-2\sqrt { 10-7x-{ x }^{ 2 } } -10{ sin }^{ -1 }\left( \cfrac { 2x+7 }{ \sqrt { 89 } } \right) \)

\(2x-1=A\cfrac { d }{ dx } \left( { 2x }^{ 2 }+x+3 \right) +B\) 
2x - 1 = A (4x + 1) + B
Comparing the coefficients like terms, we get
\(2=4A\Rightarrow A=\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
-1 = A+ B
\(\cfrac { 1 }{ 2 } +B=-1\Rightarrow B=\cfrac { -3 }{ 2 } \) 
\(\therefore 2x-1=\cfrac { 1 }{ 2 } \left( 4x+1 \right) +\left( \cfrac { -3 }{ 2 } \right) \) 
So,\(\int { \cfrac { 2x-1 }{ { 2x }^{ 2 }+x+3 } } dx=\int { \cfrac { \frac { 1 }{ 2 } (4x+1)+\left( \cfrac { -3 }{ 2 } \right) }{ { 2x }^{ 2 }+x+3 } } \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { 4x+1 }{ { 2x }^{ 2 }+x+3 } dx-\cfrac { 3 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ { 2x }^{ 2 }+x+3 } } } \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } log\left( { 2x }^{ 2 }+x+3 \right) -\cfrac { 3 }{ 2 } { I }_{ 1 }\) 
\({ I }_{ 1 }=\int { \cfrac { dx }{ { 2x }^{ 2 }+x+3 } } =2\int { \cfrac { dx }{ { 4x }^{ 2 }+2x+6 } } \) 
\({ 4x }^{ 2 }+2x+6=\left( 2x \right) ^{ 2 }+2(2x)\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) +6+\cfrac { 1 }{ 4 } -\cfrac { 1 }{ 4 } \) 
= \(\left( 2x+\cfrac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+\cfrac { 23 }{ 4 } =\left( 2x+\cfrac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+\left( \cfrac { \sqrt { 33 } }{ 2 } \right) ^{ 2 }\) 
\(\therefore { I }_{ 1 }=\int { \cfrac { 2dx }{ \left( 2x+\frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { \sqrt { 23 } }{ 2 } \right) ^{ 2 } } } \) 
= \(2\left\{ \cfrac { \frac { 1 }{ \sqrt { 23 } } }{ 2 } \right\} { tan }^{ -1 }\left( \cfrac { 2x+1/2 }{ \frac { \sqrt { 23 } }{ 2 } } \right) \) 
= \(\cfrac { 4 }{ \sqrt { 23 } } { tan }^{ -1 }\left( \cfrac { 4x+1 }{ \frac { \sqrt { 23 } }{ 2 } } \right) =\cfrac { 2 }{ \sqrt { 23 } } { tan }^{ -1 }\left( \cfrac { 4x+1 }{ \sqrt { 23 } } \right) \) 
Substituting II value in (1) we get
\(\cfrac { 1 }{ 2 } log\left( { 2x }^{ 2 }+x+3 \right) I=1-\cfrac { 3 }{ 2 } \left( \cfrac { 2 }{ \sqrt { 23 } } { tan }^{ -1 }\cfrac { 4x+1 }{ \sqrt { 23 } } \right) \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } log\left( { 2x }^{ 2 }+x+3 \right) -\cfrac { 3 }{ \sqrt { 23 } } { tan }^{ -1 }\left( \cfrac { 4x+1 }{ \sqrt { 23 } } \right) +c\)

\(I=\int { { e }^{ 3x }sin2xdx } \) 
Put u = sin 2x; du = 2 cos 2x dx
e^3xdx = dv \(\therefore v=\cfrac { { e }^{ 3x } }{ 3 } \) 
