(i) 23x  < 100
\(x\in N\) எனில் 
\(\Rightarrow 23x<100\)
\(\Rightarrow x<\frac { 100 }{ 23 } \)
\(\Rightarrow x<4.347\)
\(\Rightarrow x=1 ,2,3,4\)
தீர்வுகணம் {1,2,3,4}
(ii) x < 4.347
\(\Rightarrow x\) = {........-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}

இரண்டு வெவ்வேறான விகிதமுறா எண்கள் \(\left( 2+\sqrt { 3 } \right) ,\left( 4+\sqrt { 3 } \right) \)என்க.
அவற்றின் வித்தியாசம் \(\left( 2+\sqrt { 3 } \right) -\left( 4+\sqrt { 3 } \right) =2+\sqrt { 3 } -4-\sqrt { 3 } \)
= 2 - 4 = 2 இது ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகும்.

\(\sqrt { 7 } \) விகிதமுறா எண், \(\in R-Q\)
\(\frac { -1 }{ 4 } \) குறை விகிதமுறு எண் \(\frac { -1 }{ 4 } \epsilon Q\) 
0 ஒரு முழு, 0\(\epsilon Z,Q\)
3.14 = \(\pi \) முடிவுறா  சுழல் தன்மையற்ற தசம பின்னம் 
\(\Rightarrow 3.14\in Q\)
4 ஒரு மிகை முழு \(\Rightarrow 4\in N,Z,Q.\)
\(\frac { 22 }{ 7 } \) ஒரு விகிதமுறா எண்  \(\Rightarrow \frac { 22 }{ 7 } \in Q\)

| 2x-17 | = 3 எனில் 2x - 17 = \(\pm \) 3
அதாவது, x = 10 அல்லது x = 7

(i) \(\frac{3(x-2)}{5}\le\frac{5(2-x)}{3}\)
\(\Rightarrow \frac { 3x-6 }{ 5 } \le \frac { 10-5x }{ 3 } \)
\(\Rightarrow 3(3x-6)\le 5(10-5x)\)
\(\Rightarrow 9x-18\le 50-25x\)
\(\Rightarrow 9x+25x\le 50+18\)
\(\Rightarrow 34x\le 68\)
\(\Rightarrow x\le 2.\)
\(\therefore \)தீர்வு கணம் \(\left( -\infty ,2 \right) \)
(ii) \(\frac{5-x}{3}<\frac{x}{2}-4\)
முழுவதையும் 3 ஆல் பெருக்க,
 \(5-x<\frac { 3x }{ 2 } -12\)
2 ஆல் பெருக்க 
\(\Rightarrow 10-2x<3x-24\)
\(\Rightarrow 10+24<3x+2x\)
\(\Rightarrow 34<5x\)
\(\Rightarrow \frac { 34 }{ 5 }\)
\(\Rightarrow x\ge \frac { 34 }{ 5 } \)
\(\therefore \) தீர்வுகணம்\( \left( \frac { 34 }{ 5 } ,\infty \right) \)

(i) \(2x\ge 9\)
\(-x\ge \frac { 9 }{ 2 } \)
\(x\le \frac { -9 }{ 2 } \)
\(x\epsilon R\) எனில் 
\(x\epsilon \left( -\infty ,\frac { -9 }{ 2 } \right) \)
(ii) \(2x\ge 9\)
\(-x\ge \frac { 9 }{ 2 } \)
\(x\le \frac { -9 }{ 2 } \)
\(x\epsilon Z\) எனில்
\(x=\{ -\infty ,.....-5\} \)
(iii) \(2x\ge 9\)
\(-x\ge \frac { 9 }{ 2 } \)
\(x\le \frac { -9 }{ 2 } \)
\(x\epsilon N\) எனில், \(\frac { -9 }{ 2 } \) ஐ சிறிய இயல் எண் எதுவும் இல்லை 
\(\therefore x=\{ \} \)

\(\frac { 1 }{ |2x-1| } <6\)
பகுதி தொகுதிகளை |2x -1| ஆல் பெருக்க
\(\frac { 1 }{ \left| 2x-1 \right| } \frac { \times \left| 2x-1 \right| }{ \times \left| 2x-1 \right| } <6\) 
\(\Rightarrow \frac { \left| 2x-1 \right| }{ \left| 2x-1 \right| ^{ 2 } } <6\Rightarrow |2x-1|<6|2x-1|^{ 2 }\)
\(\Rightarrow 1<6|2x-1|\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 6 } <\left| 2x-1 \right| \)
\(\Rightarrow \left| 2x-1 \right| >\frac { 1 }{ 6 } \)
\(\Rightarrow \frac { -1 }{ 6 } \ge 2x-1\ge \frac { 1 }{ 6 } \)
\(\Rightarrow \frac { -1 }{ 6 } +1\ge 2x\ge \frac { 1 }{ 6 } +1\)
\(\Rightarrow \frac { 5 }{ 6 } \ge 2x\ge \frac { 7 }{ 6 } \Rightarrow \frac { 5 }{ 12 } \ge x\ge \frac { 12 }{ 7 } \)
\(\Rightarrow \) தீர்வுக்கணம் :\(\Rightarrow \left( \infty ,\frac { 5 }{ 12 } \right) \cup \left( \frac { 7 }{ 12 } ,\infty \right) \)

