tan \(\left( \frac { 7\pi }{ 12 } \right) \) = tan \(\left( \frac { 7\times 180 }{ 12 } \right) \) = tan (105°)
= \(\frac { \sin { { 105 }^{ 0 } } }{ \cos { { 105 }^{ 0 } } } \)
= \(\frac { \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2\sqrt { 2 } } }{ \frac { 1-\sqrt { 3 } }{ 2\sqrt { 2 } } } =\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 1-\sqrt { 3 } } =\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 1-\sqrt { 3 } } \times \frac { 1+\sqrt { 3 } }{ 1+\sqrt { 3 } } \)
= \(\frac { { \left( \sqrt { 3 } +1 \right) }^{ 2 } }{ { 1 }^{ 2 }-{ \sqrt { 3 } }^{ 2 } } =\frac { 3+2\sqrt { 3 } +1 }{ 1-3 } =\frac { 4+2\sqrt { 3 } }{ -2 } \)

tan \(\frac { 7\pi }{ 12 } \) = -\(\left( 2+\sqrt { 3 } \right) \)

sin 105⁰ = sin(60⁰ + 45⁰)
= sin 60⁰.cos 45⁰ + cos 60⁰ sin 45⁰
= \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
= \(\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2\sqrt { 2 } } \)

cos 105° = cos (60° + 45°) = cos 60° . cos 45° - sin 60° sin 45°
= \(\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
= \(\frac { 1-\sqrt { 3 } }{ 2\sqrt { 2 } } \)

\(\pi\) ஆரையன்கள் = 180° எனத் தெரியும். எனவே,
\(\frac{\pi}{5}\) ஆரையன்கள் = \(\frac{180^o}{5}=36^o\)

18° = \(\pi\) ஆரையன்கள் \(\Rightarrow\) 1° = \(\frac{\pi}{180}\) ஆரையன்கள்
18^o = \(\frac{\pi}{180}\) x 18 ஆரையன்கள் = \(\frac{\pi}{10}\) ஆரையன்கள்

\(\angle A,\angle B,\angle C\) என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் அமையும் 
\(\therefore 2\angle B=\angle A+\angle C\)
\(\Rightarrow 3\angle B=\angle A+\angle B+\angle C\) இரு புறமும் \(\angle B\)ஐக் கூட்ட 
\(\Rightarrow 3\angle B=180^{ 0 }\)
\(\Rightarrow \angle B=\cfrac { 180^{ 0 } }{ 3 } =60^{ 0 }\)
\(\cfrac { b }{ c } =\cfrac { sin\quad B }{ sin\quad C } \)
\(\Rightarrow \cfrac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 2 } } =\cfrac { sin\quad 60^{ 0 } }{ sin\quad C } \)
\(\Rightarrow \cfrac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 2 } } =\cfrac { { \sqrt { 3 } }/{ 2 } }{ sinC } \)
\(\Rightarrow \quad sin\quad C=\cfrac { \sqrt { 3 } }{ 2\sqrt { 3 } } \times \sqrt { 2 } =\cfrac { \sqrt { 2 } }{ 2 } =\cfrac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 2 } \times \sqrt { 2 } } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\Rightarrow \quad \angle C=45^{ 0 }\)
\(\angle A=180^{ 0 }-\left( \angle B+\angle C \right) =180-\left( 60+45 \right) =75^{ 0 }\)
\(\angle A=75^{ 0 },\angle B=60^{ 0 },\angle C=45^{ 0 }\)

tan 75⁰ = tan (45⁰ + 30⁰)
= \(\frac { \tan { { 45 }^{ 0 }+\tan { { 30 }^{ 0 } } } }{ 1-\tan { { 45 }^{ 0 }.\tan { { 30 }^{ 0 } } } } \)
tan 75⁰ = \(\frac { 1+\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } }{ 1-1.\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } } =\frac { \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } } }{ \frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } } } \)
= \(\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } -1 } \)
cot 75⁰ = \(\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } +1 } \)
∴ L.H.S = tan 75⁰ + cot 75⁰
= \(\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } -1 } +\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } +1 } \)
= \(\frac { { \left( \sqrt { 3 } -1 \right) }^{ 2 }+{ \left( \sqrt { 3 } -1 \right) }^{ 2 } }{ { \sqrt { 3 } }^{ 2 }-{ 1 }^{ 2 } } \)
= \(\frac { 3+1+2\sqrt { 3 } +3+1-2\sqrt { 3 } }{ 3-1 } \)
= \(\frac { 8 }{ 2 } \) = 4 R.H.S எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது .

L.H.S = sin 75⁰ - sin 15⁰
= sin (90⁰ - 15⁰) - sin 15⁰
= cos 15⁰ - sin 15⁰
R.H.S = cos 105⁰ + cos 15⁰
= cos (90⁰ + 15⁰) + cos 15⁰
= - sin 15⁰ + cos 15⁰
= cos 15⁰ - sin 15⁰
∴ R.H.S = L.H.S

0 < x < \(\frac { \pi }{ 2 } \), x முதல் கால் பகுதியில் அமைவதால் அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களும் மிகையாகும்.
\(\cos y=-\frac { 24 }{ 25 }\) ,\(\pi < y < \frac {3\pi}{2}\)  , y ஆனது இரண்டாவது கால் பகுதியில் அமைவதால் tan y, cot y மட்டுமே மிகையாகும்.

