9x² + 5x = 0
9x² + 5x +0 = 0
 a =9, b =5, c=0
\(\therefore \) D = b² -4ac 
5² -4 x 9 x 0
= 25 -0
= 25 > 0.
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றது.

\(x\ge -1\)மற்றும் x  < 4
\(\Rightarrow x\in \left[ -1,4 \right] \)

3x - 5 ≤ x + 1 என்பது 2x ≤ 6 ஆகும்.
எனவே , x ≤ 3 அதாவது, தீர்வு (- ∞, 3] ஆகும்.

|x - 9| < 2 என்பது -2 < x - 9 < 2 ஆகும். அதாவது, 7 < x < 11.

| 2x-17 | = 3 எனில் 2x - 17 = \(\pm \) 3
அதாவது, x = 10 அல்லது x = 7

கொடுக்கப்பட்டது:a² + b² = 7ab
2ab ஐ இருபுறமும் கூட்ட 
\(\Rightarrow { a }^{ 2 }b^{ 2 }+2ab=7ab+2ab\)
\(\Rightarrow { (a+b) }^{ 2 }=9ab\)
\(\Rightarrow \frac { { (a+b) }^{ 2 } }{ 9 } =ab\)
\(\Rightarrow (\frac { a+b }{ 3 } )^{ 2 }ab\)
இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண 
\(\Rightarrow \frac { a+b }{ 3 } ab\)
\(\Rightarrow \log(\frac { a+b }{ 3 } )=\log(ab)^{ \frac { 1 }{ 2 } }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \log(ab)\)
\(\log(\frac { a+b }{ 3 } )=\frac { 1 }{ 2 } [\log a+\log b]\) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

log ₄2^8x = 2^log₂8
\(8x{ \log }_{ 4 }^{ 2 }={ 2 }^{ { \log }^{ { 2 }^{ 3 } } }\)
\(\Rightarrow 8x{ \log }_{ 4 }^{ 2 }={ 2 }^{ { 3\log }^{ { 2 }^{ 3 } } }\)
\(\Rightarrow 8x{ \log }_{ 4 }^{ 2 }=2^{ 3(1) }[\because { \log }_{ 2 }^{ 2 }=1]\)
\(\Rightarrow \frac { 8x }{ { \log }_{ 2 }^{ 4 } } =8\)
\(\Rightarrow x={ \log }_{ 2 }^{ 4 }\)
\(\Rightarrow x={ \log }_{ 2 }^{ { 2 }^{ 2 } }\)
\(\Rightarrow x=2{ \log }_{ 2 }^{ { 2 }^{ 2 } }\)
\(\Rightarrow x=1\)

பல்லுறுப்புக் கோவையினை f(x) = ax² + bx + c என எடுத்துக் கொள்வோம்.
எனவே,  f(0) = a0² + b0 + c = 1 \(\Rightarrow\) c = 1
f(-2) = 0, f(1) = 0.
இவற்றிலிருந்து, 4a - 2b + c = 0 மற்றும் a+b+c = 0 ஆகியவற்றைப் பெறலாம்.
c = 1 எனப் பிரதியிட, 4a-2b = -1 மற்றும் a +b =-1
இரு சமன்பாடுகளையும் தீர்வு காண, a = b = -\(\frac { 1 }{ 2 } \)
எனவே, \(f(x)=-\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } x+1\)

x²- ax + a + 2 = 0 - ன் மூலங்கள் சமம் எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.எனவே தன்மைகாட்டியின் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்.
ஆகவே, D = b²- 4ac = a²- 4a - 8 = 0
​​​​​​எனவே,  \(a=\frac { 4\pm \sqrt { 48 } }{ 2 } \)
அதாவது, a = 2 + \(\sqrt { 12 } ,2-\sqrt { 12 } \)