\(I=\left( sin2x \right) \left( \cfrac { { e }^{ 3x } }{ 3 } \right) -\int { \cfrac { { e }^{ 3x } }{ 3 } 2cos2xdx } \) 
(i.e.,) \(I=\cfrac { { e }^{ 3x } }{ 3 } sin2x-\cfrac { 2 }{ 3 } { I }_{ 1 }\) 
Formula method:
\(I=\int { { e }^{ ax }.sinbx.dx=\cfrac { { e }^{ ax } }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \left[ asinbx-bcosbx \right] +c } \) 
\(I=\int { { e }^{ 3x }.sin2xdx } =\cfrac { e^{ .3x } }{ 3 } \left[ 3sin2x-2cos2x \right] +c\) 
\({ I }_{ 1 }=\int { { e }^{ 3x }cos2x } dx\) 
u = cos 2x; du = -2 sin 2x dx
e^3x dx = dv  \(\therefore v=\cfrac { { e }^{ 3x } }{ 3 } \)
\(\therefore { I }_{ 1 }=\int { \left( cos2x \right) \left( \cfrac { { e }^{ 3x } }{ 3 } \right) -\int { \cfrac { { e }^{ 3x } }{ 3 } \left( -2sin2x \right) dx } } \) 
=  \(\cfrac { { e }^{ 3x } }{ 3 } cos2x+\cfrac { 2 }{ 3 } I\) 
Substituting (2) in (1) we get
\(I=\cfrac { { e }^{ 3x } }{ 3 } sin2x-\cfrac { 2 }{ 3 } \left\{ \cfrac { { e }^{ 3x } }{ 3 } cos2x+\cfrac { 2 }{ 3 } I \right\} \) 
\(I=\cfrac { { e }^{ 3x } }{ 9 } \left\{ 3sin2x-2co2x \right\} -\cfrac { 4 }{ 9 } I\) 
\(\\ 1(1+\cfrac { 4 }{ 9 } )=\cfrac { { e }^{ 3x } }{ 9 } \left[ 3sin2x-2cos2x \right] \) 
\(1\left( \cfrac { 13 }{ 9 } \right) =\cfrac { { e }^{ 3x } }{ 9 } \left[ 3sin2x-2cos2x \right] \) 
\(\therefore I=\cfrac { 9 }{ 13 } \times \cfrac { { e }^{ 3x } }{ 9 } \left[ 3sin2x-2cos2x \right] \) 
= \(\cfrac { { e }^{ 3x } }{ 13 } \left[ 3sin2x-2cos2x \right] +c\)

\(I=\int { { e }^{ 2x } } sin3xdx\) put u = sin 3x; du = 3 cos 3x dx
e^2xdx = dv \(\therefore v=\cfrac { { e }^{ 2x } }{ 2 } \) 
= \(\left( sin3x \right) \left( \cfrac { { e }^{ 2x } }{ 2 } \right) -\int { \cfrac { { e }^{ 2x } }{ 2 } \left( 3cos3x \right) dx } \) 
= \(\cfrac { { e }^{ 2x } }{ 2 } sin3x-\cfrac { 3 }{ 2 } \int { { e }^{ 2x }cos3xdx } =\cfrac { { e }^{ 2x } }{ 2 } sin3x-\cfrac { 3 }{ 2 } { I }_{ 1 }\) 
\(I=\int { { e }^{ 2x }sin3xdx } \) 
= \(\cfrac { { e }^{ ax } }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \left( asinbx-bcosbx \right) =\cfrac { { e }^{ ax } }{ 13 } \left[ 2sin3x-3cos3x \right] +c\) 
where \({ I }_{ 1 }=\int { { e }^{ 2x }cosx3xdx } \) 
Let u = cos 3x; du = -3 sin 3x dx
e^2xdx=dv,\(\therefore v=\cfrac { { e }^{ 2x } }{ 2 } \) 
\({ I }_{ 1 }=\left( cos3x \right) \cfrac { { e }^{ 2x } }{ 2 } -\int { \cfrac { { e }^{ 2x } }{ 2 } -\left( -3sin3x \right) } dx\) 
(i.e.,) \({ I }_{ 1 }=\cfrac { { e }^{ 2x } }{ 2 } cos3x+\cfrac { 3 }{ 2 } \int { { e }^{ 2x }sin3x } dx\) 
= \(\cfrac { { e }^{ 2x } }{ 2 } cos3x+\cfrac { 3 }{ 2 } I\) 