\(\sqrt { { 17 }^{ 2 }-{ 8 }^{ 2 } } =\sqrt { 225 } \)  = 15
\(\sqrt { { 25 }^{ 2 }-{ 24 }^{ 2 } } =\sqrt { 625-576 } \)
= \(\sqrt { 49 } \) = 7 
sinx = \(\frac { 8 }{ 17 } \)
siny = \(\frac { -7 }{ 25 } \)
cosx = \(\frac { 15 }{ 17 } \)
cosy = \(\frac { -24 }{ 25 } \)
sin(x - y) = sinx cosy - cosxsiny
= \(\left( \frac { 8 }{ 17 } \right) \left( \frac { -24 }{ 25 } \right) -\left( \frac { 15 }{ 17 } \right) \left( \frac { -7 }{ 25 } \right) \)
= \(\frac { -192 }{ 425 } +\frac { 105 }{ 425 } \)
= \(\frac { -87 }{ 425 } \)

LHS= \(\sin { A } +\sin { B } +\sin { C } \)
=\(2sin\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) .cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) +2sin\cfrac { C }{ 2 } cos\cfrac { C }{ 2 } \)  \(\left( \because \quad sinA=2sin\cfrac { A }{ 2 } cos\cfrac { A }{ 2 } \right) \)
\(\left( \because \cfrac { A+B }{ 2 } =90-\cfrac { C }{ 2 } \right) \)
= \(2sin\left( 90-\cfrac { C }{ 2 } \right) .cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) +2sin\cfrac { C }{ 2 } .cos\cfrac { C }{ 2 } \)
= \(2cos\cfrac { C }{ 2 } \left[ cos\cfrac { \left( A-B \right) }{ 2 } +sin\cfrac { C }{ 2 } \right] \)
= \(2cos\cfrac { C }{ 2 } \left[ cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) +sin\left( 90-\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) \right) \right] \)
=\(2cos\cfrac { C }{ 2 } \left[ cos\cfrac { \left( A-B \right) }{ 2 } +cos\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) \right] \)
= \(2cos\cfrac { C }{ 2 } \left( 2cos\cfrac { A }{ 2 } cos\cfrac { B }{ 2 } \right) \)
= \(4cos\cfrac { A }{ 2 } cos\cfrac { B }{ 2 } cos\cfrac { C }{ 2 } =RHS\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

α ∈ (π, \(\frac { 3\pi }{ 2 } \) ) α,III -ம் கால் பகுதியில் அமையும் என்பதால் tan α, cot α மிகையாகும்.
β ∈ ( \(\frac { \pi }{ 2 } \), π) β, II-ம் கால் பகுதியில் அமையும். அதனால் sinβ, cosec β மிகையாகும்.
cot α = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 5 } \)
sec β =  \(\frac { -5 }{ 3 } \)
\(\sqrt { { 5 }^{ 2 }-{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 25-9 } \) = 4

∴ tan α = 2   tan β = \(\frac { -4 }{ 3 } \)
∴ tan (α + β) = \(\frac { \tan { \alpha } +\tan { \beta } }{ 1-\tan { \alpha } \tan { \beta } } =\frac { 2-\frac { 4 }{ 3 } }{ 1-2\times \frac { -4 }{ 3 } } \)
= \(\frac { \frac { 6-4 }{ 3 } }{ \frac { 3+8 }{ 3 } } =\frac { 2 }{ 11 } \)

L.H.S = cos (A + B). cos(A - B)
= (cos A cos B - sin A sin B) (cos A cos B + sin A sin B)
= cos²A cos²B - sin²A sin²B   ...(1)
= cos²A (1 - sin²B) - (1 - cos²A) sin²B

= cos²A - sin²B  ....(2)
(1)  லிருந்து 
LHS = cos²A cos²B - sin²A sin²B
= (1- sin²A) cos²B - sin²A (1 - cos²B)

= cos²B - sin²A  .....(3)
(2), (3) லிருந்து
cos (A + B) cos (A - B) = cos²A - sin²B = cos²B - sin²A
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

L.H.S. = sin (A + B) sin (A - B)
= [sin A cos B + cos A sin B]. [sinA cosB - cosA sin B]
= sin² A. cos²B - cos²A . sin²B  [∵ (a + b) (a - b) = a² - b²]
= sin²A [1 - sin²B] - (1 - sin²A) sin² B
= sin²A - sin²A sin²B - [sin²B - sin²A sin²B]

= sin²A - sin²B = R.H.S
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

A + B + C = \(\frac { \pi }{ 2 } \) 
⇒ cos (A + B + C) = cos \(\frac { \pi }{ 2 } \)
⇒ cos (A + B + C) = 0
cos (A + B + C) = cos (A + B) cos C = sin (A + B) sin C
= cos C(cos A cos B - sin A sin B) - sinC (sin A cos B + cos A sin B)
= cos A cos B cos C - sin A sin B cos C - sin A cos B sin C - cos A sin B sin C
0 = cos A cos B cos C - sin A sin B cos C - sin A cos B sin C - cos A sin B sin C
∴ cos A cos B cos C - sin A sin B cos C + sin A cos B sin C + cos A sin B sin C 
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.