\(\sqrt{3}\) ஒரு விகிதமுறா எண்  என்க.
\(\therefore \sqrt { 3 } =\frac { m }{ n } \) என்க  (m, n என்பன 1 ஐத் தவிர பொதுவகுத்தி இல்லாதவை)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த 
\(3=\frac { { m }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \Rightarrow 3{ n }^{ 2 }={ m }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { 3n }^{ 2 }={ m }^{ 2 }\)
2 ஆல் இருபுறமும் பெருக்குக
\(3=\frac { { m }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \Rightarrow 3{ n }^{ 2 }={ m }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { 6n }^{ 2 }={ 2m }^{ 2 }\Rightarrow 3(2n^{ 2 })=2m^{ 2 }\)
2n² ஆனது 2-ஆல் வகுபடும் m²-ம் ஒரு இரட்டை எண்
\(\Rightarrow m\) ஒரு இரட்டையாக இருக்க வேண்டும்
\(\Rightarrow m=2k,k\epsilon N\)
\(\Rightarrow { 3n }^{ 2 }=(2k)^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { 3n }^{ 2 }=4{ k }^{ 2 }\)
n ஒரு இரட்டை எண். எனவே, m,n இரட்டை  எண்கள் 2-ன் காரணிகள் ஆகும். இது முதல் கூற்றை முரண்பாடுடையதாக்குகிறது.
\(\therefore \sqrt { 3 } \) ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்க இயலாது.
\(\Rightarrow \sqrt { 3 } \) ஒரு விகிதமுறா எண்ணாகும்.
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

|u|=|v| எனில், தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதும் என்னவென்றால் u=v அல்லது  u=-v ஆகும். எனவே, |2x-3|=|x-5| என்பது 2x-3=x-5 அல்லது 2x-3 = 5-x இதன் தீர்வு, x=-2 மற்றும் \(x=\frac { 8 }{ 3 } \)

\(\frac{x}{(x+3)(x-4)}\)=\(\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-4}\) என்க.
இங்கு A மற்றும் B மாறிலிகள்
எனவே, \(\frac{x}{(x+3)(x+4)}=\frac{A(x-4)+B(x+3)}{(x+3)(x-4)}\)
⇒ x=A(x-4)+B(x-3)
x=4 எனில், B=\(\frac{4}{7}\)
x=-3 எனில், A=\(\frac{3}{7}\)
எனவே, \(\frac{x}{(x+3)(x-4)}=\frac{3}{7(x+3)}+\frac{4}{7(x-4)}\)

ax² + bx + c = 0 ' இரண்டு மூலங்கள் \(\alpha ,-\alpha \) என்க.
\(\therefore \alpha +(-\alpha )=\frac { -b }{ a } \)
\(0=\frac { -b }{ a } \therefore b=0\)
\(\alpha (-\alpha )=\frac { c }{ a } ;{ \alpha }^{ 2 }=\frac { c }{ a } \)
தேவையான கட்டுப்பாடுகள் b = 0

2x²-(a+1)x+a-1 = 0
\(\alpha ,\beta \) என்பன மூலங்கள் என்க.
\(\alpha -\beta =\alpha \beta \)
\(\alpha -\beta =\frac { a-1 }{ 2 } ......(1)\)
\(\alpha +\beta =\frac { a+1 }{ 2 } ....(2)\)
\((1)+(2)\Rightarrow 2\alpha =\frac { a-1 }{ 2 } +\frac { a+1 }{ 2 } \quad \)
\(2\alpha =\frac { 2a }{ 2 } =a\)
\(\boxed { \alpha =\frac { a }{ 2 } } \)
\(\alpha =\frac { a }{ 2 } \) ஐ (2)- பிரதியிட
\(\frac { \alpha }{ 2 } +\beta =\frac { a+1 }{ 2 } \)
\(\beta =\frac { a+1 }{ 2 } -\frac { \alpha }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\alpha =\frac { \alpha }{ 2 } ,\beta =\frac { 1 }{ 2 } \) இவற்றை \(\alpha -\beta =\alpha \beta \) ல் பிரதியிட
\(\Rightarrow \frac { a }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } =\frac { a }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \frac { a-1 }{ 2 } =\frac { a }{ 4 } \)
\(\Rightarrow a-1=\frac { a }{ 2 } \Rightarrow 2a-2=a\Rightarrow a-2=0\Rightarrow a=2\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது. 

நிலை (1)
x \(\ge \)1 எனில், |x-1| = x-1.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x²+x-2 = 0.
காரணிப்படுத்த கிடைப்பது (x+2)(x-1) = 0 \(\Rightarrow\) x = -2 அல்லது 1.
ஆனால், x \(\ge \) 1 எனவே, x = 1
நிலை (2)
x < 1 எனில், |x-1| = 1-x.
​​​​​​எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x² + 1 - x = 1.
எனவே, x(x-1) = 0 \(\Rightarrow\) x = 0 அல்லது x = 1.
ஆனால் x < 1,  எனவே, x = 0.
எனவே, தீர்வுக் கணம் {0, 1} ஆகும். எனவே, இச்சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு தீர்வுகள் உண்டு.