Substituting (2) in (1) we get
\(I=\cfrac { { e }^{ 2x } }{ 2 } sin3x-\cfrac { 3 }{ 2 } \left\{ \cfrac { { e }^{ 2x } }{ 2 } cos3x+\cfrac { 3 }{ 2 } I \right\} \) 
(i.e.,) \(I=\cfrac { e^{ 2x } }{ 2 } \left[ sin3x-\cfrac { 3 }{ 2 } cos3x \right] -\cfrac { 9 }{ 4 } I\) 
\(I\left( 1+\cfrac { 9 }{ 4 } \right) =\cfrac { { e }^{ 2x } }{ 2 } \left[ 2sin3x-3xos3x \right] \) 
 (i.e.,)  \(I\left( \cfrac { 13 }{ 14 } \right) =\cfrac { { e }^{ 2x } }{ 2 } \left[ 2sin3x-3cos3x \right] \)
So,\(I=\cfrac { { e }^{ 2x } }{ 13 } \cfrac { { e }^{ 2x } }{ 4 } \left[ 2sin3x-3cos3x \right] \)
(i.e)\(I=\cfrac { { e }^{ 2x } }{ 13 } \left[ 2sin3x-3cos3x \right] +c\)

\(I=\int { xcos5xcos2x } dx\) 
\(cos5xcos2x=\cfrac { 1 }{ 2 } \left\{ 2cos5xcos2x \right\} \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left\{ cos(5x+2x)+cos\left( 5x-2x \right) \right\} \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ cos7x+cos3x \right] \) 
\(\therefore \int { xcos5xcos2xdx } =\int { x\cfrac { 1 }{ 2 } (cos7x+cos3x) } dx\) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left\{ \int { cos7xdx+\int { xcos3xdx } } \right\} =\cfrac { 1 }{ 2 } \left\{ { I }_{ 1 }+{ I }_{ 2 } \right\} \) 
Now \({ I }_{ 1 }-=\int { xcos7x } dx\) put u = x; du = dx
cos 7xdx=dv  \(\therefore v=\cfrac { sin7x }{ 7 } \) 
\(\therefore { I }_{ 1 }=\int { xcos7xdx } =\int { d\left( \cfrac { sin7x }{ 7 } \right) } \) 
= \(x\left( \cfrac { sin7x }{ 7 } \right) -\int { \left( \cfrac { sin7x }{ 7 } \right) } dx=\cfrac { x }{ 7 } sin7x-\cfrac { 1 }{ 7 } \left\{ \cfrac { -cos7x }{ 7 } \right\} \) 
= \(\cfrac { x }{ 7 } sin7x+\cfrac { cos7x }{ 49 } \) 
\({ I }_{ 2 }=\int { xcos3xdx } \) put  u = x; du = dx .
cos 7xdx=dv 
\(cos3xdx=dv;v=\cfrac { sin3x }{ 3 } \) 
\(\therefore { I }_{ 2 }=\int { xcos3xdx } =\int { xd\left( \cfrac { sin3x }{ 3 } \right) } \) 
= \(x=\left( \cfrac { sin3x }{ 3 } \right) -\int { \cfrac { sin3x }{ 3 } } dx=\cfrac { x }{ 3 } 3x-\cfrac { 1 }{ 3 } \left\{ \cfrac { -cos3x }{ 3 } \right\} \) 
= \(\cfrac { x }{ 3 } sin3x+\cfrac { 1 }{ 9 } cos3x\) 
Substituting (2) and (3) in (1) we get,
\(\int { xcos5x } cos2xdx=\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { x }{ 7 } 7x+\cfrac { cos7x }{ 49 } +\cfrac { x }{ 3 } sin3x+\cfrac { cos3x }{ 9 } \right] +c\)
=  \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \left\{ \cfrac { x }{ 7 } sin7x+\cfrac { x }{ 3 } sin3x \right\} +\cfrac { cos7x }{ 49 } +\cfrac { cos3x }{ 9 } \right] +c\)