\(16^{\frac{-3}{4}}\)\(={ (2^{ 4 })^{ \frac { -3 }{ 4 } } }={ 2 }^{ 4\times \frac { -3 }{ 4 } }={ 2 }^{ -3 }=\frac { 1 }{ { 2 }^{ 3 } } =\frac { 1 }{ 8 } \)

\({ (125) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }={ (5^{ 2 })^{ \frac { 2 }{ 3 } } }={ 5 }^{ 3\times \frac { 2 }{ 3 } }={ 5 }^{ 2 }=25\)

\(\log _{ 2\sqrt { 3 } }{ 1728 } =x\) என்க.
பின்பு, \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ x }=1728={ 2 }^{ 6 }{ 3 }^{ 3 }={ 2 }^{ 6 }{ (\sqrt { 3 } ) }^{ 6 }\)
எனவே, \({ \left( 2\sqrt { 3 } \right) }^{ x }={ \left( 2\sqrt { 3 } \right) }^{ 6 }\Rightarrow x=6\) எனவே, \(\log _{ 2\sqrt { 3 } }{ 1728 } =6\)

பகுதி மற்றும் தொகுதியை (√6-√2) ஆல் பெருக்க
\(\frac{\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}=\frac{(\sqrt{30}-\sqrt{10})}{4}\)

பூஜ்ஜியங்களைக் காண f (x) = 0 என்க 
4x² - 25 = 0
4x² = 25
\({ x }^{ 2 }=\frac { 25 }{ 4 } \Rightarrow x=\sqrt { \frac { 25 }{ 4 } } \)
\(\Rightarrow x=\pm \frac { 5 }{ 2 } \)
எனவே பூஜ்ஜியங்கள் \(\frac { 5 }{ 2 } ,\frac { -5 }{ 2 } \)ஆகும்.

-x² + 3x + 1 = 0 
a = -1, b = 3, c = 1.
D = b² - 4ac
 = 32 - 4 x -1 x 1 
= 9 + 4 = 13.
D > 0 \(\therefore \) மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றது.

x < -1 அல்லது x < 3
\(\Rightarrow x\in \left[ -\infty ,3 \right] \)

x ≤ 5 மற்றும் x ≥ -3
\(\Rightarrow x\in \left[ -3,5 \right] \)

\(\Rightarrow 4\left| x-\frac { 5 }{ 4 } \right| \ge 2\Rightarrow \left| x-\frac { 5 }{ 4 } \right| \ge -\frac { 2 }{ 4 } \)

LHS = log a + log a² + log a³ + ....+ log aⁿ
=log a +2 log a  +3 log + ....+ n log a
=log a (1+2+3+.....n)
\(\log a\frac { (n)(n+1) }{ 2 } [\therefore \sum { n=\frac { n(n+1) }{ 2 } ] } \)
\(=\frac { n(n+1) }{ 2 } \log a=RHS\) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
 

இருபடிக் கோவை p(x ) = K(x² - x) (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்.
மூலங்களின் கூடுதல் = \(1+\sqrt { 5 } +1-\sqrt { 5 } =2\)
 மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = \(=(1+\sqrt { 5 } )(1-\sqrt { 5 } )=1-5=-4\)
இருபடிக்கோவை  p(x ) = K(x² - 2x-4) எனில் P (1) = 2
k (1² -2 -4) = 2
\(k(-5)=2\Rightarrow k=-\frac { 2 }{ 5 } \)
\(\therefore p(x)=-\frac { 2 }{ 5 } ({ x }^{ 2 }-2x-4)\)

\(\Rightarrow \frac { -1 }{ 4 } \le 3-\frac { 3 }{ 4 } x\le \frac { 1 }{ 4 } \)
\(\Rightarrow \frac { -1 }{ 4 } -3\le -\frac { 3 }{ 4 } x\le \frac { 1 }{ 4 } -3\)
\(\Rightarrow \frac { -13 }{ 4 } \le \frac { -3 }{ 4 } x\le \frac { -11 }{ 4 } \)
4 ஆல் பெருக்க 
\(\Rightarrow -13\ge -3x\ge -11\)
\(\Rightarrow \frac { 11 }{ 3 } \le x\le \frac { 13 }{ 3 } \)

கொடுக்கப்பட்டது: log_5-x(x²- 6x + 65) = 2
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-6x+65(5-x)^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-6x+65=25+{ x }^{ 2 }-10x\Rightarrow 10x-6x=-65+25\)
\(\Rightarrow 10x-6x=-65+25\Rightarrow 4x=-40.\)
\(\therefore x=-10.\)

3x +5y = 45
\(\Rightarrow 5y=45-3x\Rightarrow y=\frac { 45-3x }{ 5 } \)

 \(x\ge0\) என்பது y அச்சின் மிகைப்பகுதி.\(y \ge0\) என்பது x அச்சின் மிகைப்பகுதி. கோடிட்ட பகுதிகளை தேவையான தீர்வு. 

\(\Rightarrow \) (2x + 1 + 3x + 2)(2x + 1 - 3x - 2) =0
(5x + 3) (-x -1) = 0
\(\Rightarrow \) - (5x + 3) (x + 1) = 0
\(\Rightarrow \left( 5x+3 \right) =0\Rightarrow x=\frac { -3 }{ 5 } ;(x+1)=0\Rightarrow x=-1\)
\(\therefore \) தீர்வுக்கணம்:\(\left\{ -1,\frac { -3 }{ 5 } \right\} \)