இரண்டு விகிதமுறா எண்கள் \(5+\sqrt { 7 } ,7-\sqrt { 7 } \)என்க.
அவற்றின் கூடுதல் = \(5+\sqrt { 7 } +7-\sqrt { 7=12 } \)இது ஒரு விகிதமுறு எண்
\(4+\sqrt { 6 } ,4-\sqrt { 6 } \)  என்ற இரு விகிதமுறா எண்களை எடுத்துக்கொள்வோம்.
அவற்றின் பெருக்கற்பலன் \((4+\sqrt { 6 } )(4-\sqrt { 6 } )\)
\(={ 4 }^{ 2 }-\left( \sqrt { 6 } \right) ^{ 2 }=16-6=10\) இது ஒரு விகிதமுறு எண் 
 

\(\sqrt{3}\) ஒரு விகிதமுறா எண்  என்க.
\(\therefore \sqrt { 3 } =\frac { m }{ n } \) என்க  (m, n என்பன 1 ஐத் தவிர பொதுவகுத்தி இல்லாதவை)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த 
\(3=\frac { { m }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \Rightarrow 3{ n }^{ 2 }={ m }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { 3n }^{ 2 }={ m }^{ 2 }\)
2 ஆல் இருபுறமும் பெருக்குக
\(3=\frac { { m }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \Rightarrow 3{ n }^{ 2 }={ m }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { 6n }^{ 2 }={ 2m }^{ 2 }\Rightarrow 3(2n^{ 2 })=2m^{ 2 }\)
2n² ஆனது 2-ஆல் வகுபடும் m²-ம் ஒரு இரட்டை எண்
\(\Rightarrow m\) ஒரு இரட்டையாக இருக்க வேண்டும்
\(\Rightarrow m=2k,k\epsilon N\)
\(\Rightarrow { 3n }^{ 2 }=(2k)^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { 3n }^{ 2 }=4{ k }^{ 2 }\)
n ஒரு இரட்டை எண். எனவே, m,n இரட்டை  எண்கள் 2-ன் காரணிகள் ஆகும். இது முதல் கூற்றை முரண்பாடுடையதாக்குகிறது.
\(\therefore \sqrt { 3 } \) ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்க இயலாது.
\(\Rightarrow \sqrt { 3 } \) ஒரு விகிதமுறா எண்ணாகும்.
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

|u|=|v| எனில், தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதும் என்னவென்றால் u=v அல்லது  u=-v ஆகும். எனவே, |2x-3|=|x-5| என்பது 2x-3=x-5 அல்லது 2x-3 = 5-x இதன் தீர்வு, x=-2 மற்றும் \(x=\frac { 8 }{ 3 } \)

3|x-2|+7 = 19
மேலும், |x – 2| = \(\frac { 19-7 }{ 3 } =4\)
எனவே, x – 2 = 4 அல்லது x – 2 = – 4
அதாவது, தீர்வு x = – 2 மற்றும் x = 6

30 விழுக்காடு அமிலம் கலந்த கரைசல் = x லிட்டர் என்க.
\(\therefore \) மொத்த கரைசல் = (600+x)
30% x + 12% 600 > 15% (600+x)
\(\Rightarrow \frac { 30x }{ 100 } +\frac { 12 }{ 100 } \times 600>\frac { 15 }{ 100 } (600+x)\)
\(\Rightarrow 30x+7200>9000+15x\) (100 ஆல் பெருக்க) 
\(\Rightarrow 15x+7200>9000\)
\(\Rightarrow 15x>9000-7200\)
\(\Rightarrow 15x>1800\)
\(\Rightarrow x>120...(1)\)
\(30\) % of x + 12% of 600 < \(\frac { 18 }{ 100 } (600+x)\)
\(\Rightarrow \frac { 30x }{ 100 } +\frac { 12 }{ 100 } \times 600<\frac { 18 }{ 100 } (600+x)\)
\(\Rightarrow 30x+7200>18(600+x)\)
\(\Rightarrow 30x+7200>10800+18x\)
\(\Rightarrow 12x>10800-7200\)
\(\Rightarrow 12x>3600\)
\(\Rightarrow x<\frac { 3600 }{ 12 } \)
\(\Rightarrow x<300.....(2)\)
(1), (2) லிருந்து 120 < x <300
\(\therefore \) 30% அமிலம் கலந்த கரைசல் 120 லிட்டரை விட அதிகமாகவும் மற்றும் 300 லிட்டரை விட குறைவாகவும் கிடைக்கிறது.

நிலை (1)
x \(\ge \)1 எனில், |x-1| = x-1.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x²+x-2 = 0.
காரணிப்படுத்த கிடைப்பது (x+2)(x-1) = 0 \(\Rightarrow\) x = -2 அல்லது 1.
ஆனால், x \(\ge \) 1 எனவே, x = 1
நிலை (2)
x < 1 எனில், |x-1| = 1-x.
​​​​​​எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x² + 1 - x = 1.
எனவே, x(x-1) = 0 \(\Rightarrow\) x = 0 அல்லது x = 1.
ஆனால் x < 1,  எனவே, x = 0.
எனவே, தீர்வுக் கணம் {0, 1} ஆகும். எனவே, இச்சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு தீர்வுகள் உண்டு.

2 |x+1| -6 ≤ 7
\(\Rightarrow 2\left| x+1 \right| \le 7+6\Rightarrow 2\left| x+1 \right| \le 13\)
\(\Rightarrow \left| x+1 \right| \le \frac { 13 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { -13 }{ 2 } \le x+1\le \frac { 13 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { -13 }{ 2 } -1\le x\le \frac { 13 }{ 2 } -1\Rightarrow \frac { -15 }{ 2 } \ge x\ge \frac { 11 }{ 2 } \)
\(\therefore \) தீர்வுகணம் \(\left[ \frac { -15 }{ 2 } ,\frac { 11 }{ 2 } \right] \)