Let \(\vec { a } =\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \) 
\(\therefore \left| \vec { a } \right| =\sqrt { 1+1+1 } =\sqrt { 3 } \) 
The unit vectors along the X, Y, Z axes are respectively \(\hat { i } ,\hat { j } \) and \(\hat { k } \) .Let \({ \theta }_{ 1 }\) be the angle between \(\vec { a } \) and X-axis.
\(\therefore cos_{ 1 }=\cfrac { \vec { a } .\hat { i } }{ \left| \vec { a } \right| \left| \hat { i } \right| } =\cfrac { \left( \hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \right) }{ \left( \sqrt { 3 } \right) \left( 1 \right) } =\cfrac { \left( 1 \right) \left( 1 \right) }{ \sqrt { 3 } } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) 
\(\therefore { \theta }_{ 1 }={ cos }^{ -1 }\cfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) 
Let \({ \theta }_{ 2 }\) be the angle between \(\vec { a } \) and Y-axis.
\(\therefore { cos\theta }_{ 2 }=\cfrac { \vec { a } .\vec { j } }{ \left| \vec { a } \right| \left| \hat { k } \right| } =\cfrac { \left( \hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \right) }{ \left( \sqrt { 3 } \right) \left( 1 \right) } \) 
\(\cfrac { (1)(1) }{ \sqrt { 3 } } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \Rightarrow { \theta }_{ 2 }={ cos }^{ -1 }\cfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) 
Let \({ \theta }_{ 3 }\) be the angle between \(\vec { a } \) and Z-axis.
\({ cos\theta }_{ 3 }=\cfrac { \vec { a } .\hat { k } }{ \left| \vec { a } \right| \left| \hat { k } \right| } =\cfrac { \left( \hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \right) .\hat { k } }{ \left( \sqrt { 3 } \right) \left( 1 \right) } \)
= \(\cfrac { (1)(1) }{ \sqrt { 3 } } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } } { \theta }_{ 3 }\Rightarrow { cos }^{ -1 }\cfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) 
From (1), (2) and (3) we see that \({ \theta }_{ 1 }={ \theta }_{ 2 }={ \theta }_{ 3 }\Rightarrow \vec { a } \) (i.e.,)\(\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \) is equally inclined with the coordinate axis.

\(\left| \vec { a } +\vec { b } \right| =60\) 
\(\left( \vec { a } +\vec { b } \right) ^{ 2 }={ 60 }^{ 2 }=3600\) 
i.e \(\vec { { a }^{ 2 } } +\vec { { b }^{ 2 } } +2\vec { a } .\vec { b } =3600\) 
\(\left| \vec { a } -\vec { b } \right| =40;\) 
i.e \(\vec { { a }^{ 2 } } +\vec { { b }^{ 2 } } -2\vec { a } .\vec { b } =1600\) 
\((1)+(2)\Rightarrow 2\left( \vec { { a }^{ 2 } } +\vec { { b }^{ 2 } } \right) =5200\) 
\(\vec { { a }^{ 2 } } +\vec { { b }^{ 2 } } =2600\) 
Given \(\left| \vec { b } \right| =46\quad \therefore \vec { { b }^{ 2 } } ={ 46 }^{ 2 }=2116\) 
Substituting b² value in (3) we get,
\(\left| \vec { a } \right| ^{ 2 }+2116=2600\) 
\(\left| \vec { a } \right| ^{ 2 }=2600-2116=484\) 
\(\left| \vec { a } \right| =\sqrt { 484 } =22\)

Let ABC be the given triangle with vertices \(\vec { OA } ,\vec { OB }\ and\ \vec { OC } \)
Now, \(\vec { OA } =​​​​2\hat { i } +3\hat { j } +4\hat { k } ,\);\(\vec { OB } =3\hat { i } +4\hat { j } +2\hat { k } ,\) ; \(\vec { OC } =4\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \)
so,\(\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } =\left( 3\hat { i } +4\hat { j } +2\hat { k } \right) -\left( 2\hat { i } +4\hat { j } +2\hat { k } \right) \) 
= \(i(3-2)+\hat { j } \left( 4-3 \right) +\hat { k } (2-4)\) 
= \(\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } \) 
ஃ \(\left| \vec { AB } \right| =\sqrt { 1+1+4 } =\sqrt { 6 } \)
\(\vec { BC } =\vec { OC } -\vec { OB } =\left( 4\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) -\left( 3\hat { i } +4\hat { j } +2\hat { k } \right) \) 
= \(\hat { i } (4-3)+\hat { j } (2-4)+\hat { k } (3-2)\) 
= \(\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \)
\(\left| \vec { BC } \right| =\sqrt { 1+4+1 } =\sqrt { 6 } \) 
\(\vec { BC } =\vec { OC } -\vec { OB } =\left( 4\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) -\left( 3\hat { i } +3\hat { j } +4\hat { k } \right) \) 
= \(\hat { i } (4-2)+\hat { j } (2-3)+\hat { k } (3-4)\) 
= \(2\hat { i } -\hat { j } -\hat { k } \)
ஃ \(\left| \vec { AC } \right| =\sqrt { 4+1+1 } =\sqrt { 6 } \) 
Now,\(\left| \vec { AB } \right| =\left| \vec { BC } \right| \Rightarrow ABC\) is an equilateral triangle.
(i.e.,) the given points from an equilateral triangle.  

Let the given vectors be \(\vec { a } =3\vec { i } -5\vec { j } +8\vec { k } \) and \(\vec { b } =-2\vec { i } -2\vec { k } \) 
Now \(\vec { a } +\vec { b } =\left( 3\hat { i } -5\hat { j } +8\hat { k } \right) +\left( -2\hat { j } -2\hat { k } \right) \) 
= \(\hat { i } (3)+\hat { j } (-5-2)+\hat { k } (8-2)\) 
= \(3\hat { i } -7\hat { j } +6\hat { k } \) 
\(\left| \vec { a } +\vec { b } \right| =\sqrt { 9+49+36 } =\sqrt { 94 } units\) 
The unit vectors parallel \(\vec { a } +\vec { b } \) are \(\pm \cfrac { \vec { a } +\vec { b } \quad }{ \left| \vec { a } +\vec { b } \right| } =\pm \cfrac { 3\hat { i } -7\hat { j } +6\hat { k } }{ \sqrt { 94 } } \) 

ABCD is a quadrilateral with position vectors 
\(\vec { OA } =\vec { a } ,\vec { OB } =\vec { b } .\vec { OC } =\vec { c } \vec { OD } =\vec { d } \)
P is the midpoint of BC and R is the midpoint of AD.
Q is the midpoint of AC and S is the midpoint of BD.
To prove PQRS is a parallelogram. We have to prove that \(\vec { PQ } =\vec { SR } \) 

Now \(\vec { OP } =\cfrac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } \) 
\(\vec { OR } =\cfrac { \vec { a } +\vec { d } }{ 2 } \) 
 \(\vec { OS } =\cfrac { \vec { b } +\vec { d } }{ 2 } \) 
Now \(\vec { PQ } =\vec { OQ } -\vec { OP } =\cfrac { \vec { a } +\vec { c } }{ 2 } -\cfrac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } =\cfrac { \vec { a } -\vec { b } }{ 2 } \) 
\(\vec { SR } =\vec { OR } -\vec { OS } =\cfrac { \vec { a } +\vec { d } }{ 2 } -\cfrac { \vec { a } +\vec { d } }{ 2 } -\cfrac { \vec { b } +\vec { d } }{ 2 } =\cfrac { \vec { a } -\vec { b } }{ 2 } \) 
\(\vec { PQ } =\vec { SR } \Rightarrow PQRS\quad is\quad parallelogram\)